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Exponentieller Zerfall

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Exponentieller Zerfall beschreibt ein Modell, bei dem eine beobachtete Größe (Bestand) in festen Zeitintervallen immer um den selben Faktor schrumpft.
Exponentiellen Zerfall kannst du mathematisch wie folgt beschreiben:
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a < 1$ und $t \geq 0$
  • Zerfallsfaktor $a$: Der Zerfallsfaktor ist die Größe, die den Zerfall (deshalb gilt $a < 1$) des beobachteten Bestandes in einem Zeitintervall beschreibt.
  • Anfangswert/Anfangsbestand $b$: Der Anfangsbestand gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ und somit $B(0)=b$ an.
  • Zeitpunkt $t$: Der Zeitpunkt $t$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit. Dabei können die Zeiteinheiten je nach Modell variieren.

Beispiel

Ein radioaktiver Stoff verliert jährlich $10\%$ der ursprünglich vorhandenen Masse von $1\,\text{kg}$:
  • Der Anfangsbestand $b$ zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt $1\,\text{kg}$.
  • Da sich die Masse des Stoffes jährlich um den selben Faktor ($10\%$) verringert, liegt bei dem betrachteten Prozess exponentieller Zerfall vor und es gilt: $a=1-0,1=0,9$.
  • Somit erhältst du: $B(t)=1\cdot 0,9^t$.
  • Die Menge des Stoffes nach $5$ Jahren kannst du zum Beispiel bestimmen, indem du $t=5$ in $B(t)$ einsetzt:
    Somit sind nach $5$ Jahren noch $B(5)=1\cdot 0,9^5=0,59\,\text{kg}$ des Stoffes vorhanden.
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