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Exponentielles Wachstum

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Exponentielles Wachstum beschreibt ein Modell, bei dem eine beobachtete Größe (Bestand) in festen Zeitintervallen immer um den selben Faktor wächst.
Exponentielles Wachstum kannst du mathematisch wie folgt beschreiben:
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
  • Wachstumsfaktor $a$: Der Wachstumsfaktor ist die Größe, die das Wachstum (deshalb gilt $a > 1$) des beobachteten Bestandes in einem Zeitintervall beschreibt.
  • Anfangswert/Anfangsbestand $b$: Der Anfangsbestand gibt den beobachteten Bestand zum Zeitpunkt $t=0$ und somit $B(0)=b$ an.
  • Zeitpunkt $t$: Der Zeitpunkt $t$ beschreibt die nach Beobachtungsbeginn vergangene Zeit. Dabei können die Zeiteinheiten je nach Modell variieren.

Beispiel

Eine Bakterienkultur von anfangs $20.000$ Bakterien verdreifacht sich täglich:
  • Der Anfangsbestand $b$ zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt $20.000$ Bakterien.
  • Da sich die Anzahl der Bakterien täglich um den selben Faktor ($a=3$) vergrößert, liegt bei dem betrachteten Prozess exponentielles Wachstum vor.
  • Somit erhältst du: $B(t) $$ = 20.000\cdot 3^t$.
  • Die Anzahl der Bakterien nach einer Woche ($7$ Tagen) kannst du zum Beispiel bestimmen, indem du $t=7$ in $B(t)$ einsetzt:
    Somit liegen nach einer Woche $B(7) $$ = 20.000\cdot 3^7 $$ = 43.740.000$ Bakterien vor.
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Aufgaben
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1.
Bakterienkultur
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich stündlich, wobei nach $1$ Stunde $10.000$ Bakterien vorliegen.
a)
Berechne den Anfangsbestand $B(0)=b$ und gib die Funktionsgleichung für $B$ an.
b)
Wie verändert sich der Bestand nach $20$ Minuten?
c)
Nach wie vielen Stunden besteht die Kultur aus $50.000$ Bakterien?
2.
Zinsen
Eine Bank bietet die Möglichkeit, Geld zu einem jährlichen Zins von $10\%$ anzulegen.
a)
Stelle mit Hilfe der Aufgabenstellung die Funktionsgleichung für $B$ auf.
b)
Wie hoch ist der Kontostand in $2$ Jahren, wenn man heute $1.000\,€$ anlegt?
c)
Nach wie vielen Jahren beträgt der Kontostand nach einer einmaligen Anlage von $1.000\,€$ genau $1.500\,€$?.
d)
Nach wie vielen Jahren hat sich das Anfangskapital von $1.000\,€$ verdoppelt?.
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Lösungen
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1.
Bakterienkultur
a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
Da du weißt, dass die Bakterien in der Bakterienkultur sich stündlich verdoppeln, kannst du den Wachstumsfaktor $a=2$ sofort aus der Aufgabenstellung ablesen. Folglich sieht die vorläufige Wachstumsgleichung $B(t)$ wie folgt aus:
$B(t)=b\cdot 2^t$
Da $B(1)=10.000$ und $t=1$ bekannt sind, kannst du diese in die obige Gleichung einsetzen und nach $b$ auflösen, um den Anfangsbestand $b$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 10.000&=&b\cdot 2^1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] b&=&5.000 \end{array}$
Somit befinden sich zu Beginn $5.000$ Bakterien in der Bakterienkultur und für die Wachstumsfunktion gilt:
$B(t)=5.000\cdot 2^t$
b)
$\blacktriangleright$ Veränderung bestimmen
Um das Wachstum in einem Zeitraum von $20$ Minuten zu bestimmen, musst du $20$ Minuten zunächst in Stunden umrechnen:
$20\,\text{Minuten}\mathrel{\widehat{=}}\dfrac{1}{3} \,\text{Stunde}=t$
Dieses $t$ musst du nun nur noch in $a^t=2^t$ einsetzen und erhältst:
$2^\frac{1}{3}=1,26$
Das heißt, dass die Bakterienkultur sich alle $20$ Minuten um circa $26\%$ vergrößert.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen
Um den Zeitpunkt $t$ zu bestimmen, zu dem die Anzahl der Bakterien in der Bakterienkultur $50.000$ beträgt, stellst du die Gleichung $B(t)=50.000$ auf, und löst diese Gleichung nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&50.000 &\quad \scriptsize \\[5pt] 50.000&=&5.000\cdot 2^t&\quad \scriptsize \mid\;:5.000 \\[5pt] 10&=& 2^t &\quad \scriptsize\mid\log{()} \\[5pt] \log{(10)}&=&\log{(2^t)} &\quad \scriptsize \log{(2^t)}=t\cdot\log{(2)}\\[5pt] \log{(10)}&=&t\cdot \log{(2)} &\quad \scriptsize \mid\; :\log{(2)} \\[5pt] t&=&\dfrac{\log{(10)}}{\log{(2)}} \\[5pt] t&\approx&3,32 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&50.000 &\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx&3,32 \end{array}$
Nach circa $3,32$ Stunden sind also $50.000$ Bakterien in der Bakterienkultur vorhanden.
2.
Zinsen
a)
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung aufstellen
$B(t)=b\cdot a^t$ , $a > 1$ und $t \geq 0$
Da du den jährlichen Zins von $10\%\mathrel{\widehat{=}}0,1$ aus der Aufgabenstellung kennst und Zinsen eine Form des exponentiellen Wachstums darstellen, gilt für den Wachstumsfaktor $a$:
$a=1+0,1=1,1$
Da du den Anfangsbestand $B(0)=b$ nicht aus der Aufgabenstellung herleiten kannst, gilt für die Funktionsgleichung von $B$:
$B(t)=b\cdot 1,1^t$
Dabei beschreibt $t$ den Zeitraum seit der Anlage von $b$ Euro in Jahren.
b)
$\blacktriangleright$ Kontostand bestimmen
Um den Kontostand nach $2$ Jahren bei einer Anlage von $1.000$ Euro zu bestimmen, setzt du $t=2$ und $b=1.000$ in $B(t)$ ein und berechnest das Ergebnis:
$B(2)=1.000\cdot 1,1^2=1.210$
Somit beträgt der Kontostand nach $2$ Jahren $1.210$ Euro.
c)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen
Um den Zeitpunkt $t$ zu bestimmen, zu dem der Kontostand $1.500$ Euro beträgt, stellst du die Gleichung $B(t)=1.500$ auf und löst diese Gleichung nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&1.500 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1.500&=&1.000\cdot 1,1^t&\quad \scriptsize \mid\;:1.000 \\[5pt] 1,5&=& 1,1^t &\quad \scriptsize\mid\log{()}\\[5pt] \log{(1,5)}&=&\log{(1,1^t)} &\quad \scriptsize \log{(1,1^t)}=t\cdot\log{(1,1)}\\[5pt] \log{(1,5)}&=&t\cdot\log{(1,1)} &\quad \scriptsize \mid\;: \log{(1,1)} \\[5pt] t&=&\dfrac{\log{(1,5)}}{\log{(1,1)}} \\[5pt] t&\approx&4,25 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&1.500 &\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx&4,25 \end{array}$
Nach circa $4,25$ Jahren beträgt der Kontostand somit $1.500$ Euro.
d)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen
Um den Zeitpunkt $t$ zu bestimmen, an dem sich das Anfangskapital von $1.000€$ verdoppelt hat, bestimmst du den Zeitpunkt $t$ zu dem der Kontostand $2.000€$ beträgt. Dazu stellst du die Gleichung $B(t)=2.000$ auf und löst diese Gleichung nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&2.000 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2.000&=&1.000\cdot 1,1^t&\quad \scriptsize \mid\;:1.000 \\[5pt] 2&=& 1,1^t &\quad \scriptsize\mid\log{()}\\[5pt] \log{(2)}&=&\log{(1,1^t)} &\quad \scriptsize \log{(1,1^t)}=t\cdot\log{(1,1)}\\[5pt] \log{(2)}&=&t\cdot\log{(1,1)} &\quad \scriptsize \mid\;: \log{(1,1)} \\[5pt] t&=&\dfrac{\log{(2)}}{\log{(1,1)}} \\[5pt] t&\approx&7,27 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=&2.000 &\quad \scriptsize \\[5pt] t&\approx&7,27 \end{array}$
Nach circa $7,27$ Jahren hat sich das Anfangskapital also verdoppelt und es befinden sich $2.000 €$ auf dem Konto.
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