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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Grundkurs
Trigonometrie
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Allgemeines Vieleck
Berechnungen in Körpe...
Streckenzug
Raumdiagonale
Funktionswerte spezie...
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Einführung
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Daten und Zufall
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Säulendiagramm
Balkendiagramm
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Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
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Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Zinseszins

Allgemeines Vieleck

Spickzettel
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Hast du ein allgemeines Vieleck gegeben, kannst du die Seitenlängen bzw. die Winkel mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen berechnen, indem du das Vieleck in rechtwinklige Dreiecke unterteilst.
Zur Erinnerung:
  • $\sin\alpha$ $=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\cos\alpha$ $=\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\tan\alpha$ $=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$
Tipp: Dies gilt nicht nur für allgemeine Vielecke, sondern auch für spezielle Vierecke, wie zum Beispiel für ein Trapez.

Beispiel:

Berechne die Länge der Seite $a$.
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Aufgaben
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1.
Berechne die gesuchten Winkel und Strecken. Runde auf eine Nachkommastelle.
a)
b)
c)
2.
Berechne den Umfang $\boldsymbol{U}$ und den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ des Trapezes.
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Lösungen
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1.
Berechne die gesuchten Winkel und Strecken. Runde auf eine Nachkommastelle.
a)
Hier hast du kein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Um die gesuchte Strecke $b$ und den Winkel $\alpha$ berechnen zu können, kannst du das Dreieck jedoch in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen. Zeichne dazu die Höhe $h$ ein.
Du kannst so vorgehen:
  1. $\quad$Berechne die Höhe $h$
  2. $\quad$Berechne die Länge der Strecke $c$
  3. $\quad$Berechne die Länge der Strecke $d$
  4. $\quad$Berechne den Winkel $\alpha$
  5. $\quad$Berechne die Länge der Strecke $b$
1. Schritt: Berechne die Höhe $\boldsymbol{h}$
Hier willst du die Gegenkathete des gegebenen Winkels berechnen. Außer dem Winkel hast du die Länge der Hypotenuse gegeben. Hier brauchst du also den Sinus.
$\begin{array}[t]{rll} \sin30^{\circ}&=&\dfrac{h}{3\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot3\,\text{cm} \\[5pt] \sin30^{\circ}\cdot3\,\text{cm}&=& h\\[5pt] h&=& 1,5\,\text{cm} \end{array}$
2. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{c}$
Hier willst du die Ankathete des gegebenen Winkels berechnen. Außer dem Winkel hast du die Länge der Hypotenuse gegeben. Hier brauchst du also den Kosinus.
$\begin{array}[t]{rll} \cos30^{\circ}&=&\dfrac{c}{3\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot3\,\text{cm} \\[5pt] \cos30^{\circ}\cdot3\,\text{cm}&=& c\\[5pt] c&=& 2,6\,\text{cm} \end{array}$
3. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{d}$
Die Länge der Strecke $d$ erhältst du, indem du von der gesamten Länge von $4\,\text{cm}$ die Länge der Strecke $c$ subtrahierst.
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 4\,\text{cm}-2,6\,\text{cm} \\[5pt] d&=& 1,4\,\text{cm} \end{array}$
4. Schritt: Berechne die Winkel $\boldsymbol{\alpha}$
In dem rechten Dreieck hast du nun die Höhe $h$ (Gegenkathete) und die Länge der Strecke $d$ (Ankathete) gegeben. Mit dem Tangens kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan\alpha&=& \dfrac{h}{d} \\[5pt] \tan\alpha&=& \dfrac{1,5\,\text{cm}}{1,4\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=& 47,0^{\circ} \end{array}$
5. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{b}$
Die Länge der Strecke $b$ kannst du nun entweder mit dem Sinus oder dem Kosinus berechnen. Außerdem lässt sich $b$ auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Wir verwenden hier den Sinus.
$\begin{array}[t]{rll} \sin47,0^{\circ}&=& \dfrac{h}{b} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot b \\[5pt]\\[5pt] \sin47,0^{\circ}\cdot b &=& h &\quad \scriptsize \mid\; :\sin47,0^{\circ} \\[5pt] b&=& \dfrac{h}{\sin47,0^{\circ}}\\[5pt] b&=& \dfrac{1,5\,\text{cm}}{\sin47,0^{\circ}}\\[5pt] b&=& 2,1\,\text{cm} \end{array}$
$ \sin 47,0^{\circ}= \dfrac{h}{b} $
b)
Hier hast du kein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Um die gesuchte Strecke $b$ und den Winkel $\alpha$ berechnen zu können, kannst du das Dreieck jedoch in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen. Zeichne dazu die Höhe $h$ ein.
Du kannst so vorgehen:
  1. $\quad$Berechne die Höhe $h$
  2. $\quad$Berechne die Länge der Strecke $c$
  3. $\quad$Berechne die Länge der Strecke $d$
  4. $\quad$Berechne den Länge der Strecke $a$
1. Schritt: Berechne die Höhe $\boldsymbol{h}$
Hier willst du die Gegenkathete des gegebenen Winkels berechnen. Außer dem Winkel hast du die Länge der Hypotenuse gegeben. Hier brauchst du also den Sinus.
$\begin{array}[t]{rll} \sin56^{\circ}&=&\dfrac{h}{4\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot4\,\text{cm} \\[5pt] \sin56^{\circ}\cdot4\,\text{cm}&=& h\\[5pt] h&=& 3,3\,\text{cm} \end{array}$
2. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{c}$
Hier willst du die Ankathete des gegebenen Winkels berechnen. Außer dem Winkel hast du die Länge der Hypotenuse gegeben. Hier brauchst du also den Kosinus.
$\begin{array}[t]{rll} \cos56^{\circ}&=&\dfrac{c}{4\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot4\,\text{cm} \\[5pt] \cos56^{\circ}\cdot4\,\text{cm}&=& c\\[5pt] c&=& 2,2\,\text{cm} \end{array}$
3. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{d}$
Die Länge der Strecke $d$ erhältst du, indem du von der gesamten Länge von $5\,\text{cm}$ die Länge der Strecke $c$ subtrahierst.
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 5\,\text{cm}-2,2\,\text{cm} \\[5pt] d&=& 2,8\,\text{cm} \end{array}$
4. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{a}$
Die Länge der Strecke $a$ kannst du nun mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& h^2+d^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a&=& \sqrt{h^2+d^2}\\[5pt] a&=& \sqrt{\left(3,3\,\text{cm}\right)^2+\left(2,8\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] a&=& \sqrt{10,89\,\text{cm}^2+7,84\,\text{cm}^2} \\[5pt] a&=& \sqrt{18,73\,\text{cm}^2} \\[5pt] a&=& 4,3\,\text{cm} \end{array}$
$ a^2 = h^2+d^2 $
c)
Um die fehlenden Strecken zu berechnen, benötigst du den Sinus, Kosinus, Tangens oder den Satz des Pythagoras. Am einfachsten ist es, wenn du die Strecken in alphabetischer Reihenfolge berechnest.
1. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{a}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin45^{\circ}&=&\dfrac{a}{3\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\,\text{cm}\\[5pt] \sin45^{\circ}\cdot3\,\text{cm}&=& a\\[5pt] a&=& 2,1\,\text{cm} \end{array}$
2. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{b}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos45^{\circ}&=&\dfrac{b}{3\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\,\text{cm}\\[5pt] \cos45^{\circ}\cdot3\,\text{cm}&=& b\\[5pt] b&=& 2,1\,\text{cm} \end{array}$
3. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{c}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin30^{\circ}&=&\dfrac{b}{c} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot c\\[5pt] \sin30^{\circ}\cdot c&=& b&\quad \scriptsize \mid\; :\sin30^{\circ}\\[5pt] c&=& \dfrac{b}{\sin30^{\circ}}\\[5pt] c&=& \dfrac{2,1\,\text{cm}}{\sin30^{\circ}}\\[5pt] c&=& 4,2\,\text{cm} \end{array}$
4. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{d}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos30^{\circ}&=&\dfrac{d}{c} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot c\\[5pt] \cos30^{\circ}\cdot c&=& d\\[5pt] d&=& \cos30^{\circ}\cdot4,2\,\text{cm}\\[5pt] d&=& 3,6\,\text{cm} \end{array}$
$ \cos30^{\circ}=\dfrac{d}{c} $
5. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{e}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin52^{\circ}&=&\dfrac{d}{e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot e\\[5pt] \sin52^{\circ}\cdot e&=& d&\quad \scriptsize \mid\; :\sin52^{\circ}\\[5pt] e&=& \dfrac{d}{\sin52^{\circ}}\\[5pt] e&=& \dfrac{3,6\,\text{cm}}{\sin52^{\circ}}\\[5pt] e&=& 4,6\,\text{cm} \end{array}$
6. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{f}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos52^{\circ}&=&\dfrac{f}{e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot e\\[5pt] \cos52^{\circ}\cdot e&=& f\\[5pt] f&=& \cos52^{\circ}\cdot4,6\,\text{cm}\\[5pt] f&=& 2,8\,\text{cm} \end{array}$
$ \cos52^{\circ}=\dfrac{f}{e} $
7. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{g}$
$\begin{array}[t]{rll} g^2&=& a^2+f^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] g&=& \sqrt{a^2+f^2}\\[5pt] g&=& \sqrt{\left(2,1\,\text{cm}\right)^2+\left(2,8\,\text{cm}\right)^2}\\[5pt] g&=& \sqrt{4,41\,\text{cm}^2+7,84\,\text{cm}^2}\\[5pt] g&=& \sqrt{12,25\,\text{cm}^2}\\[5pt] g&=& 3,5\,\text{cm} \end{array}$
$ g^2= a^2+f^2 $
2.
Berechne den Umfang $\boldsymbol{U}$ und den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ des Trapezes.
Den Umfang $U$ eines Trapezes erhältst du, indem du die Seitenlängen addierst. Es gilt:
$U=a+b+c+d$
Der Flächeninhalt $A$ wird wie folgt berechnet:
$A=\frac{1}{2}\cdot(a+c)\cdot h$
Um die Höhe $h$ und die Strecken $c$ und $d$ zu berechnen, kannst du das Trapez mit Hilfe der Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke und ein Rechteck teilen.
Um die Länge der Strecke $c$ berechnen zu können, benötigst du die Strecken $e$ und $f$. Berechne die Längen der Strecken mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen.
1. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{h}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin55^{\circ}&=&\dfrac{h}{8\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot8\,\text{cm} \\[5pt] \sin55^{\circ}\cdot8\,\text{cm} &=& h\\[5pt] h&=& 6,6\,\text{cm} \end{array}$
2. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{d}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin50^{\circ}&=&\dfrac{h}{d} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot d \\[5pt] \sin50^{\circ}\cdot d &=& h&\quad \scriptsize \mid\; :\sin50^{\circ} \\[5pt] d&=& \dfrac{h}{\sin50^{\circ}} \\[5pt] d&=& \dfrac{6,6\,\text{cm}}{\sin50^{\circ}} \\[5pt] d&=& 8,6\,\text{cm} \end{array}$
3. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{e}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos50^{\circ}&=&\dfrac{e}{d} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot d \\[5pt] \cos50^{\circ}\cdot d &=& e \\[5pt] \cos50^{\circ}\cdot 8,6\,\text{cm} &=& e \\[5pt] e&=& 5,5\,\text{cm} \end{array}$
4. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{f}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos55^{\circ}&=&\dfrac{f}{8\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] \cos55^{\circ}\cdot 8\,\text{cm} &=& f \\[5pt] f&=& 4,6\,\text{cm} \end{array}$
5. Schritt: Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{c}$
$\begin{array}[t]{rll} c&=& 13\,\text{cm}-e-f\\[5pt] c&=& 13\,\text{cm}-5,5\,\text{cm}-4,6\,\text{cm}\\[5pt] c&=& 2,9\,\text{cm} \end{array}$
6. Schritt: Berechne den Umfang $\boldsymbol{U}$ und den Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$
$\begin{array}[t]{rll} U&=& a+b+c+d\\[5pt] U&=& 13\,\text{cm}+8\,\text{cm}+2,9\,\text{cm}+8,6\,\text{cm}\\[5pt] U&=& 32,5\,\text{cm} \end{array}$
$ U= a+b+c+d $
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}(a+c)\cdot h\\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}(13\,\text{cm}+2,9\,\text{cm})\cdot 6,6\,\text{cm}\\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}(15,9\,\text{cm})\cdot 6,6\,\text{cm}\\[5pt] A&=& 52,5\,\text{cm}^2 \end{array}$
Das Trapez hat einen Umfang $U=32,5\,\text{cm}$ und einen Flächeninhalt $A$ von $52,5\,\text{cm}^2$.
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