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Gleichungen mit Klammern

Spickzettel
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Um eine Gleichung zu berechnen, die eine Klammer enthält, musst du zunächst die Klammer auflösen und die Gleichung zusammenfassen. Dazu solltest du dir die Regeln zum Ausmultiplizieren nochmal in Erinnerung rufen:

Rechnen mit Klammern

Wenn vor einer Klammer ein Faktor $\boldsymbol{\color{#87c800}{a}}$ steht, so multiplizierst du jeden Summanden in der Klammer mit diesem Faktor und addierst sie anschließend. Beachte dabei die Vorzeichen der Zahlen.
Terme und Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Terme und Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Multiplizierst du eine Klammer mit zwei oder mehr Summanden mit einer anderen Klammer, so multiplizierst du jeden Summanden von der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer.
Terme und Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Terme und Gleichungen: Gleichungen mit Klammern
Beachte: Wird eine Klammer mit einem negativen Faktor multipliziert, so ändern sich die Vorzeichen. Ansonsten kannst du beim Lösen von Gleichungen mit Klammern genauso vorgehen, wie bei Gleichungen ohne Klammern.
Merke: Alle Umformungen, die du vornimmst, müssen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens umgesetzt werden.
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Aufgaben
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1.
Löse die Gleichungen.
b)
$7(2x+4)=56$
d)
$28 = 7(4x+40)$
f)
$5(20+4x)=360$
2.
Löse die Gleichungen.
b)
$6(4x-2)=36$
d)
$3(3x-3)=36$
f)
$90 = 5(3-5x)$
3.
Löse die Gleichungen.
a)
$3x-2(x-6) = (x+4)\cdot5$
b)
$4x-5(2x-4)=2(3x+6)-16$
c)
$-8(1-x)+14x=8(2x+9)-62$
d)
$2x-(9+3x)\cdot3 = 5(2x+16)-5$
e)
$(11+13x)\cdot2 = 6(9-2x)+6$
f)
$8x+31-2(6-x) = 5(4-2x)+39$
4.
Löse die Gleichungen.
a)
$2x-(21+x)-16 = -42-3(23+6x)-8(-x-12)$
b)
$-25(2x+1)+48 = 14(11-3x)+41-2(3x-16)$
c)
$23(5x+4)-15 = -12(3x+5)-133+(x-6)\cdot 4$
d)
$15x+(36-2x)-5=-22-3(9x-13)+214$
e)
$33+4(9x-3)-68+2(6x+2) = 33x-10+12(16-5x)$
f)
$-(22x-13)+45-x+16x = 3(3x+6)-91-(5x+3)\cdot7$
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Lösungen
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1.
Löse die Gleichungen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 2(x+1)&=&24&&\quad \scriptsize\text{ausmultiplizieren}\\[5pt] 2x+2&=&24&&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 2x&=&22&&\quad \scriptsize \mid\;\;:2\\[5pt] x&=&11 \end{array}$
$2(x+1)=24$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 6(4x-2)&=&36&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 24x-12&=&36&&\quad \scriptsize \mid\;+12\\[5pt] 24x&=&48&&\quad \scriptsize\mid\;\;:24\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$6(4x-2)=36$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 44&=&2(3x+10)&& \quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 44&=&6x+20&&\quad \scriptsize \mid\;-20\\[5pt] 24&=&6x&& \quad \scriptsize\mid\;\;:6\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
$44=2(3x+10)$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 28&=&7(4x+40)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 28&=&28x+280&&\quad \scriptsize \mid\;-280\\[5pt] -252&=&28x&&\quad \scriptsize \mid\;\;:28\\[5pt] x&=&-9 \end{array}$
$28=7(4x+40)$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 33&=&3(3x+8)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 33&=&9x+24&&\quad \scriptsize \mid\;-24\\[5pt] 9&=&9x&&\quad \scriptsize\mid\;\;:9\\[5pt] x&=&1 \end{array}$
$33=3(3x+8)$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 5(20+4x)&=&360&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 100+20x&=&360&&\quad \scriptsize \mid\;-100\\[5pt] 20x&=&260&&\quad \scriptsize\mid\;\;:20\\[5pt] x&=&13 \end{array}$
$5(20+4x)=360$
2.
Löse die Gleichungen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 4(2x-4)&=&64&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 8x-16&=&64&&\quad \scriptsize\mid\; +16\\[5pt] 8x&=&80&&\quad \scriptsize\mid\;\;:8\\[5pt] x&=&10 \end{array}$
$4(2x-4)=64$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 7(2x+4)&=&56&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 14x+28&=&56&&\quad \scriptsize \mid\;-28\\[5pt] 14x&=&28&&\quad \scriptsize \mid\;\;:14\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$7(2x+4)=56$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 8(2x-6)&=&32&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 16x-48&=&32&&\quad \scriptsize\mid\; +48\\[5pt] 16x&=&80&&\quad \scriptsize \mid\;\;:16\\[5pt] x&=&5 \end{array}$
$8(2x-6)0=32$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 3(3x-3)&=&36&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 9x-9&=&36&&\quad \scriptsize \mid\; +9\\[5pt] 9x&=&45&&\quad \scriptsize \mid\;\;:9\\[5pt] x&=&5 \end{array}$
$3(3x-3)=36$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 12&=&(2x-4)\cdot 3&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 12&=&6x-12&&\quad \scriptsize \mid\;+12\\[5pt] 24&=&6x&&\quad \scriptsize\mid\;\;:6\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
$12=(2x-4)$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 90&=&5(3-5x)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 90&=&15-25x&&\quad \scriptsize \mid\;-15\\[5pt] 75&=&-25x&&\quad \scriptsize \mid\;\;:(-25)\\[5pt] x&=&-3 \end{array}$
$90=5(3-5x)$
3.
Löse die Gleichungen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 3x-2(x-6)&=&(x+4)\cdot 5&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 3x-2x+12&=&5x+20&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] x+12&=&5x+20&&\quad \scriptsize\mid\; -5x\\[5pt] -4x+12&=&20&&\quad \scriptsize \mid\; -12\\[5pt] -4x&=&8&&\quad \scriptsize \mid\;\;:(-4)\\[5pt] x&=&-2 \end{array}$
$ 3x-2(x-6)=(x+4) $
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 4x-5(2x-4)&=&2(3x+6)-16&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 4x-10x+20&=&6x+12-16&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -6x+20&=&6x-4&&\quad \scriptsize \mid\; +6x\\[5pt] 20&=&12x-4&&\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 24&=&12x&&\quad \scriptsize \mid\;\;:12\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ 4x-5(2x-4)=2(3x+6)-16 $
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} -8(1-x)+14x&=&8(2x+9)-62&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] -8+8x+14x&=&16x+72-62&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -8+22x&=&16x+10&&\quad \scriptsize \mid\; -16x\\[5pt] -8+6x&=&10&&\quad \scriptsize\mid\; +8\\[5pt] 6x&=&18&&\quad \scriptsize \mid\;\;:6\\[5pt] x&=&3 \end{array}$
$ -8(1-x)+14x=… $
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 2x-(9+3x)\cdot 3&=&5(2x+16)-5&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 2x-27-9x&=&10x+80-5&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -7x-27&=&10x+75&&\quad \scriptsize \mid\; +7x\\[5pt] -27&=&17x+75&&\quad \scriptsize \mid\; -75\\[5pt] -102&=&17x&&\quad \scriptsize \mid\;\;:17\\[5pt] x&=&-6 \end{array}$
$ 2x-(9+3x)\cdot 3=…$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} (11+13x)\cdot 2&=&6(9-2x)+6&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 22+26x&=&54-12x+6&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 22+26x&=&60-12x&&\quad \scriptsize \mid\; +12x\\[5pt] 22+38x&=&60&&\quad \scriptsize \mid\; -22\\[5pt] 38x&=&38&&\quad \scriptsize\mid\;\;:38\\[5pt] x&=&1 \end{array}$
$ (11+13x)\cdot 2=6(9-2x)+6 $
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 8x+31-2(6-x)&=&5(4-2x)+39&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 8x+31-12+2x&=&20-10x+39&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 10x+19&=&59-10x&&\quad \scriptsize \mid\; +10x\\[5pt] 20x+19&=&59&&\quad \scriptsize\mid\; -19\\[5pt] 20x&=&40&&\quad \scriptsize \mid\;\;:20\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ 8x+31-2(6-x)=… $
4.
Löse die Gleichungen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 2x-(21+x)-16&=&-42-3(23+6x)-8(-x-12)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 2x-21-x-16&=&-42-69-18x+8x+96&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] x-37&=&-15-10x&&\quad \scriptsize \mid\; +10x\\[5pt] 11x-37&=&-15&&\quad \scriptsize \mid\; +37\\[5pt] 11x&=&22&&\quad \scriptsize \mid\;\;:11\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ 2x-(21+x)-16=… $
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} -25(2x+1)+48&=&14(11-3x)+41-2(3x-16)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] -50x-25+48&=&154-42x+41-6x+32&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -50x+23&=&227-48x&&\quad \scriptsize \mid\; +48x\\[5pt] -2x+23&=&227&&\quad \scriptsize \mid\; -23\\[5pt] -2x&=&204&&\quad \scriptsize\mid\;\;:(-2)\\[5pt] x&=&-102 \end{array}$
$ -25(2x+1)+48=… $
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 23(5x+4)-15&=&-12(3x+5)-133+(x-6)\cdot 4&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 115x+92-15&=&-36x-60-133+4x-24&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 115x+77&=&-32x-217&&\quad \scriptsize\mid\; +32x\\[5pt] 147x+77&=&-217&&\quad \scriptsize \mid\; -77\\[5pt] 147x&=&-294&&\quad \scriptsize \mid\;\;:147\\[5pt] x&=&-2 \end{array}$
$ 23(5x+4)-15=… $
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 15x+(36-2x)-5&=&-22-3(9x-13)+214&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 15x+36-2x-5&=&-22-27x+39+214&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 13x+31&=&-27x+231&&\quad \scriptsize \mid\; +27x\\[5pt] 40x+31&=&231&&\quad \scriptsize\mid\; -31\\[5pt] 40x&=&200&&\quad \scriptsize\mid\;\;:40\\[5pt] x&=&5 \end{array}$
$ 15x+(36-2x)-5=… $
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 33+4(9x-3)-68+2(6x+2)&=&33x-10+12(16-5x)&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 33+36x-12-68+12x+4&=&33x-10+192-60x&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -43+48x&=&-27x+182&&\quad \scriptsize \mid\; +27x\\[5pt] -43+75x&=&182&&\quad \scriptsize \mid\; +43\\[5pt] 75x&=&225&&\quad \scriptsize \mid\;\;:75\\[5pt] x&=&3 \end{array}$
$ 33+4(9x-3)-68+2(6x+2)= $
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} -(22x-13)+45-x+16x&=&3(3x+6)-91-(5x+3)\cdot 7&&\quad \scriptsize{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] -22x+13+45-x+16x&=&9x+18-91-35x-21&&\quad \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] -7x+58&=&-26x-94&&\quad \scriptsize \mid\; +26x\\[5pt] 19x+58&=&-94&&\quad \scriptsize \mid\; -58\\[5pt] 19x&=&-152&&\quad \scriptsize \mid\;\;:19\\[5pt] x&=&-8 \end{array}$
$ -(22x-13)+45-x+16x=… $
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