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Inhaltsverzeichnis
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Sinus, Kosinus und Ta...
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Funktionswerte spezie...
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Formvariable

Spickzettel
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Manchmal gibt man für die Längen von Seiten eines Dreiecks, anstatt Zahlen, Variablen an. Solche Variablen bezeichnet man als Formvariablen. Diese Formvariablen behandelst du, als wären es ganz normale Zahlen, da sie im Grunde genommen einfach nur Platzhalter für Zahlen sind.

Beispiel

Gesucht ist in dieser Aufgabe die Länge der rot markierten Seite. Die Länge der gegebenen Seite beträgt $3a$. Wir behandeln die Formvariable $a$ als wäre es eine gewöhnliche Zahl.
Trigonometrie: Formvariable
[Abb. 1]: Rechtwinkliges Dreieck mit einer Seite der Länge $3e$
Trigonometrie: Formvariable
[Abb. 1]: Rechtwinkliges Dreieck mit einer Seite der Länge $3e$
Das Dreieck hat einen rechten Winkel und der nicht angegebene Winkel beträgt ebenfalls $45°$, da die Winkelsumme im Dreieck $180°$ betragen muss. Daraus folgt, dass die zweite nicht markierte Seite des Dreiecks ebenfalls $3a$ lang ist. Somit handelt es sich in diesem Fall um ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck.
Um nun die Länge der gesuchten Seite zu bekommen, wenden wir den Satz des Pythagoras an, dabei bezeichnen wir die Länge der gesuchten Seite als $c$.
$(3a)^2 + (3a)^2 = 9a^2 + 9a^2 = 18a^2 = c^2 $$\Longrightarrow c = \sqrt{(18)}a.$
Nun haben wir die gesuchte Seite $c$ in Abhängigkeit von den anderen beiden Seiten angegeben. Setzt du für $a$ beliebige Zahlen größer null ein, bekommst du auch für die Seite $c$ einen konkreten Zahlenwert.
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Aufgaben
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1.
Drücke die gesuchten Seitenlänge durch $\boldsymbol{e}$ aus.
a)
Trigonometrie: Formvariable
Trigonometrie: Formvariable
b)
Trigonometrie: Formvariable
Trigonometrie: Formvariable
c)
Trigonometrie: Formvariable
Trigonometrie: Formvariable
2.
Rechteck
a)
Berechne die Länge der Diagonale in Abhängigkeit von $e$.
Trigonometrie: Formvariable
Trigonometrie: Formvariable
b)
Die Diagonale des Rechtecks ist $25\,\text{cm}$ lang. Berechne die Seitenlängen des Rechtecks.
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Lösungen
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1.
Drücke die gesuchten Seitenlänge durch $\boldsymbol{e}$ aus.
a)
Stelle den Satz des Pythagoras auf und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} (5e)^2&=& c^2+(3e)^2&\quad \scriptsize \mid\; -(3e)^2\\[5pt] (5e)^2-(3e)^2&=& c^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] c&=&\sqrt{(5e)^2-(3e)^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{25e^2-9e^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{16e^2}\\[5pt] c&=& 4e \end{array}$
b)
Stelle den Satz des Pythagoras auf und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& (6e)^2+(9e)^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] c&=&\sqrt{(6e)^2+(9e)^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{36e^2+81e^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{117e^2}\\[5pt] c&=& \sqrt{117}e \end{array}$
c)
Stelle den Satz des Pythagoras auf und löse nach $c$ auf
$\begin{array}[t]{rll} (10e)^2&=& c^2+(8e)^2&\quad \scriptsize \mid\; -(8e)^2\\[5pt] (10e)^2-(8e)^2&=& c^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] c&=&\sqrt{(10e)^2-(8e)^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{100e^2-64e^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{36e^2}\\[5pt] c&=& 6e \end{array}$
2.
Rechteck
a)
$\blacktriangleright$   Länge der Diagonalen berechnen
Hier hast du ein Rechteck gegeben. Die Diagonale $d$ teilt dieses in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Länge der Diagonalen in Abhängigkeit von $e$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} d^2&=& (4e)^2+(3e)^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] d&=&\sqrt{(4e)^2+(3e)^2}\\[5pt] d&=&\sqrt{16e^2+9e^2}\\[5pt] d&=&\sqrt{25e^2}\\[5pt] d&=& 5e\\[5pt] \end{array}$
Die Diagonale des Rechtecks hat eine Länge von $5e$.
b)
$\blacktriangleright$   Seitenlängen des Rechtecks berechnen
Aus Teilaufgabe a) weißt du, dass gilt: $d=5e$
Die Diagonale soll nun $25\,\text{cm}$ lang sein. Mit diesen Informationen berechnest du zunächst $e$. Anschließend kannst du die Seitenlängen des Rechtecks berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 5e &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] e&=& \dfrac{d}{5}\\[5pt] e&=& \dfrac{25\,\text{cm}}{5}\\[5pt] e&=& 5\,\text{cm} \end{array}$
Nun kannst du die Seitenlängen $a$ und $b$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 4e\\[5pt] a&=& 4\cdot5\,\text{cm}\\[5pt] a&=& 20\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 3e\\[5pt] b&=& 3\cdot5\,\text{cm}\\[5pt] b&=& 15\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlängen des Rechtecks betragen $20\,\text{cm}$ und $15\,\text{cm}$.
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