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Zusammenhänge zwischen trigonometrischen Termen

Spickzettel
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Die trigonometrischen Funktionen haben verschiedene Zusammenhänge, die du zur Berechnung brauchst. Die wichtigsten Zusammenhänge sind im Folgenden zusammengefasst:
Die Komplementbeziehung:
$\sin(90°-\varphi)=\cos(\varphi)$
$\cos(90°-\varphi)=\sin(\varphi)$
$\sin(90°-\varphi)=\cos(\varphi)$
$\cos(90°-\varphi)=\sin(\varphi)$
Die Supplementbeziehung
$\sin(180°-\varphi)=\sin(\varphi)$
$\cos(180°-\varphi)=-\cos(\varphi)$
$\sin(180°-\varphi)=\sin(\varphi)$
$\cos(180°-\varphi)=-\cos(\varphi)$
Die trigonometrische Grundformel
$\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi)=1$
$\sin(\varphi)=\pm \sqrt{1-\cos^2(\varphi)}$
$\cos(\varphi)=\pm \sqrt{1-\sin^2(\varphi)}$
$\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi)=1$
$\sin(\varphi)=\pm \sqrt{1-\cos^2(\varphi)}$
$\cos(\varphi)=\pm \sqrt{1-\sin^2(\varphi)}$
$\boldsymbol{\sin(\varphi), \; \cos(\varphi) }$und $\boldsymbol{\tan(\varphi)}$
$\tan(\varphi)=\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}$
$\tan(\varphi)=\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}$
Negative Winkelmaße
$\sin(-\varphi)=-\sin(\varphi)\;\; \cos(-\varphi)=\cos(\varphi)$
$\tan(-\varphi)=-\tan(\varphi)$
#sinus#kosinus#tangens#trigonometrie
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Bestimme den Wert $\varphi\in [0°;90°]$, für den folgende Gleichung erfüllt ist:
$\sin(120°)=\sin(\varphi)$
b)
Berechne mit $\sin(\varphi)=0,4$ den Wert $\cos(\varphi)$, ohne $\varphi$ zu berechnen.
c)
Berechne zu den Werten aus Aufgabenteil $b)$ den Wert $\tan(\varphi)$, ohne $\varphi$ zu berechnen.
#tangens#kosinus#sinus

Aufgabe 1

Bestimme in den folgenden Gleichungen den Wert $\varphi \in [0°;90°]$
b)
$-\cos(92°)=\cos(\varphi)$
d)
$\cos(200°)=-\cos(\varphi)$
f)
$-\cos(110°)=\sin(\varphi)$
h)
$\sin(0°)=\cos(\varphi)$
#kosinus#sinus

Aufgabe 2

Berechne $\sin(\alpha)$, ohne $\alpha$ zu berechnen.
b)
$\cos(\alpha)=0,9$
d)
$\cos(\alpha)=0,2$
f)
$\cos(\alpha)=0,5$
#sinus#kosinus

Aufgabe 3

Berechne $\cos(\alpha)$, ohne $\alpha$ zu berechnen.
b)
$\sin(\alpha)=0,71$
d)
$\sin(\alpha)=0,22$
f)
$\sin(\alpha)=0,45$
#sinus#kosinus

Aufgabe 4

Berechne $\tan(\varphi)$ mit Hilfe von $\sin(\varphi)$ ohne $\varphi$ zu berechnen.
b)
$\sin(\varphi)=0,35$
d)
$\sin(\varphi)=0,11$
f)
$\sin(\varphi)=0,99$
#tangens#sinus

Aufgabe 5

Berechne mit deinem Taschenrechner Sinus, Kosinus und Tangenswerte zu den folgenden Winkeln und bestimme positive Winkelmaße, welche die gleichen Werte ergeben.
b)
$-110°$
d)
$-170°$
#kosinus#tangens#sinus
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Die Komplementbeziehung:
$\sin(90°-\varphi)=\cos(\varphi)$
$\cos(90°-\varphi)=\sin(\varphi)$
Die Supplementbeziehung
$\sin(180°-\varphi)=\sin(\varphi)$
$\cos(180°-\varphi)=-\cos(\varphi)$
Die trigonometrische Grundformel
$\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi)=1$
$\sin(\varphi)=\pm \sqrt{1-\cos^2(\varphi)}$
$\cos(\varphi)=\pm \sqrt{1-\sin^2(\varphi)}$
$\boldsymbol{\color{#87c800}{\sin(\varphi), \; \cos(\varphi)}}$ und $\boldsymbol{\color{#87c800}{\tan(\varphi)}}$
$\tan(\varphi)=\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}$
Negative Winkelmaße
$\sin(-\varphi)=-\sin(\varphi)\;\; \cos(-\varphi)=\cos(\varphi)$
$\tan(-\varphi)=-\tan(\varphi)$
Die Komplementbeziehung:
$\sin(90°-\varphi)=\cos(\varphi)$
$\cos(90°-\varphi)=\sin(\varphi)$
Die Supplementbeziehung
$\sin(180°-\varphi)=\sin(\varphi)$
$-\cos(180°-\varphi)=\cos(\varphi)$
Die trigonometrische Grundformel
$\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi)=1$
$\sin(\varphi)=\pm \sqrt{1-\cos^2(\varphi)}$
$\cos(\varphi)=\pm \sqrt{1-\sin^2(\varphi)}$
$\color{#87c800}{\sin(\varphi), \; \cos(\varphi)}$ und $\color{#87c800}{\tan(\varphi)}$
$\tan(\varphi)=\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}$
Negative Winkelmaße
$\sin(-\varphi)=-\sin(\varphi)\;\; \cos(-\varphi)=\cos(\varphi)$
$\tan(-\varphi)=-\tan(\varphi)$
c)
Du kannst den Wert $\tan(\varphi)$ berechnen, indem du den Sinuswert durch den Kosinuswert teilst:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi)&=&\dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,4}{0,92} \\[5pt] &\approx& 0,43 \end{array}$
#sinus#kosinus#tangens

Aufgabe 1

Verwende die Komplementbeziehung und die Supplementbeziehung um den Wert $\varphi$ zu bestimmen.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(140°)&=&\sin(180°-40°) \\[5pt] &=&\sin(40°) \end{array}$
Der gesuchte Wert ist $\color{#87c800}{\varphi=40°}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} -\cos(92°)&=&\cos(180°-92°) \\[5pt] &=&\cos(88°) \end{array}$
Der gesuchte Wert ist $\color{#87c800}{\varphi=88°}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(30°)&=&\cos(90°-30°) \\[5pt] &=&\cos(60°) \end{array}$
Der gesuchte Wert ist $\color{#87c800}{\varphi=60°}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(200°)&=& -\cos(180°-200°) \\[5pt] &=&-\cos(-20°)\\[5pt] &=&-\cos(20°) \end{array}$
Der gesuchte Wert ist $\color{#87c800}{\varphi=20°}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(2°)&=& \sin(90°-2°) \\[5pt] &=&\sin(88°)\\[5pt] \end{array}$
Der gesuchte Wert ist $\color{#87c800}{\varphi=88°}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} -\cos(110°)&=& \cos(180°-110°) \\[5pt] &=&\cos(70°)\\[5pt] &=&\sin(90°-70°)\\[5pt] &=&\sin(20°) \end{array}$
Der gesuchte Wert ist $\color{#87c800}{\varphi=20°}$
g)
$\begin{array}[t]{rll} -\sin(290°)&=& -\sin(180°-290°) \\[5pt] &=&-\sin(-110°)\\[5pt] &=&\sin(110°)\\[5pt] &=&\sin(180°-110°)\\[5pt] &=&\sin(70°)\\[5pt] \end{array}$
Der gesuchte Wert ist $\color{#87c800}{\varphi=70°}$
g)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(0°)&=& \cos(90°-0°) \\[5pt] &=&\cos(90°)\\[5pt] \end{array}$
Der gesuchte Wert ist $\color{#87c800}{\varphi=90°}$
#sinus#kosinus

Aufgabe 2

Verwende die trigonometrische Grundformel, um die Aufgabe zu lösen. Beachte, dass du zwei Lösungen erhalten kannst.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\cos^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,12^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,9856} \\[5pt] &\approx& \pm 0,993 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\cos^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,9^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,19} \\[5pt] &\approx& \pm 0,436 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\cos^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,87^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,243} \\[5pt] &\approx& \pm 0,493 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\cos^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,2^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,96} \\[5pt] &\approx& \pm 0,98 \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\cos^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,31^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,904} \\[5pt] &\approx& \pm 0,95 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\cos^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,5^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,75} \\[5pt] &\approx& \pm 0,866 \end{array}$
#sinus#kosinus

Aufgabe 3

Verwende wie in Aufgabe $2$ die trigonometrische Grundformel, um die Aufgabe zu lösen. Beachte, dass du auch in dieser Aufgabe zwei Lösungen erhalten kannst.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-(-0,1)^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,99} \\[5pt] &\approx& \pm 0,995 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,71^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,496} \\[5pt] &\approx& \pm 0,704 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-(-0,54)^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,708} \\[5pt] &\approx& \pm 0,842 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,22^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,952} \\[5pt] &\approx& \pm 0,975 \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,3^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,91} \\[5pt] &\approx& \pm 0,954 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \\[5pt] &=&\pm \sqrt{1-0,45^2} \\[5pt] &=& \pm \sqrt{0,796} \\[5pt] &\approx& \pm 0,893 \end{array}$
#sinus#kosinus

Aufgabe 4

Du hast in dieser Aufgabe nur den Wert $\sin(\varphi)$ gegeben und sollst mit dieser Information $\tan(\varphi)$ berechnen. Nutze dafür die trigonometrische Grundformel, und die Bezeihung zwischen $\sin(\varphi)$, $\cos(\varphi)$ und $\tan(\varphi)$.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi) &=& \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)} \\[5pt] &=& \dfrac{\sin(\varphi)}{\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,2}{\pm \sqrt{1-0,2^2}} \\[5pt] & \approx& \pm 0,241 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi) &=& \dfrac{\sin(\varphi)}{\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,35}{\pm \sqrt{1-0,35^2}} \\[5pt] & \approx& \pm 0,374 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi) &=& \dfrac{\sin(\varphi)}{\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,72}{\pm \sqrt{1-0,72^2}} \\[5pt] & \approx& \pm 1,038 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi) &=& \dfrac{\sin(\varphi)}{\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,11}{\pm \sqrt{1-0,11^2}} \\[5pt] & \approx& \pm 0,111 \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi) &=& \dfrac{\sin(\varphi)}{\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,3}{\pm \sqrt{1-0,3^2}} \\[5pt] & \approx& \pm 0,314 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi) &=& \dfrac{\sin(\varphi)}{\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,99}{\pm \sqrt{1-0,99^2}} \\[5pt] & \approx& \pm 7,012 \end{array}$
#sinus#kosinus#tangens

Aufgabe 5

Berechne jeweils zuerst die gesuchten Werte und verwende anschließend die Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens um einen positiven Winkel zu finden, der den gleichen Wert liefert.
Allgemein gilt:
$\tan(-\varphi)=\tan(180-\varphi)$
$\sin(-\varphi)=\sin(180+\varphi)$
$\cos(-\varphi)=\cos(\varphi)$
a)
$\sin(-30°)=-0,5=\sin(210°)$
$\cos(-30°)=0,866=\cos(30°)$
$\tan(-30°)=-0,577=\tan(150°)$
b)
$\sin(-110°)=-0,94=\sin(290°)$
$\cos(-110°)=-0,342=\cos(110°)$
$\tan(-110°)=2,747=\tan(70°)$
c)
$\sin(-80°)=-0,985=\sin(260°)$
$\cos(-80°)=0,174=\cos (80°)$
$\tan(-80°)=-5,671=\tan(100°)$
d)
$\sin(-170°)=-0,174=\sin(350°)$
$\cos(-170°)=-0,985=\cos(170°)$
$\tan(-170°)=0,176=\tan(10°)$
#kosinus#sinus#tangens
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