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Änderungsrate

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Die Änderungsrate $B'(t)$, $R$ oder auch $k$ genannt, beschreibt die Geschwindigkeit des Wachstums. Somit gibt die Änderungsrate die Veränderung des Bestandes über eine Zeitspanne an. Die Zeitspanne wurde als Abstand zweier Zeitpunkte definiert und die Veränderung des Bestandes ist die Differenz des alten Bestandes $B_{alt}$ und des neuen Bestandes $B_{neu}$.
$ B'(t) = \dfrac{B_{alt} - B_{neu}}{t_{alt} - t_{neu}} $
$ B'(t) = \dfrac{B_{alt} - B_{neu}}{t_{alt} - t_{neu}} $
Oft möchte man bei der Änderungsrate auch wissen, in welchen Zeitschritten $\Delta t$ diese Änderungen auftreten. Für dies gilt folgende Formel:
$ B'(t) = \dfrac{B(t + \Delta t)-B(t)}{\Delta t} $
$ B'(t) = \dfrac{B(t + \Delta t)-B(t)}{\Delta t} $
  • $\Delta t$ ist ein Zeitschritt
  • $t$ ist ein Zeitpunkt
  • $B(t)$ beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt $t$
  • $B(t+\Delta t)$ beschreibt den Bestand zum Teitpunkt $t+\Delta t$
  • Lineares Wachstum
    Man erkennt lineares Wachstum daran, dass die Änderungsrate $k$ konstant ist. Es gilt dann für den Bestand nach $t$ Zeitschritten
  • $B(t) = k \cdot t + B_0$
  • $B'(t) = k$
  • $B_{t+1} = B_t + k$
  • Somit entspricht die Änderungsrate der Steigung der linearen Wachstumsfunktion und lässt sich durch die Ableitung des Bestandes $B(t)$ berechnen.
    Exponentielles Wachstum
    Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate $k \cdot B(t)$ nicht konstant, sondern proportional zum Bestand $B(t)$. Es gilt dann für den Bestand nach $t$ Zeitschritten
  • $B(t) $$= B_0 \cdot a^t$$=B_0 \cdot (1+k)^t$
  • $B'(t) $$= ln(1+k) \cdot B(t)$$=ln(1+k) \cdot B_0 \cdot(1+k)^t$
  • $B_{t+1} $$= B_t+k \cdot B_t$$=(1+k) \cdot B_t $$= a \cdot B_t$
  • Man nennt $k$ hier Wachstumskonstante. Der Bestand kann man hierbei auch rekursiv mit $B_{t+1}$ darstellen.
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    1.
    Fortpflanzung einer Seerose
    Die Fortpflanzung einer Seerose lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben, wobei $t$ die Anzahl der Tage nach Beobachtungsbeginn beschreibt:
    $B(t)=100\cdot 2^t$
    a)
    Berechne den Bestand nach $5$ Tagen.
    b)
    Berechne die Änderungsrate für $t = 4$ Tage und für den Zeittakt $\Delta t = 1$ mithilfe des Faktors $k$.
    2.
    Temperaturzuwachs
    Die Temperatur in einem Wohnzimmer beträgt zu Beginn der Messung $15$ Grad. Nun schaltet der Wohnungsbesitzer die Heizung an. Der Temperaturzuwachs in den ersten $40$ Minuten kann näherungsweise durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Für die ersten $40$ Minuten gilt folgende Funktion :
    $B(t)=15+ \dfrac{1}{4}\cdot t$
    a)
    Wie groß ist die Änderungsrate und wie verändert sich die Änderungsrate während der Messung?
    Nach $40$ Minuten kann der Temperaturzuwachs als exponentielle Funktion beschrieben werden, für die gilt: $B(t) = a + \left(\dfrac{5}{4}\right)^t$.
    b)
    Berechne die Änderungsrate nach $2$ Minuten.
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    Lösungen
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    1.
    Wachstum einer Seerose
    a)
    $\blacktriangleright$Bestand berechnen
    Es gilt: $t= 5$ Tagen. Deshalb gilt für den Bestand:
    $\begin{array}[t]{llll} B(5)&=100 \cdot 2^5\\ &= 100 \cdot 32\\ &= 3.200 \end{array}$
    Der Bestand nach $5$ Tagen beträgt $3.200$ Seerosen.
    b)
    $\blacktriangleright$Änderungsrate berechnen
    An der Funktionsgleichung $B(t)$ kannst du ablesen, dass bei der Seerose exponentielles Wachstum vorliegt. Es gilt: $B(t)=100 \cdot 2^t$.
    Die Funktionsgleichung für den Bestand kann man auch folgendermaßen schreiben:
    $B(t)=B_0 \cdot(1+k)^t$
    Somit gilt für $k$:
    $\begin{array}[t]{llll} 2 &=k +1 \\ k&=1 \end{array}$
    Dann gilt für die Änderungsrate:
    $\begin{array}[t]{llll} B'(t) &=k \cdot B(t) \\ &=k \cdot B(4)\\ &=1 \cdot 100 \cdot 2^{4}\\ &=1.600 \end{array}$
    Somit beträgt die Fortpflanzungsgeschwindigkeit nach $4$ Tagen $1.600$ Pflanzen pro Tag.
    2.
    Temperaturanwachs
    a)
    $\blacktriangleright$Änderungsrate berechnen
    Du weißt bereits, dass es sich hierbei um lineares Wachstum handelt, deshalb ist die Änderungsrate während der gesamten Messung konstant. Zudem ist die Änderungsrate $B'(t)$ gleich der Steigung der linearen Funktion. Deshalb gilt:
    $B'(t) = \dfrac{1}{4}$
    b)
    $\blacktriangleright$Änderungsrate berechnen
    Nun handelt es sich um exponentielles Wachstum. Zuerst muss man die Temperatur des Raumes nach $40$ Minuten berechnen, um diese dann als $a$ in in den Term der exponentiellen Funtion einsetzen zu können. Dies berechnen wir noch mit der linearen Funktion. Hierfür gilt:
    Für $k$ gilt: $\begin{array}[t]{llll} B(40)&=15 + \dfrac{1}{4}\cdot 40\\ &=25 \end{array}$
    Nun weißt du, dass $a = 25$ ist.
    Somit gilt für die exponentielle Funktion:
    $B(t)=25 + \left(\dfrac{5}{4}\right)^t=25 + \left(1+ \dfrac{1}{4}\right)^t$
    Dann gilt: $k = \dfrac{1}{4}$
    Nun können wir die Änderungsrate $B(t)\cdot k$ für $t=2$ Minuten wie folgt berechnen:
    $\begin{array}[t]{llll} B'(t) &=k \cdot B(t) \\ &=k \cdot B(2)\\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \left(25 + \left(1+ \dfrac{1}{4}\right)^2\right)\\ &=\dfrac{1}{4} \cdot \left(17\cdot \dfrac{25}{16}\right)\\ &=\dfrac{425}{64} \end{array}$
    Nun gilt für die Änderungsrate $B'(t) =\dfrac{425}{64}$ nach $2$ Minuten.
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