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Einführung

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Wachstum beschreibt die Zunahme oder Abnahme einer Größe im Verlauf. Es gibt verschiedene Arten des Wachstums. Bekannt sind bereits lineares (Funktion $f$) und exponentielles Wachstum (Funktion $g$). Es gibt allerdings auch beschränktes (Funktion $h$) und logistisches Wachstum (Funktion $i$).
Wachstum: Einführung
Wachstum: Einführung
Je nachdem, um welches Situation beschrieben werden soll, benötigt man einen anderen Wachstumstyp.

Begriffe

  • Der Anfangsbestand $B(0)$ gibt den Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ bzw. $n=0$ an. Der Anfangsbestand wird ebenfalls durch den Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der $y$-Achse beschrieben.
  • Wachstumskonstante $k$ ist eine charakteristische Größe des Wachstums. Je größer die Wachstumskonstante ist, desto steiler verläuft der Graph der Funktion. Ist die Wachstumskonstante positv, so wächst die Größe. Ist die Wachstumkonstante negativ, so wird die Größe kleiner.
  • Die Änderungsrate $B'(t)$ oder $R$ gibt die Geschwindigkeit des Wachstums an.
  • Die Schranke $S$ beschreibt die Grenze, bis wohin eine Größe wächst. Sie wird für beschränktes und logistisches Wachstum benötigt.
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1.
Entscheide jeweils, um welche Art des Wachstums es sich handelt.
b)
Wachstum: Einführung
Wachstum: Einführung
d)
Wachstum: Einführung
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2.
Bestimme den Anfangsbestand $B(0)$ und die Schranke $S$:
Wachstum: Einführung
Wachstum: Einführung
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ a)
Es handelt sich um beschränktes Wachstum. Der Graph nähert sich einer Obergrenze oder Schranke an. Zudem sinkt die Steigung des Graph im Verlauf.
$\blacktriangleright$ b)
Hierbei handelt es ich um lineares Wachstum. Der Graph ist eine Gerade.
$\blacktriangleright$ c)
Hier siehst du den Graph eines exponentiellen Wachstums. Die Steigung wird im Verlauf des Graphen immer größer.
$\blacktriangleright$ d)
Der letzte Graph beschreibt ein logistisches Wachstum. Der Graph nähert sich einer Obergrenze oder Schranke an. Die Seitung nimmt zunächst zu, ab $x\approx 2,8$ nimmt sie allerdings wieder ab.
2.
$\blacktriangleright$
Den Anfangsbestand $B(0)$ kannst du am Schnittpunkt des Graphen mit $y$-Achse ablesen: $B(0)=2$.
Die Schranke bildet die Obergrenze des Funktionswertes. Sie ist $S=5$.
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