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Lineares Wachstum

Spickzettel
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Lineares Wachstum beschreibt ein Modell, bei dem eine beobachtete Größe (Bestand) in festen Zeitintervallen konstant zunimmt.
Lineares Wachstum wird durch eine Geradengleichung beschrieben:
$B(t) = a \cdot t + B_0,$
$B(t) = a \cdot t + B_0,$
  • $B(t)$ beschreibt den Bestand der Größe nach der Zeit $t$,
  • $a > 0$ bescheibt die konstante Änderungsrate, also das Ausmaß der Veränderung des Bestands in einer bestimmten Zeit,
  • $B_0$ beschreibt den Anfangsbestand, also den Bestand der zum Zeitpunkt $t=0$ vorliegt.
Wachstum: Lineares Wachstum
Abb.1: Beispiel für lineares Wachstum anhand von $f(x)=0,5x+1,5$
Wachstum: Lineares Wachstum
Abb.1: Beispiel für lineares Wachstum anhand von $f(x)=0,5x+1,5$

Beispiel

Eine Badewanne ist anfangs mit $30$ Litern Wasser gefüllt. Pro Minute fließen konstant $7$ Liter dazu. Wie lange dauert es bis die Badewanne ihr maximales Fassungsvermögen von $121$ Liter erreicht hat?
  • Die Änderungsrate ist konstant, also liegt lineares Wachstum vor.
  • Die Badewanne ist anfangs mit $30$ Litern gefüllt, also ist $B_0 = 30$.
  • Jede Minute fließen $7$ Liter dazu, also beträgt die Änderungsrate $a = 7.$
  • Der Bestand zum Zeitpunkt $t$ wird also durch die Gleichung $B(t) = 7t + 30$ beschrieben.
Um nun herauszufinden, wie lange es dauert bis die Badewanne voll ist, musst du $B(t) = 121$ setzen und die Gleichung nach $t$ auflösen:
$B(t) = 7t + 30 = 121 \Longrightarrow t = \dfrac{121 - 30}{7} = 13. $.
$B(t) = 13. $.
Die Badewanne wird also nach $13$ Minuten ihr maximales Fassungsvermögen erreicht haben.
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Aufgaben
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1.
Das Parkhaus eines Fußballstadions hat eine Kapazität von $5.406$ Parkplätzen. Zwei Stunden vor dem Spiel sind $381$ Plätze belegt. $67$ Minuten später ist das Parkhaus voll. Der Bestand der Autos zum Zeitpunkt $t$ kann mithilfe eines linearen Modells beschrieben werden.
a)
Wie viele Autos fahren pro Minute ins Parkhaus?
b)
Wann ist das Parkhaus zur Hälfte voll?
2.
Martins Eltern pflanzen bei seiner Geburt einen Baum an. Pro Jahr wächst der Baum um $1,5$ Meter. Als Martin $17$ Jahre alt ist, ist der Baum $26$ Meter hoch.
a)
Wie hoch war der Baum bei Martins Geburt?
b)
Wie hoch ist der Baum, wenn Martin $20$ Jahre alt ist?
3.
Schnip, Schnap, Schnup wollen ein Rennen auf einer Strecke von $10$ km gegeneinander fahren. Ihnen stehen $3$ verschiedene Fahrzeuge zur Verfügung, die jeweils verschiedene Höchstgeschwindigkeiten haben. Das Elektrofahrrad kommt auf eine Höchstgeschwindikeit von $25$ km/h, das frisierte Mofa schafft es auf $40$ km/h und das schon in die Jahre gekommene Quadcar schafft es auf $55$ km/h. Schnip sagt: „Ich nehme das Elekrofahrrad, dafür starte ich aber bei $6$ km.“. Schnap antwortet: „Einverstanden, dann nehme ich aber das Mofa und starte bei $4$ km.“ Schnup bleibt nichts anderes übrig als das Quadcar zu nehmen und an der Startlinie zu starten. Du kannst annehmen, dass alle konstant mit der Höchstgeschwindigkeit fahren.
a)
Wer kommt als Erster im Ziel an?
b)
Zeichne ein Schaubild für den Verlauf des Rennens
(auf der $x$-Achse soll ein Kästchen $1$ Minute entsprechen und auf der $y$-Achse $1.000$ m).
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Lösungen
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1.
Parkhaus
a)
$\blacktriangleright$ Änderungsrate $a$ bestimmen
Zu Beginn sind $381$ Parkplätze belegt, also ist $B_0 = 381.$ Die Gleichung für den Bestand der Autos zum Zeitpunkt $t$ lautet demnach $$B(t) = a \cdot t + 381.$$ Nach $67$ Minuten ist die Kapazitätgrenze von $5406$ Plätzen erreicht, also $B(67) = 5406.$ Um den Wert für $a$ zu bekommen, musst du diese Gleichung nach $a$ auflösen:
$B(67) $$= a \cdot 67 + 381 $$= 5406 \Longrightarrow a $$= \dfrac{5406 - 381}{67} $$= \dfrac{5025}{67} $$= 75.$
Somit fahren pro Minute $75$ Autos ins Parkhaus und die vollständige Gleichung lautet: $$B(t) = 75t + 381.$$
b)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt $t$ zu dem das Parkhaus zur Hälfte voll war, also $2703$ Plätze belegt waren. Wir setzen die Gleichung $B(t) = 2703$ und lösen diese nach $t$ auf:
$B(t) $$= 2703 \Longrightarrow 75t + 381 $$= 2703 $$\Longrightarrow$$ t $$= \dfrac{2703 - 381}{75} $$= \dfrac{2322}{75} = 30,96.$
Das heißt zwischen der $30.$ und $31.$ Minute wird die Hälfte der Kapazität erreicht.
2.
Wachstum eines Baums
a)
$\blacktriangleright$ Anfangsbestand bestimmen
Der Baum wächst pro Jahr um $1,5$ Jahre, also ist die Änderungsrate $a = 1,5.$ Die zugehörige Gleichung lautet somit $$B(t) = 1,5t + B_0. $$ Nach $17$ Jahren ist der Baum $26$ Meter hoch, also muss $B(17) = 21$ gelten. Löse diese Gleichung nach $B_0$ auf, um auf die anfängliche Höhe zu kommen:
$B(17) $$= 1,5 \cdot 17 + B_0 $$= 21 $$\Longrightarrow$$ B_0 $$= 26 - 25,5 = 0,5.$
D.h. der Baum war bei Martins Geburt $0,5$ Meter hoch und die Gleichung für die Höhe des Baums zum Zeipunkt $t$ lautet $$B(t) = 1,5t + 0,5.$$
b)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen
Die Gleichung für die Höhe des Baums zum Zeitpunkt $t$ lautet nach Teilaufgabe a) $B(t) = 1,5t + 0,5.$ Setze also den Zeitpunkt $t=20$ ein, um zu bestimmen wie hoch der Baum ist, wenn Martin $20$ Jahre alt ist. $$B(20) = 1,5 \cdot 20 + 0,5 = 30,5.$$ Nach $20$ Jahren ist der Baum also $30,5$ Meter hoch.
3.
Rennen
a)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkte der Zielüberquerungen bestimmen
Um herauszufinden, wer als Erster im Ziel ankommt, musst du die Gleichungen für alle $3$ Fahrer aufstellen.
  • Schnip fährt das Elekrofahrrad mit einer Höchstgeschwindigkeit von $25$ km/h und startet $6$ km nach der Ziellinie. Also lautet die entsprechende Gleichung $B_{Schnip}(t) = 25t + 6.$
  • Schnap fährt das Mofa mit einer Höchstgeschwindigkeit von $40$ km/h und startet $4$ km nach der Ziellinie. Also lautet die entsprechende Gleichung $B_{Schnap}(t) = 40t + 4.$
  • Schnup fährt das Quadcar mit einer Höchstgeschwindigkeit von $55$ km/h und startet an der Ziellinie. Also lautet die entsprechende Gleichung $B_{Schnup}(t) = 55t.$
Setze nun alle Gleichungen gleich $10$ und löse sie nach $t$ auf, um den Zeitpunkt des Überquerens der Ziellinie zu bekommen.
  • $B_{Schnip}(t) = 25t + 6 = 10 \Longrightarrow t = \dfrac{10-6}{25} = 0,16,$
  • $B_{Schnap}(t) = 40t + 4 = 10 \Longrightarrow t = \dfrac{10-4}{40} = 0,15,$
  • $B_{Schnup}(t) = 55t = 10 \Longrightarrow t = \dfrac{10}{55} \approx 0,18.$
  • $B_{Schnip}(t)= 0,16,$
  • $B_{Schnap}(t) = 0,15,$
  • $B_{Schnup}(t) \approx 0,18.$
Schnap hat die beste Wahl getroffen, denn er braucht $9$ Minuten, um am Ziel anzukommen und ist somit der schnellste Fahrer.
b)
$\blacktriangleright$ Schaubild
Um die Schaubilder zeichnen zu können musst du die Steigungen und Startwerte von $B_{Schnip}(t), B_{Schnap}(t), B_{Schnup}(t)$ anpassen, da die $x$-Achse nun in Minuten beschriftet ist und die $y$-Achse in Metern:
  • $\tilde{B}_{Schnip}(t) = \dfrac{25.000}{60}t + 6.000 \approx 416,667 t + 6.000,$
  • $\tilde{B}_{Schnap}(t) = \dfrac{40.000}{60}t + 4.000 \approx 666,667 t + 4.000,$
  • $\tilde{B}_{Schnup}(t) = \dfrac{55.000}{60}t \approx 916,667 t.$
  • $\tilde{B}_{Schnip}(t) = …$
  • $\tilde{B}_{Schnap}(t) = …$
  • $\tilde{B}_{Schnup}(t) = …$
Wachstum: Lineares Wachstum
Wachstum: Lineares Wachstum
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