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Rekonstruktion des Bestandes

Spickzettel
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Hast du den Bestand $B(t_0)$ zu einem Zeitpunkt $t_0$ und die Änderungsrate $R$ für einen bestimmten Zeitraum $\Delta t$ gegeben, kannst du den Bestand rekonstruieren. Das heißt, dass du ausgehend von einem aktuellen Bestand einen Bestand in der Zukunft oder der Vergangenheit rekonstruieren kannst, wenn die Änderungsrate für diesen Zeitraum bekannt ist.
Die Formel lautet:
  • $B({t_0})$ ist der Bestand zum Zeitpunkt $t_0$
  • $\Delta t$ beschreibt einen Zeitraum
  • $R$ beschreibt die Änderungsrate für den Zeitraum $\Delta t$
  • $B(t_0+\Delta t)$ ist der rekonstruierte Bestand. Es gilt:
    $B(t_0+\Delta t)=B(t_0)+R\cdot \Delta t$
  • $B({t_0})$ ist der Bestand zum Zeitpunkt $t_0$
  • $\Delta t$ beschreibt einen Zeitraum
  • $R$ beschreibt die Änderungsrate für den Zeitraum $\Delta t$
  • $B(t_0+\Delta t)$ ist der rekonstruierte Bestand. Es gilt:
    $B(t_0+\Delta t)=B(t_0)+R\cdot \Delta t$

Beispiel

Das Höhe eines Gebäudes im Bau wird durch eine Wachstumsfunktion beschrieben. Dabei ist $B(t)$ in Metern und $t$ in Wochen angegeben. Zum Zeitpunkt $t_0=3$ ist $B(3)=4$. Die Änderungsrate für die nächsten $2$ Wochen ist $R=2$. Die Höhe des Gebäudes zum Zeitpunkt $t_1=5$ ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} B(t_0+\Delta t)&=& B(t_0)+R\cdot \Delta t\\[5pt] B(3+2)&=& 4+ 2\cdot 2 &=8 \end{array}$
Nach $5$ Wochen ist das Gebäude demnach $8$ Meter hoch.
Angaben zur Höhe zu späteren Zeitpunkten können nicht gemacht werden, da die Änderungsrate nur für diesen Zeitraum bekannt ist. Die Änderungsrate kann in den Wochen danach geringer oder höher liegen.
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Aufgaben
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1.
Ein Bestand zum Zeitpunkt $t_0=0$ ist gegeben durch $B_1(0)=10$.
a)
Die durchschnittliche Änderungsrate für den Zeitraum $\Delta t=5$ ist $R=4$. Bestimme den Bestand zum Zeitpunkt $t_1=5$.
b)
Die Änderungsrate für den darauffolgenden Zeitraum $\Delta t=10-5=5$ ist $R=7$. Bestimme den Bestand zum Zeitpunkt $t_2=10$.
c)
Wie groß ist der Unterschied des rekonstruierten Bestandes, wenn du für den gesamten Zeitraum $\Delta t=10$ die Änderungsrate $R=4$ verwendest?
2.
Ein weiterer Bestand $B_2$ ist zum Zeitpunkt $t_0=3$ durch $B(3)=19$ gegeben, wobei $t$ in Tagen angegeben ist.
a)
Für die nächsten $2$ Tagen ist die Änderungsrate $R=8$. Bestimme den Bestand zu den Zeitpunkten $t_1=4$ und $t_2=5$.
b)
Die Änderungsrate ist für darauffolgenden $5$ Tage $R=4$. Bestimme den Bestand für die Zeitpunkte $t_3=6$ und $t_4=10$.
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ a)
Verwende die Formel $B(t_0+\Delta t)=B(t_0)+R \cdot \Delta t$.
$\begin{array}[t]{rll} B_1(0+5)&=& 10+ 4 \cdot 5 &=30 \\[5pt] \end{array}$
Der Bestand ist $B(5)=30$.
$\blacktriangleright$ b)
Gehe vom Bestand $B(5)$ aus und verwende die selbe Formel wie zuvor:
$\begin{array}[t]{rll} B_1(5+5)&=& 30 + 7\cdot 5 &=65 \\[5pt] \end{array}$
Der Bestand ist $B(10)=65$.
$\blacktriangleright$ c)
Berechne den Bestand zum Zeitpunkt $t_2$ und nehme an, dass $R=4$ für den gesamten Zeitraum gilt. Bilde dann die Differenz zu deinem Ergebnis aus Teilaufgabe b):
$\begin{array}[t]{rll} B_1^{*}(0+10)&=& 10 +4 \cdot 10 &= 50 \\[5pt] B_1(10)-B_1^{*}(10)&=& 65-50 &=15 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B_1^{*}(0+10) &= 50 \\[5pt] B_1(10)-B_1^{*}(10)&=15 \\[5pt] \end{array}$
Die Differenz liegt bei $\Delta B=15$. Nimmt man eine falsche Änderungsrate für bestimmte Zeiträume an, weicht der rekonstruierte Bestand vom tatsächlichen Bestand ab.
2.
$\blacktriangleright$ a)
Verwende wieder die Formel $B(t_0+\Delta t)=B(t_0)+R \cdot \Delta t$.
$\begin{array}[t]{rll} B_2(3+1)&=& 19 + 8 \cdot 1 &=27 \\[5pt] B_2(3+2)&=& 19 + 8 \cdot 2 &=35 \\[5pt] \end{array}$
Die Bestände sind $B_2(4)=27$ und $B_2(5)=35$.
$\blacktriangleright$ b)
Gehe vom Bestand $B_2(5)$ aus und gehe gleich wie im vorherigen Aufgabenteil vor.
$\begin{array}[t]{rll} B_2(5+1)&=& 35 + 4 \cdot 1 &= 39 \\[5pt] B_2(5+5)&=& 35 + 4 \cdot 5 &= 55 \\[5pt] \end{array}$
Die Bestände sind $B_2(6)=39$ und $B_2(10)=55$.
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