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Exponentielles Wachstum

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Exponentielles Wachstum beschreibt ein Modell, bei dem eine beobachtete Größe (Bestand) in festen Zeitintervallen immer um den selben Faktor wächst.
Exponentielles Wachstum kannst du mathematisch wie folgt beschreiben:
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
  • Wachstumsfaktor $a$: Der Wachstumsfaktor ist die Größe, die das Wachstum (deshalb gilt $a > 1$) des beobachteten Bestandes in einem Zeitintervall beschreibt.
  • Anfangswert/Anfangsbestand $b$: Der Anfangsbestand gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ und somit $B(0)=b$ an.
  • Zeitpunkt $t$: Der Zeitpunkt $t$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit. Dabei können die Zeiteinheiten je nach Modell variieren.

Beispiel

Eine Bakterienkultur von anfangs $20.000$ Bakterien verdreifacht sich täglich:
  • Der Anfangsbestand $b$ zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt $20.000$ Bakterien.
  • Da sich die Anzahl der Bakterien täglich um den selben Faktor ($a=3$) vergrößert, liegt bei dem betrachteten Prozess exponentielles Wachstum vor.
  • Somit erhältst du: $B(t) $$ = 20.000\cdot 3^t$.
  • Die Anzahl der Bakterien nach einer Woche ($7$ Tagen) kannst du zum Beispiel bestimmen, indem du $t=7$ in $B(t)$ einsetzt:
    Somit liegen nach einer Woche $B(7) $$ = 20.000\cdot 3^7 $$ = 43.740.000$ Bakterien vor.
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