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Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

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Eine Gleichung der Form $ax + by = c$ heißt lineare Gleichung mit zwei Variablen. Dabei sind $a, b \neq 0$ und $c$ Zahlen und $x$ und $y$ die zwei Variablen. Lösungen dieser Gleichung sind Zahlenpaare $(x \mid y)$, die die gegebene Gleichung erfüllen. Dabei gibt es unendlich viele Lösungen.
Um ein Zahlenpaar zu erhalten, das die Gleichung löst, kannst du eine Variable frei wählen und die andere Variable entsprechend anpassen, sodass die Gleichung erfüllt ist.

Beispiel

Betrachte als Beispiel die Gleichung $2x - y = 3.$ Jedes Zahlenpaar $(x \mid y)$, das die Gleichung erfüllt, ist eine Lösung. Beispielsweise sind die Punkte $(0 \mid -3)$ und $(1 \mid -1)$ Lösungen dieser Gleichung, aber auch jeder anderer Punkt, der auf der Geraden liegt.
Terme und Gleichungen: Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
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Aufgaben
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1. Gib für folgende Gleichungen jeweils 3 Lösungen an.
a)   $4x + 4y = 12$
b)   $y = 7 - x$
c)   $x + y = 3 - 5x + 7y $
d)   $-2x + 8 = -y$
2. Berechne die folgenden Produkte mit den binomischen Formeln.
a)   $7x - 11y = -4$, $(1 \mid 1)$
b)   $12y - 24y = 1$, $(2 \mid 1)$
c)   $x + y = 5$, $(-2 \mid -3)$
d)   $-2x + 4y = -30$, $(3 \mid -6)$
3. Zeichne die Lösungen folgender Gleichungen in ein Schaubild ein. Forme die Gleichungen dabei zuerst in die Form: $y = mx +c$ um.
a)   $\frac{1}{2}x - y = 1$
b)   $x + y = 0$
c)   $-x = -15 + 3y$
d)   $2x - 1 = 2y$
4. Marcos Sparschwein ist endlich voll. Er hat insgesamt $66 €$ in $1$-Euro- und $2$-Euro-Münzen. Insgesamt hat er $39$ Münzen. Probiere herauszufinden, wie viele $1$-Euro- und $2$-Euro-Münzen in Marcos Sparschwein sind.
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Lösungen
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1. Gib 3 Lösungen an.
a)  Die Zahlenpaare $(1 \mid 2)$, $(2 \mid 1)$, $(1,5 \mid 1,5)$ erfüllen beispielsweise die Gleichung.
b)  Die Zahlenpaare $(1 \mid 6)$, $(2 \mid 5)$, $(3 \mid 4)$ erfüllen die Gleichung. Lass dich dabei nicht davon irritieren, dass die Gleichung in einer anderen Form dasteht.
c)  Mache es dir einfacher, indem du die Gleichung in die gewohnte Form umschreibst:
$x +y = 3 - 5x + 7y$$~ \Longrightarrow ~ 6x - 6y = 3$. Drei Lösungen dieser Gleichung sind somit $(1 \mid 0,5)$, $(2 \mid 1,5)$ und $(0 \mid -0,5)$.
d)  Wähle $x=0$, $x=1$ und $x=2$ setze diese Werte in die Gleichung ein und du bekommst die Werte von $y$. Die entsprechenden Punkte lauten $(0 \mid -8)$, $(1 \mid -6)$ und $(2 \mid -4).$
2. Prüfe.
a)  Setze die entsprechenden Werte einfach in die Gleichung ein und überprüfe, ob sie erfüllt ist: $7 \cdot 1 - 11 \cdot 1 = -4$. Die Gleichung ist erfüllt.
b)  $12 \cdot 2 - 24 \cdot 1 = 0 \neq 1$. Die gegebene Gleichung ist also nicht erfüllt.
c)  Die gegebene Gleichung ist nicht erfüllt, da $-2 + (-3) = -5 \neq 5.$
d)  Das Zahlenpaar $(3 \mid -6)$ erfüllt die Gleichung $-2 \cdot 3 + 4 \cdot (-6) = -6 - 24 = -30.$
3. Zeichne.
Terme und Gleichungen: Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Terme und Gleichungen: Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
4. Münzenproblem
Die Anzahl der $1$- und $2$-Euro-Münzen muss folgende Gleichung erfüllen: $1 x + 2 y = 66$. Dabei steht die Variable $x$ für die Anzahl der 1-Euro-Münzen und $y$ für die Anzahl der $2$-Euro-Münzen. Insgesamt müssen es $39$ Münzen sein.
Um auf die gesuchte Anzahl zu kommen, probierst du am besten einige Zahlenpaare aus. Angenommen es wären $33$ $2$-Euro-Münzen und null $1$-Euro-Münzen, dann erfüllt diese Anzahl zwar die Gleichung, aber die Anzahl der gesamten Münzen ist $33$, d.h. wir müssen mehr $1$-Euro-Münzen nehmen. Nehmen wir zehn $1$-Euro-Münzen und $28$ $2$-Euro-Münzen. Dann wird die Gleichung wieder erfüllt, aber wir haben insgesamt $38$ Münzen, d.h. wir tauschen eine $2$-Euro-Münzen gegen zwei $1$-Euro-Münzen und erhalten die gesuchte Anzahl.
In Marcos Sparschwein befinden sich zwölf $1$-Euro-Münzen und $27$ $2$-Euro-Münzen.
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