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Lineares Wachstum

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Abb. 1: Graph einer linearen Wachstumsfunktion
Abb. 1: Graph einer linearen Wachstumsfunktion
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgaben
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1.
Das Parkhaus eines Fußballstadions hat eine Kapazität von $5.406$ Parkplätzen. Zwei Stunden vor dem Spiel sind $381$ Plätze belegt. $67$ Minuten später ist das Parkhaus voll. Der Bestand der Autos zum Zeitpunkt $t$ kann mithilfe eines linearen Modells beschrieben werden.
a)
Wie viele Autos fahren pro Minute ins Parkhaus?
b)
Wann ist das Parkhaus zur Hälfte voll?
2.
Martins Eltern pflanzen bei seiner Geburt einen Baum an. Pro Jahr wächst der Baum um $1,5$ Meter. Als Martin $17$ Jahre alt ist, ist der Baum $26$ Meter hoch.
a)
Wie hoch war der Baum bei Martins Geburt?
b)
Wie hoch ist der Baum, wenn Martin $20$ Jahre alt ist?
3.
Daniel, Max und Jonas wollen ein Rennen auf einer Strecke von $10$ km gegeneinander fahren. Ihnen stehen $3$ verschiedene Fahrzeuge zur Verfügung, die jeweils verschiedene Höchstgeschwindigkeiten haben.
Das Elektrofahrrad kommt auf eine Höchstgeschwindikeit von $25$ km/h, das frisierte Mofa schafft es auf $40$ km/h und das schon in die Jahre gekommene Quadcar schafft es auf $55$ km/h.
Daniel sagt: „Ich nehme das Elekrofahrrad, dafür starte ich aber bei $6$ km.“. Max antwortet: „Einverstanden, dann nehme ich aber das Mofa und starte bei $4$ km.“ Jonas bleibt nichts anderes übrig als das Quadcar zu nehmen und an der Startlinie zu starten.
Du kannst annehmen, dass alle konstant mit der Höchstgeschwindigkeit fahren.
a)
Wer kommt als Erster im Ziel an?
b)
Zeichne ein Schaubild für den Verlauf des Rennens
(auf der $x$-Achse soll eine Einheit $1$ Minute entsprechen und auf der $y$-Achse $1.000$ m).
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Lösungen
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1.
Parkhaus
a)
$\blacktriangleright$ Änderungsrate $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Zu Beginn sind $381$ Parkplätze belegt, also ist $B_0 = 381.$ Die Gleichung für den Bestand der Autos zum Zeitpunkt $t$ lautet demnach $$B(t) = a \cdot t + 381.$$ Nach $67$ Minuten ist die Kapazitätsgrenze von $5.406$ Plätzen erreicht, also $B(67) = 5.406.$ Um den Wert für $a$ zu bekommen, musst du diese Gleichung nach $a$ auflösen:
$B(67) = a \cdot 67 + 381 = 5.406\quad $ also ist $\quad a = \dfrac{5.406 - 381}{67} = \dfrac{5.025}{67} = 75.$
$ a=75 $
Somit fahren pro Minute $75$ Autos ins Parkhaus und die vollständige Gleichung lautet: $$B(t) = 75t + 381$$
b)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt $t$ zu dem das Parkhaus zur Hälfte voll war, also $2.703$ Plätze belegt waren. Wir setzen gleich: $B(t) = 2.703$ und lösen diese Gleichung nach $t$ auf:
$B(t) = 2.703 \quad $ also $\quad 75t + 381 = 2.703 \quad$ und damit $\quad t = \dfrac{2.703 - 381}{75} = \dfrac{2.322}{75} = 30,96.$
$ t=30,96 $
Das heißt zwischen der $30.$ und $31.$ Minute wird die Hälfte der Kapazität erreicht.
2.
Wachstum eines Baums
a)
$\blacktriangleright$ Anfangsbestand bestimmen
Der Baum wächst pro Jahr um $1,5$ Jahre, also ist die Änderungsrate $a = 1,5.$ Die zugehörige Gleichung lautet somit $$B(t) = 1,5t + B_0. $$ Nach $17$ Jahren ist der Baum $26$ Meter hoch, also muss $B(17) = 21$ gelten. Löse diese Gleichung nach $B_0$ auf, um auf die anfängliche Höhe zu kommen:
$B(17) = 1,5 \cdot 17 + B_0 = 21 \quad $also $\quad B_0 = 26 - 25,5 = 0,5.$
$ B_0=0,5 $
D.h. der Baum war bei Martins Geburt $0,5$ Meter hoch und die Gleichung für die Höhe des Baums zum Zeipunkt $t$ lautet $$B(t) = 1,5t + 0,5.$$
b)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen
Die Gleichung für die Höhe des Baums zum Zeitpunkt $t$ lautet nach Teilaufgabe a) $B(t) = 1,5t + 0,5.$ Setze also den Zeitpunkt $t=20$ ein, um zu bestimmen wie hoch der Baum ist, wenn Martin $20$ Jahre alt ist. $$B(20) = 1,5 \cdot 20 + 0,5 = 30,5.$$ Nach $20$ Jahren ist der Baum also $30,5$ Meter hoch.
3.
Rennen
a)
$\blacktriangleright$ Zeitpunkte der Zielüberquerungen bestimmen
Um herauszufinden, wer als Erster im Ziel ankommt, musst du die Gleichungen für alle $3$ Fahrer aufstellen.
  • Daniel fährt das Elekrofahrrad mit einer Höchstgeschwindigkeit von $25$ km/h und startet $6$ km nach der Ziellinie. Also lautet die entsprechende Gleichung $B_{\text{Daniel}}(t) = 25t + 6.$
  • Max fährt das Mofa mit einer Höchstgeschwindigkeit von $40$ km/h und startet $4$ km nach der Ziellinie. Also lautet die entsprechende Gleichung $B_{\text{Max}}(t) = 40t + 4.$
  • Jonas fährt das Quadcar mit einer Höchstgeschwindigkeit von $55$ km/h und startet an der Ziellinie. Also lautet die entsprechende Gleichung $B_{\text{Jonas}}(t) = 55t.$
Setze nun alle Gleichungen gleich $10$ und löse sie nach $t$ auf, um den Zeitpunkt des Überquerens der Ziellinie zu bekommen.
  • $B_{\text{Daniel}}(t) = 25t + 6 = 10 \quad$ also $\quad t = \dfrac{10-6}{25} = 0,16,$
  • $B_{\text{Max}}(t) = 40t + 4 = 10 \quad$ also $\quad t = \dfrac{10-4}{40} = 0,15,$
  • $B_{\text{Jonas}}(t) = 55t = 10 \quad$ also $\quad t = \dfrac{10}{55} \approx 0,18.$
Daniel: $ t=0,16 $
Max: $ t=0,15 $
Jonas: $ t=0,18 $
Max hat die beste Wahl getroffen, denn er braucht $9$ Minuten, um am Ziel anzukommen.
b)
$\blacktriangleright$ Schaubild
Um die Schaubilder zeichnen zu können, musst du die Steigungen und Startwerte von $B_{Daniel}(t), B_{Max}(t), B_{Jonas}(t)$ anpassen, da die $x$-Achse nun in Minuten beschriftet ist und die $y$-Achse in Metern:
  • $\tilde{B}_{\text{Daniel}}(t) = \dfrac{25.000}{60}t + 6.000 \approx 416,667 t + 6.000$
  • $\tilde{B}_{\text{Max}}(t) = \dfrac{40.000}{60}t + 4.000 \approx 666,667 t + 4.000$
  • $\tilde{B}_{\text{Jonas}}(t) = \dfrac{55.000}{60}t \approx 916,667 t$
$ \tilde{B}_{Daniel}(t)\approx 416,67 t + 6.000 $
$ \tilde{B}_{\text{Max}}(t) \approx 666,67 t + 4.000 $
$ \tilde{B}_{\text{Jonas}}(t) \approx 916,67 t $
Abb. 1: Schaubild für den Verlauf des Rennens.
Abb. 1: Schaubild für den Verlauf des Rennens.
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