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Logistisches Wachstum

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Beim logistischen Wachstum handelt es sich um ein mathematisches Modell, welches oft für Wachstumsprozesse bei Bakterien angewendet wird. Hier wird das Modell des exponentiellen Wachstums so angepasst, dass es den Verbrauch einer Ressource mit einschließt. Bei einer Bakterienkultur könnte das beispielsweise der Nährboden, der nur eine begrenzte Größe hat, sein. Zu Beginn verläuft der Wachstumsprozess somit exponentiell und, wenn man sich der Sättigungsgrenze nähert, wird er durch ein beschränktes Wachstumsmodell beschrieben.

Modell

Eine logistische Wachstumsfunktion besitzt folgende Änderungsrate:
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}= k\cdot(S-B(t))\cdot B(t)$
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}= k\cdot(S-B(t))\cdot B(t)$
Dabei gilt Folgendes für die Parameter:
  • $t$: Zeit
  • $B(t)$: Bestandsgröße nach $t$ Zeitschritten
  • $S$: natürliche Schranke
  • $k$: Konstante
  • $S-B(t) $: Sättigungsmanko

Beispiel

Auf einem Nährboden vermehrt sich eine Bakterienkultur. Zu Beobachtungsbeginn befindet sich eine Bakterienkultur aus 15 Bakterien auf dem Nährboden, wobei wir Zeitschritte in Tagen beobachten . Der Nährboden bietet Platz für ca. 200 Bakterien. Die Änderungsrate wird beschrieben durch:
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=0,005\cdot(200-B(t))\cdot B(t)$
  • Der Anfangsbestand $B(0)$ ist gegeben durch $15$ Bakterien
  • Da maximal $200$ Bakterien auf dem Nährboden Platz finden, gilt $S=200$
  • Aus der Formel für $R$ kannst du $k=0,005$ ablesen
Um die Änderungsrate für den ersten Tag zu bestimmen, setzt du $B(0)$ in die obige Formel für $R$ ein:
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}$$=0,005\cdot(200-B(0))\cdot B(0) $$ =0,005\cdot (200-15)\cdot 15=13,875\approx 14$
Somit gilt für den Bestand nach einem Tag:
$B(1)=B(0)+R=29$
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1.
Kaninchenpopulation
Die gegebene Wertetabelle beschreibt die jährlich geschätzte Anzahl an Kaninchen, welche auf einer bestimmten Waldfläche leben:
$t$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$
$B(t)$$20$ $33$ $52$ $79$ $112$ $146$ $174$ $190$ $197$
$t$$0$$1$$2$$3$$…$
$B(t)$$20$ $33$ $52$ $79$ $…$
Weiterhin wird angenommen, dass dauerhaft nicht mehr als $200$ Kaninchen auf der Fläche leben können.
a)
Gib die Änderungsrate für die ersten $8$ Jahre an. Warum lässt sich daraus schließen, dass das Kaninchenwachstum logistisch verläuft?
b)
Stelle die Formel für die Änderungsrate $R$ des zugrunde liegenden Modells auf.
2.
Bakterienkultur
Auf einem Nährboden vermehrt sich eine Bakterienkultur. Zu Beobachtungsbeginn befindet sich eine Bakterienkultur aus 15 Bakterien auf dem Nährboden, wobei wir Zeitschritte in Tagen beobachten. Der Nährboden bietet Platz für ca. 200 Bakterien. Die Änderungsrate wird beschrieben durch:
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=k\cdot(200-B(t))\cdot B(t)$
Zu Beobachtungsbeginn befinden sich $15$ Bakterien auf dem Nährboden und einen Tag später schon $29$.
a)
Berechne die Konstante $k$.
b)
Gib die Änderungsrate für die ersten $7$ Tage an.
c)
Warum muss beim logistischen Wachstum das Sättigungsmanko immer größer als die Bestandsänderung sein?
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Lösungen
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1.
Kaninchenpopulation
a)
$\blacktriangleright$Änderungsrate berechnen Da du die Anzahl der Kaninchen in den jeweiligen Jahren aus der Tabelle ablesen kannst, kannst du die jährliche Änderungsrate wie folgt bestimmen:
$R_t=B(t+1)-B(t),\; t=1,…,7$
Somit gilt zum Beispiel für $R_1$:
$R_1=B(1)-B(0)=33-20=13$
Das heißt, dass die Kaninchenpopulation im ersten Jahr um $13$ Kaninchen wächst.
Analog erhältst du:
$t$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$
$R_t$$13$$19$$27$$33$$34$$28$$16$$7$
$t$$1$$2$$3$$4$$…$
$R_t$$13$$19$$27$$33$$…$
Da die Änderungsraten in den ersten $5$ Jahren stets zunehmen, kann die Entwicklung der Population durch exponentielles Wachstum beschrieben werden. In den Jahren $5-8$ lassen die abnehmenden Änderungsraten auf beschränktes Wachstum schließen. Somit kannst du folgern, dass das Kaninchenwachstum logistisch verläuft.
b)
$\blacktriangleright$ Formel für $R$ bestimmen Die allgemeine Formel für die Änderungsrate $R$ bei logistischem Wachstum sieht wie folgt aus:
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}= k\cdot(S-B(t))\cdot B(t)$
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}= k\cdot(S-B(t))\cdot B(t)$
Aus der Aufgabenstellung kannst du direkt die Schranke $S=200$ ablesen. Somit musst du nur noch die Konstante $k$ bestimmen. Dazu setzt du einfach eine der berechneten Änderungsraten aus a), sowie den Bestand zu den zugehörigen Zeitpunkt in $R$ ein und löst diese nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} R&=&k\cdot(S-B(t))\cdot B(t) &\quad \scriptsize S=200,\, R_1=13,\,B(0)=20 \\[5pt] 13&=&k\cdot(200-20)\cdot 20 &\quad \scriptsize\mid\;:\left((200-20)\cdot 20\right)\\[5pt] \dfrac{13}{(200-20)\cdot 20}&=&k\\[5pt] k&=&0,003 \end{array}$
$ R= $
Somit gilt für die Änderungsrate $R$:
$R=0,003\cdot(200-B(t))\cdot B(t)$
2.
Bakterienkultur
a)
$\blacktriangleright$Konstante bestimmen In diesem Aufgabenteil sollst du zunächst die Konstante $k$, welche in der Formel für die Änderungsrate $R$ vorkommt, bestimmen:
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}= k\cdot(S-B(t))\cdot B(t)$
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}= k\cdot(S-B(t))\cdot B(t)$
Da du die Bestände zum Startpunkt der Beobachtungen und nach einem Tag kennst, kannst du zunächst die Änderungsrate am ersten Tag bestimmen:
$R=B(1)-B(0)=29-15=14$
Das heißt, dass die Bakterienkultur am ersten Tag um $14$ Bakterien wächst.
Da du nun $R$ und $B(0)$ kennst, kannst du diese nun in die obige Formel für $R$ einsetzen und nach $k$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} R&=&k\cdot(200-B(t))\cdot B(t) &\quad \scriptsize R=14,\,B(0)=15 \\[5pt] 14&=&k\cdot(200-15)\cdot 15 &\quad \scriptsize \mid\; :((200-15)\cdot 15)\\[5pt] \frac{14}{(200-15)\cdot 15}&=&k\\[5pt] k&=&0,005 \end{array}$
$ R=… $
Somit gilt für die Konstante $k$: $k=0,005$.
b)
$\blacktriangleright$Änderungsraten bestimmen Da du $B(1)$ kennst, kannst du die Änderungsrate an Tag $2$ berechnen:
$R=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=0,005\cdot(200-B(1))\cdot B(1)$$=0,005\cdot (200-29)\cdot 29=24,795\approx 25$
Daraus folgt für den Bestand nach zwei Tagen:
$B(2)=B(1)+R=29+25=54$
Dieses Vorgehensweise wendest du nun so lange an, bis du die jeweiligen Änderungsraten sowie den Bestand nach $7$ Tagen berechnet hast und erhältst schlussendlich folgende Tabelle:
$t$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$
$B(t)$$15$$29$$54$$94$$144$$184$$199$$200$
$R$$14$$25$$39$$50$$40$$15$$1$$0$
$B(t+1)$$29$$54$$94$$144$$184$$199$$200$$200$
$t$$0$$1$$2$$…$
$B(t)$$15$$29$$54$$…$
$R$$14$$25$$39$$…$
$B(t+1)$$29$$54$$94$$…$
Wenn du die verschiedenen Werte für $R$ in der Tabelle betrachtest, ist gut zu erkennen, dass der Bestand an den ersten $3$ Tagen durch exponentielles Wachstum und anschließend durch beschränktes Wachstum beschrieben werden kann.
c)
$\blacktriangleright$Sättigungsmanko interpretieren In diesem Aufgabenteil sollst du erklären, warum das Sättigungsmanko beim logistischen Wachstum stets größer als die Bestandsänderung sein muss.
Mathematisch wird das Sättigungsmanko beschrieben durch $S-B(t)$. Als Differenz von der Schranke $S$ und dem Bestand $B(t)$ gibt es an, wie weit der Bestand zum Zeitpunkt $t$ noch von seiner natürlichen Schranke $S$ entfernt ist. Auf die Aufgabe bezogen beträgt das Sättigungsmanko zum Zeitpunkt $t=2$ zum Beispiel:
$200-B(2)=200-54=146\,\text{Bakterien}$
Das heißt zu diesem Zeitpunkt haben noch $146$ Bakterien auf dem Nährboden Platz.
Wäre die Bestandsänderung im nächsten Zeitschritt jedoch größer als das Sättigungsmanko von $146$, so würde die Anzahl der Bakterien die natürliche Schranke von $200$ Bakterien überschreiten, was jeodch nicht der Fall sein kann.
Daher muss das Sättigungsmanko beim logistischen Wachstum stets größer als die Bestandsänderung sein.
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