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Potenzielles Wachstum

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Potenzielles Wachstum liegt vor, wenn sich der Wachstumsverlauf durch eine Potenzfunktion ergibt.
$f(x)=a\cdot x^n$ , $a > 0$ und $n\in\mathbb{R}^{+}$
$f(x)=a\cdot x^n$ , $a > 0$ und $n\in\mathbb{R}^{+}$
Wird der $x$-Wert um einen Faktor $k$ vervielfacht, so vervielfacht sich der $y$-Wert um $k^n$.
Spezialfälle:
  • $n=1$: proportionales Wachstum
  • $n=2$: quadratisches Wachstum
  • $n=3$: kubisches Wachstum

Beispiel

Die Kantenlänge $x$ eines Würfels verdoppelt sich. Untersuche, wie sich das Volumen des Würfels dadurch ändert.
  • Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $x$ wird folgendermaßen berechnet: $f(x)=x^3$
  • Für eine doppelt so lange Kantenlänge gilt dementsprechend: $f_1(x) $$ =(2x)^3 $$ =8x^3 $$ =8\cdot f(x)$
  • Somit ist das Volumen bei einer verdoppelten Kantenlänge um den Faktor $8$ größer.
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