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Polarkoordinaten

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#polarkoordinaten
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne die Punkte $P(-1\mid 3)$ und $Q(2\mid 40°)$ in ein Koordinatensystem ein.
b)
Bestimme mit Hilfe der Zeichnung die Polarkoordinaten von $P$ und die karthesischen Koordinaten von $Q$. Prüfe für $P$ den Wert $r$ durch Rechnung.
c)
Von den Punkten $Q(2\mid \varphi)$ ist nur der Wert $r=2$ bekannt. Wo liegen alle diese Punkte? Zeichne die Punktmenge in ein Koordinatensystem.
#polarkoordinaten

Aufgabe 1

Bestimme zuerst durch eine Zeichnung die Polarkoordinaten zu den folgenden Punkten. Du kannst für deine Zeichnung ein gemeinsames Koordinatensystem verwenden. Überprüfe $r$ rechnerisch.
b)
$Q(1\mid 4)$
d)
$S(-4\mid 0)$
f)
$U(1\mid -4)$
#polarkoordinaten

Aufgabe 2

Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und bestimme die kartesischen Koordinaten.
b)
$Q(2\mid 40°)$
d)
$Q(8\mid 280°)$
f)
$Q(2\mid 300°)$
#kartesischeskoordinatensystem#polarkoordinaten

Aufgabe 3

Zeichne in ein Koordinatensystem die alle Punkte P ein, welche die jeweiligen Eigenschaften erfüllen.
b)
$P=(3\mid \varphi)$ mit $ 0°\le \varphi \le 360°$
d)
$P=(r\mid \varphi)$ mit $ 30°\le \varphi \le 200°$ und $1\le r \le 5$
f)
$P=(r\mid \varphi)$ mit $ 0\le r \le 2$ und $ 225°\le \varphi \le 340°$
#polarkoordinaten

Aufgabe 4

Ein Viereck hat die Eckpunkte $P_1(3\mid 40°)$, $P_2(3\mid 130°)$, $P_3(3\mid 220°)$ und $P_4(3\mid 310)$.
a)
Beschreibe anhand der Koordinaten, um was für ein besonderes Viereck es sich handelt, ohne zu zeichnen.
b)
Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem.
c)
Der Ursprung soll das Zentrum einer zentrischen Streckung sein. Der Streckfacktor ist $k=2$. Gib die Polarkoordinaten der Bildpunkte an, ohne zu zeichnen.
d)
Führe die zentrische Streckung, mit $Z=O(0\mid 0)$ und $k=2$ durch.
#polarkoordinaten

Aufgabe 5

Beschreibe, welche geometrischen Figuren vorliegen. Zeichne die Punktmenge anschließend in ein Koordinatensystem.
b)
Die Menge aller Punkte $P(r\mid \varphi)$ mit der Eigenschaft $2\le r\le 4$ und $0° \le \varphi \le 360°$.
#polarkoordinaten
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
b)
c)
Alle Punkte mit den Polarkoordinaten $Q(2\mid \varphi)$ liegen auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius $2$.
#polarkoordinaten#satzdespythagoras#kreis

Aufgabe 1

In der folgenden Abbildung siehst du die Zeichnung der Punkte in Polarkoordinaten. Die Winkel sind jeweils in der gleichen Farbe wie der Pfeil eingezeichnet, der auf dem Punkt zeigt. Für eine bessere Übersicht sind die Werte der Winkel nicht in die Zeichnung eingetragen sondern unterhalb zusammen mit den Entfernungen der Punkte vom Ursprung aufgelistet.
Die Entfernung der Punkte vom Ursprung kannst du mit Hilfe des Satz von Pythagoras berechnen.
b)
$\color{#0096c8}{Q}$: Durch Messen bzw. Rechnung erhältst du: $\varphi\approx 76°$ und $r\approx 4,1$
d)
$\color{#fa7d19}{S}$: Durch Messen bzw. Rechnung erhältst du: $\varphi\approx 180°$ und $r\approx 4$
f)
$\color{#87C800}{U}$: Durch Messen bzw. Rechnung erhältst du: $\varphi\approx 284°$ und $r\approx 4,1$
#satzdespythagoras#polarkoordinaten

Aufgabe 2

Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem. Anschließend kannst du $x-$ und $y-$ Koordinaten der Punkte ablesen.
b)
Die kartesischen Koordinaten sind ungefähr $P(1,3\mid 1,5)$.
d)
Die kartesischen Koordinaten sind ungefähr $P(1,4\mid 7,9)$.
f)
Die kartesischen Koordinaten sind ungefähr $P(1\mid -1,7)$.
#kartesischeskoordinatensystem#polarkoordinaten

Aufgabe 3

Du sollst verschiedene Punktmengen einzeichnen. Diese sind im Folgenden durch die grünen Flächen gekennzeichnet.
#polarkoordinaten

Aufgabe 4

a)
Es handelt sich um ein Quadrat. Das erkennst du daran, dass die Eckpunkte des Vierecks alle gleich weit vom Ursprung entfernt sind und die Winkel zwischen zwei Punkten immer $90°$ sind.
b)
c)
Um den Bildpunkt bei einer zentrischen Streckung zu bestimmen, kannst du eine Halbgerade vom Streckzentrum ausgehend durch den Punkte zeichnen. Den Abstand des Bildpunktes vom Streckzentrum erhältst du, wenn du den Abstand vom Punkt zum Zentrum mit dem Streckfaktor multiplizierst. Für diese Aufgabe bedeutet dass, dass die Winkel der Bildpunkte den Winkeln der Punkte entsprechen. Wenn du dir das nicht gut vorstellen kannst, betrachte die Abbildung aus Aufgabenteil b). Der Abstand vom Ursprung wird durch die zentrische Streckung verdoppelt und beträgt somit $6$. Die Punkte sind also:
$P_1(6\mid 40°)$, $P_1(6\mid 130°)$, $P_1(6\mid 220°)$, $P_1(6\mid 310°)$.
d)
In diesem Aufgabenteil sollst du die zentrische Streckung durchführen. Verwende dafür die Abbildung aus Aufgabenteil b) oder zeichne die Abbildung in ein neues Koordinatensystem. Zeichne durch jeden Punkt eine Halbgerade die im Zentrum beginnt. Zeichne anschließend einen Kreis mit Radius $6$ um das Zentrum. Die Schnittpunkte der Halbgeraden mit dem Kreis sind die Bildpunkte. Alternativ kannst du den Abstand vom Ursprung mit deinem Geodreieck messen.
#zentrischestreckung#quadrat#polarkoordinaten

Aufgabe 5

a)
b)
#polarkoordinaten#kreisring
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