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Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum

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Hier gibt es gleich zwei verschiedene Arten des Wachstums. Exponentielles und lineares Wachstum überlagern sich.
Eine Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum liegt immer dann vor, wenn der Bestand einen konstanten und zusätzlich einen vom Bestand abhängigen Zuwachs hat. Es kann auch sein, dass der Zuwachs eine Abnahme ist.
Der Bestand $B(n+1)$ lässt sich aus dem vorherigen Bestand $B(n)$ bestimmen. Es muss also immer der vorherige Bestand bekannt oder berechnet sein, um den nächsten Bestand zu bestimmen. Der Bestand lässt sich dann rekursiv mit dieser Formel berechnen:
  • $B(n)$ ist der Bestand zu einem Zeitpunkt $n$
  • $B(n+1)$ ist der darauffolgende Bestand
  • $b$ ist der Wachstumsfaktor
  • $c$ ist der konstante Zuwachs oder Abnahme. Es gilt:
    $B(n+1)=B(n)\cdot b +c$
  • $B(n)$ ist der Bestand zu einem Zeitpunkt $n$
  • $B(n+1)$ ist der darauffolgende Bestand
  • $b$ ist der Wachstumsfaktor
  • $c$ ist der konstante Zuwachs oder Abnahme. Es gilt:
    $B(n+1)=B(n)\cdot b +c$

Beispiel

Du legst dein Geld auf einem Sparkonto an, um Geld für deinen Führerschein zu sparen. Du zahlst dafür am Ende jeden Jahres $200$ € ein. Zusätzlich zahlt die Bank $3\,\%$ Zinsen. Der Bestand im ersten Jahr, indem du einzahlst ist $B(1)=200$. Nach dem zweiten und dritten Jahr ist der Bestand:
$\begin{array}[t]{rll} B(n+1)&=& B(n) \cdot b + c \\[5pt] B(2) &=& B(1) \cdot 1,03 + 200 \\[5pt] &=& 206 + 200 \\[5pt] &=& 406 \\[5pt] B(3) &=& B(2) \cdot 1,03 +200 \\[5pt] &=& 418,18 +200 \\[5pt] &=& 618,18 \end{array}$
$b=1,03$ ist der Wachstumsfaktor, da zum vorhanden Kaptial $3\,\%$ Zinsen gezahlt werden. $c=200$ ist der konstante Zuwachs, also die jährliche Einzahlung.
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