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Sinus und Kosinus im Einheitskreis

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© 2017 – SchulLV.
#bogenmaß#sinus
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Einführungsaufgabe

Zeichne den Einheitskreis in ein Koordinatensystem.
a)
Trage die Winkel $45°$ und $100°$ ein und lese aus deiner Zeichnung Sinus- und Kosinuswerte ab.
b)
Überprüfe dein Ergebnis aus a) mit dem Taschenrechner.
c)
Überprüfe mit einer Zeichnung, für welche Werte $\varphi \in [0°,180°]$ die folgenden Gleichungen erfüllt sind.
(2)
$\sin(\varphi)=0,9$
#kosinus#sinus

Aufgabe 1

Berechne für die gegebenen Winkel Sinus- und Kosinuswert und bestimme die kartesischen Koordinaten und die Polarkoordinaten.
$\varphi$$\sin(\varphi)$$\cos(\varphi)$katesische KoordinatenPolarkoordinaten
90°
180°
270°
#kartesischeskoordinatensystem#polarkoordinaten#sinus#kosinus

Aufgabe 2

Zeichne den Einheitskreis in ein Koordinatensystem und bestimme Sinus und Kosinuswerte für die folgenden Winkel durch Messen. Überprüfe mit dem Taschenrechner
b)
120°
d)
140°
f)
310°
#sinus#kosinus

Aufgabe 3

#gleichseitigesdreieck#sinus#kosinus

Aufgabe 4

Für welche Werte $\varphi \in[0°,90°]$ sind die folgenden Gleichungen erfüllt? Erstelle eine Zeichnung um die Frage zu beantworten.
b)
$\cos(\varphi)=0,6$
d)
$\sin(\varphi)=0,5$
#kosinus#sinus

Aufgabe 5

Fülle die Tabelle mit Hilfe deienes Taschenrechners aus.
WahrFalsch
$\sin(30°)=\sin(140°)$
$\sin(30°)=0,5\cdot \cos(30°)$
$\sin(45°)=\cos(45°)$
$\sin(60°)=\sqrt{3}\cdot \cos(60°)$
#kosinus#sinus

Aufgabe 6

Begründe mit Hilfe des Satz des Pythagoras folgende Gleichung anhand einer Skizze.
$(\sin(\varphi))^2+(\cos(\varphi))^2=1$
#sinus#satzdespythagoras#kosinus
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne den Einheitskreis und die angegebenen Winkel in ein Koordinatensystem. Im Folgenden sind die Strecken die dem Sinus entsprechen orange und die Strecken die dem Kosinus entsprechen grün eingezeichnet.
Durch Abmessen und mit deinem Taschenrechner kommst du auf folgende Werte:
$\sin(45°)=0,71 \;$ und $\;\cos(45°)=0,71$
$\sin(100°)=0,98 \;$ und $\;\cos(100°)=-0,17$
b)
Siehe Aufgabenteil $a)$.
c)
Zeichne für beide Aufgabenteile den Einheitskreis.
#sinus#kosinus

Aufgabe 1

Wegen dem Zusammenhang $\sin(\varphi)=y_p$ und $\cos(\varphi)=x_p$, kannst du die kartesischen Koordinaten angeben, wenn du die Werte von Sinus und Kosinus kennst.
$\varphi$$\sin(\varphi)$$\cos(\varphi)$katesische KoordinatenPolarkoordinaten
$0$ $ 1$ $P(1\mid 0)$$P(1\mid 0°) $
90° $1$$0$ $P(0\mid 1)$ $P(1\mid 90°)$
180° $0$$-1$ $P(-1\mid 0)$$P(1\mid 180°)$
270°$-1$ $0$ $ P(0\mid -1)$ $P(1\mid 270°)$
#kosinus#sinus

Aufgabe 2

In den folgenden Abbildungen sind die Strecken, die dem Kosinus entsprechen grün und die Strecken, die dem Sinus entsprechen orange eingezeichnet.
b)
$\sin(120°)=0,87\;$ und $\;\cos(120°)=-0,5$
d)
$\sin(140°)=0,64\;$ und $\;\cos(140°)=-0,77$
f)
$\sin(20°)=-0,77\;$ und $\;\cos(310°)=0,64$
#kosinus#sinus

Aufgabe 3

#gleichseitigesdreieck#sinus#kosinus

Aufgabe 4

a)
b)
c)
d)
#sinus#kosinus

Aufgabe 5

Fülle die Tabelle mit Hilfe deienes Taschenrechners aus.
WahrFalsch
$\sin(30°)=\sin(140°)$ X
$\sin(30°)=0,5\cdot \cos(30°)$ X
$\sin(45°)=\cos(45°)$ X
$\sin(60°)=\sqrt{3}\cdot \cos(60°)$ X
#sinus#kosinus

Aufgabe 6

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypothenuse $c$ und Katheten $a$ und $b$. Die folgende Gleichung erfüllt ist:
$a^2+b^2=c^2$
Wenn du Sinus und Kosinus für einen gegebenen Winkel in den Einheitskreis einzeichnest, erhältst du ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse $c=1$ und den Katheten $a=\sin(\varphi)$ und $b=\cos(\varphi)$. Überträgst du den Satz des Pythagoras auf dieses rechtwinklige Dreieck erhältst du den Zusammenhang:
$(\sin(\varphi))^2+(\cos(\varphi))^2=1$
#sinus#kosinus#satzdespythagoras
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