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Modellieren

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Bei Gleichungen in Zahlenrätseln kannst du den Text der Aufgabe in die Sprache der Mathematik übersetzen und eine Gleichung aufstellen. Die unbekannte Zahl entspricht dann einer Variablen, du kannst sie zum Beispiel $x$ nennen.
Bei Sach- und Textaufgaben kannst du genauso vorgehen.

Beispiele

    1. Zum Doppelten einer unbekannten Zahl addierst du 20, und das ist gleich der Differenz der unbekannten Zahl und 5.
    linke Seite der Gleichung:
    „Zum Doppelten einer unbekannten Zahl“ $2x$
    „addierst du 20“ $+20$
    „und das ist gleich“ $=$
    rechte Seite der Gleichung:
    „Differenz aus der unbekannten Zahl“ $x$
    „und 5“ $-5$
    Gleichung:
    $\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2x+20&=&x-5&& \mid -x\\[5pt] x+20&=&-5&& \mid -20\\[5pt] x&=&-25 \end{array}$
    2. Für eine Spendenaktion sammeln Melanie, Oliver und Jonas in der Fußgängerzone insgesamt 315€. Melanie hat 31€ weniger in seiner Sammelbüchse als Oliver. Jonas hat 13€ mehr in seiner Sammelbüchse als Oliver. Die Variable $x$ gibt das gesammelte Geld von Oliver in € an.
    Oliver Melanie Jonas Gesamt
    $x$ $x-31$ $x+13$ $315$
    $\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+(x-31)+(x+13)&=&315&& \scriptsize{\text{Klammern auflösen}}\\[5pt] x+x-31+x+13&=&315&& \scriptsize{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-18&=&315&& \mid\; \scriptsize{+18}\\[5pt] 3x&=&333&& \mid \;\scriptsize{:3}\\[5pt] x&=&111 \end{array}$
    $ x+(x-31)+(x+13) = 315 $
    $\begin{array}{lll} \text{Oliver:}&& 111€\\[5pt] \text{Melanie:}&& 111€- 31€= 80€\\[5pt] \text{Jonas:}&& 111€+ 13€= 124€\\[5pt] \end{array}$
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Aufgaben
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1. Löse die Zahlenrätsel.
a) Wenn du zu einer Zahl die Hälfte von 16 addierst, so erhältst du das Dreifache der Zahl.
b) Wenn du 24 von einer halbierten Zahl subtrahierst, erhältst du die Differenz aus der Zahl und 54.
c) Wenn man zum Fünffachen einer Zahl 4 addiert, bekommt man das Sechsfache der Zahl vermindert um 8.
d) Subtrahiert man von 120 das Zehnfache einer Zahl und addiert dann das Fünffache der Zahl, so erhält man die Differenz aus der Zahl und 15.
e) Wenn du zum vierten Teil einer Zahl 14 addierst, erhältst du das Dreifache einer Zahl vermindert um 8.
f) Addiert man zu 45 den dritten Teil einer Zahl, so erhält man das Produkt aus 7 und 9.
2. Gib die Lösung an.
a) Ein Viertel einer Zahl addiert mit 0,5 ergibt zusammen ebenso viel, wie drei Achtel dieser Zahl vermindert um 12.
b) Wenn du 8 um sechs Neuntel einer Zahl verminderst, so erhältst du ebenso viel, wie wenn du 6 mit einem Drittel von dieser Zahl addierst.
c) Ein Viertel einer Zahl und ein Sechstel einer Zahl ergeben zusammen genauso viel, wie sechs Achtel dieser Zahl, vermindert um das Produkt aus 5 und 6.
d) Subtrahiert man von dem Produkt aus 2 und 3 den dritten Teil einer Zahl, so erhält man ebenso viel, wie wenn man zum Doppelten dieser Zahl zwei Zwölftel addiert.
3. Löse die Zahlenrätsel.
a) Wenn du eine Zahl um drei Viertel verminderst, erhältst du die Differenz aus dem Dreifachen dieser Zahl und 7.
b) Addiert man zum zweiten Teil einer Zahl 6, erhält man um 7 weniger als das Dreifache dieser Zahl.
c) Wenn du die Summe von dem Doppelten einer Zahl und 4 mit 3 multiplizierst, erhältst du ebenso viel, wie wenn du neun Viertel mit der Summe aus dem Vierfachen einer Zahl und 6 multiplizierst.
d) Dividiert man die Differenz aus dem Achtfachen einer Zahl und 12 durch 4 und addiert dazu 3, erhält man ebenso viel, wie wenn man die Differenz aus dem Fünfzehnfachen einer Zahl und 9 mit zwei Drittel multipliziert.
4. Übersetze die Sachaufgaben in die Sprache der Mathematik und löse sie.
a)  Bei einer Erstaufführung in einem Musical wurden insgesamt $820$ Karten verkauft. Von den Parkettplätzen wurden $102$ Karten mehr verkauft als von den Logenplätzen. Von den Rangplätzen wurden $140$ Karten weniger verkauft als von den Logenplätzen. Wie viele Karten wurden jeweils verkauft?
b)  Auf einem Weihnachtsmarkt verkauften drei achte Klassen Kuchen für einen wohltätigen Zweck. Sie haben insgesamt $705$€ eingenommen. Die Klasse 8c konnte $20$€ mehr einnehmen als die Klasse 8a. Die Klasse 8b hat $35$€ weniger eingenommen wie die Klasse 8a. Wie viel Geld hat jede Klasse eingenommen?
c)  Ein Bauer besitzt $5.000$ m2 Land. Das Erdbeerfeld ist $66$ m2 kleiner als das Getreidefeld. Das Maisfeld ist $206$ m2 größer als das Getreidefeld. Gib die Größe aller Felder an.
d)  Rebecca besitzt drei verschiedene Bankkonten. Insgesamt hat sie $10.450$€ angespart. Dieses Geld ist auf den drei Konten verteilt. Auf Konto A befinden sich $614$€ mehr als auf Konto B. Auf Konto C befinden sich $2.164$€ weniger als auf Konto B. Wie viel Geld befindet sich auf jedem der drei Konten?
e)  Bei einer Stadtrundfahrt in Berlin saßen bei Beginn der Fahrt achtmal soviel Frauen wie Männer im Bus. Am Brandenburger Tor sind $8$ Frauen ausgestiegen und $2$ Männer eingestiegen. Damit betrug die Anzahl der Frauen nur noch das Doppelte der Anzahl der Männer. Wie viele Frauen und wie viele Männer saßen zu Beginn der Stadtrundfahrt in dem Bus?
f)  Ein kleine Gemeinde sammelt Spenden für die Unterstützung der Sanierung des Pausenhofes der Hauptschule. Herr Maier bringt $115$€ weniger Spenden zusammen als Frau Bayer, Herr Kimmig sammelt $74$€ mehr als Frau Bayer. Insgesamt übergebend sie der Hauptschule $850$€ an Spendengeldern. Wie viel Euro hat jeder eingesammelt?
g)  Das Erbe ein älteren Frau wird auf $3$ Familien verteilt. Insgesamt erben die Familien $680.000$€. Familie Bähr erhält $44.900$€ weniger vom Erbe als Familie Zink. Die Familie Junker erbt $100.000$€ mehr als Familie Zink. Wie viel Geld erhält jede Familie?
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Lösungen
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1. Löse die Zahlentätsel
a) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Addierst du zu einer Zahl“ $x\;+$
„…die Hälfte von 16“ $x+8$
„…so erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…das Dreifache der Zahl“ $3x$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+8&=&3x&& \mid\;-x\\[5pt] 8&=&2x&& \mid\;:2\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
b) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du 24“ $24$
„…von einer halbierten Zahl subtrahierst“ $0,5x-24$
„…so erhältst du…“ $=$
„Wenn du 24“ $24$
„…von einer halbierten
Zahl subtrahierst“ $0,5x-24$
„…so erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…die Differenz aus der Zahl“ $x\;-$
„…und 54“ $x-54$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 0,5x-24&=&x-54&& \mid\;-x\\[5pt] -0,5x-24&=&-54&& \mid\;+24\\[5pt] -0,5x&=&-30&& \mid\;:(-0,5)\\[5pt] x&=&60 \end{array}$
$ 0,5x-24 = x-54 $
c) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du zum Fünffachen einer Zahl“ $5x$
„…4 addiert“ $5x+4$
„…bekommst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…das Sechsfache der Zahl“ $6x$
„…vermindert um 8“ $6x-8$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 5x+4&=&6x-8&& \mid\;-5x\\[5pt] 4&=&x-8&& \mid\;+8\\[5pt] x&=&12 \end{array}$
d) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Subtrahierst du von 120“ $120\;-$
„…das Zehnfache einer Zahl“ $120-10x$
„…addierst du dann das Fünffache der Zahl“ $120-10x+5x$
„…so erhältst du…“ $=$
„Subtrahierst du von 120“ $120\;-$
„…das Zehnfache einer Zahl“ $120-10x$
„…addierst du dann das $120-10x$
Fünffache der Zahl“ $+5x$
„…so erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…die Differenz aus der Zahl“ $x\;-$
„…und 15“ $x-15$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 120-10x+5x&=&x-15&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 120-5x&=&x-15&& \mid\;+5x\\[5pt] 120&=&6x-15&& \mid\;+15\\[5pt] 135&=&6x&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&22,5 \end{array}$
$ 120-10x+ … $
e) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du zum vierten Teil einer Zahl“ $\dfrac{1}{4}x$
„…14 addierst“ $\dfrac{1}{4}x+14$
„…erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…das Dreifache einer Zahl“ $3x$
„…vermindert um 8“ $3x-8$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{4}x+14&=&3x-8&& \mid\;\cdot 4\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}x+14\cdot 4&=&3x\cdot 4-8\cdot 4&&\small{\text{kürzen}}\\[5pt] x+56&=&12x-32&& \mid\;-x\\[5pt] 56&=&11x-32&& \mid\;+32\\[5pt] 88&=&11x&& \mid\;:11\\[5pt] x&=&8 \end{array}$
$ \dfrac{1}{4}x+14 = 3x-8 $
f) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„…Addierst du zu 45“ $45\;+$
„…den dritten Teil einer Zahl“ $45+\dfrac{1}{3}x$
„…so erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…Produkt aus 7 und 9“ $63$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 45+\dfrac{1}{3}x&=&63&& \mid\;\cdot 3\\[5pt] 45\cdot 3+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{3}}x&=&63\cdot 3&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 135+x&=&189&& \mid\;-135\\[5pt] x&=&54 \end{array}$
$ 45+\dfrac{1}{3}x = 63 $
2. Gib die Lösung an.
a) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Ein Viertel einer Zahl“ $\dfrac{1}{4}x$
„…addiert mit 0,5“ $\dfrac{1}{4}x+0,5$
„…ergibt zusammen ebenso viel…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…wie drei Achtel dieser Zahl“ $\dfrac{3}{8}x$
„…vermindert um 12“ $\dfrac{3}{8}x-12$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{4}x+0,5&=&\dfrac{3}{8}x-12&& \mid\;\cdot 8\;\scriptsize \text{(Hauptnenner)}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}4}x+0,5\cdot 8&=&\dfrac{3\cdot \color{#87c800} {8}}{\color{#87c800}8}x-12\cdot 8&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 2x+4&=&3x-96&& \mid\;-2x\\[5pt] 4&=&x-96&& \mid\;+96\\[5pt] x&=&100& \end{array}$
$ \dfrac{1}{4}x+0,5 = \dfrac{3}{8}x-12 $
b) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du 8“ $8$
„…um sechs Neuntel einer Zahl verminderst“ $8-\dfrac{6}{9}x$
„..erhältst du ebenso viel…“ =
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…wenn du 6“ $6$
„… mit ein Drittel von dieser Zahl addierst“ $6+\dfrac{1}{3}x$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 8-\dfrac{6}{9}x&=&6+\dfrac{1}{3}x&& \mid\;\cdot 9\;\scriptsize \text{(Hauptnenner)}\\[5pt] 8\cdot 9-\dfrac{6\cdot \color{#87c800}{9}}{\color{#87c800}9}x&=&6\cdot 9+\dfrac{1\cdot \color{#87c800} {9}}{\color{#87c800}3}x&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 72-6x&=&54+3x&& \mid\;+6x\\[5pt] 72&=&54+9x&& \mid\;-54\\[5pt] 18&=&9x&& \mid\;:9\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
$ 8-\dfrac{6}{9}x = 6+\dfrac{1}{3}x $
c) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Ein Viertel einer Zahl“ $\dfrac{1}{4}x$
„…und ein Sechstel einer Zahl“ $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{6}x$
„..ergeben zusammen genauso viel…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…sechs Achtel dieser Zahl“ $\dfrac{6}{8}x$
„…vermindert um das Produkt aus 5 und 6“ $\dfrac{6}{8}x-30$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{6}x&=&\dfrac{6}{8}x-30&& \mid\;\cdot 24\;\scriptsize \text{(Hauptnenner)}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{24}}{\color{#87c800}4}x+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{24}}{\color{#87c800}6}x&=&\dfrac{6\cdot \color{#87c800}{24}}{\color{#87c800}8}x-30\cdot 24&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 6x+4x&=&18x-720&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 10x&=&18x-720&& \mid\;-18x\\[5pt] -8x&=&-720&& \mid\;:(-8)\\[5pt] x&=&90 \end{array}$
$ \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{6}x = \dfrac{6}{8}x-30 $
d) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Subtrahierst du von dem Produkt aus 2 und 3“ $6\;-$
„…den dritten Teil einer Zahl“ $6-\dfrac{1}{3}x$
„..so erhälst du ebenso viel…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…zum Doppelten dieser Zahl“ $2x$
„…zwei Zwölftel addiert“ $2x+\dfrac{2}{12}$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 6-\dfrac{1}{3}x&=&2x+\dfrac{\color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{12}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 6-\dfrac{1}{3}x&=&2x+\dfrac{1}{6}&& \mid\;\cdot 6\;\scriptsize \text{(Hauptnenner)}\\[5pt] 6\cdot 6-\dfrac{1\cdot \color{#87c800}6}{\color{#87c800}3}x&=&2x\cdot 6+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}6}{\color{#87c800}6}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 36-2x&=&12x+1&& \mid\;+2x\\[5pt] 36&=&14x+1&& \mid\;-1\\[5pt] 35&=&14x&& \mid\;:14\\[5pt] x&=&2,5 \end{array}$
$ 6-\dfrac{1}{3}x = 2x+\dfrac{\color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{12}} $
3. Löse die Zahlenrätsel
a) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Wenn du eine Zahl“ $x$
„…um drei Viertel verminderst“ $x-\dfrac{3}{4}$
„…erhältst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…Differenz aus dem Dreifachen dieser Zahl“ $3x-$
„…und 7“ $3x-7$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x-\dfrac{3}{4}&=&3x-7&& \mid\;\cdot 4\\[5pt] x\cdot 4-\dfrac{3\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}4}&=&3x\cdot 4-7\cdot 4&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 4x-3&=&12x-28&& \mid\;-4x\\[5pt] -3&=&8x-28&& \mid\;+28\\[5pt] 25&=&8x&& \mid\;:8\\[5pt] x&=&3,125& \end{array}$
$ x-\dfrac{3}{4} = 3x-7 $
b) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„Addierst du zum zweiten Teil einer Zahl“ $\dfrac{1}{2}x\;+$
„…6“ $\dfrac{1}{2}x+6$
„…erhälst du…“ $=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…7 weniger als“ $-\;7$
„…das Dreifache dieser Zahl“ $3x-7$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{2}x+6&=&3x-7&& \mid\;\cdot 2\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}2}x+6 \cdot 2&=&3x\cdot 2-7\cdot 2&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x+12&=&6x-14&& \mid\;-x\\[5pt] 12&=&5x-14&& \mid\;+14\\[5pt] 26&=&5x&& \mid\;:5\\[5pt] x&=&5,2& \end{array}$
$ \dfrac{1}{2}x+6 = 3x-7 $
c) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„die Summe von dem Doppelten einer Zahl und 4“ $\qquad (2x+4)$
„…mit 3 multiplizierst“ $\qquad (2x+4)\cdot 3$
„…erhältst du ebenso viel…“ $\qquad =$
„die Summe von dem $\qquad (2x+4)$
Doppelten einer Zahl und 4“
„…mit 3 multiplizierst“ $\qquad (2x+4)\cdot 3$
„…erhältst du ebenso viel…“ $\qquad =$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…neun Viertel“ $\qquad \dfrac{9}{4}$
„…mit der Summe aus dem Vierfachen einer Zahl und 6 multiplizierst“ $\qquad \dfrac{9}{4}(4x+6)$
„…neun Viertel“ $\qquad \dfrac{9}{4}$
„…mit der Summe
aus dem Vierfachen einer Zahl
und 6 multiplizierst“ $\qquad \dfrac{9}{4}(4x+6)$
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (2x+4)\cdot 3&=&\dfrac{9}{4}(4x+6)&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] 6x+12&=&\dfrac{9\cdot \color{#87c800}4}{\color{#87c800}4}x+\dfrac{9\cdot \color{#87c800}6}{\color{#87c800}4}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 6x+12&=&9x+\dfrac{27}{2}&& \mid\;\cdot 2\\[5pt] 6x\cdot 2+ 12\cdot 2&=&9x\cdot 2+\dfrac{27\cdot \color{#87c800}2}{\color{#87c800}2}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 12x+24&=&18x+27&& \mid\;-12x\\[5pt] 24&=&6x+27&& \mid\;-27\\[5pt] -3&=&6x&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&-0,5 \end{array}$
$ (2x+4)\cdot 3 = \dfrac{9}{4}(4x+6) $
d) 1. Schritt: linke Seite der Gleichung:
„die Differenz aus dem Achtfachen einer Zahl und 12“ $\qquad (8x-12)$
„…dividiert durch 4…“ $\qquad (8x-12)\cdot \dfrac{1}{4}$
„…und addierst dazu 3“ $\qquad(8x-12)\cdot \dfrac{1}{4}+3$
„…erhälst du ebenso viel…“ $\qquad=$
„die Differenz aus dem Achtfachen einer Zahl und 12“ $\qquad (8x-12)$
„…dividiert durch 4…“ $\qquad (8x-12)$
$\cdot \dfrac{1}{4}$
„…und addierst dazu 3“ $\qquad(8x-12)$
$\cdot \dfrac{1}{4}+3$
„…erhälst du ebenso viel…“ $\qquad=$
2. Schritt: rechte Seite der Gleichung:
„…die Differenz aus dem Fünfzehnfachen einer Zahl und 9“ $\qquad (15x-9)$
„…mit zwei Drittel multipliziert“ $\qquad (15x-9)\cdot \dfrac{2}{3} $
„…die Differenz aus
dem Fünfzehnfachen einer
Zahl und 9“ $\qquad (15x-9)$
„…mit zwei Drittel
multipliziert“ $\qquad (15x-9)\cdot \frac{2}{3} $
$\blacktriangleright$ Gleichung:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (8x-12)\cdot \dfrac{1}{4}+3&=&(15x-9)\cdot \dfrac{2}{3}&& \small{\text{ausmultiplizieren}}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}8}{\color{#87c800}4}x-\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{12}}{\color{#87c800}4}+3&=&\dfrac{\color{#87c800}{15}\cdot 2}{\color{#87c800}3}x-\dfrac{\color{#87c800}9^{3}\cdot 2}{\color{#87c800}3}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 2x&=&10x-6&& \mid\;-10x\\[5pt] -8x&=&-6&& \mid\;:(-8)\\[5pt] x&=&0,75 \end{array}$
$ (8x-12)\cdot \dfrac{1}{4}+3 = … $
4.  Übersetze die Sachaufgaben in die Sprache der Mathematik und löse sie.
a)  1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Logenplätze:
$x$
Parkettplätze:
$x+102$
$=820$
$=820$
Rangplätze:
$x-140$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+x+102+x-140&=&820&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-38&=&820&& \mid\; +38\\[5pt] 3x&=&858&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&286 \end{array}$
$ x+x+102+x-140 = 820 $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Logeplätze: $286$ $=286$ Karten
Parkettplätze: $286+102$ $=388$ Karten
Rangplätze: $286-140$ $=146$ Karten
b)  1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Klasse 8a:
$x$
Klasse 8b:
$x-35$
$=705$
Klasse 8c:
$x+20$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+x-35+x+20&=&705&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-15&=&705&& \mid\; +15\\[5pt] 3x&=&720&& \mid\; :3\\[5pt] x&=&240 \end{array}$
$ x+x-35+x+20 = 705 $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Klasse 8a:
$240$
$=240$€
Klasse 8b:
$240-35$
$=205$€
Klasse 8c:
$240+20$
$=260$€
c)  1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Getreidefeld:
$x$
Erdbeerfeld:
$x-66$
$=5.000$
Maisfeld:
$x+206$
Getreidefeld:
$x$
Erdbeerfeld:
$x-66$
$=5.000$
Maisfeld:
$x+206$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+x-66+x+206&=&5.000&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x+140&=&5.000&& \mid\; -140\\[5pt] 3x&=&4.860&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&1.620 \end{array}$
$ x+x-66+x+206 = 5.000 $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Getreidefeld:
$1.620$
$=1.620\,\text{m}^2$
Erdbeerfeld
$1.620-66$
$=1.554\,\text{m}^2$
Maisfeld
$1.620+206$
$=1.826\,\text{m}^2$
Getreidefeld:
$1.620$
$=1.620\,\text{m}^2$
Erdbeerfeld
$1.620-66$
$=1.554\,\text{m}^2$
Maisfeld
$1.620+206$
$=1.826\,\text{m}^2$
d)  1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Konto A:
$x+614$
Konto B:
$x$
$=10.450$
Konto C:
$x-2.164$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x+614+x+x-2.164&=&10.450&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-1.550&=&10.450&& \mid\; +1.550\\[5pt] 3x&=&12.000&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&4.000 \end{array}$
$ x+614+x+x-2.164 = … $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Konto A:
$4.000+614$
$=4.614$€
Konto B
$4.000$
$=4.000$€
Konto C
$4.000-2.164$
$=1.836$€
e)  1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
linke Seite der Gleichung:
„…achtmal soviele Frauen“ $8x$
„…sind $8$ Frauen ausgestiegen“ $8x-8$
rechte Seite der Gleichung:
„…und $2$ Männer eingestiegen“ $x+2$
„…Anzal der Frauen nur noch das doppelte von der Anzahl der Männer“ $2(x+2)$
Tipp:
Man könnte erst meinen, dass man die Seite der Frauen mit 2 multiplizieren muss, da am Ende doppelt soviele Frauen wie Männer im Bus sitzen. Gerade aus diesem Grund musst du jedoch die Seite der Männer mit 2 multiplizieren, da die Waage sonst nicht im Gleichgewicht ist. $x$ steht für die Männer, z.B. bedeutet achtmal soviele Frauen (8$x$) nichts anders als: Achtmal soviele Frauen wie Männer.
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 8x-8&=&2(x+2)&& \small{\text{ausmulti-}}\\[5pt] &&&&\small{\text{-plizieren}}\\[5pt] 8x-8&=&2x+4&& \mid\; -2x\\[5pt] 6x-8&=&4&& \mid\;\ +8\\[5pt] 6x&=&12&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Anzahl Männer:
$2$
$=2$
Anzahl Frauen:
$2 \cdot 8$
$=16$
f)  1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Herr Maier:
$x-115$
Herr Bayer:
$x$
$=850$
Herr Kimmig:
$x+74$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x-115+x+x+74&=&850&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x-41&=&850&& \mid\; +41\\[5pt] 3x&=&891&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&297 \end{array}$
$ x-115+x+x+74 = 850 $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Herr Maier
$297-115$
$=182$€
Herr Bayer
$297$
$=297$€
Herr Kimmig
$297+74$
$=371$€
g)  1. Schritt: Text ins mathematische übersetzen
Familie Bähr:
$x-44.900$
Familie Zink
$x$
$=680.000$
Familie Junker:
$x+100.000$
2. Schritt: Gleichung lösen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x-44.900+x+x+100.000&=&680.000&& \small{\text{zusammenfassen}}\\[5pt] 3x+55.100&=&680.000&& \mid\; -55.100\\[5pt] 3x&=&624.900&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&208.300 \end{array}$
$ x-44.900+x+x+ … $
3. Schritt: Fragestellung beantworten
Familie Bähr:
$208.300-44.900$
$=163.400$€
Familie Zink:
$208.300$
$=208.300$€
Familie Junker:
$208.300+100.000$
$=308.300$€
Familie Bähr:
$208.300-44.900$
$=163.400$€
Familie Zink:
$208.300$
$=208.300$€
Familie Junker:
$208.300+100.000$
$=308.300$€
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