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Sinussatz

Spickzettel
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Der Sinussatz setzt die Quotienten aus der Länge einer Dreiecksseite und dem Sinus des gegenüberligenden Winkels gleich. Mit ihm kannst du Seitenlängen und Winkelgrößen berechnen. Der Sinussatz lautet:
$\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$
$\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$
Sei vorsichtig, wenn du den Sinussatz benutzt, um Winkelgrößen zu berechnen. Der Sinus ist im Bereich $[0°;180°]$ achsensymmetrisch zur Stelle $\alpha=90°$. Demnach kann es immer zwei Ergebnisse geben, die das selbe Ergebnis des Sinus liefern. Achte darauf, dass die Winkelsumme im Dreieck erfüllt ist.
#sinusfunktion#sinussatz
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Du hast das allgemeine Dreieck $ABC$ gegeben. Die Grundseite $c$ ist $7\,\text{cm}$ lang. Die Seite $a$ ist $5\,\text{cm}$ lang und liegt dem $45°$-Winkel $\alpha$ gegenüber.
a)
Berechne die Größe des Winkels $\gamma$ mithilfe des Sinussatzes.
b)
Berechne die Größe des Winkels $\beta$ über die Winkelsumme in einem Dreieck.
c)
Berechne die Länge der Seite $b$ mithilfe des Sinussatzes.
#sinussatz#dreieck

Aufgabe 1

Berechne die fehlenden Angaben der Dreiecke.
a)
$a=7\,\text{cm}\quad$$\beta=39°\quad$$\alpha=51°$
b)
$b=4\,\text{cm}\quad$$c=5,66\,\text{cm}\quad$$\beta=45°$
c)
$c=8\,\text{cm}\quad$$\gamma=30°\quad$$\alpha=35°$
#dreieck#sinussatz

Aufgabe 2

Bei manchen Dreiecken in den vorherigen Aufgaben handelt es sich um besondere Dreiecke. Welche Dreiecke aus den vorherigen Aufgaben sind das und um welche Art Dreieck handelt es sich?
#dreieck

Aufgabe 3

Berechne alle fehlenden Angaben über Seitenlängen und Winkelgrößen des Parallelogramms $ABCD$. Die Länge der Diagonalen ist nicht wichtig.
a)
$\overline{BD}=5\,\text{cm}\quad$$\overline{AB}=\overline{CD}=4\,\text{cm}\quad$$\alpha=\gamma=45°$
b)
$\overline{BD}=5,06\,\text{cm}\quad$$\overline{AB}=6\,\text{cm}\quad$$\overline{BC}=7\,\text{cm}\quad$$\delta_1=57°\quad$$\delta_2=78°$
$\delta_1$ liegt im Dreieck $ABD$ und $\delta_2$ im Dreieck $BCD$.
#parallelogramm

Aufgabe 4

Berechnung in beliebigen Dreiecken: Sinussatz
Abb. 1: Skizze nicht Maßstabsgetreu
Berechnung in beliebigen Dreiecken: Sinussatz
Abb. 1: Skizze nicht Maßstabsgetreu
#dreieck

Aufgabe 5

Anfangs hat die Mannschaft das Licht des Leuchtturms aus einem Winkel von $\alpha=57°$ gesehen. Nach einer Strecke von $13,5\,\text{sm}$ sehen sie das Leuchtfeuer aus einem Winkel von ungefähr $\beta=132°$.
Wie weit ist das Schiff zu den beiden Zeitpunkten jeweils vom Leuchtturm entfernt?
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Der Sinussatz setzt den Quotienten von Seitenlänge und Sinus des gegenüberliegenden Winkels der unterschiedlichen Seiten und Winkel ins Verhältnis. Er kann in jedem Dreieck angewendet werden. Wenn du z.B. die Länge von zwei Dreiecksseiten kennst und die Größe eines der gegenüberliegenden Winkel, dann kannst du die Größe des fehlenden Winkels berechnen.
Das ist hier der Fall. Berechne die Größe des Winkels $\gamma$ mithilfe des Sinussatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{c}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{a}{\sin(\alpha)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{7\,\text{cm}}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{5\,\text{cm}}{\sin(45°)} \\[5pt] \dfrac{7\,\text{cm}}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{5\,\text{cm}}{0,7071} \\[5pt] \dfrac{7\,\text{cm}}{\sin(\gamma)}&=&7,071\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\sin(\gamma)\\[5pt] 7\,\text{cm}&=&7,071\,\text{cm}\cdot\sin(\gamma) &\quad \scriptsize \mid\;:7,071\,\text{cm}\\[5pt] \dfrac{7\,\text{cm}}{7,071\,\text{cm}}&=&\sin(\gamma) \\[5pt] 0,9900&=&\sin(\gamma) &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1}\\[5pt] 81,9°&=&\gamma \\[5pt] \end{array}$
$ \gamma=81,9° $
Der Winkel $\gamma$ ist $81,9°$ groß.
b)
Jetzt kennst du die Größe von zwei Winkeln im Dreieck. Über die Winkelsumme im Dreieck kannst du die Größe des letzten Winkels berechnen. Die Größe aller drei Winkel addiert muss $180°$ ergeben. Demnach erhältst du die Größe des Winkels $\beta$, indem du von $180°$ die Größe der beiden anderen Winkel abziehst.
$\beta=180°-\alpha-\gamma=53,1°$
Der Winkel $\beta$ ist $53,1°$ groß.
c)
Nun kannst du ähnlich wie in Aufgabenteil a) die Länge der Seite $b$ mithilfe des Sinussatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{\sin(45°)}&=&\dfrac{b}{\sin(53,1°)} \\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{0,7071}&=&\dfrac{b}{0,7997} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,7997\\[5pt] 7,071\,\text{cm}\cdot 0,7997&=&b\\[5pt] 5,7\,\text{cm}&=&b\\[5pt] \end{array}$
$ b=5,7\,\text{cm} $
Die Seite $b$ ist $5,7\,\text{cm}$ lang.
#sinussatz

Aufgabe 1

Gehe bei dieser Aufgabe ähnlich wie in der Einführungsaufgabe vor. Berechne Seitenlängen über den Sinussatz und wenn du zwei Winkel kennst die fehlende Winkelgröße über die Winkelsumme im Dreieck.
a)
Du kennst bereits die Größe von zwei Winkeln. Demnach ist $\gamma=180°-51°-39°=90°$ groß.
Berechne die Länge von $b$ über den Sinussatz.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{7\,\text{cm}}{\sin(51°)}&=&\dfrac{b}{\sin(39°)} \\[5pt] \dfrac{7\,\text{cm}}{0,7771}&=&\dfrac{b}{0,6293} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 0,6293\\[5pt] 9,01\,\text{cm}\cdot0,6293&=&b \\[5pt] 5,7\,\text{cm}&=&b \\[5pt] \end{array}$
$ b=5,7\,\text{cm} $
Die Seite $b$ ist $5,7\,\text{cm}$ lang. Berechen die Länge der Seite $c$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{c}{\sin(\gamma)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{7\,\text{cm}}{\sin(51°)}&=&\dfrac{c}{\sin(90°)} \\[5pt] \dfrac{7\,\text{cm}}{0,7771}&=&\dfrac{b}{1} \\[5pt] 9,0\,\text{cm}&=&b \\[5pt] \end{array}$
$ b=9,0\,\text{cm} $
Die Seite $c$ ist $9\,\text{cm}$ lang. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle noch einmal dargestellt.
MaßWert
$a$$7\,\text{cm}$
$b$$5,7\,\text{cm}$
$c$$9\,\text{cm}$
$\alpha$$51°$
$\beta$$39°$
$\gamma$$90°$
b)
Berechne die Größe des Winkels $\gamma$ über den Sinussatz.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{c}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{5,66\,\text{cm}}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{\sin(45°)} \\[5pt] \dfrac{5,66\,\text{cm}}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{0,7071} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin(\gamma)\\[5pt] 5,66\,\text{cm}&=&5,66\,\text{cm} \cdot \sin(\gamma) \quad \scriptsize \mid\;:5,66\,\text{cm}\\[5pt] 1&=&\sin(\gamma) \quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1}\\[5pt] 90°&=&\gamma\\[5pt] \end{array}$
$ \gamma=90° $
Der Winkel $\gamma$ ist $90°$ groß. Nun kennst du die Größe von zwei Winkeln. Demnach ist $\alpha=180°-90°-45°=45°$ groß. Berechen die Länge der Seite $a$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{a}{\sin(45°)}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{\sin(45°)} \\[5pt] \dfrac{a}{0,7071}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{0,7071} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 0,7071\\[5pt] a&=&5,66\,\text{cm}\cdot 0,7071 \\[5pt] a&=&4\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ a=4\,\text{cm} $
Die Seite $a$ ist $4\,\text{cm}$ lang. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle noch einmal dargestellt.
MaßWert
$a$$4\,\text{cm}$
$b$$4\,\text{cm}$
$c$$5,66\,\text{cm}$
$\alpha$$45°$
$\beta$$45°$
$\gamma$$90°$
c)
Du kennst bereits die Größe von zwei Winkeln. Demnach ist $\beta=180°-30°-35°=115°$ groß.
Berechne die Länge von $b$ über den Sinussatz.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{c}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{8\,\text{cm}}{\sin(30°)}&=&\dfrac{b}{\sin(115°)} \\[5pt] \dfrac{8\,\text{cm}}{0,5}&=&\dfrac{b}{0,9063} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 0,9063\\[5pt] 16\,\text{cm}\cdot0,9063&=&b \\[5pt] 14,5\,\text{cm}&=&b \\[5pt] \end{array}$
$ b=14,5\,\text{cm} $
Die Seite $b$ ist $14,5\,\text{cm}$ lang. Berechen die Länge der Seite $a$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{c}{\sin(\gamma)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{a}{\sin(35°)}&=&\dfrac{8\,\text{cm}}{\sin(30°)} \\[5pt] \dfrac{a}{0,5736}&=&\dfrac{8\,\text{cm}}{0,5} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,5736\\[5pt] a&=&16\,\text{cm} \cdot 0,5736\\[5pt] a&=&9,2\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ a=9,2\,\text{cm} $
Die Seite $a$ ist $9,2\,\text{cm}$ lang. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle noch einmal dargestellt.
MaßWert
$a$$9,2\,\text{cm}$
$b$$14,5\,\text{cm}$
$c$$8\,\text{cm}$
$\alpha$$35°$
$\beta$$105°$
$\gamma$$30°$
#sinussatz

Aufgabe 2

Überlege dir, welche besonderen Dreiecke es gibt und woran du sie erkennst. Anschließend überprüfe die Angaben der Dreiecke aus der Einführungsaufgabe und Aufgabe 1, ob die Kriterien erfüllt sind. Kann ein Dreieck mehr als eine besondere Art Dreieck sein?
Es gibt gleischseitige, gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke. Ein gleichseitiges Dreieck erkennst du daran, dass alle Seiten und Winkel gleich groß sind. Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten und die zwei dazugehörigen Winkel gleich groß. Ein rechtwinkliges Dreieck erkennst du daran, dass ein Winkel $90°$ groß ist. Überprüfe, welche Dreiecke aus den vorherigen Aufgaben auf diese Kriterien passen.
In den bisherigen Aufgaben sind keine gleichseitigen Dreiecke vorhanden.
Das Dreieck aus Aufgabe 1 b) ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Seiten $a$ und $b$ sind gleich groß, genauso wie die Winkel $\alpha$ und $\beta$.
Die Dreiecke aus Aufgabe 1 a) und b) sind jeweils rechtwinklige Dreiecke.
#gleichseitigesdreieck#gleichschenkligesdreieck#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe 3

Ein Parallelogramm zeichnet sich dadurch aus, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. Gegenüberliegende Winkel sind ebenfalls gleich groß. Du kannst eine Diagonale z.B. die von $B$ nach $D$ einzeichnen und teilst das Parallelogramm so in zwei Dreiecke. In diesen kannst du mit dem Sinussatz Größen berechnen.
a)
In diesem Parallelogramm kennst du die Länge einer Diagonalen und die Länge von zwei gegenüberliegenden Seiten. Ebenso kennst du die Größen der Winkel, die nicht durch die Diagonale geteilt werden.
Berechne die Größe des Winkelstücks $\delta_1$, das im Dreieck $ABD$ liegt, mithilfe des Sinussatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BD}}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\sin(\delta_1)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{\sin(45°)}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{\sin(\delta_1)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\sin(\delta_1) \\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{0,7071}\cdot\sin(\delta_1)&=&4\,\text{cm}\\[5pt] 7,071\,\text{cm}\cdot\sin(\delta_1)&=&4\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;:7,071\\[5pt] \sin(\delta_1)&=&0,5657&\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1}\\[5pt] \delta_1&=&34,5°\\[5pt] \end{array}$
$ \delta_1=34,5° $
Der Teil des Winkels $\delta$, der im Dreieck $ABD$ liegt, ist $34,5°$ groß. Über die Winkelsumme kannst du den Teil des Winkels $\beta$ berechnen, der im Dreieck $ABD$ liegt. Dieses Stück ist $\beta_1=180°-45°-34,5°=100,5°$ groß.
Nun kannst du die Länge der Seite $\overline{AD}$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AD}}{\sin(\beta_1)}&=&\dfrac{\overline{BD}}{\sin(\alpha)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{\overline{AD}}{\sin(100,5°)}&=&\dfrac{5\,\text{cm}}{\sin(45°)}\\[5pt] \dfrac{\overline{AD}}{0,9833}&=&\dfrac{5\,\text{cm}}{0,7071} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,9833\\[5pt] \overline{AD}&=&7,071\,\text{cm}\cdot 0,9833\\[5pt] \overline{AD}&=&6,95\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ \overline{AD}=6,95\,\text{cm} $
Die Seite $\overline{AD}$ ist $6,95\,\text{cm}$ lang. Sie ist genauso lang wie die Seite $\overline{BC}$. Berechne anschließend die Größe des Winkelstücks $\beta_2$, das im Dreieck $BCD$ liegt.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BD}}{\sin(\gamma)}&=&\dfrac{\overline{CD}}{\sin(\beta_2)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{\sin(45°)}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{\sin(\beta_2)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\sin(\beta_2) \\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{0,7071}\cdot\sin(\beta_2)&=&4\,\text{cm}\\[5pt] 7,071\,\text{cm}\cdot\sin(\beta_2)&=&4\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;:7,071\\[5pt] \sin(\beta_2)&=&0,5657&\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1}\\[5pt] \beta_2&=&34,5°\\[5pt] \end{array}$
$ \beta_2=34,5° $
Das Winkelstück $\beta_2$ ist $34,5°$ groß. Demnach ist der Winkel $\beta=100,5°+34,5°=135°$ groß. Er ist genauso groß wie der Winkel $\delta$. Die Angaben des Parallelogramms sind in der folgenden Tabelle dargestellt:
AngabeWert
$\overline{AB}$ bzw. $\overline{CD}$$4\,\text{cm}$
$\overline{BC}$ bzw. $\overline{AD}$$6,95\,\text{cm}$
$\alpha$ bzw. $\gamma$$45°$
$\beta$ bzw. $\delta$$135°$
b)
Du kennst in dem Parallelogramm die Länge der Diagonale von $B$ nach $D$, sowie die Länge der Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$. Da in einem Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind, kennst du damit auch die Länge der Seiten $\overline{CD}$ und $\overline{AD}$. Nun benötigst du nur noch die Angaben zu den Größen der Winkel.
Du weißt, dass der Winkel $\delta$ aus den beiden Winkeln $\delta_1$ und $\delta_2$ besteht. Demnach kannst du seine Größe anhand der gegebenen Informationen berechnen. Er ist $\delta=\delta_1+\delta_2=135°$ groß. Nun kannst du mithilfe der übrigen Angaben die Größe des letzten Winkels über den Sinussatz berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BD}}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\sin(\delta_1)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{5,06\,\text{cm}}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{6\,\text{cm}}{\sin(57°)} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\sin(\alpha) \\[5pt] 5,06\,\text{cm}&=&\dfrac{6\,\text{cm}}{0,8387}\cdot\sin{\alpha}\\[5pt] 5,06\,\text{cm}&=&7,15\,\text{cm}\cdot\sin{\alpha} &\quad \scriptsize \mid\; :7,15\,\text{cm}\\[5pt] 0,7077&=&\sin{\alpha} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] 45°&=&\alpha \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=45° $
Der Winkel $\alpha$ und damit auch der Winkel $\gamma$ sind jeweils $45°$ groß. Der Winkel $\beta$ ist genauso groß wie der Winkel $\delta$. Du hättest die Größe des Winkels $\alpha$ bzw. $\gamma$ auch über die Winkelsumme im Viereck berechnen können. Die Summe aller Winkel ist im Viereck $360°$ und die Größe von zwei Winkeln kennst du. Die anderen beiden Winkel sind gleich groß. Die Angaben des Parallelogramms sind in der folgenden Tabelle dargestellt:
AngabeWert
$\overline{AB}$ bzw. $\overline{CD}$$6\,\text{cm}$
$\overline{BC}$ bzw. $\overline{AD}$$7\,\text{cm}$
$\alpha$ bzw. $\gamma$$45°$
$\beta$ bzw. $\delta$$135°$
#sinussatz

Aufgabe 4

Betrachte die Abbildung und überlege dir, wie du die Länge der grünen Strecke berechnen würdest und welche Angaben du dazu brauchst. Wenn dir Angaben fehlen, dann überlege dir, wie du sie berechnen kannst.
Wenn du die Länge der grünen Strecke berechnen willst, dann benötigst du die Länge der Strecke, die zwischen den beiden linken Dreiecken liegt. Um diese zu berechnen, benötigst du die Länge der ganzen Strecke, auf der der Punkt $A$ liegt. Du kannst ihre halbe Strecke mithilfe des rechten, unteren Dreiecks berechnen. Dazu benötigst du jedoch die Länge der Strecke, die zwischen den beiden rechten Dreiecken liegt. Du kennst die Länge von $a$ und von da aus kannst du die anderen benötigten Streckenlängen berechnen.
Berechne zuerst die Länge der Seite $b$ mithilfe des Sinussatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin(\alpha_2)}&=&\dfrac{b}{\sin(\alpha_1)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{\sin(90°)}&=&\dfrac{b}{\sin(60°)} \\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{1}&=&\dfrac{b}{0,8660} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,8660\\[5pt] 4,33\,\text{cm}&=&b\\[5pt] \end{array}$
$ b=4,33\,\text{cm} $
Die Seite $b$ ist $4,33\,\text{cm}$ lang. Berechne nun die Länge der Seite $c$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{b}{\sin(\beta_2)}&=&\dfrac{c}{\sin(\beta_1)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{4,33\,\text{cm}}{\sin(30°)}&=&\dfrac{c}{\sin(45°)} \\[5pt] \dfrac{4,33\,\text{cm}}{0,5}&=&\dfrac{c}{0,7071} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,7071\\[5pt] 8,66\,\text{cm}\cdot 0,7071&=&c\\[5pt] 6,12\,\text{cm}&=&c\\[5pt] \end{array}$
$ c=6,12\,\text{cm} $
Die Seite $c$ ist $6,12\,\text{cm}$ lang. Die lange Seite wird durch den Punkt $A$ in zwei gleich große Teile geteilt. Sie ist also doppelt so lang wie $c$. Berechne nun die Länge der Seite $d$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2c}{\sin(\gamma_2)}&=&\dfrac{d}{\sin(\gamma_1)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2\cdot6,12\,\text{cm}}{\sin(60°)}&=&\dfrac{d}{\sin(75°)} \\[5pt] \dfrac{12,24\,\text{cm}}{0,8660}&=&\dfrac{d}{0,9659} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,9659\\[5pt] 14,13\,\text{cm}\cdot 0,9659&=&d\\[5pt] 13,65\,\text{cm}&=&d\\[5pt] \end{array}$
$ d=13,65\,\text{cm} $
Die Seite $d$ ist $13,65\,\text{cm}$ lang. Berechne nun die Länge der Seite $x$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{d}{\sin(\delta_2)}&=&\dfrac{x}{\sin(\delta_1)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{13,65\,\text{cm}}{\sin(30°)}&=&\dfrac{x}{\sin(90°)} \\[5pt] \dfrac{13,65\,\text{cm}}{0,5}&=&\dfrac{x}{1} \\[5pt] 27,3\,\text{cm}&=&x\\[5pt] \end{array}$
$ x=27,3\,\text{cm} $
Die Seite $x$ ist $27.3\,\text{cm}$ lang.
#sinussatz

Aufgabe 5

In der Abbildung in der Aufgabenstellung siehst du das Dreieck und die beiden Winkel eingezeichnet. Du kannst die Abstände, also die Länge der beiden Dreiecksseiten, die vom Schiff zum Leuchtturm führen, mit dem Sinussatz berechnen. Überlege dir dabei vorher, welche Größen innerhalb des Dreiecks du kennst und welche du berechnen kannst.
Du kennst die Größe des Winkels $\alpha$ und die Strecke $s$, die das Schiff gefahren ist, also die Länge der Strecke, die dem Leuchtturm gegenüber liegt.
Der Winkel $\beta$ liegt nicht im Dreieck, dafür aber sein Nebenwinkel. In der Summe ergeben beide Winkel $180°$. Du kannst also die Größe des Winkels $\beta'$ berechnen, der im Dreieck liegt. Er ist $180°-132°=48°$ groß.
Über die Winkelsumme im Dreieck kannst du nun auch die Größe des Winkels $\gamma$, also des Winkels zwischen den beiden Abständen am Leuchtturm berechnen. Er ist $180-57°-48°=75°$ groß. Nun kannst du die beiden Abstände $a_1$ und $a_2$ mithilfe des Sinussatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a_1}{\sin(\beta')}&=&\dfrac{s}{\sin(\gamma)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{a_1}{\sin(48°)}&=&\dfrac{13,5\,\text{sm}}{\sin(75°)} \\[5pt] \dfrac{a_1}{0,7431}&=&\dfrac{13,5\,\text{sm}}{0,9659} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,7431\\[5pt] a_1&=&13,98\,\text{sm}\cdot0,7431\\[5pt] a_1&=&10,39\,\text{sm}\\[5pt] \end{array}$
$ a_1=10,39\,\text{sm} $
Anfangs ist das Schiff $10,39\,\text{sm}$ vom Leuchtturm entfernt.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a_2}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{s}{\sin(\gamma)} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{a_2}{\sin(57°)}&=&\dfrac{13,5\,\text{sm}}{\sin(75°)} \\[5pt] \dfrac{a_2}{0,8387}&=&\dfrac{13,5\,\text{sm}}{0,9659} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,8387\\[5pt] a_2&=&13,98\,\text{sm}\cdot0,8387\\[5pt] a_2&=&11,73\,\text{sm}\\[5pt] \end{array}$
$ a_2=11,73\,\text{sm} $
Nach $30\,\text{min}$ ist das Schiff $11,73\,\text{sm}$ vom Leuchtturm entfernt.
#sinussatz#winkelsätze
Bildnachweise [nach oben]
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