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Beschränktes Wachstum

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Begriffe

  • Der Anfangsbestand $B(0)$ gibt den Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ an
  • Der Bestand $B(t_0)$ gibt den Bestand zum Zeitpunkt $t_0$ an
  • Die Schranke $S$ gibt die Obergrenze des Wachstums an
  • k ist die Wachstumskonstante, die das Wachstum charakterisiert
  • Der Anfangsbestand $B(0)$ gibt den Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ an
  • Der Bestand $B(t_0)$ gibt den Bestand zum Zeitpunkt $t_0$ an
  • Die Schranke $S$ gibt die Obergrenze des Wachstums an
  • k ist die Wachstumskonstante, die das Wachstum charakterisiert
  • Der Anfangsbestand $B(0)$ gibt den Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ an
  • Der Bestand $B(t_0)$ gibt den Bestand zum Zeitpunkt $t_0$ an
  • Die Schranke $S$ gibt die Obergrenze des Wachstums an
  • k ist die Wachstumskonstante, die das Wachstum charakterisiert

Differentialgleichung

Beschränktes Wachstum zeichnet sich dadurch aus, dass es eine obere Schranke $S$ gibt. Die Änderungsrate ist abhängig von der Differenz zwischen dem aktuellen Bestand $B(t)$ und der Schranke $S$. Die Änderungsrate ist umso größer, je größer die Differenz ist.
Es ergibt sich die Differenzialgleichung:
$B'(t)=k\cdot (S-B(t))$
Diese Lösung der Differentialgleichung ist die Funktionsgleichung:
$B(t)=S-(S-B_0)\cdot \mathrm e^{-kt}$

Beispiel

Die Anzahl an Bakterien $B(t)$ in einer Probe wird durch die Funktion $f(t)=10.000-(10.000-100)\cdot \mathrm e^{-2\cdot t}$ beschrieben. Dabei ist $t$ in Tagen angegeben.
Wachstum: Beschränktes Wachstum
Wachstum: Beschränktes Wachstum
Die Schranke ist $S=10.000$, der Anfangsbestand ist $B(0)=100$ und die Wachstumskonstante ist $k=2$.
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Aufgaben
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1.
Die Population von Füchsen in einem Wald nach $t$ Jahren wird durch die Funktion $B_1(t)=200-190\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}$ beschrieben.
a)
Aus welchen Gründen könnte das Wachstum beschränkt sein?
b)
Bestimme die Schranke $S$, den Anfangsbestand $B(0)$, sowie die Wachstumskonstante $k$.
c)
Zeichne den Graphen der Funktion $B_1$ in ein geeignetes Koordinatensystem im Bereich $0\lt x\lt 10$.
2.
Die Temperatur eines Metallwürfels nach $t$ Minuten in $^{\circ}\,\text{C}$, der in einem Ofen erwärmt wird, ist durch die Funktion $B_2(t)= 350- 320\cdot \mathrm e^{-2\cdot t}$ beschrieben. Ein zweiter, kleinerer Metallwürfel wird in den selben Ofen gelegt. Die Temperatur in $^{\circ}\,\text{C}$ nach $t$ Minuten ist durch die Funktion $B_3(t)=350 -320\cdot \mathrm e^{-3,5\cdot t}$ beschrieben.
a)
Bestimme jeweils Schranke $S$, Anfangsbestand $B(0)$ und die Wachstumskonstante $k$.
b)
Nach wie vielen Minuten haben die Würfel eine Temperatur von $300^{\circ}\,\text{C}$ erreicht?
3.
Die Funktion $B_4$ soll die Ausbreitung einer Nachricht an einer Schule beschreiben. Zu Beginn wissen bereits $10$ Leute über die Nachricht Bescheid. An der Schule sind insgesamt $200$ Schüler. Die Wachstumskonstante ist $k=0,2$. $t$ soll in Stunden angegeben sein.
a)
Stelle den Funktionsterm für die Funktion $B_4$ auf.
b)
Wie viele Schüler haben nach $4$ Studen von der Nachricht erfahren?
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ a)
Es gibt viele Ursachen, die das Wachstum der Population begrenzen. Hier einige Beispiele:
  • Begrenzter verfügbarer Platz
  • Beschränktes Nahrungsangebot
  • Regulierung durch Jäger
$\blacktriangleright$ b)
Die Schranke ist der Term der Funktionsgleichung, der unabhhängig von $t$ ist. Hier ist die Schranke $S=200$.
Den Anfangsbestand kannst du bestimmen, indem du $t=0$ in den Funktionsterm einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} B(0)&=&200-190\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} \\[5pt] &=& 200-190 &= 10\\[5pt] \end{array}$
Der Anfangsbestand ist $B(0)=10$ Füchse.
Die Wachstumskonstante $k$ kannst du ebenfalls aus dem Funktionsterm ablesen. Es gibt immer einen Term $\mathrm e^{-k\cdot t}$. In der gegebenen Funktion ist $k=0,5$.
$\blacktriangleright$ c)
Du kennst bereits den Anfangsbestand sowie die Schranke. Der Graph der Funktion sollte aussehen:
Wachstum: Beschränktes Wachstum
Wachstum: Beschränktes Wachstum
2.
$\blacktriangleright$ a)
Die Schranke ist der von $t$ unabhängige Term. Die Schranken sind $S_2=350$ und $S_3=350$.
Den Anfangsbestand kannst du ermitteln, indem du $t=0$ in den Funktionsterm einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} B_2(0)&=&350-320\cdot \mathrm e^{-2 \cdot 0} &=30 \\[5pt] B_3(0)&=&350-320\cdot \mathrm e^{-3,5 \cdot 0} &=30 \\[5pt] \end{array}$
Der Anfangsbestand bzw. die Anfangstemperatur ist bei beiden Würfeln $B_2(0)=B_3(0)=30$.
Die Wachstumskonstante steht im Exponenten der Exponentialfunktion. Sie sind $k_2=2$ und $k_3=3,5$.
$\blacktriangleright$ b)
Setze die Funktionsterme mit $300$ gleich und löse die Gleichung mit der Logarithmusfunktion nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} B_2(t)&=& 300\\[5pt] 350-320\cdot \mathrm e^{-2\cdot t}&=& 300 &\quad\mid\;\scriptsize -350 \\[5pt] -320 \cdot \mathrm e^{-2 \cdot t}&=& -50 &\quad\mid\;\scriptsize :(-320) \\[5pt] \mathrm e^{-2 \cdot t}&=& 0,15625 &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] -2 \cdot t \cdot \log(\mathrm e)&=& \log(0,15625) &\quad\mid\;\scriptsize:\left(-2\cdot \log(\mathrm e)\right)\\[5pt] t&=& \dfrac{\log(0,15625)}{-2 \cdot \log(\mathrm e)}\\[5pt] &\approx&0,93 \\[5pt] \\[5pt] B_3(t)&=& 300\\[5pt] 350-320\cdot \mathrm e^{-3,5 \cdot t} &=& 300 &\quad\mid\;\scriptsize -350\\[5pt] -320 \cdot \mathrm e^{-3,5 \cdot t}&=& -50 &\quad\mid\;\scriptsize :(-320) \\[5pt] \mathrm e^{-3,5 \cdot t}&=& 0,15625 &\quad\mid\;\scriptsize \log \\[5pt] -3,5 \cdot t \cdot \log(\mathrm e)&=& \log(0,15625) &\quad\mid\;\scriptsize:\left(-3,5 \cdot \log(\mathrm e)\right)\\[5pt] t&=& \dfrac{\log(0,15625)}{-3,5 \cdot \log(\mathrm e)}\\[5pt] &\approx&0,53 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B_2(t)&=& 300\\[5pt] &\approx&0,93 \\[5pt] \\[5pt] B_3(t)&=& 300\\[5pt] &\approx&0,53 \\[5pt] \end{array}$
Nach knapp einer Stunde hat der größere Würfel $300^{\circ}\,$C erreicht. Der kleine Würfel braucht nur gut eine halbe Stunde.
3.
$\blacktriangleright$ a)
Der Anfangsbestand ist $B(0)=10$, die Schranke ist $S=200$ und die Wachstumskonstante ist $k=0,2$. Die Funktionsgleichung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} B_4(t)&=&200-(200-10)\cdot \mathrm e^{-0,2 \cdot t}\\[5pt] &=&200-190 \cdot \mathrm e^{-0,2 \cdot t}\\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ b)
Setze $t=4$ in die Funktionsgleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} B_4(4)&=& 200-190 \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 4 }\\[5pt] &\approx & 200-85,4 &= 114,6 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B_4(4)&=& 200-190 \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 4 }\\[5pt] &\approx & 200-85,4 &\\[5pt] \end{array}$
Nach $4$ Stunden kennen die Nachricht bereits ca. $115$ Schüler.
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