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Bogenmaß

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Das Bogenmaß ist neben dem uns bereits bekannten Gradmaß, eine andere Möglichkeit einen Winkel anzugeben. Speziell bei periodische Vorgänge, wie beispielsweise eine Sinus- oder Kosinusfunktion zu zeichnen, ist das Bogenmaß sehr hilfreich. Das Bogenmaß besitzt die Einheit radiant (rad), oft schreibt man aber auch das Bogenmaß ohne Einheit.
Das Bogenmaß entspricht der Länge des Kreisbogens im Einheitskreis, bei einem Kreisbogen mit einem bestimmten Winkel. Das Bogenmaß kannst du wie folgt berechnen:
$x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}$
$x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}$
Wenn du also einen Winkel gegeben hast, kannst du das zugehörige Bogenmaß ausrechnen.
#bogenmaß
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Rechne das Intervall in Bogenmaß um: $45°\le \alpha \le 90°$
b)
Gib das Intervall durch Winkel in Gradmaß an: $[0;\pi]$
c)
Berechne die Länge des Kreisbogens zu gegebenen Radius $r$ und Mittelpunktswinkel $\varphi$
$r=2\;\text{cm}\;\; \varphi=20°$
#gradmaß#kreisbogen#bogenmaß

Aufgabe 1

Fülle die Tabelle mit dem entsprechenden Grad- bzw. Bogenmaß aus.
Gradmaß $0^\circ$ $45^\circ$ $90^\circ$ $120^\circ$ $135^\circ$ $270^\circ$ $360^\circ$
Bogenmaß $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$
#gradmaß#bogenmaß

Aufgabe 2

Gib die Bereiche der Winkel im Bogenmaß an.
a)  $0^\circ\le\alpha\le90^\circ$
b)  $30^\circ\leq\alpha\leq60^\circ$
c)  $45^\circ\leq\alpha\leq120^\circ$
d)  $115^\circ\le\alpha\le220^\circ$
e)  $290^\circ\leq\alpha\leq350^\circ$
f)  $270^\circ\le\alpha\le360^\circ$
#bogenmaß

Aufgabe 3

Gib die Intervalle durch Winkel im Gradmaß an.
a)  $\left[\pi;2\pi\right]$
b)  $\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$
c)  $\left[\frac{\pi}{12};\frac{7}{6}\pi\right]$
d)  $\left[\frac{5}{36}\pi;\frac{11}{36}\pi\right]$
e)  $\left[\frac{19}{45}\pi;\frac{22}{45}\pi\right]$
f)  $\left[\frac{29}{18}\pi;2\pi\right]$
#gradmaß

Aufgabe 4

Berechne die Länge $b$ des Kreisbogens zum Radius $r$ und Mittelpunktwinkel $\varphi$
b)
$r=1,5\; \text{cm}\;\;\; \varphi=120°$
d)
$r=3,9\; \text{cm}\;\;\; \varphi=143°$
#kreisbogen

Aufgabe 5

Berechne das Maß $\varphi$ des Mittelpunktswinkels zum Radius $r$ und Bogenmaß $b$.
b)
$r=5\; \text{cm}\;\;\; b=10\; \text{cm}$
d)
$r=11,1\; \text{cm}\;\;\; b=20\; \text{cm}$
#bogenmaß

Aufgabe 6

Der Scheibenwischer eines LKW hat eine Länge von $1 \text{m}$ und eine Spanne von $75^\circ$. Welche Strecke legt die oberste Spitze zurück, wenn der Wischer einmal vor und einmal zurück wischt?

Aufgabe 7

Das Pendel einer Standuhr hat die Länge 1 m.
a)  Es legt pro Schwingung vom höchsten Punkt bis zum höchsten Punkt der anderen Seite eine Strecke von $1,04\,\text{m}$ zurück. In welchem Winkel schwingt es?
b)  Der Schwingungswinkel beträgt nun $20^\circ$. Welchen Weg legt die Spitze des Pendels zurück?
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Um von Gradmaß in Bogenmaß umzurechnen verwendest du die folgende Formel:
$x=\dfrac{\varphi}{180°}\cdot \pi$
Setzt du die Gradmaße für $\pi$ ein, erhältst du:
$x_1=\dfrac{45°}{180°}\cdot \pi= \dfrac{1}{4}\cdot \pi$
und
$x_2=\dfrac{90°}{180°}\cdot \pi= \dfrac{1}{2}\cdot \pi$
Das gesuchte Intervall ist also:
$[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}]$
b)
Um von Bogenmaß in Gradmaß umzurechnen verwendest du die folgende Formel:
$\varphi=\dfrac{x}{\pi}\cdot 180°$
Setzt du die Winkelmaße für $\pi$ ein, erhältst du:
$\varphi_1=\dfrac{0}{\pi}\cdot 180°= 0°$
und
$\varphi_2=\dfrac{\pi}{\pi}\cdot 180°= 180°$
Das gesuchte Intervall ist also:
$0°\le \varphi \le 180°$
c)
Du kannst die Länge $b$ des Kreisbogens zum Radius $r$ und Mittelpunktswinkel $\varphi$ mit der folgenden Formel berechnen:
$b=x\cdot r$
Dabei ist $x$ in Bogenmaß. Da du den Winkel $\varphi$ in Gradmaß angegeben hast, musst du zuerst in Bogenmaß umrechnen. Dazu verwendest du folgende Formel:
$x=\dfrac{\varphi}{180°}\cdot \pi$
Den Wert $x$ kannst du anschließend in die Gleichung für $b$ einsetzten.
Rechne den Winkel zuerst in Bogenmaß um:
$x= \dfrac{40°}{180°}\cdot \pi=\dfrac{2}{9}\pi$
Setzte diesen Wert in die Gleichung für $b$ ein.
$b=\dfrac{2}{9}\pi\cdot 3 \;\text{cm} =\dfrac{2}{3} \pi \;\text{cm} \approx 2,09\;\text{cm}$
#gradmaß#bogenmaß#kreisbogen

Aufgabe 1

Wenn du vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen musst, benutzt du die Formel: $x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}$.
Für die Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß benutzt du die Formel: $\alpha=\dfrac{x\cdot180^\circ}{\pi}$.
Gradmaß $0^\circ$$30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$ $120^\circ$ $135^\circ$ $150^\circ$$180^\circ$ $270^\circ$ $360^\circ$
Bogenmaß0$\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
#gradmaß#bogenmaß

Aufgabe 2

Rechne die Bereiche in Bogenmaß um. Nutze dafür die Formel aus der Einführungsaufgabe.
a)  $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$
b)  $\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right]$
c)  $\left[\frac{\pi}{4};\frac{2\pi}{3}\right]$
d)  $\left[\frac{23}{36}\pi;\frac{11}{9}\pi\right]$
e)  $\left[\frac{29}{18}\pi;\frac{35}{18}\pi\right]$
f)  $\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$
#bogenmaß

Aufgabe 3

Rechne die Intervalle in Gradmaß um. Nutze dafür die Formel aus der Einführungsaufgabe.
a)  $180^\circ\le\alpha\le360^\circ$
b)  $90^\circ\le\alpha\le180^\circ$
c)  $15^\circ\le\alpha\le210^\circ$
d)  $25^\circ\le\alpha\le55^\circ$
e)  $76^\circ\le\alpha\le88^\circ$
f)  $290^\circ\le\alpha\le360^\circ$
#gradmaß

Aufgabe 4

Du kannst die Länge $b$ des Kreisbogens zum Radius $r$ und Mittelpunktwinkel $\varphi$ mit der folgenden Formel berechnen:
$b=x\cdot r$
Dabei ist $x$ in Bogenmaß. Da du den Winkel $\varphi$ in Gradmaß angegeben hast, musst du zuerst in Bogenmaß umrechnen. Dazu verwendest du folgende Formel:
$x=\dfrac{\varphi}{180°}\cdot \pi$
Den Wert $x$ kannst du anschließend in die Gleichung für $b$ einsetzten.
a)
Rechne den Winkel zuerst in Bogenmaß um:
$x= \dfrac{40°}{180°}\cdot \pi=\dfrac{2}{9}\pi$
Setzte diesen Wert in die Gleichung für $b$ ein.
$b=\dfrac{2}{9}\pi\cdot 3 \;\text{cm} =\dfrac{2}{3} \pi \;\text{cm} \approx 2,09\;\text{cm}$
b)
Rechne den Winkel zuerst in Bogenmaß um:
$x= \dfrac{120°}{180°}\cdot \pi=\dfrac{2}{3}\pi$
Setzte diesen Wert in die Gleichung für $b$ ein.
$b=\dfrac{2}{3}\pi\cdot 1,5 \;\text{cm} =\pi \;\text{cm} \approx 3,14\;\text{cm}$
c)
Rechne den Winkel zuerst in Bogenmaß um:
$x= \dfrac{200°}{180°}\cdot \pi=\dfrac{10}{9}\pi$
Setzte diesen Wert in die Gleichung für $b$ ein.
$b=\dfrac{10}{9}\pi\cdot 3 \;\text{cm} =\dfrac{10}{3} \pi \;\text{cm} \approx 10,47\;\text{cm}$
d)
Rechne den Winkel zuerst in Bogenmaß um:
$x= \dfrac{143°}{180°}\cdot \pi\approx 0,79\pi$
Setzte diesen Wert in die Gleichung für $b$ ein.
$b=0,79\pi\cdot 3 \;\text{cm} \approx 2,38 \pi \;\text{cm} \approx 7,48\;\text{cm}$
#bogenmaß

Aufgabe 5

Das Maß des Mittelpunktwinkels kannst du mit der folgenden Formel berechnen:
$\varphi=\dfrac{x}{\pi}\cdot 180°$
Um diese Formel verwenden zu können, musst du zuerst mit der folgenden Formel den Wert $x$ berechnen:
$x=\dfrac{b}{r}$
a)
Berechne zuerst den Wert $x$:
$x=\dfrac{4}{4}=1$
Setze diesen Wert nun in die Gleichung für $\varphi$ ein:
$\varphi=\dfrac{1}{\pi}\cdot 180° \approx 57,4°$
Der gesuchte Wert ist also $\varphi=57,4°$.
b)
Berechne zuerst den Wert $x$:
$x=\dfrac{10}{5}=2$
Setze diesen Wert nun in die Gleichung für $\varphi$ ein:
$\varphi=\dfrac{2}{\pi}\cdot 180° \approx 114,6°$
Der gesuchte Wert ist also $\varphi=114,6°$.
c)
Berechne zuerst den Wert $x$:
$x=\dfrac{1}{0,2}=5$
Setze diesen Wert nun in die Gleichung für $\varphi$ ein:
$\varphi=\dfrac{5}{\pi}\cdot 180° \approx 286,5°$
Der gesuchte Wert ist also $\varphi=286,5°$.
d)
Berechne zuerst den Wert $x$:
$x=\dfrac{20}{11,1}=1,8$
Setze diesen Wert nun in die Gleichung für $\varphi$ ein:
$\varphi=\dfrac{1,8}{\pi}\cdot 180° \approx 103,1°$
Der gesuchte Wert ist also $\varphi=103,1°$.
#gradmaß

Aufgabe 6

Da der Scheibenwischer die Länge 1 m hat, und einen Winkel von $\alpha=75^\circ$ einschließt, kann man die Bogenlänge mit der Formel $x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}$ berechnen.
$x=\dfrac{75^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{m}$ $=\dfrac{5}{12}\pi\,\text{m}$ $\approx1,31$ m.
Da der Wischer jedoch einmal hin und einmal her wischt, muss man die ausgerechnete Strecke verdoppeln. Damit ergibt sich das Endergebnis $x\approx2,62$ m.
#kreisbogen

Aufgabe 7

a)
Um den Winkel zu berechnen, den das Pendel bei einer Schwingung überstreicht, kannst du die Formel $\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot x}{\pi}$ verwenden.
Damit erhaltst du:
$\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot1,04}{\pi} \approx59,59^\circ$
b)
Um die Länge des Weges zu berechnen, den die Pendelspitze durchläuft, kannst du die Formel $x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}$ verwenden.
Damit erhältst du:
$x=\dfrac{20^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\text{ m} $ $=\dfrac{1}{9}\pi\text{ m}$ $\approx0,35\text{ m}=35$ cm.
#kreisbogen
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