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Tangens

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#tangens
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Zeichne einen in ein Koordinatensystem den Einheitskreis und trage den Winkel $30°$ ein.
a)
Messe in deiner Zeichnung den Tangenswert zum Winkel $30°$.
b)
Überprüfe deinen Messwert mit dem Taschenrechner.
c)
Bestimme mit Aufgabe b) ohne Taschenrechner und ohne Zeichnung die folgenden Tangenswerte.
$\tan(150°)\;\; \tan(210°)\;\; \tan(330°) $
d)
Welches Vorzeichen hat $\sin(\varphi)$ wenn $\tan(\varphi)$ negativ und $\cos(\varphi)$ positiv ist.
#tangens

Aufgabe 1

Bestimme am Einheitskreis die Werte für den Tangens durch Messen und überprüfe deine Lösung mit dem Taschenrechner.
b)
$\tan(75°)$
d)
$\tan(210°)$
f)
$\tan(110°)$
#tangens

Aufgabe 2

Bestimme das Vorzeichen des Tangenswertes bei gegebenen Vorzeichen von Sinus und Kosinuswerten:
$\sin(\varphi)$$\cos(\varphi)$$\tan(\varphi)$
++
+-
-+
--
#kosinus#sinus#tangens

Aufgabe 3

Beschreibe in eigenen Worten, warum du den Tangens für die Winkel $90°$ und $270°$ nicht berechnen kannst.
#tangens

Aufgabe 4

Es gibt im Einheitskreis je zwei Winkel, die den gleichen Tangenswert haben. Bestimme zu den gegebenen Winkeln jeweils den Winkel mit gleichem Tangenswert.
$120°,\;37°,\;91°,\;234°,\;12°,\;346°,\;180°$
#tangens

Aufgabe 5

Bestimme alle Möglichen Vorzeichen Kombinationen von $\sin(\varphi)$ und $\cos(\varphi)$ bei gegebenen Werten von $\tan(\varphi)$
b)
$\tan(\varphi)=-2$
#tangens#kosinus#sinus

Aufgabe 6

Bestimme die Tangenswerte ohne deinen Taschenrechner. Verwende die Information $\tan(71°)=2,904$.
$\tan(109°)\;\;\; \tan(251°)\;\;\; \tan(289°)$
#tangens
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
b)
Mit dem Taschenrechner erhältst du:
$\tan(30°)=0,577 \approx 0,6$
c)
In der Abbildung sind die gesuchten Werte eingetragen. Der Tangens hat im ersten und dritten Quadranten ein positives Vorzeichen und im zweiten und vierten Quadranten ein negatives Vorzeichen. Es gibt folgenden Zusammenhang:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi)&=&-\tan(180-\varphi) \\[5pt] &=& \tan(180+\varphi) \\[5pt] &=& -\tan(360-\varphi) \end{array}$
Du kannst jetzt die gesuchten Tangenswerte ohne Rechnung bestimmen:
$\tan(150°)=-\tan(30°)=-0,577$
$\tan(210°)=\tan(30°)=0,577$
$\tan(330°)=-\tan(30°)=-0,577$
d)
Der Tangens hat im zweiten und vierten Quadranten ein negatives Vorzeichen, der Kosinus hat im ersten und vierten Quadranten ein positives Vorzeichen. Die Bedingung ist somit im vierten Quadranten erfüllt. Im vierten Quadranten hat der Sinus ein negatives Vorzeichen.
#tangens

Aufgabe 1

In dieser Aufgabe sollst du den Tangens am Einheitskreis durch Messen bestimmen und anschließend deine Ergebnisse mit dem Taschenrechner überprüfen.
b)
Du erhältst durch Messen und mit dem Taschenrechner:
$\tan(75°)\approx 3,73$
d)
Du erhältst durch Messen und mit dem Taschenrechner:
$\tan(210°)\approx 0,58$
f)
Du erhältst durch Messen und mit dem Taschenrechner:
$\tan(110°)\approx -2,75$
#tangens

Aufgabe 2

Du kannst aus der Tabelle ablesen, welches Vorzeichen der Tangens bei gegebenen Vorzeichen von Sinus und Kosinus hat. Überlege die immer, in welchem Quadranten du dich befindest.
$\sin(\varphi)$$\cos(\varphi)$$\tan(\varphi)$Quadrant
++ + 1
+-- 2
-+- 4
-- + 3
#tangens

Aufgabe 3

Wenn du die Strecke, die den Tangens darstellt im Einheitskreis konsturierst, musst du zuerst ein Tangente am Einheitskreis mit Berührpunkt $P(1\mid 0)$ oder $Q(-1\mid 0)$ konstruieren. Anschließend zeichnest du die Halbgerade die mit der $x-$ Achse den Winkel $\varphi$ einschließt. Der Schnittpunkt von Halbgerade und Tangente ist der Punkt der dir den Wert vom Tangens angibt.
Handelt es sich, wie in dieser Aufgabe um einen $90°$ oder $270°$ Winkel, verlaufen Tangente und Halbgerade parallel zueinander. Es gibt also keinen Schnittpunkt und kannst den Tangens nicht bestimmen.
#parallel#tangens

Aufgabe 4

Für den Tangens gilt der Zusammenhang:
$\tan(\varphi)=\tan(\varphi + 180)=\tan(\varphi -180)$
Du musst beachten, dass du den Tangens nur für Winkel $\varphi \in [0°,360°[ \setminus \{90°,270°\}$ am Einheitskreis bestimmen kannst. Verwende also für Winkel, die kleiner oder gleich $180°$ sind:
$\tan(\varphi)=\tan(\varphi + 180)$.
Und für Winkel die größer als $180°$ sind:
$\tan(\varphi)=\tan(\varphi -180)$.
Du kannst jetzt die gesuchten Werte bestimmen:
$\tan(120°)=\tan(120°+180°)=\tan(300°)$
$\tan(37°)=\tan(37°+180°)=\tan(217°)$
$\tan(91°)=\tan(91°+180°)=\tan(271°)$
$\tan(234°)=\tan(234°-180°)=\tan(54°)$
$\tan(12°)=\tan(12°+180°)=\tan(196°)$
$\tan(346°)=\tan(346°-180°)=\tan(166°)$
$\tan(180°)=\tan(180°-180°)=\tan(0°)$
#tangens

Aufgabe 5

In dieser Aufgabe sollst du alle möglichen Vorzeichen Kombinationen für Sinus und Kosinus bestimmt.
a)
$\tan(\varphi)=4$ ist positiv, befindet sich also im ersten oder dritten Quadranten.
Im ersten Quadranten haben Sinus und Kosinus ein positives Vorzeichen.
Im dritten Quadranten haben Sinus uns Kosinus ein negatives Vorzeichen.
b)
$\tan(\varphi)=-2$ ist negativ, befindet sich also im zweiten oder vierten Quadranten.
Im zweiten Quadranten hat der Sinus ein positives und der Kosinus ein negatives Vorzeichen.
Im vierten Quadranten hat der Sinus ein negatives und der Kosinus ein positives Vorzeichen
#tangens

Aufgabe 6

Gehe vor, wie in Aufgabenteil $c)$ der Einführungsaufgabe.
$\tan(109°)=\tan(180°-71°)=-\tan(71°)=-2,904$
$\tan(251°)=\tan(180°+71°)=\tan(71°)=2,904$
$\tan(289°)=\tan(360°-71°)=-\tan(71°)=-2,904$
#tangens
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