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Flächeninhalt

Spickzettel
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Du kannst den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks grundsätzlich mit der folgenden Formel berechnen.
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$
Da es jedoch nicht immer einfach ist die Höhe eines Dreiecks zu berechnen gibt es noch eine andere Möglichkeit.
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$
Ähnlich wie die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du die Formel auch auf andere Seitenlängen und Winkel ausweiten. Du benötigst zum Berechnen den Flächeninhalts immer die Länge von zwei Dreiecksseiten und die Größe des Winkels, den die beiden Seiten einfassen. Somit erhältst du noch die folgenden Formeln.
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta)$
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha)$
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta)$
$A_D=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha)$
#sinus#dreieck
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne das Dreieck $ABC$. Die Grundseite $c$ ist $6\,\text{cm}$ lang, die Seite $a$ ist $5\,\text{cm}$ lang und der Winkel $\beta$ ist $60°$ groß.
b)
Zeichne die Höhe $h_c$ in das Dreieck ein. Zeige ausgehend von der Flächeninhaltsformel für ein allgemeines Dreieck, dass gilt $A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta)$.
Tipp: Wenn du nicht weiter weißt, dann suche die Unterschiede zwischen den beiden Formeln und versuche nachzuvollziehen, wie diese Unterschiede entstehen. Wie ist der Sinus definiert und welchem Seitenverhältnis entspricht das?
c)
Gehe davon aus, dass du alle Seitenlängen bzw. Winkelgrößen kennst. Gib zwei andere Möglichkeiten an, wie du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen kannst. Verwende dabei immer den Sinus.
#dreieck#sinus

Aufgabe 1

Zeige, dass die Flächeninhaltsformel für ein rechtwinkliges Dreieck ein Spezialfall der Formeln ist, die du in der Einführungsaufgabe aufgestellt hast.
#rechtwinkligesdreieck#dreieck

Aufgabe 2

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit den folgenden Angaben. Runde das Endergebnis dabei auf eine Nachkommastelle.
a)
$a=5\,\text{cm}\quad$$c=7\,\text{cm}\quad$$\beta=30°$
b)
$b=3\,\text{cm}\quad$$c=8\,\text{cm}\quad$$\alpha=90°$
c)
$a=2\,\text{cm}\quad$$b=2,5\,\text{cm}\quad$$\gamma=77°$
d)
$b=4,5\,\text{cm}\quad$$c=3\,\text{cm}\quad$$\beta=43°\quad$$\gamma=16°$
e)
$a=4\,\text{cm}\quad$$b=6\,\text{cm}\quad$$\alpha=19,5°$
Berechne den Flächeninhalt beider möglichen Ergebnisse.
#dreieck

Aufgabe 3

Berechnung in beliebigen Dreiecken: Flächeninhalt
Abb. 1: Bei „meine ernte“ unterstützen dich Fachleuchte beim Gemüseanbau.
Berechnung in beliebigen Dreiecken: Flächeninhalt
Abb. 1: Bei „meine ernte“ unterstützen dich Fachleuchte beim Gemüseanbau.
Die Grüne Jugend nutzt die Ernte ihres Gemüsegartens beim Kochen bei den regelmäßigen Treffen. Das frei verfügbare Feld wurde in Dreiecke eingeteilt und an einzelne Mitglieder der Grünen Jugend für den Eigenbedarf vermietet. Marie überlegt sich zwei der Anbauflächen zu mieten. Die kompletten $90\,\text{m}^2$ des Familien-Gemüsegartens kosten die Grüne Jugend $369\,€$.
Bei der Vermietung übernimmt die Grüne Jugend den Preis für einen Quadratmeter. In Abbildung $2$ siehst du die Einteilung des verfügbaren Beets. Grün markiert sind die Beete, die noch gemietet werden können. Die roten Flächen sind bereits vermietete Beete. Der Winkel $\alpha$ ist $36,9°$ groß und der Winkel $\beta$ ist $56,3°$ groß.
a)
Zeichne drei unterschiedliche Dreiecke. Nutze dabei jeweils $2$ der grünen Dreiecke, die in der Abbildung dargestellt sind. Verwende dabei den Maßstab $1:50$. Die Dreiecke sollen die Gesamtfläche darstellen, die Marie zur Verfügung hat, wenn sie die beiden dreieckigen Beete mietet.
b)
Marie möchte ein möglichst großes Beet mieten, dabei jedoch nicht mehr als $10\,€$ ausgeben. Für welche der Möglichkeiten aus Aufgabenteil a) entscheidet sie sich also?
#maßstab#dreieck

Aufgabe 4

#dreieck#raute#parallelogramm#quadrat
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
b)
In der gegebenen Formel steht nicht mehr die Höhe $h_c$ sondern die Seite $a$. Außerdem ist in der Formel noch der Ausdruck $\sin(\beta)$ vorhanden. Wenn du dir das Dreieck mit der eingezeichneten Höhe anschaust, dann siehst du, dass die Höhe das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt. Der Sinus ist definiert als:
$\sin(\beta)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
In dem rechtwinkligen Dreieck wäre das:
$\sin(\beta)=\dfrac{h_c}{a}$
Wenn du diesen Ausdruck nach $h_c$ umformst, dann erhältst du:
$\sin(\beta)\cdot a=h_c$
Wenn du diesen Ausdruck in die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks einsetzt, dann erhältst du die geforderte Formel:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot a\cdot\sin(\beta)$
c)
Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird normalerweise berechnet, indem du die Länge einer Seite mit der Länge der Höhe multiplizierst, die auf dieser Seite steht, und das ganze mit $\dfrac{1}{2}$ verrechnest. Demnach kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks auch auf diese beiden Arten ausdrücken:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\quad$$A=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot h_b$
Wenn du in deiner Zeichnung nun jeweils die beiden Höhen einzeichnest, dann siehst du, dass auch sie jeweils das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilen. Du kannst wiederum über den Sinus die Länge der Höhe in Abhängigkeit von einer Dreiecksseite und dem Sinus eines Winkels ausdrücken. Wenn du wie in Aufgabenteil b) vorgehst, dann kommst du noch auf die beiden Formeln:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)\quad$$A=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)$
Wenn du dir alle drei Formeln anschaust, dann siehst du, dass du den Flächeninhalt eines Dreiecks ausrechnen kannst, wenn du die Hälfte des Produkts von zwei Dreiecksseiten mit dem Sinus des Winkels multiplizierst, den die beiden Seiten einschließen.
#rechtwinkligesdreieck#sinus#dreieck

Aufgabe 1

Die Flächeninhaltsformel für ein rechtwinkliges Dreieck lautet $A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b$. Dabei sind $a$ und $b$ die beiden Katheten, die den rechten Winkel $\gamma$ einschließen. Die Seite $c$ ist die Hypotenuse. Überlege dir, welche Angaben du über ein rechtwinkliges Dreieck sicher weißt und wie das die Flächeninhaltsformel aus der Einführungsaufgabe beeinflussen kann.
Die einzige Angabe, die in jedem rechtwinkligen Dreieck gleich ist, ist die Größe eines Winkels. Das ist der rechte Winkel und er ist $90°$ groß. Wenn du annimmst, dass $\gamma$ der rechte Winkel ist, dann kannst du die Formel $A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b \cdot \sin(\gamma)$ aus der Einführungsaufgabe verwenden, um den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen.
Die Seitenlängen $a$ und $b$ musst du allgemein lassen, da du nicht genau wissen kannst, wie lange sie sind. Den Winkel $\gamma$ kannst du aber einsetzen. Wenn du den Sinus dieses Winkels ausrechnest, dann kommst du auf $1$. Der Wert wird den Flächeninhalt des Dreiecks also nicht beeinflussen. Demnach kannst du ihn aus der Formel herauslassen und erhältst $A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b$.
Das gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck, weil jedes dieser Dreiecke einen rechten Winkel enthält. Die Variablen $a$ und $b$ müssen dabei die Seitenlängen der Katheten sein.
#sinus#rechtwinkligesdreieck#dreieck

Aufgabe 2

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit einer der Formeln aus der Einführungsaufgabe. Bei den Formeln multiplizierst du immer $\dfrac{1}{2}$ mit der Länge von $2$ Seiten und dem Sinus des Winkels, den die beiden Seiten einschließen. Wenn dir Angaben fehlen, dann überlege dir, wie du die fehlenden Angaben berechnen kannst.
a)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c \cdot\sin(\beta) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 5\,\text{cm}\cdot 7\,\text{cm} \cdot\sin(30°) \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 35\,\text{cm}^2 \cdot0,5 \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 17,5\,\text{cm}^2\\[5pt] A&=&8,75\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A=8,75\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $8,75\,\text{cm}^2$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c \cdot\sin(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 3\,\text{cm}\cdot 8\,\text{cm} \cdot\sin(90°) \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 24\,\text{cm}^2 \cdot1 \\[5pt] A&=&12\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A=12\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $12\,\text{cm}^2$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b \cdot\sin(\gamma) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 2\,\text{cm}\cdot 2,5\,\text{cm} \cdot\sin(77°) \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 5\,\text{cm}^2 \cdot0,9744 \\[5pt] A&=&2,5\,\text{cm}^2\cdot 0,9744\\[5pt] A&=&2,4\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A=2,4\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $2,4\,\text{cm}^2$.
d)
Du kennst bei dieser Aufgabe nicht die Größe des Winkels, den die beiden Seiten einschließen. Du kennst jedoch die Größe der beiden anderen Winkel. Die Größe des Winkels $\alpha$ kannst du über die Winkelsumme im Dreieck berechnen. Er ist $180°-43°-16°=121°$ groß.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c \cdot\sin(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4,5\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm} \cdot\sin(121°) \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 13,5\,\text{cm}^2 \cdot0,8572 \\[5pt] A&=&6,75\,\text{cm}^2\cdot 0,8572\\[5pt] A&=&5,8\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A=5,8\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $5,8\,\text{cm}^2$.
c)
Du kennst bei dieser Aufgabe nicht die Größe des Winkels, den die beiden Seiten einschließen. Du kannst jedoch die Größe des Winkels $\beta$ über den Sinussatz berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{4\,\text{cm}}{\sin(19,5°)}&=&\dfrac{6\,\text{cm}}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(\beta)\\[5pt] \dfrac{4\,\text{cm}}{0,3338}\cdot \sin(\beta)&=&6\,\text{cm}\\[5pt] 12\,\text{cm}\cdot \sin(\beta)&=&6\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;:12\,\text{cm}\\[5pt] \sin(\beta)&=&0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1 }\\[5pt] \beta&=&30° \\[5pt] \end{array}$
$ \beta=30° $
Der Winkel $\beta$ ist $30°$ groß. Der Sinussatz ist jedoch nicht eindeutig, wenn du einen Winkel berechnest. Es gibt immer zwei mögliche Ergebnisse. Das zweite Ergebnis kannst du mit $\beta_2=180°-\beta$ berechnen. Das zweite mögliche Ergebnis ist also $180°-30°=150°$. Über die Winkelsumme kannst du die beiden möglichen Größen für den Winkel $\gamma$ berechnen.
$\gamma_1=180°-150°-19,5°=10,5°$
$\gamma_2=180°-30°-19,5°=130,5°$
Berechne die beiden möglichen Flächeninhalte.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b \cdot\sin(\gamma_1) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm} \cdot\sin(10,5°) \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 24\,\text{cm}^2 \cdot0,1822 \\[5pt] A&=&12\,\text{cm}^2\cdot 0,1822\\[5pt] A&=&2,2\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A=2,2\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt für $\gamma_1$ $2,2\,\text{cm}^2$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b \cdot\sin(\gamma_2) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm} \cdot\sin(130,5°) \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 24\,\text{cm}^2 \cdot0,7604 \\[5pt] A&=&12\,\text{cm}^2\cdot 0,7604\\[5pt] A&=&9,1\,\text{cm}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A=9,1\,\text{cm}^2 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt für $\gamma_2$ $9,1\,\text{cm}^2$.
#rechtwinkligesdreieck#sinussatz#dreieck

Aufgabe 3

a)
In der Abbildung erkennst du zwei verschieden große Dreiecke. Marie hat die Möglichkeit zwei große, zwei kleine oder ein großes und ein kleines Dreieck zu mieten.
Das große Dreieck hat einen rechten Winkel. Die beiden Seiten, die den Winkel einfassen, sind $1,5\,\text{m}$ und $2\,\text{m}$ lang. Außerdem kennst du noch die Größe des Winkels $\alpha$. Im Maßstab umgerechnet wären die Seiten $3\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ lang.
Das kleine Dreieck hat einen rechten Winkel. Eine Seite des Dreiecks ist $1,5\,\text{m}$ lang. In der Abbildung erkennst du, dass der Teil des Beets, das die vier kleinen Dreiecke enthält, $6\,\text{m}-4\,\text{m}=2\,\text{m}$ lang ist. Die andere Seite des Dreiecks, die den Winkel einfasst, ist halb so lang wie diese Strecke. Sie ist also $\dfrac{2\,\text{m}}{2}=1\,\text{m}$ lang. Außerdem kennst du noch die Größe des Winkels $\beta$. Im Maßstab umgerechnet wären die Seite $3\,\text{cm}$ und $2\,\text{cm}$ lang.
Zeichne die drei möglichen Dreiecke, indem du die weiter oben genannten Kombinationen zeichnest. Dein Ergebnis sollte so aussehen:
b)
Berechne den Mietpreis für jede der drei Möglichkeiten aus Aufgabenteil a) und vergleiche auch, welche Möglichkeit die größte Fläche bietet. Achte dabei darauf, dass der Maximalpreis, den Marie ausgeben will, nicht überschritten wird.
Den Flächeninhalt der Dreiecke kannst du auf drei unterschiedliche Arten berechnen. Entweder nutzt du die Tatsache, dass sich jede Fläche in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilen lässt und berechnest den Flächeninhalt der beiden Dreiecke und addierst sie oder du berechnest über den Satz des Pythagoras die Seitenlänge der unbekannten Seiten und nutzt die Formel für ein allgemeines Dreieck, um den Flächeninhalt zu berechnen. Die letzte Möglichkeit besteht darin die Formel für den Flächeninhalt über die Höhe und die Grundseite zu berechnen. Das Ergebnis ist immer das gleiche.
Es gibt genau zwei verschiedene Seitenlängen, bei den unbekannten Seiten. Die unbekannte Seite des kleinen Dreiecks $s_k$ und die des großen $s_g$. Du kannst beide über den Satz des Pythagoras aus der Höhe und dem Teil der Grundseite berechnen, der im rechtwinkligen Dreieck liegt.
$\begin{array}[t]{rll} s_k^2&=&(1,5\,\text{m})^2+(1\,\text{m}^2) \\[5pt] s_k^2&=&2,25\,\text{m}^2+1\,\text{m}^2 \\[5pt] s_k^2&=&3,25\,\text{m}^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] s_k&=&1,8\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
Die Seite des kleinen Dreiecks ist $1,8\,\text{m}$ lang.
$\begin{array}[t]{rll} s_g^2&=&(1,5\,\text{m})^2+(2\,\text{m}^2) \\[5pt] s_g^2&=&2,25\,\text{m}^2+4\,\text{m}^2 \\[5pt] s_g^2&=&6,25\,\text{m}^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] s_g&=&2,5\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
Die Seite des großen Dreiecks ist $2,5\,\text{m}$ lang. Berechne nun den Flächeninhalt der drei möglichen Dreiecke mithilfe der Flächeninhaltsformel für ein allgemeines Dreieck. Die Möglichkeiten aus Aufgabenteil a) werden von links nach rechts mit $M1$ bis $M3$ nummeriert.
$\begin{array}[t]{rll} A_{M1}&=&\dfrac{1}{2}\cdot4\,\text{m}\cdot2,5\,\text{m}\cdot\sin{36,9°} \\[5pt] A_{M1}&=&\dfrac{1}{2}\cdot10\,\text{m}^2\cdot0,6004 \\[5pt] A_{M1}&=&5\,\text{m}^2\cdot0,6004 \\[5pt] A_{M1}&\approx&3\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
Möglichkeit $M1$ ist $3\,\text{m}^2$ groß.
$\begin{array}[t]{rll} A_{M2}&=&\dfrac{1}{2}\cdot3\,\text{m}\cdot2,5\,\text{m}\cdot\sin{36,9°} \\[5pt] A_{M2}&=&\dfrac{1}{2}\cdot7,5\,\text{m}^2\cdot0,6004 \\[5pt] A_{M2}&=&3,75\,\text{m}^2\cdot0,6004 \\[5pt] A_{M2}&\approx&2,25\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
Möglichkeit $M2$ ist $2,25\,\text{m}^2$ groß.
$\begin{array}[t]{rll} A_{M3}&=&\dfrac{1}{2}\cdot2\,\text{m}\cdot1,8\,\text{m}\cdot\sin{56,3°} \\[5pt] A_{M3}&=&\dfrac{1}{2}\cdot3,6\,\text{m}^2\cdot0,8320 \\[5pt] A_{M3}&=&1,8\,\text{m}^2\cdot0,8320 \\[5pt] A_{M3}&\approx&1,50\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
Möglichkeit $M3$ ist $1,50\,\text{m}^2$ groß.
Berechne nun den Preis pro Quadratmeter. Du weißt, dass eine Fläche von $90\,\text{m}^2$ einen Mietpreis von $369\,€$ hat. Berechne damit den Preis für $1\,\text{m}^2$.
$\dfrac{369\,€}{90\,\text{m}^2}=4,1\,\dfrac{€}{\text{m}^2}$
Berechne nun den Preis für die jeweiligen Möglichkeiten.
$M1:\quad 3\,\text{m}^2\cdot4,1\,\dfrac{€}{\text{m}^2}=12,3\,€$
$M2:\quad 2,25\,\text{m}^2\cdot4,1\,\dfrac{€}{\text{m}^2}=9,225\,€$
$M3:\quad 1,5\,\text{m}^2\cdot4,1\,\dfrac{€}{\text{m}^2}=6,15\,€$
Die größte Fläche hat Möglichkeit $M1$. Der Preis für diese Beete liegt jedoch über den $10\,€$, die Marie maximal ausgeben möchte. Das größte Beet, das vom Mietpreis unter den $10\,€$ liegt, ist das von Möglichkeit $M2$. Marie wird sich also für diese Möglichkeit entscheiden.
#satzdespythagoras#maßstab#dreieck

Aufgabe 4

Überlege dir, welche Seitenlängen bzw. Winkelgrößen du benötigst, um die Flächeninhalte der beiden Dreiecke berechnen zu können und wie du sie berechnen kannst.
Im Dreieck $D_1$ kennst du bereits die Größe des Winkels $\gamma$. Nun fehlt dir noch die Länge der beiden Seiten, die den Winkel einfassen. Die Seite in der Abbildung links des Winkels ($s_1$) gehört zum Parallelogramm des Tangrams. Beim Parallelogramm sind gegenüberliegende Seite gleich lang und parallel. Du kennst nicht die Länge der Parallelogrammseite, die am Dreieck $D_1$ liegt, aber du kennst die Länge der Seite des Parallelogramms, die zu dieser Seite parallel ist. Das ist die Seite $c$. Demnach ist diese Dreiecksseite also $4,6\,\text{cm}$ lang.
Die Seite des Dreiecks, die in der Abbildung rechts vom Winkel liegt, ist auch ein Teil des hellgrünen Dreiecks. Im hellgrünen Dreieck kennst du die Größe von zwei Winkeln und die Länge einer Seite. Du kannst die fehlende Seitenlänge $s_2$ des Dreiecks über den Sinussatz berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{s_2}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{4,9\,\text{cm}}{\sin(44°)}&=&\dfrac{s_2}{\sin(76°)} \\[5pt] \dfrac{4,9\,\text{cm}}{0,6947}&=&\dfrac{s_2}{0,9703} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,9703\\[5pt] 7,1\,\text{cm}\cdot0,9703&=&s_2\\[5pt] 6,8\,\text{cm}&=&s_2\\[5pt] \end{array}$
$ s_2=6,8\,\text{cm} $
Die Seite $s_2$ ist $6,8\,\text{cm}$ lang. Berechne nun den Flächeninhalt des Dreiecks $D_1$.
$\begin{array}[t]{rll} A_{D1}&=&\dfrac{1}{2}\cdot s_1\cdot s_2\cdot \sin(\gamma) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_{D1}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4,6\,\text{cm}\cdot 6,8\,\text{cm}\cdot \sin(59°) \\[5pt] A_{D1}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 31,28\,\text{cm}^2\cdot 0,8572 \\[5pt] A_{D1}&=&15,64\,\text{cm}^2\cdot 0,8572 \\[5pt] A_{D1}&=&13,4\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_{D1}=13,4\,\text{cm}^2 $
Das Dreieck $D_1$ hat einen Flächeninhalt von $13,4\,\text{cm}^2$.
Bei Dreieck $D_2$ kennst du bereits die Länge der Seite $b$ und die Größe des Winkel $\delta$. Nun fehlt dir noch die Länge der Seite $s_3$, die mit der Seite $b$ den Winkel $\delta$ einfasst. Die Seite $s_3$ ist eine Seite des Parallelogramms und ist zur Seite $d$ parallel. Demnach ist sie genauso lang wie $d$, also $4,2\,\text{cm}$ lang. Berechne nun den Flächeninhalt des Dreiecks.
$\begin{array}[t]{rll} A_{D2}&=&\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot s_3\cdot \sin(\delta) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_{D2}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 3,3\,\text{cm}\cdot 4,2\,\text{cm}\cdot \sin(70°) \\[5pt] A_{D2}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 13,86\,\text{cm}^2\cdot 0,9397 \\[5pt] A_{D2}&=&6,93\,\text{cm}^2\cdot 0,9397 \\[5pt] A_{D2}&=&6,5\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_{D2}=6,5\,\text{cm}2 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks $D_2$ beträgt $6,5\,\text{cm}^2$.
#sinussatz#dreieck#parallelogramm
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