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Goniometrische Gleichungen

Spickzettel
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Goniometrische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable in einem trigonometrischen Term steht.
Wenn die Variable in unterschiedlichen trigonometrischen Termen steht, dann musst du die einzelnen Terme so ersetzen, dass nur noch eine Art trigonometrischer Term mit Variable übrig bleibt. Es gibt zwei Beziehungen, mit denen du das tun kannst:
$\tan(\varphi)=\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}$
$\tan(\varphi)=\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}$
Wenn du in der Lage bist, den Quotienten aus einem Sinus- und einem Cosinusterm zu bilden, dann kannst du den Ausdruck durch einen Tangensterm ersetzen.
$1=\sin(\varphi)^2+\cos(\varphi)^2$
$1=\sin(\varphi)^2+\cos(\varphi)^2$
Du kannst diese Formel nach dem Sinus- oder Kosinusterm umformen und dadurch einen entsprechenden Term in deiner Gleichung ersetzen.
Dabei können quadratische Gleichungen entstehen. Durch Substitution kannst du die $pq$- oder $abc$-Formel anwenden.
Beachte, dass aufgrund der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen mehrere Werte das gleiche Ergebnis liefern können. Bestimme alle diese Werte und überprüfe durch Einsetzen, welche Ergebnisse die goniometrische Gleichung erfüllen.
#substitution#symmetrie#goniometrischegleichung#abc-formel#pq-formel
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Forme die Gleichung $2\cdot\sin(\varphi)=4\cdot\cos(\varphi)$ mithilfe der trigonometrischen Beziehung $\tan(\varphi)=\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}$ um und löse sie. Gib die Lösungsmenge im Bereich $\mathbb{G}=[0°;360°]$ an.
b)
Forme die Gleichung $\sin(x)+4=6\cdot(\cos(x))^2$ mithilfe der trigonometrischen Beziehung $1=\sin(x)^2+\cos(x)^2$ um und löse sie. Gib die Lösungsmenge im Bereich $\mathbb{G}=[0;\pi]$ an.
Tipp: Häufig gibt es mehr als eine mögliche Lösung. Überlege dir, wie du auf alle Lösungsmöglichkeiten kommen kannst und überprüfe durch einsetzen, ob sie zum gewünschten Ergebnis führen.
#goniometrischegleichung

Aufgabe 1

Gib die Antworten von a) und b) jeweils im Gradmaß und im Winkelmaß an.
a)
In welchem Bereich sind die Funktionsgraphen von Sinus, Kosinus und Tangens achsensymmetrisch und zu welcher Stelle?
b)
Wie groß ist die Periodizität von Sinus, Kosinus und Tangens?
Folgende Werte werden in den Sinus, Kosinus und Tangens eingesetzt. Gib die Werte im Bereich $[0°;720°]$ bzw. $[0;4\pi]$ an, die das gleiche Ergebnis liefern.
d)
$\pi$
f)
$0,5\pi$
#sinusfunktion#tangens#achsensymmetrie#kosinusfunktion

Aufgabe 2

Forme die Gleichung um und gib mögliche Ergebnisse im Bereich $[0°;360°]$ an. Runde dabei auf die erste Nachkommastelle.
a)
$\sin(\varphi)=5\cos(\varphi)$
b)
$8\sin(\varphi)=2\cos(\varphi)$
c)
$1+\sin(\varphi)=2\cos(\varphi)$
d)
$3+\sin(\varphi)^2=\cos(\varphi)^2-1$
e)
$4-3\sin(\varphi)=2\cos(\varphi)^2+7$
#goniometrischegleichung

Aufgabe 3

Forme die Gleichung um und gib mögliche Ergebnisse im Bereich $[0;2\pi]$ an. Runde dabei auf die zweite Nachkommastelle.
a)
$6\sin(x)=3\cos(x)$
b)
$10\sin(x)=\cos(x)$
c)
$2\sin(x)=2\cos(x)-1$
d)
$5\sin(x)^2=2+\cos(x)^2$
e)
$9-3\sin(x)=6\cos(x)^2+12$
#goniometrischegleichung

Aufgabe 4

Du hast die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=0,1\cos$ und $g(x)=0,25\sin(x)$ gegeben.
a)
Zeichne die beiden Funktionen im x-Bereich $[0;2\pi]$ in ein geeignetes Koordinatensystem und bestimme Näherungsweise aus dem Schaubild die Schnittstellen der beiden Funktionen im eingezeichneten Bereich.
b)
Bestimme rechnerisch die Schnittstellen der beiden Funktionen und vergleiche sie mit deinen Näherungen aus Aufgabenteil a).
c)
Bestimme rechnerisch die Schnittstellen der beiden Funktionen $h$ und $i$ mit $h(x)=2-\cos(\varphi)$ und $i(x)=16\sin(\varphi)$ im Bereich $[90°;270°]$.
#goniometrischegleichung#schnittpunkt#kosinusfunktion#sinusfunktion
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Forme die Gleichung mithilfe der Beziehungen um, die in der Aufgabengleichung angegeben sind. Löse anschließend nach der Variable $\varphi$ bzw. $x$ auf und berechne die Lösungen. Überprüfe anschließend, welche Lösungen die Gleichung erfüllen und im vorgegebenen Bereich liegen.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot \sin(\varphi)&=&4\cdot\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\; :\cos(\varphi)\\[5pt] 2\cdot \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; \tan(\varphi)=\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}\\[5pt] 2\cdot \tan(\varphi)&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \tan(\varphi)&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \varphi&=&63,4° \\[5pt] \end{array}$
$ \varphi=63,4° $
Ein mögliches Ergebnis ist $63,4°$. Der Tangens wiederholt sich mit einer Periode von $\pi$ bzw. $180°$. Überprüfe also welche anderen möglichen Lösungen noch in den jeweiligen Abständen im Lösungsbereich liegen. Die Lösung $63,4°-180°=-116,6°$ ist kleiner als $0°$ und deshalb nicht mehr im Lösungsbereich. Die Lösung $63,4°+180°=243,4°$ liegt noch im Lösungsbereich und ist deshalb auch eine mögliche Lösung. Die darauf folgende Lösung $243,4°+180°=423,4°$ liegt nicht mehr im Lösungsbereich.
Nun musst du auch noch einen besonderen Fall überprüfen. Im Lösungsweg der Gleichung hast du durch $\cos(\varphi)$ geteilt. Das darfst du nur, wenn dieser Ausdruck nicht $0$ ist. Demnach musst du noch überprüfen, ob $90°$ eine Lösung der Gleichung ist, weil hier der Ausdruck mit dem Kosinus $0$ ergibt. Wenn das der Fall ist, dann sind deine möglichen Lösungen nicht richtig.
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot \sin(\varphi)&=&4\cdot\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\; \varphi=90°\\[5pt] 2\cdot \sin(90°)&=&4\cdot\cos(90°) \\[5pt] 2\cdot 1&=&4\cdot0 \\[5pt] 2&\neq&0 \\[5pt] \end{array}$
$ 2\neq0 $
$90°$ ist keine Lösung der Gleichung. Deshalb sind deine oben berechneten Ergebnisse richtig. Wenn du die Probe machst und die Ergebnisse in die Gleichung einsetzt, dann wirst du sehen, dass die Gleichung aufgeht. Die Lösungsmenge dieser Gleichung lautet deshalb $\mathbb{L}=\{63,4°;243,4°\}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(x)+4&=&6\cdot\cos(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\; cos(x)^2=1-sin(x)^2\\[5pt] \sin(x)+4&=&6\cdot(1-\sin(x)^2) \\[5pt] \sin(x)+4&=&6-6\cdot \sin(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\;+6\cdot\sin(x)^2;\,-6\\[5pt] 6\cdot \sin(x)^2+\sin(x)-2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:6\\[5pt] \sin(x)^2+\dfrac{\sin(x)}{6}-\dfrac{1}{3}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\sin(x)=d\\[5pt] d^2+\dfrac{d}{6}-\dfrac{1}{3}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel}\\[5pt] d_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] d_{1,2}&=& -\dfrac{\frac{1}{6}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\frac{1}{6}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{3}} \\[5pt] d_{1,2}&=& -\dfrac{1}{12} \pm \sqrt{\dfrac{1}{144}+\dfrac{1}{3}} \\[5pt] d_{1,2}&=& -\dfrac{1}{12} \pm \sqrt{\dfrac{49}{144}} \\[5pt] d_{1}&=& -\dfrac{1}{12} + \dfrac{7}{12} \\[5pt] d_{1}&=& \dfrac{6}{12} \\[5pt] d_{1}&=& \dfrac{1}{2} \\[10pt] d_{2}&=& -\dfrac{1}{12} - \dfrac{7}{12} \\[5pt] d_{2}&=& -\dfrac{8}{12} \\[5pt] d_{2}&=& -\dfrac{2}{3} \\[10pt] \end{array}$
$ d_1=\dfrac{1}{2}\quad d_2=-\dfrac{2}{3} $
Deine potentiellen Ergebnisse sind $d_1=\dfrac{1}{2}$ und $d_2=-\dfrac{2}{3}$. Nun musst du noch rücksubstituieren.
$\begin{array}[t]{rll} d_1&=&\sin(x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\sin(x) &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \dfrac{1}{6}\pi&=&x\\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{1}{6}\pi=x $
Ein Ergebnis $\dfrac{1}{6}\pi$. Da der Sinus im Bereich $0$ bis $\pi$ symmetrisch zu $\dfrac{\pi}{2}$ ist, kann ein anderes Ergebnis auch $\pi-\dfrac{1}{6}\pi=\dfrac{5}{6}\pi$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} d_2&=&\sin(x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] -\dfrac{2}{3}&=&\sin(x) &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] -0,23\pi&=&x\\[5pt] \end{array}$
$ -0,23\pi=x $
Ein anderes Ergebnis ist $-0,23\pi$. Da der Sinus im Bereich $-\pi$ bis $0$ symmetrisch zu $-\dfrac{\pi}{2}$ ist, kann ein anderes Ergebnis auch $-\pi+0,23\pi=-0,77\pi$ sein. Überprüfe nun deine Ergebnisse und schaue anschließend, ob sie im angegebenen Bereich liegen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\dfrac{1}{6}\pi)+4&=&6\cdot\cos(\dfrac{1}{6}\pi) \\[5pt] 0,5+4&=&6\cdot0,8660 \\[5pt] 4,5&\neq&5,2 \\[5pt] \end{array}$
$ 4,5\neq5,2 $
$\dfrac{1}{6}\pi$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\dfrac{5}{6}\pi)+4&=&6\cdot\cos(\dfrac{5}{6}\pi) \\[5pt] 0,5+4&=&6\cdot2,6180 \\[5pt] 4,5&\neq&15,71 \\[5pt] \end{array}$
$ 4,5\neq15,71 $
$\dfrac{5}{6}\pi$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(-0,23\pi)+4&=&6\cdot\cos(-0,23\pi) \\[5pt] -0,66+4&=&6\cdot0,75 \\[5pt] -4,66&\neq&4,5 \\[5pt] \end{array}$
$ -4,66\neq4,5 $
$-0,23\pi$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(-0,77\pi)+4&=&6\cdot\cos(-0,77\pi) \\[5pt] -0,66+4&=&6\cdot-0,75 \\[5pt] -4,66&\approx&-4,5 \\[5pt] \end{array}$
$ -4,66\approx-4,5 $
$-0,77\pi$ ist eine Lösung der Gleichung. Sie liegt aber nicht im angegebenen Bereich. Durch die Periodizität des Sinus liefert ein Wert, der um $2\pi$ verschoben ist, das gleiche Ergebnis. Der Wert $-0,77\pi+2\pi=1,23\pi$ liegt im angegebenen Bereich und erfüllt die Gleichung. Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=\{1,23\pi\}$.
#pq-formel#substitution#goniometrischegleichung

Aufgabe 1

a)
Wie sehen die Funktionsgraphen der drei trigonometrischen Funktionen aus? Eventuell hilft es dir, sie zu skizzieren.
Der Sinus ist im Bereich $[0;\pi]$ bzw. $[0°;180°]$ symmetrisch zur Stelle $0,5\pi$ bzw. $90°$. Im Bereich $[\pi;2\pi]$ bzw. $[180°;360°]$ ist er symmetrisch zur Stelle $1,5\pi$ bzw. $270°$. Je nach Bereich kannst du also bei einem gegebenen Wert $x$ einen Wert $y$, der das gleiche Ergebnis des Sinus liefert, mit den Formeln $\pi-x=y$ bzw. $180°-x=y$ und $2\pi-(x-\pi)=y$ bzw. $360°-(x-180°)=y$ berechnen.
Der Kosinus ist im Bereich $[0;2\pi]$ bzw. $[0°;360°]$ symmetrisch zur Stelle $\pi$ bzw. $180°$. Bei einem gegebenen Wert $x$ kannst du einen Wert $y$, der das gleiche Ergebnis des Kosinus liefert, mit der Formeln $2\pi-x=y$ bzw. $360°-x=y$ berechnen.
Der Tangens ist nicht achsensymmetrisch. Er ist nur punktsymmetrisch.
b)
Bei dieser Aufgabe hilft dir ebenfalls eine Skizze.
Sinus und Kosinus haben jeweils eine Periodizität von $2\pi$ bzw. $360°$. Wenn du einen Wert gegeben hast, dann wird nach diesem Abstand wieder der gleiche Wert erreicht.
Der Tangens hat eine Periodizität von $\pi$ bzw. $180°$. Wenn du einen Wert gegeben hast, dann wird nach diesem Abstand wieder der gleiche Wert erreicht.
Überlege dir für die folgenden Aufgabenteile jeweils für Sinus, Kosinus und Tangens getrennt, wo die Werte liegen, die das gleiche Ergebnis liefern. Nutze dazu deine Erkenntnisse aus den Aufgabenteilen a) und b). Wenn der Wert als Winkelmaß angegeben ist, dann musst du die entsprechenden Werte auch nur im Winkelmaß angeben. Das gleiche gilt für Bogenmaße.
c)
Die Angabe ist im Gradmaß.
Sinus
$60°$ liegt im Bereich $[0°;180°]$. Ein Wert, der das gleiche Ergebnis liefert, ist $180°-60°=120°$. Das sind alle Werte innerhalb dieser Periode, die das gleiche Ergebnis liefern. Der in der Aufgabenstellung gegebene Bereich geht aber über zwei Perioden. Demnach liegen die Werte $60°+360°=420°$ und $120°+360°=480°$ auch noch im angegebenen Bereich und liefern das selbe Ergebnis für den Sinus.
Kosinus
Da der Kosinus achsensymmetrisch zur Stelle bei $x=180°$ ist, liefert der Winkel $360°-60°=300°$ das gleiche Ergebnis des Kosinus wie $60°$. Dadurch, dass der Bereich aus der Aufgabenstellung über zwei Perioden geht, liefern die Werte $60°+360°=420°$ und $300+360°=660°$ ebenfalls das gleiche Ergebnis.
Tangens
Da der Tangens keine Achsensymmetrie aufweißt, liefern nur die Werte, die um eine Periode verschoben sind, die gleichen Ergebnisse. Das wären die Werte $60°+180°=240°$, $240°+180°=420°$ und $420°+180°=600°$.
d)
Die Angabe ist im Bogenmaß.
Sinus
$\pi$ liegt sowohl im Bereich $[0;\pi]$ als auch im Bereich $[\pi;2\pi]$. Demnach liefern die Werte $\pi-\pi=0$ und $2\pi-(\pi-\pi)=2\pi$ das gleiche Ergebnis des Sinus. Das sind alle Werte innerhalb dieser Periode, die das gleiche Ergebnis liefern. Der in der Aufgabenstellung gegebene Bereich geht aber über zwei Perioden. Demnach liegen die Werte $\pi+2\pi=3\pi$ und $2\pi+2\pi=4\pi$ auch noch im angegebenen Bereich und liefern das selbe Ergebnis für den Sinus.
Kosinus
Da der Kosinus achsensymmetrisch zur Stelle bei $x=\pi$ ist, gibt es nur einen Wert des Kosinus, der pro Periode hier den gleichen Wert liefert. Dadurch, dass der Bereich aus der Aufgabenstellung über zwei Perioden geht, liefert der Wert $\pi+2\pi=3\pi$ das gleiche Ergebnis.
Tangens
Da der Tangens keine Achsensymmetrie aufweißt, liefern nur die Werte, die um eine Periode verschoben sind, die gleichen Ergebnisse. Das wären die Werte $\pi+\pi=2\pi$, $2\pi+\pi=3\pi$ und $3\pi+\pi=4\pi$.
e)
Die Angabe ist im Gradmaß.
Sinus
$230°$ liegt im Bereich $[180°;360°]$. Ein Wert, der das gleiche Ergebnis liefert, ist $360°-(230°-180°)=310°$. Das sind alle Werte innerhalb dieser Periode, die das gleiche Ergebnis liefern. Der in der Aufgabenstellung gegebene Bereich geht aber über zwei Perioden. Demnach liegen die Werte $230°+360°=590°$ und $310°+360°=670°$ auch noch im angegebenen Bereich und liefern das selbe Ergebnis für den Sinus.
Kosinus
Da der Kosinus achsensymmetrisch zur Stelle bei $x=180°$ ist, liefert der Winkel $360°-230°=130°$ das gleiche Ergebnis des Kosinus wie $230°$. Dadurch, dass der Bereich aus der Aufgabenstellung über zwei Perioden geht, liefern die Werte $130°+360°=490°$ und $230+360°=590°$ ebenfalls das gleiche Ergebnis.
Tangens
Da der Tangens keine Achsensymmetrie aufweißt, liefern nur die Werte, die um eine Periode verschoben sind, die gleichen Ergebnisse. Das wären die Werte $230°+180°=410°$ und $410°+180°=590°$. Der Winkel ist größer als die erste Periode des Tangens. Deshalb darfst du auch das Winkelmaß nicht vergessen, das aus der vorherigen Periode das gleiche Ergebnis für den Tangens liefert. Dieser Wert wäre $230°-180°=50°$.
f)
Die Angabe ist im Bogenmaß.
Sinus
$0,5\pi$ liegt im Bereich $[0;\pi]$ und ist genau die Stelle, zu der der Bereich symmetrisch ist. Es gibt also keinen zweiten Wert in diesem Bereich, der das gleiche Ergebnis liefert. Der in der Aufgabenstellung gegebene Bereich geht aber über zwei Perioden. Demnach liegt der Wert $0,5\pi+2\pi=2,5\pi$ auch noch im angegebenen Bereich und liefern das selbe Ergebnis für den Sinus.
Kosinus
Da der Kosinus achsensymmetrisch zur Stelle bei $x=\pi$ ist, liefert der Wert $2\pi-0,5\pi=1,5\pi$ das gleiche Ergebnis. Dadurch, dass der Bereich aus der Aufgabenstellung über zwei Perioden geht, liefern die Werte $0,5\pi+2\pi=2,5\pi$ und $1,5\pi+2\pi=3,5\pi$ das gleiche Ergebnis.
Tangens
Der Tangens besitzt bei $0,5\pi$ eine Polstelle und hat für diesen Wert kein Ergebnis. Du kannst allerhöchstes sagen, dass bei $0,5\pi+\pi=1,5\pi$, $1,5\pi+\pi=2,5\pi$ und $2,5\pi+\pi=3,5\pi$ ebenfalls Polstellen des Tangens liegen.
#achsensymmetrie#sinusfunktion#tangens#kosinusfunktion

Aufgabe 2

Forme die Gleichung um, wie du es schon in der Einführungsaufgabe gemacht hast. Achte dabei auf den Sonderfall $\varphi=90°$. Beachte, dass es mehr als eine Lösung geben kann. Um auf die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten zu kommen, helfen dir deine Ergebnisse aus Aufgabe 1. Überprüfe alle Ergebnisse zum Schluss durch einsetzen.
a)
Überprüfe, ob $\varphi=90°$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varphi)&=&5\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(90°)&=&5\cos(90°)\\[5pt] 1&=&5\cdot 0\\[5pt] 1&\neq&0\\[5pt] \end{array}$
$ 1\neq0 $
$\varphi=90°$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varphi)&=&5\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;:\cos(\varphi) \\[5pt] \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}&=&5&\quad \scriptsize \mid\;\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}=\tan(\varphi) \\[5pt] \tan(\varphi)&=&5&\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \varphi&=&78,7°\\[5pt] \end{array}$
$ \varphi=78,7° $
$\varphi=78,7°$ ist ein mögliches Ergebnis. $78,7°+180°=258,7°$ liegt ebenfalls noch im Bereich und kann ein mögliches Ergebnis sein. Überprüfe durch einsetzen, welche der Lösungen richtig sind.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varphi)&=&5\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\varphi=78,7° \\[5pt] \sin(78,7°)&=&5\cos(78,7°)\\[5pt] 0,9806&\approx&0,9797\\[5pt] \end{array}$
$ 0,9806\approx0,9797 $
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varphi)&=&5\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\varphi=258,7° \\[5pt] \sin(258,7°)&=&5\cos(258,7°)\\[5pt] -0,9806&\approx&-0,9797\\[5pt] \end{array}$
$ -0,9806\approx-0,9797 $
Die Gleichungen sind für beide möglichen Ergebnisse erfüllt. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{78,7°;258,7°\}$.
b)
Überprüfe, ob $\varphi=90°$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} 8\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 8\sin(90°)&=&2\cos(90°)\\[5pt] 8\cdot1&=&2\cdot 0\\[5pt] 8&\neq&0\\[5pt] \end{array}$
$ 8\neq0 $
$\varphi=90°$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 8\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;:\cos(\varphi);\,:8 \\[5pt] \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}&=&0,25&\quad \scriptsize \mid\;\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}=\tan(\varphi) \\[5pt] \tan(\varphi)&=&0,25&\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \varphi&=&14,0°\\[5pt] \end{array}$
$ \varphi=14,0° $
$\varphi=14°$ ist ein mögliches Ergebnis. $14°+180°=194°$ liegt ebenfalls noch im Bereich und kann ein mögliches Ergebnis sein. Überprüfe durch einsetzen, welche der Lösungen richtig sind.
$\begin{array}[t]{rll} 8\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\varphi=14° \\[5pt] 8\sin(14°)&=&2\cos(14°)\\[5pt] 1,9354&\approx&1,9406\\[5pt] \end{array}$
$ 1,9354\approx1,9406 $
$\begin{array}[t]{rll} 8\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\varphi=194° \\[5pt] 8\sin(194°)&=&2\cos(194°)\\[5pt] -1,9354&\approx&-1,9405\\[5pt] \end{array}$
$ -1,9354\approx-1,9405 $
Die Gleichungen sind für beide möglichen Ergebnisse erfüllt. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{14°;194°\}$.
c)
Überprüfe, ob $\varphi=90°$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} 1+\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 1+\sin(90°)&=&2\cos(90°)\\[5pt] 1+1&=&2\cdot 0\\[5pt] 2&\neq&0\\[5pt] \end{array}$
$ 2\neq0 $
$\varphi=90°$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 1+\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\cos(\varphi)=\sqrt{1-\sin(\varphi)^2} \\[5pt] 1+\sin(\varphi)&=&2\cdot\sqrt{1-\sin(\varphi)^2} &\quad \scriptsize \mid\;^2\\[5pt] (1+\sin(\varphi))^2&=&4\cdot(\sqrt{1-\sin(\varphi)^2})^2\\[5pt] 1+2\sin(\varphi)+\sin(\varphi)^2&=&4\cdot(1-\sin(\varphi)^2)\\[5pt] 1+2\sin(\varphi)+\sin(\varphi)^2&=&4-4\sin(\varphi)^2 &\quad \scriptsize \mid\;+4\sin(\varphi);\,-4\\[5pt] 5\sin(\varphi)^2+2\sin(\varphi)-3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; x=\sin(\varphi)\\[5pt] 5x^2+2x-3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{abc-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot5\cdot(-3)}}{2\cdot 5} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{10} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{64}}{10} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm 8}{10} \\[5pt] x_{1}&=& \dfrac{-2 + 8}{10} \\[5pt] x_{1}&=& \dfrac{6}{10} \\[5pt] x_{1}&=& 0,6 \\[10pt] x_{2}&=& \dfrac{-2 - 8}{10} \\[5pt] x_{2}&=& \dfrac{-10}{10} \\[5pt] x_{2}&=& -1 \\[10pt] \end{array}$
$ x_1=0,6\quad x_2=-1 $
Nun musst du noch rücksubstituieren.
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&\sin(\varphi_1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0,6&=&\sin(\varphi_1) &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] 36,9°&=&\varphi_1 \\[5pt] \end{array}$
$ 36,9°=\varphi_1 $
$\begin{array}[t]{rll} x_2&=&\sin(\varphi_2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -1&=&\sin(\varphi_2) &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] 270°&=&\varphi_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 270°=\varphi_2 $
Überprüfe, ob es noch weitere mögliche Ergebnisse gibt.
Der Sinus ist im Bereich $[180°;360°]$ symmetrisch zur Stelle $x=270°$. Das ist eine der möglichen Ergebnisse. Es gibt aufgrund der Symmetrie keine zweite Stelle, die das gleiche Ergebnis liefert. $36,9°$ liegt im Bereich $[0°;180°]$. Der Wert $180°-36,9°=143,1°$ liefert das selbe Ergebnis des Sinus. Überprüfe all diese möglichen Ergebnisse durch einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 1+\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\varphi=36,9° \\[5pt] 1+\sin(36,9°)&=&2\cos(36,9°)\\[5pt] 1,6004&\approx&1,5994\\[5pt] \end{array}$
$ 1,6004\approx1,5994 $
$\begin{array}[t]{rll} 1+\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\varphi=143,1° \\[5pt] 1+\sin(143,1°)&=&2\cos(143,1°)\\[5pt] 1,6004&\neq&-1,5994\\[5pt] \end{array}$
$ 1,6004\neq-1,5994 $
$\begin{array}[t]{rll} 1+\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\;\varphi=270° \\[5pt] 1+\sin(270°)&=&2\cos(270°)\\[5pt] 0&=&0\\[5pt] \end{array}$
$ 0=0 $
Die Gleichung ist für $\varphi_1=36,9°$ bzw. $\varphi_2=270°$ erfüllt. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{36,9°;270°\}$.
d)
Überprüfe, ob $\varphi=90°$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} 3+\sin(\varphi)^2&=&\cos(\varphi)^2-1 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 3+\sin(90°)^2&=&\cos(90°)^2-1\\[5pt] 4&=&0-1\\[5pt] 4&\neq&-1\\[5pt] \end{array}$
$ 4\neq-1 $
$\varphi=90°$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 3+\sin(\varphi)^2&=&\cos(\varphi)^2-1 &\quad \scriptsize \mid\;\cos(\varphi)^2=1-\sin(\varphi)^2 \\[5pt] 3+\sin(\varphi)^2&=&1-\sin(\varphi)^2-1 &\quad \scriptsize \mid\;+\sin(\varphi)\\[5pt] 2\sin(\varphi)^2+3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-3\\[5pt] 2\sin(\varphi)^2&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] \sin(\varphi)^2&=&-\dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] \sin(\varphi)&=&\sqrt{-\dfrac{2}{3}} \\[5pt] \end{array}$
$ \sin(\varphi)=\sqrt{-\dfrac{2}{3}} $
Unter der Wurzel steht eine negative Zahl, was nicht sein darf. Die Gleichung besitzt demnach keine Lösung.
f)
Überprüfe, ob $\varphi=90°$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} 4-3\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi)^2+7 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 4-3\sin(90°)&=&2\cos(90°)^2+7\\[5pt] 4-3&=&0+7\\[5pt] 1&\neq&7\\[5pt] \end{array}$
$ 1\neq7 $
$\varphi=90°$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 4-3\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi)^2+7 &\quad \scriptsize \mid\;\cos(\varphi)^2=1-\sin(\varphi)^2\\[5pt] 4-3\sin(\varphi)&=&2\cdot(1-\sin(\varphi)^2)+7 &\quad \scriptsize \mid\;-7\\[5pt] -3\sin(\varphi)-1&=&2-3\sin(\varphi)^2 &\quad \scriptsize \mid\;+2\sin(\varphi)^2;\,-2\\[5pt] 2\sin(\varphi)^2-2\sin(\varphi)-5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;x=\sin(\varphi)\\[5pt] 2x^2-3x-5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{abc-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)}}{2\cdot 2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{4} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{4} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm 7}{4} \\[5pt] x_{1}&=& \dfrac{3 + 7}{4} \\[5pt] x_{1}&=& \dfrac{10}{4} \\[5pt] x_{1}&=& 2,5 \\[10pt] x_{2}&=& \dfrac{3 - 7}{4} \\[5pt] x_{2}&=& \dfrac{-4}{4} \\[5pt] x_{2}&=& -1 \\[10pt] \end{array}$
$ x_1=2,5\quad x_2=-1 $
Nun musst du noch rücksubstituieren.
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&\sin(\varphi_1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 2,5&=&\sin(\varphi_1) \\[5pt] \end{array}$
$ 2,5=\sin(\varphi_1) $
Der Sinus kann nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen. Demnach gibt es für diesen Wert von $x$ kein Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} x_2&=&\sin(\varphi_2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -1&=&\sin(\varphi_2) &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] 270°&=&\varphi_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 270°=\varphi_2 $
Überprüfe, ob es noch weitere mögliche Ergebnisse gibt.
Der Sinus ist im Bereich $[180°;360°]$ symmetrisch zur Stelle $x=270°$. Das ist eine der möglichen Ergebnisse. Es gibt aufgrund der Symmetrie keine zweite Stelle, die das gleiche Ergebnis liefert. Überprüfe das Ergebnis durch einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 4-3\sin(\varphi)&=&2\cos(\varphi)^2+7 &\quad \scriptsize \mid\;\varphi=270° \\[5pt] 4-3\sin(270°)&=&2\cos(270°)+7\\[5pt] 7&=&7\\[5pt] \end{array}$
$ 7=7 $
Die Gleichung ist erfüllt. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{270°\}$.
#substitution#abc-formel#goniometrischegleichung

Aufgabe 3

Forme die Gleichung um, wie du es schon in der Einführungsaufgabe gemacht hast. Achte dabei auf den Sonderfall $x=\pi$. Beachte, dass es mehr als eine Lösung geben kann. Um auf die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten zu kommen, helfen dir deine Ergebnisse aus Aufgabe 1. Überprüfe alle Ergebnisse zum Schluss durch einsetzen.
a)
Überprüfe, ob $x=\pi$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} 6\sin(x)&=&3\cos(x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 6\sin(\pi)&=&3\cos(\pi)\\[5pt] 6\cdot1&=&3\cdot 0\\[5pt] 6&\neq&0\\[5pt] \end{array}$
$ 6\neq0 $
$x=\pi$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 6\sin(x)&=&3\cos(x) &\quad \scriptsize \mid\;:\cos(x) \\[5pt] 6\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}&=&3&\quad \scriptsize \mid\;\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x);\,:6 \\[5pt] \tan(x)&=&0,5&\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] x&=&0,15\pi\\[5pt] \end{array}$
$ x=0,15\pi $
$x=0,15\pi$ ist ein mögliches Ergebnis. $0,15\pi+\pi=1,15\pi$ liegt ebenfalls noch im Bereich und kann ein mögliches Ergebnis sein. Überprüfe durch einsetzen, welche der Lösungen richtig sind.
$\begin{array}[t]{rll} 6\sin(x)&=&3\cos(x) &\quad \scriptsize \mid\;x=0,15\pi \\[5pt] 6\sin(0,15\pi)&=&3\cos(0,15\pi)\\[5pt] 2,7239&\approx&2,6730\\[5pt] \end{array}$
$ 2,7239\approx2,6730 $
$\begin{array}[t]{rll} 6\sin(x)&=&3\cos(x) &\quad \scriptsize \mid\;x=1,15\pi \\[5pt] 6\sin(1,15\pi)&=&3\cos(1,15\pi)\\[5pt] -2,7239&\approx&-2,6730\\[5pt] \end{array}$
$ -2,7239\approx-2,6730 $
Die Gleichungen sind für beide möglichen Ergebnisse erfüllt. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{0,15\pi;1,15\pi\}$.
b)
Überprüfe, ob $x=\pi$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} 10\sin(x)&=&\cos(x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 10\sin(\pi)&=&\cos(\pi)\\[5pt] 10\cdot1&=&0\\[5pt] 10&\neq&0\\[5pt] \end{array}$
$ 10\neq0 $
$x=\pi$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 10\sin(x)&=&\cos(x) &\quad \scriptsize \mid\;:\cos(x) \\[5pt] 10\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}&=&1&\quad \scriptsize \mid\;\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x);\,:10 \\[5pt] \tan(x)&=&0,1&\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] x&=&0,03\pi\\[5pt] \end{array}$
$ x=0,03\pi $
$x=0,03\pi$ ist ein mögliches Ergebnis. $0,03\pi+\pi=1,03\pi$ liegt ebenfalls noch im Bereich und kann ein mögliches Ergebnis sein. Überprüfe durch einsetzen, welche der Lösungen richtig sind.
$\begin{array}[t]{rll} 10\sin(x)&=&\cos(x) &\quad \scriptsize \mid\;x=0,03\pi \\[5pt] 10\sin(0,03\pi)&=&\cos(0,03\pi)\\[5pt] 0,9411&\approx&0,9956\\[5pt] \end{array}$
$ 0,9411\approx0,9956 $
$\begin{array}[t]{rll} 10\sin(x)&=&\cos(x) &\quad \scriptsize \mid\;x=1,03\pi \\[5pt] 10\sin(1,03\pi)&=&\cos(1,03\pi)\\[5pt] -0,9411&\approx&-0,9956\\[5pt] \end{array}$
$ -0,9411\approx-0,9956 $
Die Gleichungen sind für beide möglichen Ergebnisse erfüllt. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{0,03\pi;1,03\pi\}$.
c)
Überprüfe, ob $x=\pi$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} 2\sin(x)&=&2\cos(x)-1 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 2\sin(\pi)&=&2\cos(\pi)-1\\[5pt] 2\cdot1&=&2\cdot 0-1\\[5pt] 2&\neq&-1\\[5pt] \end{array}$
$ 2\neq-1 $
$x=\pi$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 2\sin(x)&=&2\cos(x)-1 &\quad \scriptsize \mid\;\sin(x)=\sqrt{1-\cos(x)^2} \\[5pt] 2\cdot(\sqrt{1-\cos(x)^2})&=&2\cos(x)-1 &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 4\cdot(1-\cos(\varphi)^2)&=&4\cos(x)^2-4\cos(x)+1 \\[5pt] 4-4\cos(\varphi)^2&=&4\cos(x)^2-4\cos(x)+1 &\quad \scriptsize \mid\;+4\cos(x)^2;\,-4\\[5pt] 0&=&8\cos(x)^2-4\cos(x)-3 &\quad \scriptsize \mid\;\cos(x)=d\\[5pt] 0&=&8d^2-4d-3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{abc-Formel}\\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot8\cdot(-3)}}{2\cdot 8} \\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{4 \pm \sqrt{16+96}}{16} \\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{4 \pm \sqrt{112}}{16} \\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{4 \pm 10,58}{16} \\[5pt] d_{1}&=& \dfrac{4 + 10,58}{16} \\[5pt] d_{1}&=& \dfrac{14,58}{16} \\[5pt] d_{1}&=& 0,91125 \\[10pt] d_{2}&=& \dfrac{4 - 10,58}{16} \\[5pt] d_{2}&=& \dfrac{-6,58}{16} \\[5pt] d_{2}&=& -0,41125 \\[10pt] \end{array}$
$ d_1=0,91125\quad d_2=-0,41125 $
Nun musst du noch rücksubstituieren.
$\begin{array}[t]{rll} d_1&=&\cos(x_1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0,91125&=&\cos(x_1) &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] 0,14\pi&=&x_1 \\[5pt] \end{array}$
$ 0,14\pi=x_1 $
$\begin{array}[t]{rll} d_2&=&\cos(x_2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -0,41125&=&\cos(x_2) &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] 0,63\pi&=&x_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 0,63\pi=x_2 $
Überprüfe, ob es noch weitere mögliche Ergebnisse gibt.
Der Kosinus ist im Bereich $[0;2\pi]$ symmetrisch zur Stelle $x=\pi$. Demnach liefern die Werte $2\pi-0,14\pi=1,86\pi$ und $2\pi-0,63\pi=1,37\pi$ das gleiche Ergebnis für den Kosinus. Überprüfe all diese möglichen Ergebnisse durch einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 2\sin(x)&=&2\cos(x)-1 &\quad \scriptsize \mid\;x=0,14\pi \\[5pt] 2\sin(0,14\pi)&=&2\cos(0,14\pi)-1 \\[5pt] 0,8516&\approx&0,8097\\[5pt] \end{array}$
$ 0,8516\approx0,8097 $
$\begin{array}[t]{rll} 2\sin(x)&=&2\cos(x)-1 &\quad \scriptsize \mid\;x=0,63\pi \\[5pt] 2\sin(0,63\pi)&=&2\cos(0,63\pi)-1 \\[5pt] 1,8355&\neq&-1,7943\\[5pt] \end{array}$
$ 1,8355\neq-1,7943 $
$\begin{array}[t]{rll} 2\sin(x)&=&2\cos(x)-1 &\quad \scriptsize \mid\;x=1,14\pi \\[5pt] 2\sin(1,14\pi)&=&2\cos(1,14\pi)-1 \\[5pt] -0,8516&\neq&-2,8097\\[5pt] \end{array}$
$ -0,8516\neq-2,8097 $
$\begin{array}[t]{rll} 2\sin(x)&=&2\cos(x)-1 &\quad \scriptsize \mid\;x=1,63\pi \\[5pt] 2\sin(1,63\pi)&=&2\cos(1,63\pi)-1 \\[5pt] -1,8355&\neq&-0,2057\\[5pt] \end{array}$
$ -1,8355\neq-0,2057 $
Die Gleichung ist für $x=0,14\pi$ erfüllt. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{0,14\pi\}$.
d)
Überprüfe, ob $x=\pi$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} 5\sin(x)^2&=&2+\cos(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 5\sin(\pi)^2&=&2+\cos(\pi)^2\\[5pt] 5\cdot1&=&2+0\\[5pt] 5&\neq&2\\[5pt] \end{array}$
$ 5\neq2 $
$x=\pi$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 5\sin(x)^2&=&2+\cos(x)^2&\quad \scriptsize \mid\;\sin(x)^2=1-\cos(x)^2 \\[5pt] 5\cdot(1-\cos(x)^2)&=&2+\cos(x)^2 \\[5pt] 5-5\cos(x)^2&=&2+\cos(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\;-2;\,+5\cos(x)^2\\[5pt] 3&=&6\cos(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\;:6\\[5pt] 0,5&=&\cos(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] \pm0,7071&=&\cos(x) \\[5pt] 0,7071&=&\cos(x_1) &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] 0,25\pi&=&x_1 \\[10pt] -0,7071&=&\cos(x_2) &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] 0,75\pi&=&x_2 \\[10pt] \end{array}$
$ x_1=0,25\pi\quad x_2=0,75\pi $
Überprüfe, ob es noch weitere mögliche Ergebnisse gibt.
Der Kosinus ist im Bereich $[0;2\pi]$ symmetrisch zur Stelle $x=\pi$. Demnach liefern die Werte $2\pi-0,25\pi=1,75\pi$ und $2\pi-0,75\pi=1,25\pi$ das gleiche Ergebnis für den Kosinus. Überprüfe all diese möglichen Ergebnisse durch einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 5\sin(x)^2&=&2+\cos(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\;x=0,25\pi \\[5pt] 5\sin(0,25\pi)^2&=&2+\cos(0,25\pi)^2 \\[5pt] 2,5&=&2,5\\[5pt] \end{array}$
$ 2,5=2,5 $
$\begin{array}[t]{rll} 5\sin(x)^2&=&2+\cos(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\;x=0,75\pi \\[5pt] 5\sin(0,75\pi)^2&=&2+\cos(0,75\pi)^2 \\[5pt] 2,5&=&2,5\\[5pt] \end{array}$
$ 2,5=2,5 $
$\begin{array}[t]{rll} 5\sin(x)^2&=&2+\cos(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\;x=1,25\pi \\[5pt] 5\sin(1,25\pi)^2&=&2+\cos(1,25\pi)^2 \\[5pt] 2,5&=&2,5\\[5pt] \end{array}$
$ 2,5=2,5 $
$\begin{array}[t]{rll} 5\sin(x)^2&=&2+\cos(x)^2 &\quad \scriptsize \mid\;x=1,75\pi \\[5pt] 5\sin(1,75\pi)^2&=&2+\cos(1,75\pi)^2 \\[5pt] 2,5&=&2,5\\[5pt] \end{array}$
$ 2,5=2,5 $
Die Gleichung ist für alle möglichen Ergebnisse erfüllt. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{0,25\pi;0,75\pi;1,25\pi;1,75\pi\}$.
e)
Überprüfe, ob $x=\pi$ eine Lösung wäre.
$\begin{array}[t]{rll} 9-3\sin(x)&=&6\cos(x)^2+12 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 9-3\sin(\pi)&=&6\cos(\pi)^2+12\\[5pt] 9-3&=&0+12\\[5pt] 6&\neq&12\\[5pt] \end{array}$
$ 6\neq 12 $
$x=\pi$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 9-3\sin(x)&=&6\cos(x)^2+12&\quad \scriptsize \mid\;\cos(x)^2=1-\sin(x)^2 \\[5pt] 9-3\sin(x)&=&6\cdot(1-\sin(x)^2)+12&\\[5pt] 9-3\sin(x)&=&6-6\sin(x)^2+12&\quad \scriptsize \mid\;+6\sin(x)^2\\[5pt] 6\sin(x)^2-3\sin(x)+9&=&18&\quad \scriptsize \mid\;-18\\[5pt] 6\sin(x)^2-3\sin(x)-9&=&0&\quad \scriptsize \mid\;\sin(x)=d\\[5pt] 6d^2-3d-9&=&0&\quad \scriptsize \mid\;\text{abc-Formel}\\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot6\cdot(-9)}}{2\cdot 6} \\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm \sqrt{9+216}}{12} \\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm \sqrt{225}}{12} \\[5pt] d_{1,2}&=& \dfrac{3 \pm 15}{12} \\[5pt] d_{1}&=& \dfrac{3 + 15}{12} \\[5pt] d_{1}&=& \dfrac{18}{12} \\[5pt] d_{1}&=& 1,5 \\[10pt] d_{2}&=& \dfrac{3 - 15}{12} \\[5pt] d_{2}&=& \dfrac{-12}{12} \\[5pt] d_{2}&=& -1 \\[10pt] \end{array}$
$ d_1=1,5\quad d_2=-1 $
Nun musst du noch rücksubstituieren.
$\begin{array}[t]{rll} d_1&=&\sin(x_1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 1,5&=&\sin(x_1) \\[5pt] \end{array}$
$ 1,5=\sin(x_1) $
Der Sinus kann nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen. Deshalb gibt es für diese Gleichung keine Lösung.
$\begin{array}[t]{rll} d_2&=&\sin(x_2) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -1&=&\sin(x_2) &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] 1,5\pi&=&x_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 1,5\pi=x_2 $
Überprüfe, ob es noch weitere mögliche Ergebnisse gibt.
Der Sinus ist im Bereich $[\pi;2\pi]$ symmetrisch zur Stelle $x=1,5\pi$. Aufgrund dieser Symmetrie gibt es keinen zweiten Wert, der das selbe Ergebnis des Sinus liefert. Überprüfe das Ergebnis durch einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 9-3\sin(x)&=&6\cos(x)^2+12 &\quad \scriptsize \mid\;x=1,5\pi \\[5pt] 9-3\sin(1,5\pi)&=&6\cos(\pi)^2+12 \\[5pt] 12&=&12\\[5pt] \end{array}$
$ 12=12 $
Die Gleichung ist erfüllt. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{1,5\pi\}$.
#tangens#kosinusfunktion#abc-formel#sinusfunktion

Aufgabe 4

a)
Zeichen die beiden Funktionen. Wähle dein Koordinatensystem dabei so, dass du gut zeichnen kannst. Es empfiehlt sich, für die $x$-Achse die Schritte in Abhängigkeit von $\pi$ zu wählen. Deine Zeichnung sollte so aussehen:
Suche die Schnittpunkte in deiner Abbildung und schätze, bei welchem Vielfachen von $\pi$ sich die Schnittstelle auf der $x$-Achse befindet.
Der erste Schnittpunkt könnte bei $0,2\pi$ liegen. Der Zweite ungefähr bei $1,2\pi$.
b)
Überprüfe deine Vermutungen aus dem vorherigen Aufgabenteil. Um die Schnittstellen zu bestimmen, musst du die Funktionsgleichungen der beiden Funktionen gleichsetzen. Du erhältst dabei eine goniometrische Gleichung wie in den vorherigen Aufgabenteilen. Löse diese Aufgabe deshalb genauso.
Überprüfe, ob $x=\pi$ eine Lösung ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0,1\cos(x)&=&0,25\sin(x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 0,1\cos(\pi)&=&0,25\sin(\pi) \\[5pt] 0,1\cdot 0&=&0,25\cdot1 \\[5pt] 0&\neq&0,25 \\[5pt] \end{array}$
$ 0\neq0,25 $
$x=\pi$ ist keine Lösung der Gleichung. Forme sie nun um und löse sie.
$\begin{array}[t]{rll} 0,1\cos(x)&=&0,25\sin(x) &\quad \scriptsize \mid\;:\cos(x) \\[5pt] 0,1&=&0,25\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} &\quad \scriptsize \mid\;:0,25;\,\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \\[5pt] 0,4&=&\tan(x)&\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] 0,12\pi&=&x\\[5pt] \end{array}$
$ 0,12\pi=x $
Überprüfe, ob es noch mehr mögliche Ergebnisse gibt.
Der Wert $0,12\pi+\pi=1,12\pi$ liegt ebenfalls im Bereich und führt zum selben Ergebnis des Tangens. Überprüfe nun, ob die Ergebnisse richtig sind, indem du sie einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} 0,1\cos(x)&=&0,25\sin(x) &\quad \scriptsize \mid\;x=0,12\pi\\[5pt] 0,1\cos(0,12\pi)&=&0,25\sin(0,12\pi) \\[5pt] 0,0930&\approx&0,0920 \\[5pt] \end{array}$
$ 0,0930\approx0,0920 $
$\begin{array}[t]{rll} 0,1\cos(x)&=&0,25\sin(x) &\quad \scriptsize \mid\;x=1,12\pi\\[5pt] 0,1\cos(1,12\pi)&=&0,25\sin(1,12\pi) \\[5pt] -0,0930&\approx&-0,0920 \\[5pt] \end{array}$
$ -0,0930\approx-0,0920 $
Beide Ergebnisse erfüllen die Gleichung. Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=\{0,12\pi;1,12\pi\}$. Vergleiche anschließend mit deinen Schätzungen aus Aufgabenteil a). Sind sich die Ergebnisse ähnlich? In dieser Lösung wurden die Schnittstellen bei $0,2\pi$ und $1,2\pi$ geschätzt. Die Schätzungen sind nicht zu weit von den tatsächlichen Schnittstellen entfernt.
c)
Bestimme die Schnittstellen der beiden Funktionen. Gehe dabei ähnlich wie in Aufgabenteil b) vor. Setze die Funktionen gleich und löse die goniometrische Gleichung. Überprüfe zuerst, ob $\varphi=90°$ eine Lösung der Gleichung ist.
$\begin{array}[t]{rll} 2-\cos(\varphi)&=&16\sin(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 2-\cos(90°)&=&16\sin(90°) \\[5pt] 2-0&=&16\cdot 1 \\[5pt] 2&\neq&16 \\[5pt] \end{array}$
$ 2\neq 16 $
$\varphi=90°$ ist keine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 2-\cos(\varphi)&=&16\sin(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\; \sin(\varphi)=\sqrt{1-\cos(\varphi)^2}\\[5pt] 2-\cos(\varphi)&=&16\cdot(\sqrt{1-\cos(\varphi)^2}) &\quad \scriptsize \mid\;^2\\[5pt] 4-4\cos(\varphi)+\cos(\varphi)^2&=&256\cdot(1-\cos(\varphi)^2) \\[5pt] 4-4\cos(\varphi)+\cos(\varphi)^2&=&256-256\cos(\varphi)^2 &\quad \scriptsize \mid\;+256\cos(\varphi)^2;\,-256\\[5pt] 257\cos(\varphi)^2-4\cos(\varphi)-252&=&0&\quad \scriptsize \mid\;\cos(varphi)=x\\[5pt] 257x^2-4x-252&=&0&\quad \scriptsize \mid\;\text{abc-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot257\cdot(-252)}}{2\cdot 257} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{4 \pm \sqrt{16+259.056}}{514} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{4 \pm \sqrt{259.072}}{514} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{4 \pm 509}{514} \\[5pt] x_{1}&=& \dfrac{4 + 509}{514} \\[5pt] x_{1}&=& \dfrac{513}{514} \\[5pt] x_{1}&=& 0,9981 \\[10pt] x_{2}&=& \dfrac{4 - 509}{514} \\[5pt] x_{2}&=& \dfrac{-505}{514} \\[5pt] x_{2}&=& -0,9825 \\[10pt] \end{array}$
$ x_1=0,9981\quad x_2=-0,9825 $
Jetzt musst du noch rücksubstituieren.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\varphi)&=&x &\quad \scriptsize \mid\;x_1=0,9981 \\[5pt] \cos(\varphi)&=&0,9981 &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \varphi&=&3,5° \\[5pt] \end{array}$
$ \varphi=3,5° $
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\varphi)&=&x &\quad \scriptsize \mid\;x_2=-0,9825 \\[5pt] \cos(\varphi)&=&-0,9825 &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \varphi&=&169,3° \\[5pt] \end{array}$
$ \varphi=169,3° $
Überprüfe, ob es noch andere Möglichkeiten gibt.
Der Kosinus ist achsensymmetrisch zur Stelle $\varphi=180°$. Demnach liefern die Winkel $360°-3,5°=356,5°$ und $360°-169,3°=190,7°$ die gleichen Ergebnisse für den Kosinus. Überprüfe alle möglichen Ergebnisse durch einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} 2-\cos(\varphi)&=&16\sin(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\; \varphi=3,5°\\[5pt] 2-\cos(3,5°)&=&16\sin(3,5°) \\[5pt] 1,002&\approx&0,9768 \\[5pt] \end{array}$
$ 1,002\approx0,9768 $
$\begin{array}[t]{rll} 2-\cos(\varphi)&=&16\sin(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\; \varphi=169,3°\\[5pt] 2-\cos(169,3°)&=&16\sin(169,3°) \\[5pt] 2,9826&\approx&2,9707 \\[5pt] \end{array}$
$ 2,9826\approx2,9707 $
$\begin{array}[t]{rll} 2-\cos(\varphi)&=&16\sin(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\; \varphi=190,7°\\[5pt] 2-\cos(190,7°)&=&16\sin(190,7°) \\[5pt] 2,9826&\neq&-2,9707 \\[5pt] \end{array}$
$ 2,9826\neq-2,9707 $
$\begin{array}[t]{rll} 2-\cos(\varphi)&=&16\sin(\varphi) &\quad \scriptsize \mid\; \varphi=356,5°\\[5pt] 2-\cos(356,5°)&=&16\sin(356,5°) \\[5pt] 1,002&\neq&-0,9768 \\[5pt] \end{array}$
$ 1,002\neq-0,9768 $
Die Ergebnisse $\varphi=3,5°$ und $\varphi=169,3°$ erfüllen die Gleichung. Die Lösung $\varphi=3,5°$ liegt jedoch nicht im angegebenen Bereich. Die Lösungsmenge lautet demnach $\mathbb{L}=\{169,3°\}$.
#abc-formel#kosinusfunktion#tangens#sinusfunktion
Bildnachweise [nach oben]
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