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Kosinussatz

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Der Kosinussatz ist die Ausweitung des Satz des Pythagoras auf nicht-rechtwinklige Dreiecke. Mit dem Kosinussatz kannst du Seitenlängen und Winkelgrößen in einem allgemeinen Dreieck berechnen. Der Kosinussatz lautet:
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)$
Du kannst ihn auch auf andere Winkel ausweiten. Dabei steht immer das Quadrat der Seite alleine, die dem Winkel gegenüber liegt. Somit erhältst du noch die folgenden Formeln:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$
#kosinussatz#satzdespythagoras
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Das Dreieck $ABC$ besitzt zwei gleich große Winkel. Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind jeweils $15°$ groß. Die Seite $a$ ist $4\,\text{cm}$ lang und die Seite $c$ ist $7,73\,\text{cm}$ lang.
a)
Berechne die Größe des Winkels $\gamma$ mithilfe des Sinussatzes.
b)
Überprüfe dein Ergebnis mithilfe der Winkelsumme im Dreieck. Wenn nötig, korrigiere dein Ergebnis.
c)
Wie kann es sein, dass der Sinussatz in Aufgabenteil a) eine falsche Lösung liefert?
d)
Berechne die Länge der Seite $b$ mithilfe des Kosinussatzes.
#kosinussatz#sinussatz

Aufgabe 1

Berechne die Länge der fehlenden Dreiecksseite mithilfe des Kosinussatzes.
a)
$a=5\,\text{cm}\quad$$b=3\,\text{cm}\quad$$\gamma=45°$
b)
$b=4\,\text{cm}\quad$$c=6\,\text{cm}\quad$$\alpha=60°$
c)
$c=8\,\text{cm}\quad$$a=9\,\text{cm}\quad$$\beta=15°$
d)
$a=3\,\text{cm}\quad$$b=4\,\text{cm}\quad$$\alpha=40°\quad$$\beta=60°$
e)
$a=2\,\text{cm}\quad$$b=3\,\text{cm}\quad$$\beta=60°$
#kosinussatz

Aufgabe 2

Der Kosinussatz ist eine Anwendung des Satz des Pythagoras auf allgemeine Dreiecke. Dabei ist der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes. In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht der Flächeninhalt der Quadrate über den beiden Katheten dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.
Ist das Dreieck nicht rechtwinklig, dann wird ein Korrekturfaktor benutzt. Er entspricht dem $-2\cdot a\cdot b\cdot\cos(\gamma)$ im Kosinussatz. Demnach ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten nicht mehr genauso groß wie der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.
Geh vom Dreieck $ABC$ aus. Du willst ddie Länge der Seite $c$ mithilfe des Winkels $\gamma$ berechnen. Für welche Größe des Winkels ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate der Seiten $a$ und $b$ größer bzw. kleiner als der Flächeninhalt des Quadrats über der Seite $c$? Begründe deine Antwort.
#kosinussatz#satzdespythagoras

Aufgabe 3

Berechne die Größe des Winkels $\alpha$ mithilfe des Kosinussatzes.
a)
$a=3\,\text{cm}\quad$$b=7\,\text{cm}\quad$$c=6\,\text{cm}$
b)
$a=4\,\text{cm}\quad$$b=5\,\text{cm}\quad$$c=4\,\text{cm}$
c)
$a=7\,\text{cm}\quad$$b=9\,\text{cm}\quad$$\gamma=90°$
#kosinussatz

Aufgabe 4

Berechnung in beliebigen Dreiecken: Kosinussatz
Abb. 1: Wenn die zwei Kräfte $F_1$ und $F_2$ im Winkel $\alpha$ auf einen Körper wirken, dann ist das das gleiche, wie wenn er die Kraft $F_R$ erfahren würde.
Berechnung in beliebigen Dreiecken: Kosinussatz
Abb. 1: Wenn die zwei Kräfte $F_1$ und $F_2$ im Winkel $\alpha$ auf einen Körper wirken, dann ist das das gleiche, wie wenn er die Kraft $F_R$ erfahren würde.
Die oben genannte Kiste wird mit der Kraft $F_1$ geschoben. Der Vektor hat dabei die Koordinaten $\overrightarrow{f_1}=\pmatrix{0\\4}$. Gleichzeitig wird die Kiste noch mit der Kraft $F_2$ geschoben. Der Vektor hat dabei die Koordinaten $\overrightarrow{f_2}=\pmatrix{2\\0}$.
a)
Berechne, mit welcher Kraft $F_R$ die Kiste geschoben wird. Überlege dir dabei zuerst, welcher Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren liegt und wie du die Länge der Vektoren bestimmen kannst.
Die Kiste soll eigentlich entlang der Richtung von Vektor $\overrightarrow{f_1}$ geschoben werden. Sie bewegt sich aber in die Richtung der resultierenden Kraft $F_R$.
b)
Welcher Winkel liegt zwischen den beiden Richtungen?
#vektoren

Aufgabe 5

Berechnung in beliebigen Dreiecken: Kosinussatz
Abb. 2: Roald Amundson, der erste Mann am Südpol.
Berechnung in beliebigen Dreiecken: Kosinussatz
Abb. 2: Roald Amundson, der erste Mann am Südpol.
Erst $39$ Tage später sollte sein Rivale Scott das selbe Ziel erreichen. Scott hatte das Wettrennen verloren. Doch damit nicht genug. Durch Scotts unzureichende Vorbereitung und Unterschätzung des kalten Klimas, sollte kein Mitglied seiner Expedition die Heimreise überleben. Vermutlich am 29. März 1912 stirbt Scott nur $18\,\text{km}$ vom Depot seines Basislagers entfernt.
Amundsen nutzte eine raffinierte Strategie, um den Heimweg sicher zu finden. In bestimmten Abständen schichtete seine Crew große Schneehügel auf, in denen ein Zettel gelagert wurde, auf dem Stand, wie man den vorherigen Schneehügel finden konnte.
Dieser ansich kluge Plan hätte auch gefährlich nach hinten losgehen können. Zur Orientierung nutzten sie wahrscheinlich einen Kompass. Der Kompass besteht aus einer Nadel, die sich durch das Erdmagnetfeld ausrichtet. In der Nähe der magnetischen Pole wird dieses Magnetfeld schwächer. Die Kraft das Magnetfelds kann die Kompassnadel nur noch schwer bewegen.
Nimm an, dass Amundsen alle $100\,\text{km}$ einen Schneehügel hat errichten lassen. Er startet von einem der Hügel und zieht mit seiner Crew exakt $100\,\text{km}$ in die angegebene Richtung. Sein Kompass führt ihn jedoch in die Irre. Die Nadel seines Kompass zeigt $10°$ neben die gewünschte Richtung.
Wie weit ist Amundsen am Ende des Wegs vom nächsten Schneehügel entfernt?
Bildnachweise [nach oben]
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[2]
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Einführungsaufgabe

a)
Du kennst die Länge von zwei Seiten und die Länge eines Winkels, der der einen Seite gegenüber liegt. Berechne die Größe des zweiten Winkels mithilfe des Sinussatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{c}{\sin(\gamma)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{4\,\text{cm}}{\sin(15°)}&=&\dfrac{7,73\,\text{cm}}{\sin(\gamma)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\sin(\gamma) \\[5pt] \dfrac{4\,\text{cm}}{0,2588}\cdot\sin(\gamma)&=&7,73\,\text{cm}\\[5pt] 15,45\,\text{cm}\cdot\sin(\gamma)&=&7,73\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;:15,45\,\text{cm}\\[5pt] \sin(\gamma)&=&\dfrac{7,73\,\text{cm}}{15,45\,\text{cm}} \\[5pt] \sin(\gamma)&=&0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1}\\[5pt] \gamma&=&30° \\[5pt] \end{array}$
$ \gamma=30° $
Der Winkel $\gamma$ ist $30°$ groß.
b)
Berechne die Größe des Winkels $\gamma$ mithilfe der Winkelsumme. Du weißt, dass die Winkel $\alpha$ und $\beta$ jeweils $15°$ groß sind und dass die Summe aller Winkel $180°$ groß sein muss. Demnach ist der Winkel $\gamma=180°-15°-15°=150°$ groß. Da die Winkelsumme im Dreieck immer richtig ist, muss das die richtige Größe des Winkels $\gamma$ sein.
c)
Überlege dir, wieso der Sinussatz in Aufgabenteil a) ein falsches Ergebnis geliefert hat. Wenn du nicht weiter weißt, dann kannst du dir überlegen, wie der Graph der Sinusfunktion aussieht oder den richtigen Wert für $\gamma$ in den Sinussatz einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung richtig ist.
Das Problem mit dem Sinussatz ist, dass es für Winkel immer $2$ mögliche Ergebnisse gibt. Der Sinus ist im Bereich zwischen $0°$ und $180°$ symmetrisch zu einer Achse, die Senkrecht auf der $90°$-Stelle steht. Demnach gibt es für jedes Ergebnis zwei mögliche Winkel, die den selben Sinuswert besitzen. Wenn du rechnerisch überprüfst, dann wirst du sehen, dass $\sin(30°)$ und $\sin(150°)$ als Ergebnis jeweils $0,5$ liefern.
Das Ergebnis $30°$ aus dem Sinussatz ist zwar rechnerisch richtig, aber praktisch falsch, da die Winkelsumme im Dreieck nicht erfüllt ist. Das zweite mögliche Ergebnis, das du mit der Formel $\alpha_2=180°-\alpha_1$ berechnen kannst, ist das richtige Ergebnis. Deshalb solltest du den Sinussatz nach Möglichkeit nur für die Berechnung von Streckenlängen verwenden. Wenn du damit Winkelgrößen berechnest, dann gehe sicher, dass du das richtige Ergebnis erhältst.
d)
Berechne abschließend die Länge der Seite $b$ mithilfe des Kosinussatzes. Dieser laute:
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)$
Du kannst den Kosinussatz auch auf andere Seiten anwenden. Dabei entspricht immer das Quadrat einer Seitenlänge der Summe der Quadrate der anderen Seitenlängen minus zweimal dem Produkt der anderen Seitenlängen mal dem Kosinus des Winkels, der der Seite gegenüber liegt. Berechne nun die Länge der Seite $b$.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=&a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] b^2&=&(4\,\text{cm})^2+(7,73\,\text{cm})^2-2\cdot4\,\text{cm}\cdot7,73\,\text{cm}\cdot\cos(15°) \\[5pt] b^2&=&16\,\text{cm}^2+59,75\,\text{cm}^2-61,84\,\text{cm}^2\cdot0,9659 \\[5pt] b^2&=&75,75\,\text{cm}^2-59,73\,\text{cm}^2\\[5pt] b^2&=&16,02\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] b&=&4\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ b=4\,\text{cm} $
Die Seite $b$ ist $4\,\text{cm}$ lang.
#kosinussatz#sinusfunktion#sinussatz

Aufgabe 1

Benutze den Kosinussatz, um die Länge der unbekannten Dreiecksseite zu berechnen. Zur Berechnung brauchst du die Länge der beiden anderen Seiten und die Größe des Winkels, der der Seite gegenüber liegt.
a)
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] c^2&=&(5\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2-2\cdot 5\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}\cdot \cos(45°) \\[5pt] c^2&=&25\,\text{cm}^2+9\,\text{cm}^2-30\,\text{cm}^2\cdot 0,7071 \\[5pt] c^2&=&34\,\text{cm}^2-21,21\,\text{cm}^2 \\[5pt] c^2&=&12,79\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] c&=&3,58\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ c=3,58\,\text{cm} $
Die Seite $c$ ist $3,58\,\text{cm}$ lang.
b)
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=&b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] a^2&=&(4\,\text{cm})^2+(6\,\text{cm})^2-2\cdot 4\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm}\cdot \cos(60°) \\[5pt] a^2&=&16\,\text{cm}^2+36\,\text{cm}^2-48\,\text{cm}^2\cdot 0,5 \\[5pt] a^2&=&52\,\text{cm}^2-24\,\text{cm}^2 \\[5pt] a^2&=&28\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] a&=&5,29\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ a=5,29\,\text{cm} $
Die Seite $a$ ist $5,29\,\text{cm}$ lang.
c)
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=&a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] b^2&=&(9\,\text{cm})^2+(8\,\text{cm})^2-2\cdot 9\,\text{cm}\cdot 8\,\text{cm}\cdot \cos(15°) \\[5pt] b^2&=&81\,\text{cm}^2+64\,\text{cm}^2-144\,\text{cm}^2\cdot 0,9659 \\[5pt] b^2&=&145\,\text{cm}^2-139,10\,\text{cm}^2 \\[5pt] b^2&=&5,90\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] b&=&2,43\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ b=2,43\,\text{cm} $
Die Seite $b$ ist $2,43\,\text{cm}$ lang.
d)
Nun fehlt dir die Angabe des Winkels $\gamma$. Du kennst jedoch die Größen der anderen Winkel. Über die Winkelsumme im Dreieck kannst du die Größe des Winkels $\gamma$ berechnen. Sie ist $180°-40°-60°=80°$.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] c^2&=&(3\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2-2\cdot 3\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}\cdot \cos(80°) \\[5pt] c^2&=&9\,\text{cm}^2+16\,\text{cm}^2-24\,\text{cm}^2\cdot 0,1736 \\[5pt] c^2&=&25\,\text{cm}^2-4,17\,\text{cm}^2 \\[5pt] c^2&=&20,83\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] c&=&4,56\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ c=4,56\,\text{cm} $
Die Seite $c$ ist $4,56\,\text{cm}$ lang.
e)
Hier fehlt dir erneut die Größenangabe des richtigen Winkels. Du hast jedoch keine Möglichkeit sie zu bestimmen. Stelle den Kosinussatz mithilfe des bekannten Winkels auf und forme um.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=&a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] (3\,\text{cm})^2&=&(2\,\text{cm})^2+c^2-2\cdot 2\,\text{cm}\cdot c\cdot \cos(60°) \\[5pt] 9\,\text{cm}^2&=&4\,\text{cm}^2+c^2-4\,\text{cm}^2\cdot c\cdot 0,5 \\[5pt] 9\,\text{cm}^2&=&c^2-2\,\text{cm}^2\cdot c+4\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;-9\,\text{cm}^2\\[5pt] 0&=&c^2-2\,\text{cm}^2\cdot c-5\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel}\\[5pt] c_{1,2}&=& \dfrac{2\,\text{cm}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2\,\text{cm}}{2}\right)^2+5\,\text{cm}^2} \\[5pt] c_{1,2}&=& 1\,\text{cm}\pm \sqrt{1\,\text{cm}^2+5\,\text{cm}^2} \\[5pt] c_{1,2}&=& 1\,\text{cm}\pm \sqrt{6\,\text{cm}^2} \\[5pt] c_{1,2}&=& 1\,\text{cm}\pm 2,45\,\text{cm} \\[5pt] c_{1}&=& 1\,\text{cm}+ 2,45\,\text{cm} \\[5pt] c_{1}&=& 3,45\,\text{cm} \\[10pt] c_{2}&=& 1\,\text{cm}- 2,45\,\text{cm} \\[5pt] c_{2}&=& -1,45\,\text{cm} \\[10pt] \end{array}$
$ c_1=3,45\,\text{cm}\quad c_2=-1,45\,\text{cm} $
Die Seite $c$ kann entweder $3,45\,\text{cm}$ oder $-1,45\,\text{cm}$ lang sein. Da eine negative Länge keinen Sinn ergibt, muss das Ergebnis $3,45\,\text{cm}$ richtig sein.
#pq-formel#mitternachtsformel#kosinussatz

Aufgabe 2

Betrachte die Grundformel für die Berechnung der Länge der Seite $c$:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma)$
In der Aufgabenstellung steht, dass der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes ist. Wieso ist das so?
Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall, weil bei einer Winkelgröße von $90°$ der Kosinus zu $0$ wird. Wenn du noch einmal in die weiter oben gegebene Formel schaust, dann würdest du den Ausdruck $-2ab$ mit $0$ multiplizieren, d.h. er fällt aus der Gleichung heraus und übrig bleibt die bekannte Formel des Satz des Pythagoras $c^2=a^2+b^2$.
Der Ausdruck $a^2+b^2$ bezeichnet das Quadrat der Seitenlängen der Katheten, das mit dem Quadrat über der Hypotenuse gleichgesetzt wird. Der hintere Ausdruck ist ein Korrekturfaktor, der abgezogen wird. Was heißt es für das Verhältnis der Quadrate, wenn ein Wert vom Kathetenquadrat abgezogen werden muss, damit beide Werte gleich sind?
Wird ein Wert abgezogen, dann heißt das, dass das Quadrat der Katheten größer sein muss als das Quadrat der Hypotenuse. Wann ist der Korrekturfaktor negativ?
Wenn du dir den Korrekturfaktor $-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\gamma)$ anschaust, dann ist er negativ, solange alle Variablen positiv bleiben. Die Seitenlängen $a$ und $b$ sind immer positiv, da negative Seitenlängen keinen Sinn ergeben. Wichtig ist nur, dass der Wert des Cosinus positiv ist. Für welche Winkelmaße ist der Wert des Kosinus positiv?
Der Wert des Kosinus ist für Winkelmaße zwischen $0°$ und $90°$ positiv. Die beiden Randwerte fallen hierbei raus, da ein $0°$ Winkel keinen Sinn ergibt und bei $90°$ der Kosinus $0$ ist. Solange das Winkelmaß also in diesem Bereich ist, wird der Wert des Kosinus positiv, d.h. der Korrekturfaktor ist negativ. Wenn der Korrekturfaktor negativ ist, dann muss man einen Wert vom Quadrat der Katheten abziehen, damit es gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. In diesem Bereich ist das Quadrat der Katheten also größer als das Quadrat der Hypotenuse. Für welche Werte wird der Kosinus negativ?
Im Bereich zwischen $90°$ und $180°$ ist der Kosinus negativ. Die Randwerte fallen hier wieder heraus, weil bei $90°$ der Kosinus $0$ ist und bei $180°$ die beiden anderen Winkel $0°$ sind, was keinen Sinn ergibt. In dem Bereich dazwischen ist der Kosinus aber negativ, d.h. der Korrekturfaktor wird positiv. Wenn der Korrekturfaktor positiv ist, dann musst du einen Wert zum Quadrat der Katheten hinzuzählen, damit es genauso groß ist, wie das Quadrat der Hypotenuse. In diesem Bereich ist das Quadrat der Hypotenuse also größer als das der Kathetenquadrate.
Für einen Winkel $\gamma$ für den gilt $0°<\gamma<90°$ ist der Flächeninhalt der Quadrate über den Seiten $a$ und $b$ größer als der Flächeninhalt des Quadrats über der Seite $c$. Wenn für den Winkel gilt $90°<\gamma<180°$, dann ist der Flächeninhalt der Quadrate über den Seiten $a$ und $b$ kleiner als der Flächeninhalt des Quadrats über der Seite $c$.
#satzdespythagoras#kosinusfunktion#kosinussatz

Aufgabe 3

Berechne die Größe des Winkels, indem du den Kosinussatz so aufstellst, dass er die Größe des gesuchten Winkels enthält. Forme die Gleichung um und berechne die Größe des Winkels.
a)
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=&b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] (3\,\text{cm})^2&=&(7\,\text{cm})^2+(6\,\text{cm})^2-2\cdot 7\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) \\[5pt] 9\,\text{cm}^2&=&49\,\text{cm}^2+36\,\text{cm}^2-84\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) \\[5pt] 9\,\text{cm}^2&=&85\,\text{cm}^2-84\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;-85\,\text{cm}^2\\[5pt] -76\,\text{cm}^2&=&-84\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;:-84\,\text{cm}^2\\[5pt] 0,9048&=&\cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] 25,2°&=&\alpha\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=25,2° $
Der Winkel $\alpha$ ist $25,2°$ groß.
b)
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=&b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] (4\,\text{cm})^2&=&(5\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2-2\cdot 5\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) \\[5pt] 16\,\text{cm}^2&=&25\,\text{cm}^2+16\,\text{cm}^2-40\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) \\[5pt] 16\,\text{cm}^2&=&41\,\text{cm}^2-40\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;-41\,\text{cm}^2\\[5pt] -25\,\text{cm}^2&=&-40\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;:-40\,\text{cm}^2\\[5pt] 0,625&=&\cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] 51,3°&=&\alpha\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=51,3° $
Der Winkel $\alpha$ ist $51,3°$ groß.
c)
Hier fehlt dir die Angabe über eine Seite. Dafür hast du den Winkel $\gamma$ gegeben. Es handelt sich um einen rechten Winkel. Du kannst die fehlende Seitenlänge also über den Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] c^2&=&(7\,\text{cm})^2+(9\,\text{cm})^2 \\[5pt] c^2&=&49\,\text{cm}^2+81\,\text{cm}^2 \\[5pt] c^2&=&130\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] c&=&11,4\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ c=11,4\,\text{cm} $
Die Seite $c$ ist $11,4\,\text{cm}$ lang. Berechne die Größe des Winkels $\alpha$.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=&b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] (7\,\text{cm})^2&=&(9\,\text{cm})^2+(11,4\,\text{cm})^2-2\cdot 9\,\text{cm}\cdot 11,4\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) \\[5pt] 49\,\text{cm}^2&=&81\,\text{cm}^2+129,96\,\text{cm}^2-205,2\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) \\[5pt] 49\,\text{cm}^2&=&210,96\,\text{cm}^2-205,2\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;-210,96\,\text{cm}^2\\[5pt] -161,96\,\text{cm}^2&=&-205,2\,\text{cm}\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;:-205,2\,\text{cm}^2\\[5pt] 0,7893&=&\cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] 37,9°&=&\alpha\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=37,9° $
Der Winkel $\alpha$ ist $37,9°$ groß.
#satzdespythagoras#kosinussatz

Aufgabe 4

a)
Du kannst dir zum besseren Verständnis die beiden Vektoren in ein Koordinatensystem einzeichnen. Die erste Koordinate gibt die Bewegung in $x$-Richtung an. Die zweite Koordinate gibt die Bewegung in $y$-Richtung an. Die Vektoren im Koordinatensystem sehen so aus:
Die beiden Vektoren haben entweder nur eine $x$-Komponente oder eine $y$-Komponente. Demnach muss der Winkel $\alpha$ zwischen ihnen $90°$ betragen. Ein Blick in die Zeichnung zeigt das.
Dadurch, dass die beiden Vektoren entweder zur $x$- oder $y$-Achse parallel sind, fällt es auch leicht ihre Länge zu bestimmen. Die Kraft $F_1$ entspricht $4\,N$ und die Kraft $F_2$ entspricht $2\,N$.
Wenn du die Zeichnung betrachtest, dann siehst du, dass die drei Vektoren der drei Kräfte ein Dreieck bilden. Du kennst den Winkel zwischen $\overrightarrow{f_1}$ und $\overrightarrow{f_2}$. Du willst den Betrag, also die Länge des Vektors $\overrightarrow{f_r}$ berechnen. Das geht mit dem Kosinussatz. In der Formel werden die Kräfte $F_1$, $F_2$ und $F_R$ angegeben. Sie stehen für die Beträge, also die Längen der Vektoren.
$\begin{array}[t]{rll} F_R^2&=&F_1^2+F_2^2-2\cdot F_1\cdot F_2\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] F_R^2&=&(4\,N)^2+(2\,N)^2-2\cdot 4\,N\cdot 2\,N\cdot \cos(90°) \\[5pt] F_R^2&=&16\,N^2+4\,N^2-16\,N^2\cdot 0 \\[5pt] F_R^2&=&20\,N^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] F_R&=&4,47\,N\\[5pt] \end{array}$
$ F_R=4,47\,N $
Auf die Kiste wirkt eine resultierende Kraft von $F_R=4,47\,N$.
b)
Wenn die Kiste eigentlich in Richtung des Vektors $\overrightarrow{f_1}$ geschoben werden soll, aber in Richtung von Vektor $\overrightarrow{f_r}$ geschiben wird, dann suchst du den Winkel, der in der Abbildung zwischen $\overrightarrow{f_1}$ und $\overrightarrow{f_r}$ liegt. Bennen diesen Winkel $\beta$ und berechne seine Größe mithilfe des Kosinussatzes.
$\begin{array}[t]{rll} F_2^2&=&F_1^2+F_R^2-2\cdot F_1\cdot F_R\cdot \cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] (2\,N)^2&=&(4\,N)^2+(4,47\,N)^2-2\cdot 4\,N\cdot 4,47\,N\cdot \cos(\beta) \\[5pt] 4\,N^2&=&16\,N^2+20\,N^2-35,76\,N^2\cdot \cos(\beta) \\[5pt] 4\,N^2&=&36\,N^2-35,76\,N^2\cdot \cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\;-36\,N^2\\[5pt] -32\,N^2&=&-35,76\,N^2\cdot \cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\;:-35,76\,N^2\\[5pt] 0,8949&=&\cos(\beta) &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] 26,5°&=&\beta\\[5pt] \end{array}$
$ \beta=26,5° $
Der Winkel zwischen den beiden Richtungen ist $26,5°$ groß.
#kosinussatz#vektoren

Aufgabe 5

Amundson zieht aber nicht in Richtung Hügel, sondern folgt einem Weg, der im Winkel von $10°$ zu dem direkten Weg steht. Der Weg den er geht ist ebenfalls $100\,\text{km}$ lang. Am Ende gibt dir rote Strecke den Abstand zwischen Amundson und dem nächsten Hügel an. Du kannst die Länge des Abstands über den Kosinussatz berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x^2&=&(100\,\text{km})^2+(100\,\text{km})^2-2\cdot 100\,\text{km}\cdot 100\,\text{km}\cdot\cos(10°) \\[5pt] x^2&=&10.000\,\text{km}^2+10.000\,\text{km}^2-20.000\,\text{km}^2\cdot0,9848 \\[5pt] x^2&=&20.000\,\text{km}^2-19.696\,\text{km}^2\\[5pt] x^2&=&304\,\text{km}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] x&=&17,4\,\text{km}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ x=17,4\,\text{km} $
Mit einer leichten Abweichung von $10°$ wäre Amundson bereits $17,4\,\text{km}$ vom nächsten Hügel entfernt gelandet.
#kosinussatz
Bildnachweise [nach oben]
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