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Berechnungen an Figuren

Spickzettel
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Oftmals kann es vorkommen, dass ein Körper oder eine Figur nicht eindeutig als z.B. Dreieck oder Quader beschrieben werden kann. Deshalb kann es schwierig sein einzelne Größen dieser Figuren zu berechnen. In solchen Fällen hilft es dir, wenn du diese Figuren in einzelne Figuren zerlegen kannst. Überlege dir bei solchen Aufgaben immer, wie du über einfache und eindeutige Figuren, wie z.B. ein rechtwinkliges Dreieck, die gesuchten Größen berechnen kannst.
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
b)
#pyramide#kegel

Aufgabe 1

Ein Quader ist $5\,\text{cm}$ breit, $4\,\text{m}$ hoch und $3\,\text{cm}$ tief.
a)
Berechne den Neigungswinkel $\alpha$ der Raumdiagonalen und ihre Länge.
In dem Quader liegt das Dreieck $ABC$. Punkt $A$ entspricht der Ecke vorne links unten des Quaders. Die Punkte $B$ und $C$ liegen jeweils auf der halben Höhe des Quaders auf den gegenüberliegenden Höhenkanten.
b)
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
c)
Um wieviel Prozent verändert sich der Flächeninhalt des Dreiecks, wenn du die Punkte $B$ und $C$ auf eine Höhe von $1\,\text{cm}$ verschiebst?
#quader#diagonale

Aufgabe 2

Eine quadratische Pyramide hat eine $6\,\text{cm}$ lange Grundseite. Sie ist $4\,\text{cm}$ hoch.
a)
Berechne die Länge einer Seitenkante $s$ der Pyramide und die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante.
Die Spitze der Pyramide wird um $1,5\,\text{cm}$ nach rechts verschoben.
b)
Berechne die Größe der Neigungswinkel der rechten und linken Seitenfläche.

Aufgabe 3

Trigonometrie: Berechnungen an Figuren
Abb. 3: Ein Soldat mit Morgenstern. Eine Darstellung aus dem bamberger Kreuzweg.
Trigonometrie: Berechnungen an Figuren
Abb. 3: Ein Soldat mit Morgenstern. Eine Darstellung aus dem bamberger Kreuzweg.
Wenn wir den Morgenstern des Soldaten aus dem bamberger Kreuzweg nachbauen würden, dann wäre sein Griff ca. $62\,\text{cm}$ lang. Die Kugel am Ende hätte einen Durchmesser von ungefähr $13\,\text{cm}$ und die Spitzen wären $2,5\,\text{cm}$ hoch und genauso breit. Insgesamt sind $19$ Spitzen auf dem Morgenstern angebracht.
a)
Berechne das Volumen des Morgensternkopfes mit den Stacheln.
Durch die Anbringung der Stacheln vergrößert sich die Oberfläche des Morgensternkopfes.
b)
Um wieviel Prozent vergrößert sich die Oberfläche des Morgensterns durch Anbringung der Spitzen im Vergleich zur bloßen Kugel?
#kugel#kegel

Aufgabe 4

Trigonometrie: Berechnungen an Figuren
Abb. 4: Die Glaspyramide, die den Eingang des Louvre darstellt.
Trigonometrie: Berechnungen an Figuren
Abb. 4: Die Glaspyramide, die den Eingang des Louvre darstellt.
a)
Wie lange ist eine Grundseite der Pyramide?
Die Pyramide besteht aus einem Stahlgitter mit $673$ eingelassenen Glasscheiben. Sie ist innen hohl. Eine Glasscheibe besteht dabei aus zwei Scheiben mit einem Hohlraum dazwischen. Das Stahlgerüst hat ein Gewicht von ca. $80\,\text{t}$.
b)
Berechne das Gewicht der Pyramide, wenn du davon ausgehst, dass das verwendete Glas $24,9\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^2}$ wiegt. Du kannst annehmen, dass das Stahlgerüst die Oberfläche der Pyramide nicht nennenswert verkleinert.
Die Pyramide des Louvre hat ein sehr berühmtes Vorbild gehabt, nämlich Achet Chufu oder zu deutsch „Horizont des Cheops“. Du kennst diese Pyramide wahrscheinlich eher unter dem Namen Cheops-Pyramide oder große Pyramide von Gizeh.
Die Pyramiden von Gizeh zählen zu den sieben Weltwundern der Antike. Trotz der Berühmtheit der ägyptischen Baukunst steht die Pyramide des Louvre ihrer Vorlage in Bekanntheit kaum nach.
Die Cheops-Pyramide ist heute noch $138,75\,\text{m}$ groß und hat eine Seitenlänge von $230,33\,\text{m}$.
c)
Überlege dir eine geeignete Methode zu überprüfen, wie gut der Architekt Ieoh Ming Pei die Glaspyramide des Louvre der Cheops-Pyramide nachempfunden hat und beurteile seine Arbeit.
#pyramide
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
© 2017 – SchulLV.
[3]
https://goo.gl/hFVGIy – Station 3 Soldat mit Morgenstern Bamberger Kreuzweg, Johannes Otto Först, CC BY-SA 3.0.
[4]
https://goo.gl/12Fl3y – Pyramide du Louvre, scarletgreen, CC BY 2.0.
[5]
https://goo.gl/FyvXe5 – Kheops-Pyramid, Nina, CC BY-SA 3.0.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Wenn du keine Skizze gegeben hast, dann empfiehlt es sich bei diesen Aufgaben häufig, dir eine eigene Skizze anzufertigen. Das hilft dir zum besseren Verständnis und macht die Aufgabe anschaulicher.
In der Abbildung der Aufgabenstellung siehst du zwei rechtwinklige Dreiecke und die beiden gesuchten Winkel $\alpha$ und $\beta$ eingezeichnet. Überlege dir, welche Angaben der beiden Dreiecke du kennst und wie du die Größe der beiden Winkel berechnen kannst.
Du kennst bereits die Länge der Seitenkante und die Höhe der Pyramide. Damit kannst du die Größe des Winkels $\alpha$ mithilfe des Sinus berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{7\,\text{cm}}{7,84\,\text{cm}} \\[5pt] \sin(\alpha)&=&0,8929 &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1}\\[5pt] \alpha&=&63°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=63° $
Der Neigungswinkel der Seitenkante $\alpha$ ist $63°$ groß. Um die Größe des Winkels $\beta$ zu berechnen, benötigst du entweder die Länge der Höhe der Seitenfläche oder die Länge der halben Grundseite.
Die halbe Grundseite ist $5\,\text{cm}:2=2,5\,\text{cm}$ lang. Berechne nun die Größe des Winkels $\beta$ mithilfe des Tangens.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \tan(\beta)&=&\dfrac{7\,\text{cm}}{2,5\,\text{cm}}\\[5pt] \tan(\beta)&=&2,8 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1}\\[5pt] \beta&=&70° \\[5pt] \end{array}$
$ \beta=70° $
Der Neigungswinkel der Seitenfläche $\beta$ ist $70°$ groß.
b)
Du kennst die Größe des Winkels $\alpha$, der im rechtwinkligen Dreieck in der Abbildung in der Aufgabenstellung eingezeichnet ist. Du willst den Radius $r$, die Länge der Seitenkante $s$ und den Neigungswinkel der Seitenkante $\beta$ berechnen. Du kannst sehen, wo $\beta$ liegt. Welche Seite des Dreiecks entspricht der gegebenen Höhe, welche dem Radius und welche der Seitenkante?
Die Seitenkante $s$ ist die Hypotenuse des Dreiecks. Die Höhe ist die Ankathete des Winkels $\alpha$. Berechne die Länge der Seitenkante $s$ mithilfe des Cosinus.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{h}{s} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \cos(30°)&=&\dfrac{8\,\text{cm}}{s} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] 0,8660\cdot s&=&8\,\text{cm}&\quad \scriptsize \mid\;: 0,8660 \\[5pt] s&=&9,24\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ s=9,24\,\text{cm} $
Die Seitenkante $s$ ist $9,24\,\text{cm}$ lang. Der Radius entspricht der Gegenkathete des Winkels $\alpha$. Du kannst seine Länge mithilfe des Tangens berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{r}{h} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \tan(30°)&=&\dfrac{r}{8\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] 0,5774\cdot 8\,\text{cm}&=&r\\[5pt] 4,62\,\text{cm}&=&r\\[5pt] \end{array}$
$ r=4,62\,\text{cm} $
Der Radius ist $4,62\,\text{cm}$ lang. Die Größe des Winkels $\beta$ kannst du mithilfe der bisher berechneten Längenangaben berechnen. Alternativ kannst du ihn auch über die Winkelsumme in einem Dreieck bestimmen. Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ergibt $180°$. Du weißt bereits, dass $\alpha=30°$ und $\gamma=90°$ ist. Wenn du diese beiden Winkelmaße von den $180°$ abziehst, dann erhältst du für den Winkel $\beta$ eine Größe von $180°-90°-30°=60°$.
#tangens#rechtwinkligesdreieck#kosinus#sinus#pyramide

Aufgabe 1

a)
Berechne zuerst die Länge der Diagonalen $d$ der Grundfläche mithilfe des Satz des Pythagoras.
$\begin{array}[t]{rll} d^2&=&b^2+t^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] d^2&=&(5\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2\\[5pt] d^2&=&25\,\text{cm}^2+9\,\text{cm}^2\\[5pt] d^2&=&34\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] d&=&5,83\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ d=5,83\,\text{cm} $
Die Diagonale der Grundfläche ist $5,83\,\text{cm}$ lang. Mithilfe des Satz des Pythagoras kannst du nun auch die Länge der Raumdiagonalen $r$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} r^2&=&d^2+h^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] r^2&=&(5,83\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2\\[5pt] r^2&=&34\,\text{cm}^2+16\,\text{cm}^2\\[5pt] r^2&=&50\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] r&=&7,07\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ r=7,07\,\text{cm} $
Die Raumdiagonale ist $7,07\,\text{cm}$ lang. Berechne die Größe des Winkels $\alpha$ mithilfe der trigonometrischen Funktionen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{h}{d} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{5,83\,\text{cm}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&0,6861 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&34,45°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=34,45° $
Der Neigungswinkel $\alpha$ der Raumdiagonalen ist $34,45°$ groß.
b)
Stell dir vor, dass sie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist, das auf der vorderen Fläche des Quaders liegt. Die Katheten des Dreiecks entsprechen der Breite und der halben Höhe des Quaders. Du kannst die Länge also mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} k_2^2&=&b^2+(\dfrac{h}{2})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] k_2^2&=&(5\,\text{cm})^2+(2\,\text{cm})^2 \\[5pt] k_2^2&=&25\,\text{cm}^2+4\,\text{cm}^2 \\[5pt] k_2^2&=&29\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] k_2&=&5,39\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ k_2=5,39\,\text{cm} $
Die Kathete $k_2$ ist $5,39\,\text{cm}$ lang. Jetzt kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot k_1\cdot k_2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot 3\,\text{cm}\cdot 5,39\,\text{cm} \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot 16,16\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_D&=&8,08\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_D=8,08\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $8,08\,\text{cm}^2$.
c)
Überlege dir, welchen Einfluss die Verschiebung der beiden Punkt hat. Wie verändert es die Länge der beiden Katheten? Berechne die neue Länge der Katheten und anschließend den neuen Flächeninhalt des Dreiecks. Im Anschluss kannst du das Verhältnis der beiden Flächeninhalte bilden und so den prozentualen Unterschied berechnen.
Die Länge der Kathete $k_1$ bleibt unverändert, weil die beiden Punkte auf einer Höhe bleiben. Die Länge der Kathete $k_2$ verändert sich. In Aufgabenteil b) hast du sie mithilfe des Satz des Pythagoras und der Breite, sowie der halben Höhe berechnet. Die Höhe hat sich nun verändert. Berechne die neue Länge der Kathete $k_2$.
$\begin{array}[t]{rll} k_2^2&=&b^2+(\dfrac{h}{2})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] k_2^2&=&(5\,\text{cm})^2+(1\,\text{cm})^2 \\[5pt] k_2^2&=&25\,\text{cm}^2+1\,\text{cm}^2 \\[5pt] k_2^2&=&26\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] k_2&=&5,10\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ k_2=5,10\,\text{cm} $
Die neue Länge der Kathete $k_2$ ist $5,10\,\text{cm}$. Berechne nun den neuen Flächeninhalt des Dreiecks.
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot k_1\cdot k_2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot 3\,\text{cm}\cdot 5,10\,\text{cm} \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot 15,3\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_D&=&7,65\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_D=7,65\,\text{cm}^2 $
Der neue Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $7,65\,\text{cm}^2$. Du kannst nun das Verhältnis der beiden Flächeninhalte berechnen und bestimmen, um wieviel Prozent sich der Flächeninhalt vergrößert bzw. verkleiner hat.
$\dfrac{A_{\text{neu}}}{A_{\text{alt}}}=\dfrac{7,65\,\text{cm}^2}{8,08\,\text{cm}^2}=0,947$
$0,947-1=-0,053$
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist um $5,3\,\%$ kleiner geworden.
#rechtwinkligesdreieck#satzdespythagoras#prozentsatz#tangens

Aufgabe 2

a)
In der Skizze kannst du erkennen, dass die halbe Diagonale, die Höhe $h$ und die Seitenkante $s$ ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Berechne die Länge der Seitenkante über den Satz des Pythagoras.
$\begin{array}[t]{rll} s^2&=&(\dfrac{d}{2})^2+h^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] s^2&=&(4,25\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2 \\[5pt] s^2&=&18,0625\,\text{cm}^2+16\,\text{cm}^2 \\[5pt] s^2&=&34,0625\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] s&=&5,84\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ s=5,84\,\text{cm} $
Die Seitenkante der Pyramide ist $5,84\,\text{m}$ lang. Mithilfe der trigonometrischen Funktionen kannst du den Neigungswinkel der Seitenkante bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{h}{\frac{d}{2}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{4,25\,\text{cm}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&0,9412 \\[5pt] \alpha&=&43,26° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=43,26° $
Der Neigungswinkel der Seitenkante beträgt $43,26°$.
b)
Über die Angabe zur Verschiebung der Pyramidenspitze kannst du die Längen der Katheten berechnen, die auf der Grundfläche der Pyramide liegen. Die Pyramidenspitze war anfangs über der Mitte der Pyramide. Von den Seitenkannten hatte sie einen Abstand von jeweils $3\,\text{cm}$, also der halben Länge der Grundseite. Nun hast du sie um $1,5\,\text{cm}$ verschoben. Dadurch ist der Abstand, also die Kathete, die auf der Grundfläche liegt, bei einem Dreieck um $1,5\,\text{cm}$ länger und beim anderen um diesen Wert kürzer.
Die Kathete $k$ ist bei einem Dreieck also $4,5\,\text{cm}$ und beim anderen $1,5\,\text{cm}$ lang. Berechne nun die Größe der Neigungswinkel mithilfe des Tangens.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{1,5\,\text{cm}} \\[5pt] \tan(\beta)&=&2,6667 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \beta&=&69,44°\\[5pt] \end{array}$
$ \beta=69,44° $
Der Neigungswinkel der rechten Seitenfläche ist $69,44°$ groß.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma)&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{4,5\,\text{cm}} \\[5pt] \tan(\gamma)&=&0,8889 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \gamma&=&41,63°\\[5pt] \end{array}$
$ \gamma=41,63° $
Der Neigungswinkel der linken Seitenfläche ist $41,63°$ groß.
#satzdespythagoras#pyramide#rechtwinkligesdreieck#tangens

Aufgabe 3

a)
Das Volumen des Morgensternkopfes besteht aus dem Volumen der Kugel und $19$-mal dem Volumen der kegelförmigen Spitze. Der Durchmesser der Kugel beträgt $13\,\text{cm}$. Demnach ist der Radius $6,5\,\text{cm}$ lang. Berechne das Volumen der Kugel.
$\begin{array}[t]{rll} V_K&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] V_K&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot (6,5\,\text{cm})^3 \\[5pt] V_K&=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 274,625\,\text{cm}^3 \\[5pt] V_K&=&\pi\cdot 366,17\,\text{cm}^3 \\[5pt] V_K&=&1.150,35\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_K=1.150,35\,\text{cm}^3 $
Das Volumen der Kugel beträgt $1.150,35\,\text{cm}^3$. Die Spitzen sind $2,5\,\text{cm}$ hoch und genauso breit. Ihr Radius ist also $1,25\,\text{cm}$ groß. Berechne das Volumen eines Kegels.
$\begin{array}[t]{rll} V_S&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] V_S&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] V_S&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot (1,25\,\text{cm})^2\cdot 2,5\,\text{cm} \\[5pt] V_S&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 1,5625\,\text{cm}^2\cdot 2,5\,\text{cm} \\[5pt] V_S&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 3,90625\,\text{cm}^3 \\[5pt] V_S&=&\pi\cdot 1,302\,\text{cm}^3 \\[5pt] V_S&=&4,10\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_S=4,10\,\text{cm}^3 $
Das Volumen einer Spitze beträgt $4,1\,\text{cm}^3$. Berechne das Volumen des Morgensternkopfes, indem du das Volumen der Kugel und $19$-mal das Volumen einer Spitze addierst.
$V_M=V_K+19\cdot V_S=1.228,1\,\text{cm}^3$
$ V_M=1.228,1\,\text{cm}^3 $
Das Volumen des Morgensternkopfes beträgt $1.228,1\,\text{cm}^3$.
b)
Überlege dir, wie du den Oberflächeninhalt des Morgensternkopfs mit und ohne Spitzen berechnest.
Ohne Spitzen ist die Oberfläche des Kopfes nur eine Kugel. Berechne ihren Oberflächeninhalt.
$\begin{array}[t]{rll} O_K&=&4\cdot\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] O_K&=&4\cdot\pi\cdot (6,5\,\text{cm})^2\\[5pt] O_K&=&4\cdot\pi\cdot 42,25\,\text{cm}^2\\[5pt] O_K&=&\pi\cdot 169\,\text{cm}^2\\[5pt] O_K&=&530,93\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$
$ O_K=530,93\,\text{cm}^2 $
Die Oberfläche des Morgensternkopfes ohne Spitzen beträgt $530,93\,\text{cm}^2$. Durch Anbringung der Spitzen erhöht sich die Oberfläche des Kopfes $19$-mal um die Oberfläche der Mantelfläche, reduziert sich aber gleichzeitig $19$-mal um den Flächeninhalt der Grundfläche des Kegels, weil diese Fläche von den Spitzen quasi abgedeckt wird. Berechne zuerst die Länge der Mantellinie $s$.
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\sqrt{r^2+h^2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] s&=&\sqrt{(1,25\,\text{cm})^2+(2,5\,\text{cm})^2}\\[5pt] s&=&\sqrt{1,5625\,\text{cm}^2+6,25\,\text{cm}^2}\\[5pt] s&=&\sqrt{7,8125\,\text{cm}^2}\\[5pt] s&=&2,80\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ s=2,80\,\text{cm} $
Die Mantellinie ist $2,8\,\text{cm}$ lang. Berechne damit nun den Flächeninhalt der Mantelfläche der Spitze.
$\begin{array}[t]{rll} M_S&=&r\cdot s\cdot \pi &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] M_S&=&1,25\,\text{cm}\cdot 2,8\,\text{cm}\cdot \pi \\[5pt] M_S&=&3,5\,\text{cm}^2\cdot \pi \\[5pt] M_S&=&11,0\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ M_S=11,0\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt der Mantelfläche einer Spitze ist $11\,\text{cm}^2$ groß. Berechne nun den Flächeninhalt der Grundfläche einer Spitze.
$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] A_S&=&\pi\cdot (1,25\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_S&=&\pi\cdot 1,5625\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_S&=&4,91\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_S=4,91\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt einer Grundfläche ist $4,91\,\text{cm}^2$ groß. Berechne nun den Oberflächeninhalt des Morgensternkopfes mit Spitzen. Dazu musst du zum Oberflächeninhalt der Kugel $19$-mal den Flächeninhalt der Mantelfläche dazuaddieren und ebenso oft den Flächeninhalt der Grundfläche der Spitze subtrahieren.
$O_M=O_K+19\cdot M_S-19\cdot A_S=646,64\,\text{cm}^2$
$ O_M=646,64\,\text{cm}^2 $
Der Oberflächeninhalt des Morgensterns mit Spitzen beträgt $646,64\,\text{cm}^2$. Bilde das Verhältnis der beiden Oberflächeninhalte und berechne, um wieviel Prozent er sich verändert.
$\dfrac{O_M}{O_K}=\dfrac{646,64\,\text{cm}^2}{530,93\,\text{cm}^2}=1,218$
$1,218-1=0,218$
Der Oberflächeninhalt vergrößert sich durch Anbringung der Spitzen um $21,8\,\%$.
#kugel#kegel

Aufgabe 4

a)
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{h}{\frac{a}{2}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \tan(51°)&=&\dfrac{21,65\,\text{m}}{\frac{a}{2}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\frac{a}{2} \\[5pt] 1,235\cdot\frac{a}{2}&=&21,65\,\text{m}&\quad \scriptsize \mid\;:1,235 \\[5pt] \frac{a}{2}&=&17,53\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
$ \frac{a}{2}=17,53\,\text{m} $
Die halbe Grundseite ist $17,53\,\text{m}$ lang. Demnach ist die Grundseite der Pyramide $35,06\,\text{m}$ lang.
b)
Die Pyramide ist innen hohl. Demnach wird ihr Gewicht nur über das Gewicht des Stahlgerüsts und der Glasscheiben bestimmt. Du kannst davon ausgehen, dass das Stahlgerüst die Oberfläche der Pyramide nicht verkleinert. Demnach kannst du die Menge an Glas berechnen, die verbaut wurden, indem du die Oberfläche der Pyramide berechnest. Sie besteht aus $4$ gleich großen Dreiecken. Die Grundseite der Dreiecke ist die Grundseite der Pyramide. Die Höhe der Dreiecke kannst du mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen. In der Skizze aus Aufgabenteil a) entspricht die Höhe der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.
$\begin{array}[t]{rll} h_D^2&=&h_P^2+(\frac{a}{2})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] h_D^2&=&(21,65\,\text{m})^2+(17,53\,\text{m})^2 \\[5pt] h_D^2&=&468,72\,\text{m}^2+307,31\,\text{m}^2 \\[5pt] h_D^2&=&776,03\,\text{m}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] h_D&=&27,86\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$
$ h_D=27,86\,\text{m} $
Die Dreiecke haben eine Höhe von $27,86\,\text{cm}$. Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks.
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_D &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot 35,06\,\text{m}\cdot 27,86\,\text{m} \\[5pt] A_D&=&\dfrac{1}{2}\cdot 976,77\,\text{m}^2 \\[5pt] A_D&=&488,39\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_D=488,39\,\text{m}^2 $
Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt $488,39\,\text{m}^2$. Demnach beträgt der Oberflächeninhalt der Pyramide $4\cdot488,39\,\text{m}^2=1.953,54\,\text{m}^2$. Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass eine Glasscheibe aus zwei Scheiben besteht. Du brauchst also die doppelte Menge an Material, also $2\cdot 1.953,54\,\text{m}^2=3.907,09\,\text{m}^2$. Multipliziere diesen Wert mit dem Gewicht des Glases pro Quadratmeter.
$3.907,09\,\text{m}^2\cdot24,9\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^2}=97.286\,\text{kg}\mathrel{\widehat{=}}97,286\,\text{t}$
$ 97.286\,\text{t} $
Addiere zu diesem Ergebnis noch das Gewicht des Stahlgerüsts und du erhältst das Gewicht der Pyramide.
$97,286\,\text{t}+80\,\text{t}=177,286\,\text{t}$
Die Pyramide wiegt $177,286\,\text{t}$.
c)
Überlege dir eine Methode, wie du überprüfen kannst, wie gut der Architekt die Pyramide des Louvre nach dem Vorbild der Cheops-Pyramide geschaffen hat. Vielleicht hilft es dir zu überlegen, wie du vorgegangen wärst, wenn du die Cheops-Pyramide auf die Größe der Pyramide vorm Louvre verkleinert hättest.
Du müsstest theoretisch in der Lage sein, die Cheops-Pyramide und die Pyramide vorm Louvre durch zentrische Streckung aufeinander abzubilden. Demnach müsste es einen Streckfaktor geben, mit dem du alle Streckenlängen multiplizieren könntest, um die entsprechende Streckenlänge der anderen Pyramide zu erhalten. Ebenso müssten die Neigungswinkel der Seitenflächen identisch sein.
Berechne die Größe des Neigungswinkels der Cheops-Pyramide. Bilde ebenfalls das Verhältnis der Grundseiten bzw. der Höhen der Pyramiden und überprüfe, ob ein ähnlicher Streckfaktor heraus kommt.
Um den Neigungswinkel der Cheops-Pyramide zu berechnen, kannst du wie in der Skizze von Aufgabenteil a) das rechtwinklige Dreieck benutzen. Du kennst die Höhe der Pyramide und die Länge der Kathete, die auf der Grundfläche liegt. Sie ist halb so lange wie die Grundseite der Pyramide. Berechne die Größe des Neigungswinkels mithilfe des Tangens.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{h}{\frac{a}{2}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{138,75\,\text{m}}{115,165\,\text{m}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&1,2048 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&50,31° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=50,31° $
Der Neigungswinkel der Seitenfläche der Cheopspyramide beträgt $50,31°$. Bilde die Verhältnisse der Streckenlängen der beiden Pyramiden.
$\dfrac{h_C}{h_L}=\dfrac{138,75\,\text{m}}{21,65\,\text{m}}=6,41$
$\dfrac{a_C}{a_L}=\dfrac{230,33\,\text{m}}{35,06\,\text{m}}=6,57$
Die Neigungswinkel der Seitenflächen der Pyramiden sind sich sehr ähnlich. Die Differenz beträgt weniger als $1°$. Ebenso sind die Streckfaktoren der Streckenlängen sehr ähnlich. Die Differenz hier ist kleiner als $0,2$. Der Architekt Ieoh Ming Pei hat also gute Arbeit geleistet, beim Versuch die Pyramide des Louvre der Cheops-Pyramide nachzuempfinden.
#zentrischestreckung#pyramide
Bildnachweise [nach oben]
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