Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen
Differenzialrechnung
Einführung
Tangentensteigung
Einführung
h-Schreibweise
Änderungsrate
Differenzenquotient
Ableitungsfunktion
Ableiten von Potenzfu...
Ableiten von Sinus un...
Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Quotientenregel
Produktregel
Vermischte Aufgaben
Ganzrationale Funktio...
Einführung
Symmetrie
Grenzwerte
Nullstellen
Einführung
Linearfaktorzerlegung
Monotonie
Extremstellen
Vermischte Aufgaben
Wachstum
Einführung
Bestandsänderung
Änderungsrate
Rekonstruktion des Be...
Überlagerung von expo...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Vermischte Aufgaben
Periodische Vorgänge
Einführung
Bogenmaß
Sinus- und Kosinusfun...
Einheitskreis
Eigenschaften
Streckung und Stauchu...
Verschiebung
Modellierung
Vermischte Aufgaben
Daten und Zufall
Arithmetisches Mittel
Zufallsvariable
Erwartungswert
Bernoulli-Kette
Binomialverteilung
Abhängigkeit und Unab...
Vermischte Aufgaben
Geometrie
Punkte
Vektoren
Einführung
Addition und Subtrakt...
Vervielfachen
Geraden
Geradengleichung
Punktprobe
Lage von Geraden
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Po...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit neg. Hoc...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Potenzgesetze für rat...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzel
Irrationale Wurzeln
Intervallhalbierung
Heron-Verfahren
Reelle Zahlen
Rechnen mit Wurzeln
Addition und Subtrakt...
Multiplikation und Di...
Teilweise Wurzel zieh...
Wurzelgesetze
Wurzelgleichungen
Vermischte Aufgaben

Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Hier gibt es gleich zwei verschiedene Arten des Wachstums. Exponentielles und lineares Wachstum überlagern sich.
Eine Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum liegt immer dann vor, wenn der Bestand einen konstanten und zusätzlich einen vom Bestand abhängigen Zuwachs hat. Es kann auch sein, dass der Zuwachs eine Abnahme ist.
Der Bestand $B(n+1)$ lässt sich aus dem vorherigen Bestand $B(n)$ bestimmen. Es muss also immer der vorherige Bestand bekannt oder berechnet sein, um den nächsten Bestand zu bestimmen. Der Bestand lässt sich dann rekursiv mit dieser Formel berechnen:
  • $B(n)$ ist der Bestand zu einem Zeitpunkt $n$
  • $B(n+1)$ ist der darauffolgende Bestand
  • $b$ ist der Wachstumsfaktor
  • $c$ ist der konstante Zuwachs oder Abnahme. Es gilt:
    $B(n+1)=B(n)\cdot b +c$
  • $B(n)$ ist der Bestand zu einem Zeitpunkt $n$
  • $B(n+1)$ ist der darauffolgende Bestand
  • $b$ ist der Wachstumsfaktor
  • $c$ ist der konstante Zuwachs oder Abnahme. Es gilt:
    $B(n+1)=B(n)\cdot b +c$

Beispiel

Du legst dein Geld auf einem Sparkonto an, um Geld für deinen Führerschein zu sparen. Du zahlst dafür am Ende jeden Jahres $200$ € ein. Zusätzlich zahlt die Bank $3\,\%$ Zinsen. Der Bestand im ersten Jahr, indem du einzahlst ist $B(1)=200$. Nach dem zweiten und dritten Jahr ist der Bestand:
$\begin{array}[t]{rll} B(n+1)&=& B(n) \cdot b + c \\[5pt] B(2) &=& B(1) \cdot 1,03 + 200 \\[5pt] &=& 206 + 200 \\[5pt] &=& 406 \\[5pt] B(3) &=& B(2) \cdot 1,03 +200 \\[5pt] &=& 418,18 +200 \\[5pt] &=& 618,18 \end{array}$
$b=1,03$ ist der Wachstumsfaktor, da zum vorhanden Kaptial $3\,\%$ Zinsen gezahlt werden. $c=200$ ist der konstante Zuwachs, also die jährliche Einzahlung.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Bei einem Darlehen von $800$ € einer Bank werden jährlich $6\,\%$ Zinsen fällig. Zum Abbezahlen des Kredits zahlst du jährlich eine Rate von $150$ € an die Bank zurück.
a)
Stelle eine rekursive Formel auf, die die Höhe der Schulden beschreibt.
b)
Nach wie vielen Jahren hast du deinen Kredit zurückgezahlt? Wie hoch ist die letzte Rate?
2.
Um für ein Auto zu sparen, zahlt Louis am Ende jeden Jahres $700$ € auf sein Konto ein. Von der Bank erhält er $2,5\,\%$ Zinsen pro Jahr. Nach wie vielen Jahren hat er genug Geld, um sich ein Auto für $3.200$ € kaufen?
3.
Zwei Wachstumsfunktionen überlagern sich. Ein vom Bestand abhängiges Wachstum mit einem Wachstumsfaktor $b=1,4$ und ein lineares Wachstum mit einem konstanten Zuwachs von $c=40$. Der Anfangsbestand ist $B(0)=5$.
a)
Erstelle eine Tabelle mit den Beständen für $n=0,1,2,3,4,5$.
b)
Ab wann ist der Zuwachs durch das abhängige Wachstum größer als durch das lineare Wachstum?
4.
Ein undichter Pool mit $2.000$ Litern Wasser verliert jede Minute $9\,\%$ des Wassers. Weil das Wasser die Wiese, auf dem der Pool steht, nicht überschwemmen soll, schöpfen $4$ Freunde jede Minute $120$ Liter Wasser aus dem Pool.
a)
Nach wie vielen Minuten ist der Pool vollständig geleert?
b)
Wie viele Liter Wasser werden insgesamt abgeschöpft?
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
$\blacktriangleright$ a)
Verwende die Formel $B(n+1)=B(n)\cdot b +c$. Bedenke, dass $c$ negativ ist, da es sich um eine Abnahme handelt. Gib zusätzlich den Anfangsbestand $B(0)$ an.
$\begin{array}[t]{rll} B(n+1)&=& B(n)\cdot 1,06 -150 \\[5pt] B(0) &=& 800 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ b)
Berechne Schrittweise, die Höhe der Schulden nach jedem Jahr. In dem Jahr, indem die Schulden negativ werden, musst du die Rate so anpassen, dass die Schulden $0$ € betragen.
$n$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$
$B(n)$$800$$698$$589,88$$475,27$$353,79$$225,02$$88,52$$-56,17$
$n$$0$$1$$2$
$B(n)$$800$$698$$589,88$
Nach $7$ Jahren sind die Schulden zurückgezahlt. Die letzte Rate ist $150-56,17=93,83$ €
2.
$\blacktriangleright$ Berechne wieder schrittweise, wie viel Geld nach jedem Jahr auf dem Konto sind. Die rekursive Formel ist $B(n+1)=B(n)\cdot 1,025 +700$, wobei $B(0)=0$ gilt.
$n$$0$$1$$2$$3$$4$$5$
$B(n)$$0$$700$$1417,50$$2152,94$$2906,76$$3679,43$
$n$$0$$1$$2$
$B(n)$$0$$700$$1417,50$
Nach dem fünften Jahr kann Louis sich ein Auto für $3.200$ € kaufen und hat noch $479,43$ € übrig.
3.
$\blacktriangleright$ a)
Die Formel zur Bestimmung des nächsten Bestands ist $B(n+1)=B(n)\cdot 1,4 + 40$. Der Anfangsbestand ist $B(0)=5$.
$n$$0$$1$$2$$3$$4$$5$
$B(n)$$5$$47$$105,8$$188,12$$303,37$$464,72$
$n$$0$$1$$2$
$B(n)$$5$$47$$105,8$
$\blacktriangleright$ b)
Der Zuwachs durch das abhängige Wachstum ist $40\,\%$ vom jeweiligen Bestand. Bestimme, bei welchem Bestand $0,4 \cdot B(n_0) \gt 40$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} 0,4 \cdot B(1) &=& 18,8 &\lt 40 \\[5pt] 0,4 \cdot B(2) &=& 42,32 &\gt 40 \\[5pt] \end{array}$
Ab dem Zuwachs von $n=2$ zu $n=3$ ist der Zuwachs durch das abhängige Wachstum größer, als der Zuwachs durch das konstante Wachstum.
4.
$\blacktriangleright$ a)
Stelle zunächst wieder eine Gleichung auf, die den nächsten Bestand bestimmt. $B(n+1)=B(n)\cdot 0,91-120$, $B(0)=2.000$. Berechne nun wieder schrittweise:
$n$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$
$B(n)$$1.700$$1.427$$1.178,6$$952,5$$746,8$$559,6$$389,2$$234,2$$93,1$$-35,3$
$n$$1$$2$
$B(n)$$1.700$$1.427$
Nach $10$ Minuten ist der Pool vollständig geleert.
$\blacktriangleright$ b)
Es wird insgesamt $10$ Mal abgeschöpft. Beim letzten Abschöpfen werden allerdings nur noch $120-35,3=84,7$ Liter abgeschöpft. Es werden demnach $9\cdot 120 + 84,7 =1.164,7$ Liter Wasser abgeschöpft.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Folge uns auf
SchulLV als App