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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Trigonometrie
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Allgemeines Vieleck
Berechnungen in Körpe...
Streckenzug
Raumdiagonale
Funktionswerte spezie...
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Einführung
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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
2.
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
3.
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
4.
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
5.
Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse $c=7$ cm und die Kathete $b=5$ cm lang.
a)
Wie lang ist die Kathete $a$?
b)
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks.
6.
Ein 10 m hoher Baum steht in 10 m Entfernung zum Haus. Am Haus steht ein Balkon in 3 m Höhe 2 m weit ab.
Überprüfe rechnerisch, ob der Baum in 2 m Höhe abgesägt werden kann, ohne das der Balkon beschädigt wird.
7.
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
8.
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
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1.
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Der Strohhalm ist bis zum Knick ca. $11,18\,\text{cm}$ lang.
2.
Höhe des Laderaums berechnen
Um diese Aufgabe zu lösen, berechnest du die Strecke $\overline{BC}$ mit dem Satz des Pythagoras. Die Strecke $\overline{CD}$ entspricht der Höhe $h$ des Laderaums. Diese kannst du anschließend ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{BC}^2&=&\overline{AC}^2+\overline{AB}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{BC}^2&=&(5\,\text{m})^2+(2\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{BC}^2&=&29\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{BC}& ≈ &5,39\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{BC}$ hat eine Länge von ca. $5,39\,\text{m}$.
2. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} (5,7\,\text{m})^2&=&(5,39\,\text{m})^2+\overline{CD}^2&\scriptsize\mid\;-(5,39\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{CD}^2&=&(5,7\,\text{m})^2-(5,39\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{CD}^2&=&32,49\,\text{m}^2-29,05\,\text{m}^2\\[2pt] \overline{CD}^2&=&3,44\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{CD}& ≈ &1,85\,\text{m} \end{array}$
$ (5,7\,\text{m})^2=(5,39\,\text{m})^2+\overline{CD}^2 $
Der Laderaum muss eine Höhe von ca. $1,85\,\text{m}$ haben, damit der Balken hinein passt.
3.
Länge der Seitenkante $\boldsymbol{\overline{AN}}$ berechnen
Bevor du die Länge der Seite $\overline{AN}$ berechnen kannst, benötigst du die Länge der Seite $\overline{AM}$.
$\overline{AM}$ entspricht genau der Hälfte der Länge der Seite $\overline{AC}$.
Berechne also zunächst die Länge der Seite $\overline{AC}$. Hierbei hilft dir der Satz des Pythagoras.
1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AC}^2&=&\overline{AB}^2+\overline{BC}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{AC}^2&=&(1\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{AC}^2&=&2\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{AC}& ≈ &1,41\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist ca. $1,41\,\text{m}$ lang.
2. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AM}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AM}&=&\frac{1,41\,\text{m}}{2}\\[2pt] \overline{AM}& ≈ &0,71\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{AM}$ ist ca. $0,71\,\text{m}$ lang.
3. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AN}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AN}^2&=&\overline{AM}^2+\overline{MN}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{AN}^2&=&(0,71\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{AN}^2&=&1,50\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{AN}& ≈ &1,22\,\text{m} \end{array}$
$ \overline{AN}^2=\overline{AM}^2+\overline{MN}^2$
Die Strecke $\overline{AN}$ ist ca. $1,22\,\text{m}$ lang.
4.
Länge der Seitenkante $\boldsymbol{\overline{AN}}$ berechnen
Bevor du die Länge der Seite $\overline{AN}$ berechnen kannst, benötigst du die Länge der Seite $\overline{AM}$.
$\overline{AM}$ entspricht genau der Hälfte der Länge der Seite $\overline{AC}$.
Berechne also zunächst die Länge der Seite $\overline{AC}$. Hierbei hilft dir der Satz des Pythagoras.
1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AC}^2&=&\overline{AB}^2+\overline{BC}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{AC}^2&=&(1\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{AC}^2&=&2\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{AC}& ≈ &1,41\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist ca. $1,41\,\text{m}$ lang.
2. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AM}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AM}&=&\frac{1,41\,\text{m}}{2}\\[2pt] \overline{AM}& ≈ &0,71\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{AM}$ ist ca. $0,71\,\text{m}$ lang.
3. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AN}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AN}^2&=&\overline{AM}^2+\overline{MN}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{AN}^2&=&(0,71\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{AN}^2&=&1,71\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{AN}& ≈ &1,31\,\text{m} \end{array}$
$ \overline{AN}^2=\overline{AM}^2+\overline{MN}^2 $
Die Strecke $\overline{AN}$ ist ca. $1,31\,\text{m}$ lang.
5.
Länge der Kathete $\boldsymbol{a}$ sowie Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
a)
Länge der Kathete $\boldsymbol{a}$ berechnen
Die Länge der Kathete $a$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] (7\,\text{cm})^2&=&a^2+(5\,\text{cm})^2\\[2pt] 49\,\text{cm}^2&=&a^2+25\,\text{cm}^2&\scriptsize\mid\; -25\,\text{cm}^2\\[2pt] a^2&=&49\,\text{cm}^2-25\,\text{cm}^2\\[2pt] a^2&=&24\,\text{cm}^2\\[2pt] a& ≈ &4,9\,\text{cm} \end{array}$
$ c^2=a^2+b^2 $
Die Kathete $a$ ist ca. $4,9\,\text{cm}$ lang.
b)
Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
$\blacktriangleright$ Umfang des Dreiecks berechnen
$\begin{array}{rll} U&=&a+b+c &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] U&=&4,9\,\text{cm}+5\,\text{cm}+7\,\text{cm}\\[2pt] U&=&16,9\,\text{cm} \end{array}$
$ U=a+b+c $
Das Dreieck hat einen Umfang von $16,9\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt (also die Seiten $a$ und $b$ senkrecht aufeinander stehen), kannst du die Fläche des Dreiecks wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} A=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot b &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] A=&\frac{1}{2}\cdot 4,9\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm}\\[2pt] A=&12,25\,\text{cm}^2 \end{array}$
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $12,25\,\text{cm}^2$.
6.
Überprüfen, ob der Baum in $\boldsymbol{2\,\text{m}}$ Höhe abgesägt werden kann
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreieck: Vermischte Aufgaben
Um zu überprüfen, ob der Baum den Balkon beschädigt, berechnest du die Länge der Strecke $c$. Da der Baum 10 m lang ist und in 2 m Höhe abgesägt wird, hat das umfallende Stück eine Länge von 8 m. Das bedeutet also, dass die Strecke $c$ mindestens 8 m lang sein muss, damit der Baum den Balkon nicht beschädigt.
Sollte die Strecke $c$ kürzer als 8 m sein, beschädigt der dass der Baum den Balkon beschädigen würde.
Die Länge der Strecke $c$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] c^2&=&(8\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] c^2&=&65\,\text{m}^2\\[2pt] c& ≈ &8,06\,\text{m} \end{array}$
Da die Seite $c$ länger als $8\,\text{m}$ ist, kann man den Baum in $2\,\text{m}$ Höhe absägen, ohne dass der Balkon beschädigt wird.
7.
Länge der Kathete $\boldsymbol{a}$ sowie Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
a)
Höhe $\boldsymbol{h}$ der Fenster berechnen
Die Höhe der Fenster erhältst du über den Tangens.
$\begin{array}{rll} \tan\alpha&=&\frac{h}{b}&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \tan(45\,^\circ)&=&\frac{h}{1}&\scriptsize\mid\; \cdot -1\\[2pt] h&=&\tan(45\,^\circ)\\[2pt] h&=&1\,\text{m} \end{array}$
Die Fenster haben eine Höhe von je $1\,\text{m}$.
b)
Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ der Fenster berechnen
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt (also die Seiten $h$ und $b$ senkrecht aufeinander stehen), kannst du die Fläche eines Fensters wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} A=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot b &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] A=&\frac{1}{2}\cdot 1\,\text{m}\cdot 1\,\text{m}\\[2pt] A=&0,5\,\text{m}^2 \end{array}$
Ein Fenster hat einen Flächeninhalt von $0,5 \,\text{m}^2$.
Da allerdings zwei Fenster verbaut werden benötig der Glaser $2\cdot0,5\,\text{m}^2=1\,\text{m}^2$ Fensterscheiben für die Fenster.
Für die Fenster wird $1\,\text{m}^2$ an Fensterscheiben benötigt.
8.
Länge der Strecken \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) und \(\boldsymbol{e}\) berechnen
1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Länge der Strecke $a$ genau dem Radius $r$ des Kreises entspricht. Aus diesem Grund handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $a=2\,\text{cm}$.
Da die drei Innenwinkel bei einem gleichseitigen Dreieck alle gleich groß sind und addiert \(180\,^\circ\) ergeben müssen, ist der Winkel $\alpha=60\,^\circ$.
2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \beta&=&\omega-\alpha&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \beta&=&101\,^\circ-60\,^\circ\\[2pt] \beta&=&41\,^\circ \end{array}$
Der Winkel $\beta$ beträgt $41\,^\circ$
3. Schritt: Strecken $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{e}$ mit Hilfe des Sinus berechnen
$\blacktriangleright$ Strecke b berechnen
$\begin{array}{rll} \sin\alpha&=&\frac{b}{d} &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \sin(60\,^\circ)&=&\frac{b}{4}\\[2pt] b&=&\sin(60\,^\circ)\cdot 4\\[2pt] b& ≈ &3,46 \end{array}$
Die Strecke $b$ hat eine Länge von ca. $3,46\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Strecke e berechnen
$\begin{array}{rll} \sin\beta&=&\frac{e}{d} &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \sin(41\,^\circ)&=&\frac{e}{4}&\scriptsize\mid\; \cdot 4\\[2pt] e&=&\sin(41\,^\circ)\cdot 4\\[2pt] e& ≈ &2,62 \end{array}$
Die Strecke $e$ hat eine Länge von ca. $2,62\,\text{cm}$.
4. Schritt: Strecke $\boldsymbol{c}$ mit Hilfe des Kosinus berechnen
$\begin{array}{rll} \cos\beta&=&\frac{c}{d}&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \cos(41\,^\circ)&=&\frac{c}{4}\\[2pt] c&=&\cos(41\,^\circ)\cdot 4\\[2pt] c& ≈ &3,02 \end{array}$
Die Strecke $c$ hat eine Länge von ca. $3,02\,\text{cm}$.
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