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Graphen zu Sinus, Kosinus und Tangens

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Die Graphen von Sinus, Kosinus und Tangens wiederholen sich periodisch. Eine Periode, also der Abstand, nach dem der Graph der Funktion sich einmal komplett wiederholt, ist bei Sinus und Kosinus $360°$ und beim Tangens $180°$.
Der Graph des Sinus ist im Bereich $[0°;180°]$ achsensymmetrisch zur Stelle $\alpha=90°$. Im Bereich $[180°;360°]$ ist der Sinus achsensymmetrisch zur Stelle $\alpha=270°$. Der Sinus nimmt Werte zwischen $-1$ und $1$ an.
Der Graph des Kosinus ist im Bereich $[0°;360°]$ achsensymmetrisch zur Stelle $\alpha=180°$. Der Kosinus nimmt Werte zwischen $-1$ und $1$ an.
Der Graph des Tangens ist im Bereich $[-90°;90°]$ punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei $90°$ und jedem ganzzahligen Vielfachen dieses Winkelmaßes besitzt der Tangens eine Polstelle.
Die Graphen der trigonometrischen Funktionen sehen so aus:
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Beschreibe mithilfe der Animation den Zusammenhang zwischen dem Graphen der Sinusfunktion und dem Sinuswert am Einheitskreis.
Beschreibe mithilfe der Abbildung den Zusammenhang zwischen dem Graphen der Sinusfunktion und dem Sinuswert am Einheitskreis.
Abb. 1: Sinus am Einheitskreis
Trigonometrie: Graphen zu Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 1: Sinus am Einheitskreis
#sinusfunktion#kosinusfunktion

Aufgabe 1

Zeichne die Graphen der Funktionen $y=\sin(x)$ und $y=\cos(x)$ in getrennte Koordinatensysteme. Erstelle zuerst mithilfe des Einheitskreises eine Wertetabelle für $x\in [0;2\pi]$ und $\Delta x=\dfrac{\pi}{6}$ der Form:
$x$$0$$\dfrac{\pi}{6}$
$\sin(x)$$0$
$\cos(x)$$1$..
#kosinusfunktion#sinusfunktion

Aufgabe 2

Zeichne die Graphen von Sinusfunktion und Kosinusfunktion in ein gemeinsames Schaubild. Verwende $x\in [0;2\pi]$ und die Wertetabelle aus Aufgabe $1$.
a)
Beschreibe den Zusammenhang.
b)
Erstelle eine Tabelle, welche die Nullstellen und die Lage der Extremstellen enthält.
c)
Bestimme die Werte $\varphi$ für den gilt:
$\sin(\varphi)=\cos(\varphi)$
#kosinusfunktion#extrempunkt#sinusfunktion#nullstelle

Aufgabe 3

a)
Verwende deine Schablone um den Graph der Sinusfunktion zu zeichnen, die um eine Längeneinheit nach oben verschoben ist.
b)
Bestimme die Funktionsgleichung dieser Funktion.
c)
Beschreibe, wie du deine Schablone verwenden kannst um den Graph der Kosinusfunktion zu zeichnen.
d)
Zeichne mit deiner Schablone die Graphen der Funktion $f$ in $[0;2\pi]$ mit
(2)
$y=\cos(x)+0,5$
#funktionsgleichung#kosinusfunktion#sinusfunktion

Aufgabe 4

a)
Ordne die Kurven den Funktionsgleichungen $y=\sin(x)$ und $y=\cos(x)$ zu:
b)
Beschreibe die Symmmetrieeigenschaften der Kurven.
#symmetrie

Aufgabe 5

Zeichne den Graph der Funktion $y=\tan(x)$. Erstelle zuerst, mithilfe von Aufgabe $1$ ein Wertetabelle für $x\in[0;\dfrac{\pi}{2}[$. Verwende eine Schrittweite von $\Delta x=\dfrac{\pi}{18}$.
#tangens

Aufgabe 6

Untersuche die Tangensfunktion anhand der Abbildung auf Periodizität, Nullstellen und Extremwerte.
#tangens#extrempunkt#nullstelle
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

In der Animation kannst du im Einheitskreis den Sinuswert in Abhängigkeit vom Winkel $\color{#87c800}{\alpha}$ ablesen. Der Sinus ist im Einheitskreis orange gekennzeichnet. Du kannst außerdem jeden Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen. Auf der $x-$ Achse sind die Winkel im Bogenmaß abgetragen. Überträgst du nun für jeden Winkel $\alpha$ den Sinuswert an der Entsprechenden stelle ins Koordinatensystem, erhältst du den Graph von Sinus.
#sinusfunktion

Aufgabe 1

Du sollst mithilfe des Einheitskreises eine Wertetabelle erstellen. Rechne dafür zuerst die Winkel von Bogenmaß in Gradmaß um und bestimme dann durch Messen die entsprechenden Werte.
$x$$0$$\dfrac{\pi}{6}$$\dfrac{\pi}{3}$$\dfrac{\pi}{2}$$\dfrac{2\pi}{3}$$\dfrac{5\pi}{6}$$\pi$$\dfrac{7\pi}{6}$$\dfrac{4\pi}{3}$$\dfrac{3\pi}{2}$$\dfrac{5\pi}{3}$$\dfrac{11\pi}{6}$$2\pi$
$\alpha$$0°$$30°$$60°$$90°$$120°$$150°$$180°$$210°$$240°$$270°$$300°$$330°$$360°$
$\sin(x)$$0$ $0,5$ $0,87 $$1$ $0,87$ $0,5 $$0$ $-0,5$ $-0,87 $$-1$ $-0,87$ $-0,5 $ $ 0$
$\cos(x)$$1$ $0,87$ $0,5 $$0$ $-0,5$ $ -0,87$$-1$ $-0,87$ $-0,5 $$0$ $0,5$ $ 0,87$ $1 $
Übertrage die Punkte aus der Wertetabelle in zwei Koordinatensysteme und verbinde sie zu den Graphen von Sinus und Kosinus.
Trigonometrie: Graphen zu Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 1: Graph der Kosinusfunktion
Trigonometrie: Graphen zu Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 1: Graph der Kosinusfunktion
Trigonometrie: Graphen zu Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 2: Graph der Sinusfunktion
Trigonometrie: Graphen zu Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 2: Graph der Sinusfunktion
#gradmaß#bogenmaß

Aufgabe 2

Im Folgenden siehst du das Schaubild der Sinus- und Kosinusfunktion.
a)
In diesem Aufgabenteil sollst du den Zusammenhang zwischen den Graphen von Sinus und Kosinus beschreiben. Der Sinus hat dort Extremstellen, wo der Kosinus Nullstellen hat und umgekehrt. Bei beiden Funktionen entsprechen die Nullstellen den Wendestellen. Die Periode beider Funktionen ist $2\pi$. Der Wertebereich beider Funktionen ist $[-1;1]$.
b)
Du sollst eine Tabelle erstellen, welche die Lage der Nullstellen und der Extremstellen enthält.
ExtremstellenNullstellen
$\sin(x)$$\dfrac{\pi}{2}$ und $\dfrac{3\pi}{2}$ $0$, $\pi$ und $2\pi$
$\cos(x)$$0$, $\pi$ und $2\pi$$\dfrac{\pi}{2}$ und $\dfrac{3\pi}{2}$
c)
Du kannst sehen, dass die Funktionen zwei Schnittpunkte besitzen. Diese sind an den Stellen $\dfrac{\pi}{4}$ und $\dfrac{3\pi}{4}$.
#nullstelle#wendepunkt#extrempunkt

Aufgabe 3

a)
Verwende zum Zeichnen deine Schablone. Auf dieser findest du eine Kurve, die sowohl zum Zeichnen von Sinus als auch zum Zeichnen von Kosinus verwendet werden kann.
Um den Graph der Sinusfunktion zu zeichnen, die um eine Längeneinheit nach oben verschoben ist, musst du die Schablone so anlegen, als würdest du den Sinus zeichnen und sie dann um eine Längeneinheit nach oben schieben.
b)
Die Funktion entsteht aus der Sinusfunktion durch Verschieben entlang der $y-$ Achse in positive Richtung. Du kannst eine Funktion um $c$ Einheiten in $y-$ Richtung verschieben, indem du $c$ addierst. Die Funktionsgleichung ist also:
$y=\sin(x)+1$
c)
Um die Kosinusfunktion zu zeichnen, legst du die Schablone nicht mit $0°$ in den Ursprung, sondern mit $90°$. Dann zeichnest du die Kurve genau, wie auch die Sinuskurve ein.
d)
(1)
Du sollst den Graph von $y=\sin(x)-1$ zeichnen. Also die Sinusfunktion, die um eine Einheit entlang der $y$-Achse nach untern verschoben ist. Lege die Schablone also so an, wie wenn du den Graph der Sinusfunktion zeichnen wolltest und schiebe sie dann um eine Einheit nach unten.
Im Folgenden siehst du das Schaubild, welches dadurch entsteht.
(2)
Gehe vor, wie im letzten Aufgabenteil. Lege die Schablone also an, wie wenn du den Kosinus zeichnen wolltest und verschiebe sie dann um $0,5$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben.
#kosinusfunktion#sinusfunktion

Aufgabe 4

a)
Der grüne Funktionsgraph gehört zu der Funktion $\color{#87c800}{y=\cos(x)}$ und der orangene Funktionsgraph zur Funktion $\color{#fa7d19}{y=\sin(x)}$.
b)
Der Funktionsgraph von $\color{#fa7d19}{y=\sin(x)}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung und der Funktionsgraph von $\color{#87c800}{y=\cos(x)}$ ist achsensymmetrisch zur $y-$ Achse.
#sinusfunktion#kosinusfunktion

Aufgabe 5

Erstelle zuerst eine Wertetabelle, wie in Aufgabe $1$.
$x$$0$$\dfrac{\pi}{18}$$\dfrac{\pi}{9}$$\dfrac{\pi}{6}$$\dfrac{2\pi}{9}$$\dfrac{5\pi}{18}$$\dfrac{\pi}{3}$$\dfrac{7\pi}{18}$$\dfrac{4\pi}{9}$
$\alpha$$0°$$10°$$20°$$30°$$40°$$50°$$60°$$70°$$80°$
$\tan(x)$$0$ $0,18$ $0,36 $$0,58$ $0,84$ $1,19 $$1,73$ $2,75$ $5,67 $
Zeichne jetzt mit dieser Wertetabelle den Funktionsgraph von $y=\tan(x)$.
#tangens

Aufgabe 6

Du sollst die Tangensfunktion untersuchen. Anhand der Abbildung kannst du folgende Aussagen treffen:
  • Die Tangensfunktion ist periodisch mit Periode $\pi$
  • Die Nullstellen der Tangensfunktion liegen bei den Vielfachen von $\pi$
  • Die Tangensfunktion hat keine lokalen Extrema
#nullstelle#extrempunkt
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