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Berechnungen am rechtwinkliges Dreieck

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Mithilfe der trigonometrischen Funktionen kannst du Seitenlängen und Winkelgrößen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Die trigonometrischen Funktionen sind Sinus, Kosinus und Tangens. Wenn du die Größe eines Winkels in eine der Funktionen einsetzt, dann erhältst du einen Wert, der dem Seitenverhältnis von zwei bestimmten Seitenlängen im Dreieck entspricht. Dabei ist die Hypotenuse die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Die Gegenkathete ist die Kathete des Dreiecks, die dem Winkel gegenüber liegt, und die Ankathete die Kathete, die an dem Winkel liegt. Sinus, Kosinus und Tangens sind wie folgt definiert:
Sinus: $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Kosinus: $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Tangens: $\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
#kosinus#tangens#sinus
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Einführungsaufgabe

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Der Winkel $\gamma$ ist der rechte Winkel. Die beiden Katheten sind $a=3\,\text{cm}$ und $b=4\,\text{cm}$ lang.
a)
Berechne die Größe des Winkel $\alpha$ mithilfe des Tangens.
b)
Berechne die Länge der Hypotenuse $c$ mihilfe des Sinus.
c)
Berechne die Größe des Winkels $\beta$ mihilfe des Cosinus.
#rechtwinkligesdreieck#trigonometrie

Aufgabe 1

Die Angaben gehören jeweils zu einem rechtwinkligen Dreieck. Überprüfe jeweils, welcher der Winkel der rechte Winkel ist.
Tipp: Geh davon aus, dass die längste Seite die Hypotenuse ist.
a)
$a=7\,\text{cm}\quad$$b=3,6\,\text{cm}\quad$$c=6\,\text{cm}$
b)
$a=8,66\,\text{cm}\quad$$b=10\,\text{cm}\quad$$c=5\,\text{cm}$
#trigonometrie#rechtwinkligesdreieck

Aufgabe 2

Berechne alle fehlenden Angaben des rechtwinkligen Dreiecks. Geh davon aus, dass $c$ die Hypotenuse ist. Du sollst die Längen aller Seiten und die Größe aller Winkel angeben.
Gib Streckenlängen und Winkelgrößen immer auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet an.
a)
$c=6\,\text{cm}\quad$$\alpha=60°$
b)
$\alpha=45°\quad$$a=7\,\text{cm}$
#rechtwinkligesdreieck#trigonometrie

Aufgabe 3

Trigonometrie: Berechnungen am rechtwinkliges Dreieck
Abb. 1: Je tiefer die Sonne steht, desto länger werden die Schatten.
Trigonometrie: Berechnungen am rechtwinkliges Dreieck
Abb. 1: Je tiefer die Sonne steht, desto länger werden die Schatten.
Markus und Daniel sind beide etwa $1,7\,\text{m}$ groß. Die Sonne strahlt in einem Winkel von $9,6°$ auf die Erde.
a)
Wie lang sind die Schatten der beiden Jungs?
Daniel meint: „Noch vor $20$ Minuten waren die Schatten nur halb so lang.“
b)
In welchem Winkel hat die Sonne vor $20$ Minuten auf die Erde geschienen?
#trigonometrie

Aufgabe 4

Trigonometrie: Berechnungen am rechtwinkliges Dreieck
Abb. 2: Der Eingang zur zweiten Insel von Schloss Hallwyl.
Trigonometrie: Berechnungen am rechtwinkliges Dreieck
Abb. 2: Der Eingang zur zweiten Insel von Schloss Hallwyl.
Im Zuge von Renovierungsarbeiten mussten die beiden alten Eisenketten, die die Zugbrücke gehalten haben, ausgetauscht werden. Die Zugbrücke ist, wenn sie hoch geklappt ist, genau auf einer Höhe mit den Startpunkten der Ketten und kommt auf eine Länge von ca. $3\,\text{m}$.
a)
Wie lang muss eine Kette mindestens sein, damit sie die Zugbrücke halten kann?
Die Zugbrücke ist im Inneren an einem Mechanismus befestigt, durch den die Brücke sicher hochgezogen und herabgelassen werden kann. Dadurch erhöht sich die benötigte Mindestlänge der Kette noch einmal um ca. $30\,\%$.
b)
Welche Länge an Kettenmaterial braucht das Museum insgesamt, um beide Ketten austauschen zu können?
#trigonometrie

Aufgabe 5

Manchmal gibt es Strecken, die man nicht einfach abmessen kann. Das kann an ihrer Größe oder auch der Lage liegen.
Durch den Hardtwald in Karlsruhe verläuft der Pfinz-Entlastungskanal. Dabei handelt es sich um einen künstlichen Fluss, der gegraben wurde, um Hochwasser aus der Pfinz in den Rhein abzuleiten.
Über den Kanal soll eine neue Brücke gebaut werden. Dazu muss zuerst die Breite des Kanals an der gewünschten Stelle bestimmt werden. Die Bauarbeiter können nicht einfach ein großes Maßband nehmen und die Breite des Kanals messen. Die Erde am Rand des Kanals ist abschüssig und rutschig. Deshalb benutzen die Bauarbeiter einen Trick.
Bei seiner Messung kam der Bauarbeiter auf einen Winkel von $\alpha=30,96°$. Berechne die Breite des Kanals.
#trigonometrie
Bildnachweise [nach oben]
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Public Domain.
[2]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Berechne die Größe des Winkels, indem du den Tangens zur Hilfe nimmst. Der Tangens ist definiert als:
$\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
$\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Du teilst die Länge der Gegenkathete, also die Länge der Dreiecksseite, die dem Winkel gegenüber liegt und die nicht die Hypotenuse ist, durch die Länge der Ankathete, also die Länge der Seite, die an dem Winkel liegt und die nicht die Hypotenuse ist.
Die Seite $a$ ist hier die Gegenkathete und die Seite $b$ entspricht der Ankathete. Berechne nun die Größe des Winkels.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{3\,\text{cm}}{4\,\text{cm}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&0,75 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&36,9° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=36,9° $
Der Winkel $\alpha$ ist $36,9°$ groß.
b)
Berechne die Länge der Hypothenus mithilfe des Sinus. Der Sinus ist definiert als:
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Dabei ist die Gegenkathete die Länge der Seite, die dem Winkel gegenüber liegt und nicht die Hypotenuse ist. Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
Vom vorher berechneten Winkel $\alpha$ ausgehend, ist die Seite $a$ die Gegenkathete und $c$ die Hypotenuse. Berechne die Länge der Hypotenuse.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(36,9°)&=&\dfrac{3\,\text{cm}}{c} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot c \\[5pt] c\cdot 0,6&=&3\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;:0,6\\[5pt] c&=&5\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ c=5\,\text{cm} $
Die Hypotenuse ist $5\,\text{cm}$ lang.
c)
Berechne die Größe des Winkel $\beta$ mithilfe des Cosinus. Er ist definiert als:
$\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Dabei ist die Ankathete die Länge der Seite, die an dem Winkel liegt und die nicht die Hypotenuse ist. Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
Hier gehst du vom Winkel $\beta$ aus. Die Ankathete des Winkels ist die Seite $a$ und die Hypotenuse ist $c$. Berechne die Größe des Winkels $\beta$.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \cos(\beta)&=&\dfrac{3\,\text{cm}}{5\,\text{cm}} \\[5pt] \cos(\beta)&=&0,6 &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \beta&=&53,1° \\[5pt] \end{array}$
$ \beta=53,1° $
Der Winkel $\beta$ ist $53,1°$ groß.
#trigonometrie

Aufgabe 1

Berechne mithilfe der Angaben die Größe der Winkel des rechtwinkligen Dreiecks. Einer davon muss $90°$ groß sein. Verwende dabei den Sinus. Der Tangens ist bei $90°$ nicht definiert, deshalb solltest du ihn nicht verwenden. Geh davon aus, dass die längste Seite die Hypotenuse ist. Beim Cosinus kann die Verwirrung entstehen, dass du nicht genau weißt, welche Seite die Ankathete ist.
Es kann vorkommen, dass Gegenkathete und Hypotenuse identisch sind.
a)
Der rechte Winkel liegt der Hypotenuse gegenüber. Wenn du davon ausgehst, dass die längste Seite die Hypotenuse ist, dann liegt nahe, dass der Winkel $\alpha$ der rechte Winkel ist. Überprüfe das mithilfe des Sinus.
Die Gegenkathete des Winkels $\alpha$ ist $a$. Dies ist auch die Hypotenuse. Berechne die Größe des Winkels.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{7\,\text{cm}}{7\,\text{cm}} \\[5pt] \sin(\alpha)&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1}\\[5pt] \alpha&=&90°\\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=90° $
Der Winkel $\alpha$ ist der rechte Winkel.
b)
Der rechte Winkel liegt der Hypotenuse gegenüber. Wenn du davon ausgehst, dass die längste Seite die Hypotenuse ist, dann liegt nahe, dass der Winkel $\beta$ der rechte Winkel ist. Überprüfe das mithilfe des Sinus.
Die Gegenkathete des Winkels $\beta$ ist $b$. Dies ist auch die Hypotenuse. Berechne die Größe des Winkels.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(\beta)&=&\dfrac{10\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} \\[5pt] \sin(\beta)&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1}\\[5pt] \beta&=&90°\\[5pt] \end{array}$
$ \beta=90° $
Der Winkel $\beta$ ist der rechte Winkel.
#sinus#trigonometrie

Aufgabe 2

Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen mithilfe der trigonometrischen Funktionen. Die Gegenkathete des Winkels ist immer die Seite, die dem Winkel gegenüber liegt und die nicht die Hypotenuse ist. Die Ankathete ist die Seite, an der der Winkel liegt und die nicht die Hypotenuse ist.
Stelle mithilfer der trigonometrischen Funktionen eine Gleichung auf, in der du zwei der drei nötigen Angaben kennst und berechne damit die dritte Angabe.
a)
Berechne die Länge der Seite $a$ mithilfe des Sinus.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(60°)&=&\dfrac{a}{6\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] 0,866\cdot 6\,\text{cm}&=&a \\[5pt] 5,2\,\text{cm}&=&a \\[5pt] \end{array}$
$ a=5,2\,\text{cm} $
Die Seite $a$ ist $5,2\,\text{cm}$ lang.
Berechne die Länge der Seite $b$ mithilfe des Cosinus.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \cos(60°)&=&\dfrac{b}{6\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] 0,5\cdot 6\,\text{cm}&=&b \\[5pt] 3\,\text{cm}&=&b \\[5pt] \end{array}$
$ b=3\,\text{cm} $
Die Seite $b$ ist $3\,\text{cm}$ lang.
Berechne die Größe des Winkels $\beta$ mithilfe des Sinus.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(\beta)&=&\dfrac{3\,\text{cm}}{6\,\text{cm}} \\[5pt] \sin(\beta)&=&0,5 &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1}\\[5pt] \beta&=&30° \\[5pt] \end{array}$
$ \beta=30° $
Der Winkel $\beta$ ist $30°$ groß.
Der Winkel $\gamma$ liegt der Hypotenuse gegenüber. Er ist der rechte Winkel. Alle Angaben des Dreiecks sind in der Tabelle noch einmal zusammengefasst.
AngabeGröße
$a$$5,2\,\text{cm}$
$b$$3\,\text{cm}$
$c$$6\,\text{cm}$
$\alpha$$60°$
$\beta$$30°$
$\gamma$$90°$
b)
Berechne die Länge der Seite $c$ mithilfe des Sinus.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \sin(45°)&=&\dfrac{7\,\text{cm}}{c} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot c \\[5pt] 0,7071\cdot c&=&7\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\;:0,7071 \\[5pt] c&=&9,9\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
$ c=9,9\,\text{cm} $
Die Seite $c$ ist $9,9\,\text{cm}$ lang.
Berechne die Länge der Seite $b$ mithilfe des Tangens.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \tan(45°)&=&\dfrac{7\,\text{cm}}{b} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] 1\cdot 7\,\text{cm}&=&b \\[5pt] 7\,\text{cm}&=&b \\[5pt] \end{array}$
$ b=7\,\text{cm} $
Die Seite $b$ ist $7\,\text{cm}$ lang.
Berechne die Größe des Winkels $\beta$ mithilfe des Tangens.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \tan(\beta)&=&\dfrac{7\,\text{cm}}{7\,\text{cm}} \\[5pt] \tan(\beta)&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1}\\[5pt] \beta&=&45° \\[5pt] \end{array}$
$ \beta=45° $
Der Winkel $\beta$ ist $45°$ groß.
Der Winkel $\gamma$ liegt der Hypotenuse gegenüber. Er ist der rechte Winkel. Alle Angaben des Dreiecks sind in der Tabelle noch einmal zusammengefasst.
AngabeGröße
$a$$7\,\text{cm}$
$b$$7\,\text{cm}$
$c$$9,9\,\text{cm}$
$\alpha$$45°$
$\beta$$45°$
$\gamma$$90°$
#tangens#sinus#trigonometrie#kosinus

Aufgabe 3

a)
Die Schatten verlaufen von den Füßen der beiden über den Boden, bis hin zum besagten Sonnenstrahl. Der Winkel, in dem die Sonne auf die Erde strahlt, ist der Winkel zwischen dem Boden und dem Sonnenstrahl.
Du willst die Länge der Schatten wissen. Diese Strecke entspricht der Ankathete des Winkels. Du kennst außerdem noch die Höhe von Markus und Daniel. Das ist die Gegenkathete des Winkels.
Berechne die Länge der Schatten $L_S$ mithilfe des Tangens.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \tan(9,6°)&=&\dfrac{1,7\,\text{m}}{L_S} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot L_S\\[5pt] 0,1691\cdot L_S&=&1,7\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;:0,1691\\[5pt] L_S&=&10,1\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
$ L_S=10,1\,\text{m} $
Die Schatten der beiden sind $10,1\,\text{m}$ lang.
b)
Teile die Länge der Schatten, die du in der vorherigen Aufgabe berechnet hast durch $2$. Anschließend musst du die Größe des Winkels $\alpha$ berechnen.
$10,1\,\text{m}:2=5,05\,\text{m}$
Die Schatten waren vor $20$ Minuten noch $5,05\,\text{m}$ lang. Berechne nun die Größe des Winkels $\alpha$.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{1,7\,\text{m}}{5,05\,\text{m}}\\[5pt] \tan(\alpha)&=&0,3366 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&18,6° \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha=18,6° $
Die Sonne hat vor $20$ Minuten noch in einem Winkel von $18,6°$ auf die Erde geschienen.
#tangens#trigonometrie

Aufgabe 4

a)
Stell dir die Situation als rechtwinkliges Dreieck vor. Wo liegt der rechte Winkel? Welche Seite entspricht der Länge einer der Ketten? Welche Längen kennst du?
Der rechte Winkel liegt zwischen dem Tor und der Zugbrücke. Die Zugbrücke ist genauso lang wie das Tor hoch, nämlich $3\,\text{m}$. Die Kette bildet die Hypotenuse des Dreiecks. Du kannst ihre Länge mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] c^2&=&(3\,\text{m})^2+(3\,\text{m})^2 \\[5pt] c^2&=&9\,\text{m}^2+9\,\text{m}^2 \\[5pt] c^2&=&18\,\text{m}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt] c&=&4,24\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$
$ c=4,24\,\text{cm} $
Eine Kette muss mindestens $4,24\,\text{m}$ lang sein.
b)
Berechne zuerst die Länge einer Kette mit den $30\,\%$ extra und verdopple anschließend das Ergebnis, um auf die nötige Gesamtlänge der Ketten zu kommen.
$4,24\,\text{m}\cdot 1,3=5,51\,\text{m}$
Eine Kette muss mindestens $5,51\,\text{m}$ lang sein.
$5,51\,\text{m}\cdot2=11,02\,\text{m}$
Das Museum braucht mindestens $11,02\,\text{m}$ Kettenmaterial, um die beiden Ketten austauschen zu können.
#satzdespythagoras

Aufgabe 5

Schau in die Skizze. Das rechtwinklige Dreieck ist bereits eingezeichnet. Du willst die rot markierte Breite des Flusses berechnen. Du kennst den Winkel $\alpha$. Du kannst dir die Länge der abgesteckten Strecke leicht erschließen. Die Pfosten sind jeweils $10\,\text{m}$ voneinander entfernt aufgestellt. Die Strecke ist also $50\,\text{m}$ lang.
Berechne die Länge der Gegenkathete $g$ des Winkels $\alpha$ mithilfe des Tangens.
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \tan(30,96°)&=&\dfrac{g}{50\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 50\,\text{m} \\[5pt] 0,6\cdot50\,\text{m}&=&g\\[5pt] 30\,\text{m}&=&g\\[5pt] \end{array}$
$ g=30\,\text{m} $
Die Strecke über den Kanal ist $30\,\text{m}$ lang. Du musst hier jedoch beachten, dass er Abstand der beiden Pfosten zum Kanal in dieser Länge mit einbegriffen ist. Jeder Pfosten ist $5\,\text{m}$ vom Kanal entfernt. Deshalb musst du von der berechneten Länge noch $2\cdot 5\,\text{m}=10\,\text{m}$ abziehen, um die Breite des Kanals zu erhalten.
$30\,\text{m}-10\,\text{m}=20\,\text{m}$
Der Kanal ist $20\,\text {m}$ breit.
#trigonometrie#tangens
Bildnachweise [nach oben]
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