Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen
Differenzialrechnung
Einführung
Tangentensteigung
Einführung
h-Schreibweise
Änderungsrate
Differenzenquotient
Ableitungsfunktion
Ableiten von Potenzfu...
Ableiten von Sinus un...
Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Quotientenregel
Produktregel
Vermischte Aufgaben
Ganzrationale Funktio...
Einführung
Symmetrie
Grenzwerte
Nullstellen
Einführung
Linearfaktorzerlegung
Monotonie
Extremstellen
Vermischte Aufgaben
Wachstum
Einführung
Bestandsänderung
Änderungsrate
Rekonstruktion des Be...
Überlagerung von expo...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Vermischte Aufgaben
Periodische Vorgänge
Einführung
Bogenmaß
Sinus- und Kosinusfun...
Einheitskreis
Eigenschaften
Streckung und Stauchu...
Verschiebung
Modellierung
Vermischte Aufgaben
Daten und Zufall
Arithmetisches Mittel
Zufallsvariable
Erwartungswert
Bernoulli-Kette
Binomialverteilung
Abhängigkeit und Unab...
Vermischte Aufgaben
Geometrie
Punkte
Vektoren
Einführung
Addition und Subtrakt...
Vervielfachen
Geraden
Geradengleichung
Punktprobe
Lage von Geraden
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Po...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit neg. Hoc...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Potenzgesetze für rat...
Wissenschaftliche Sch...
Einführung
Ausrechnen und Umform...
Gleichungen
Potenzgleichungen lös...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzel
Irrationale Wurzeln
Intervallhalbierung
Heron-Verfahren
Reelle Zahlen
Rechnen mit Wurzeln
Addition und Subtrakt...
Multiplikation und Di...
Teilweise Wurzel zieh...
Wurzelgesetze
Wurzelgleichungen
Vermischte Aufgaben

Bestandsänderung

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Die Bestandsänderung beschreibt die Veränderung eines Bestandes in einem bestimmten Zeitraum und lässt sich für alle Wachstumsformen auf dieselbe Art und Weise bestimmen.
Dazu führen wir zunächst den Begriff der Zeitspanne ein. Diese beschreiben wir mit $\Delta t$ und die Zeitspanne beschreibt den Abstand zweier Zeitpunkte. Den Zeitpunkt zu Beginn der Zeitspanne bezeichnen wir mit $t_0$.
Die Bestandsveränderung über eine gewisse Zeitspanne ist dann die Differenz der Bestände $B_{alt}$ und $B_{neu}$. Das heißt:
  • $\Delta t$ beschreibt die Länge des Zeitraums
  • $B_{alt}$ beschreibt den Bestand zu Beginn der Zeitspanne
  • $B_{neu}$ beschreibt den Bestand am Ende der Zeitspanne
  • $\Delta B$ ist die Bestandsveränderung während der Zeitspanne und es gilt:
    $\Delta B=B_{neu}-B_{alt}=B(t_{0}+\Delta t)-B(t_{0})$
  • $\Delta t$ beschreibt die Länge des Zeitraums
  • $B_{alt}$ beschreibt den Bestand zu Beginn der Zeitspanne
  • $B_{neu}$ beschreibt den Bestand am Ende der Zeitspanne
  • $\Delta B$ ist die Bestandsveränderung während der Zeitspanne und es gilt:
    $\Delta B=B_{neu}-B_{alt}$$=B(t_{0}+\Delta t)-B(t_{0})$

Beispiel

Wir betrachten einen Bestand, welcher linear wächst und der sich wie folgt beschreiben lässt:
$B(t)=20+3\cdot t$
Aus der Funktionsgleichung $B(t)$ lassen sich sofort der Anfangsbestand $B(0)=20$ und die Wachstumskonstane $k=3$ ablesen.
Die Bestandsveränderung zwischen den Zeitpunkten $t=2$ und $t=5$ kannst du wie folgt berechnen:
  • Länge des Zeitraums: $\Delta t=5-2=3$ und $t_{0}=2$
  • $B_{alt}=B(t_0)=B(2)=26$
  • $B_{neu}=B(t_{0}+\Delta t)=B(5)=35$
  • $\Delta B=B_{neu}-B_{alt}=35-26=9$
Somit beträgt die Bestandsveränderung $\Delta B$ zwischen den Zeitpunkten $t=2$ und $t=5$ $9$ Einheiten.
Bei linearen Wachstum bleibt die Bestandsveränderung $\Delta B$ bei festem $\Delta t$ konstant.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1. 
Bakterienkultur
Das Wachstum einer Bakterienkultur lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben, wobei $t$ die Anzahl der Tage nach Beobachtungsbeginn beschreibt:
$B(t)=20.000\cdot 3^t$
a)
  Wie groß ist die Bestandsänderung zwischen den Zeitpunkten $t=0$ und $t=2$?
b)
  Wie groß ist die Bestandsänderung zwischen den Zeitpunkten $t=5$ und $t=7$?
2. 
Baumwachstum
Ein Baum wird in einem Garten gepflanzt und ist anfangs $50\,\text{cm}$ hoch. Durchschnittlich wächst der Baum um $10\,\text{cm}$ im Jahr. Somit lässt sich das Wachstum mit folgender Funktionsgleichung beschreiben:
$B(t)=50+10\cdot t$
Gib die Bestandsänderung über eine Zeitspanne von 5 Jahren an. Warum ist die Wahl des Anfangszeitpunktes der Zeitspanne in diesem Beispiel irrelevant?
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Bakterienkultur
a)
$\blacktriangleright$ Bestandsänderung berechnen
Aus der Funktionsgleichung $B(t)$ kannst du ablesen, dass bei der Bakterienkultur exponentielles Wachstum vorliegt. Es gilt: $t_0=0$. Zur Berechnung der Bestandsänderung berechnest du zuerst $\Delta t=2-0=2$ Tage. Somit gilt:
  • $B_{alt}$$=B(t_0)$$=B(0)$$=20.000$
  • $B_{neu}$$=B(t_0+\Delta t)$$=B(2)$$=180.000$
  • $\Delta B$$=B_{neu}-B_{alt}$$=180.000-20.000$$=160.000$
Somit wächst die Bakterienkultur in den ersten beiden Tagen um $160.000$ um Bakterien.
b)
$\blacktriangleright$ Bestandsveränderung berechnen
In diesem Aufgabenteil betrachten wir die Bestandsänderung zwischen $2$ weiteren Zeitpunkten. Es gilt: $t_0=7$ und $\Delta t=7-5=2$ Tage. Das heißt, die Länge des Zeitraums ist identisch zu a), wobei sich die Zeitpunkte jedoch unterscheiden. Somit gilt:
  • $B_{alt}=B(t_0)$$=B(5)$$=4.860.000$
  • $B_{neu}$$=B(t_0+\Delta t)$$=B(7)$$=43.740.000$
  • $\Delta B$$=B_{neu}-B_{alt}$$=43.740.000-4.860.000$$=38.880.000$
Somit wächst die Bakterienkultur zwischen Tag $5$ und Tag $7$ um $43.740.000$ Bakterien. Obwohl die Länge des Zeitraums in a) und b) identisch ist, siehst du, dass die Bestandsänderungen sich um ein Vielfaches unterscheiden, was dem exponentiellen Wachstum geschuldet ist.
2.
Baumwachstum
$\blacktriangleright$ Bestandsänderung bestimmen
Bei dem gegebenen Modell handelt es sich um lineares Wachstum. Somit ist die Änderungsrate über einen gewissen Zeitraum (aus der Aufgabenstellung folgt $\Delta t=5$) unabhängig von der Wahl des Zeitpunktes $t_0$. Am einfachsten ist es daher, wenn du $t_0=0$ setzt. Somit gilt:
  • $B_{alt}$$=B(t_0)$$=B(0)$$=50\,\text{cm}$
  • $B_{neu}$$=B(t_0+\Delta t)$$=B(5)$$=100\,\text{cm}$
  • $\Delta B$$=B_{neu}-B_{alt}$$=100\,\text{cm}-50\,\text{cm}$$=50\,\text{cm}$
Somit wächst der Baum über einen Zeitraum von $5$ Jahren um $50 \,\text{cm}$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App