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Inhaltsverzeichnis
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Funktionswerte spezieller Winkel

Spickzettel
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Für einige Winkel gibt es spezielle Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte. Diese findest du in besonderen Dreiecken, wie zum Beispiel rechtwinkligen, gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreiecken.
Hier findest du eine Übersicht über die Funktionswerte spezieller Winkel:
$\alpha$$0^{\circ}$$30^{\circ}$$45^{\circ}$$60^{\circ}$$90^{\circ}$
$\sin\alpha$$0$$\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}\sqrt{2}$$\frac{1}{2}\sqrt{3}$$1$
$\cos\alpha$$1$$\frac{1}{2}\sqrt{3}$$\frac{1}{2}\sqrt{2}$$\frac{1}{2}$$0$
$\tan\alpha$$0$$\frac{1}{3}\sqrt{3}$$1$$\sqrt{3}$-
$\alpha$$0^{\circ}$$30^{\circ}$$45^{\circ}$$60^{\circ}$$90^{\circ}$
$\sin\alpha$$0$$\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}\sqrt{2}$$\frac{1}{2}\sqrt{3}$$1$
$\cos\alpha$$1$$\frac{1}{2}\sqrt{3}$$\frac{1}{2}\sqrt{2}$$\frac{1}{2}$$0$
$\tan\alpha$$0$$\frac{1}{3}\sqrt{3}$$1$$\sqrt{3}$-

Beispiel:

Berechne die Sinuswerte für die Winkel $30^{\circ}$ bzw. $60^{\circ}$ in dem gleichseitigen Dreieck. Drücke dabei die Länge der Höhe $h$ in $a$ aus. Anschließend kannst du deine berechneten Werte mit denen in der Tabelle vergleichen.
1.
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
2.
Sinus:
$\begin{array}[t]{rll} \sin30^{\circ}&=& \dfrac{\dfrac{a}{2}}{a}\\[5pt] \sin30^{\circ}&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin60^{\circ}&=& \dfrac{h}{a} \\[5pt] \sin60^{\circ}&=& \dfrac{\dfrac{a}{2}\sqrt{3}}{a} \\[5pt] \sin60^{\circ}&=& \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{array}$
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1.
Drücke die gesuchten Seitenlängen in $\boldsymbol{x}$ aus.
a)
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
b)
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
c)
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
2.
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. Es gilt: $\boldsymbol{c=4\sqrt{2}}\,\textbf{cm}$
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
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1.
Drücke die gesuchten Seitenlängen in $\boldsymbol{x}$ aus.
a)
Hier hast du ein gleichschenkliges Dreieck gegeben. Um die gesuchte Strecke $a$ zu berechnen, kannst du den Sinus oder den Kosinus verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} \sin45^{\circ}&=& \dfrac{a}{x}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] a&=&\sin45^{\circ}\cdot x\\[5pt] a&=& \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\cdot x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos45^{\circ}&=& \dfrac{a}{x}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] a&=&\cos45^{\circ}\cdot x\\[5pt] a&=& \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\cdot x \end{array}$
b)
Hier hast du die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks gegeben. Um die gesuchten Strecken $a$ und $b$ zu berechnen, kannst du den Sinus, Kosinus oder Tangens verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} \sin60^{\circ}&=& \dfrac{x}{a}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot a\\[5pt] \sin60^{\circ}\cdot a&=& x&\quad \scriptsize \mid\; :\sin60^{\circ}\\[5pt] a&=& \dfrac{x}{\sin60^{\circ}}\\[5pt] a&=& \dfrac{x}{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}\\[5pt] a&=& \dfrac{2x}{\sqrt{3}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan30^{\circ}&=& \dfrac{b}{x}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] b&=&\tan30^{\circ}\cdot x\\[5pt] a&=& \dfrac{1}{3}\sqrt{3}\cdot x \end{array}$
c)
Hier hast du dein gleichschenkliges Dreieck gegeben. Um die gesuchten Strecken $a$ und $c$ zu berechnen, teilst du erst das Dreieck durch die Höhe $h$ in zwei rechtwinklige Dreiecke. Anschließend kannst du den Sinus oder den Kosinus verwenden. Beachte, dass die Höhe das Dreieck genau in der Hälfte teilt.
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
Trigonometrie: Funktionswerte spezieller Winkel
Da es sich bei dem Dreieck um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, gilt: $a=x$
$\begin{array}[t]{rll} \cos30^{\circ}&=& \dfrac{\dfrac{c}{2}}{x}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] \dfrac{c}{2}&=&\cos30^{\circ}\cdot x&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] c&=&\cos30^{\circ}\cdot x \cdot 2\\[5pt] c&=& \dfrac{1}{2}\sqrt{3}\cdot 2x\\[5pt] c&=& \sqrt{3}x \end{array}$
2.
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. Es gilt: $\boldsymbol{c=4\sqrt{2}\,\textbf{cm}}$
Du hast ein gleichschenkliges Dreieck gegeben. Der Umfang $U$ wird also wie folgt berechnet:
$U=2a+c$
Der Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks wird mit dieser Formel berechnet.
$A=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$
Da in diesem Fall das gleichschenklige Dreieck auch einen rechten Winkel hat, kannst du den Flächeninhalt auch so berechen:
$A=\frac{1}{2}\cdot a^2$
Die Länge der Strecke $a$ kannst du mit dem Sinus oder Kosinus berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin45^{\circ}&=& \dfrac{a}{c}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot c\\[5pt] a&=&\sin45^{\circ}\cdot c\\[5pt] a&=& \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}\,\text{cm}\\[5pt] a&=& \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot2\,\text{cm}\\[5pt] a&=& 4\,\text{cm} \end{array}$
Umfang:
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2a+c \\[5pt] &=& 2\cdot4\,\text{cm}+4\sqrt{2}\,\text{cm}\\[5pt] &=& 8\,\text{cm}+4\sqrt{2}\,\text{cm}\\[5pt] &=& 13,7\,\text{cm} \end{array}$
Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot a^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot (4\,\text{cm})^2\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 16\,\text{cm}^2\\[5pt] &=& 8\,\text{cm}^2 \end{array}$
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