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Potenzielles Wachstum

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Potenzielles Wachstum liegt vor, wenn sich der Wachstumsverlauf durch eine Potenzfunktion ergibt.
$f(x)=a\cdot x^n$ , $a > 0$ und $n\in\mathbb{R}^{+}$
$f(x)=a\cdot x^n$ , $a > 0$ und $n\in\mathbb{R}^{+}$
Wird der $x$-Wert um einen Faktor $k$ vervielfacht, so vervielfacht sich der $y$-Wert um $k^n$.
Spezialfälle:
  • $n=1$: proportionales Wachstum
  • $n=2$: quadratisches Wachstum
  • $n=3$: kubisches Wachstum

Beispiel

Die Kantenlänge $x$ eines Würfels verdoppelt sich. Untersuche, wie sich das Volumen des Würfels dadurch ändert.
  • Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $x$ wird folgendermaßen berechnet: $f(x)=x^3$
  • Für eine doppelt so lange Kantenlänge gilt dementsprechend: $f_1(x) $$ =(2x)^3 $$ =8x^3 $$ =8\cdot f(x)$
  • Somit ist das Volumen bei einer verdoppelten Kantenlänge um den Faktor $8$ größer.
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Aufgaben
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1.
Schwimmrekorde
Die Tabelle zeigt die Rekorde einer Schule für verschiedene Schwimmstrecken.
Strecke $\boldsymbol{s}$ in $\textbf{m}$50100200400
Zeit $\boldsymbol{t}$ in $\textbf{s}$2046105243
a)
Zeige, dass die Funktion $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ näherungsweise als Potenzfunktion dargestellt werden kann und berechne den Funktionsterm. Runde bei dem Aufstellen des Funktionsterms auf drei Nachkommastellen.
b)
Berechne die Zeit $t$, die sich demnach für eine Strecke von $800\,\text{m}$ ergibt.
2.
Kreis
Der Radius $r$ eines Kreises wird verdoppelt bzw. verdreifacht sich. Berechne, wie sich demnach der Flächeninhalt des Kreises ändert.
3.
Würfel
Die Seitenlänge $x$ eines Würfels wird halbiert. Untersuche, wie sich dadurch die Größe der Oberfläche bzw. das Volumen des Würfels ändert.
4.
Potenzfunktion
Stelle anhand der Tabelle eine Potenzfunktion auf und berechne die fehlenden Tabellenwerte.
$\boldsymbol{x}$-2-1012
$\boldsymbol{f(x)}$162
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Lösungen
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1.
Schwimmrekorde
a)
$\blacktriangleright$   Potenzfunktion aufstellen
Du sollst eine Potenzfunktion aufstellen, die die Strecke $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschreibt. Es gilt:
$s(t)=a\cdot t^n$
$s(t)=a\cdot t^n$
Berechne nun mit Hilfe der Tabelle aus der Aufgabenstellung die Parameter $a$ und $n$. Prüfe anschließend, ob die aufgestellte Funktionsgleichung auch für die weiteren Tabellenwerte näherungsweise gültig ist.
Wir setzen hier die Werte $s(20)=50$ und $s(46)=100$ in die allgemeine Gleichung der Potenzfunktion ein, um die Parameter $a$ und $n$ zu bestimmen.
Du erhältst folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} s(20)&=& 50 \\[5pt] a\cdot20^n&=& 50&\quad \scriptsize (1) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} s(46)&=& 100 \\[5pt] a\cdot46^n&=& 100&\quad \scriptsize (2) \end{array}$
Löse Gleichung (1) nach $a$ auf und setze in Gleichung (2) ein.
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot20^n&=& 50 &\quad \scriptsize \mid\; :20^n \\[5pt] a&=&\dfrac{50}{20^n} \end{array}$
Einsetzen in Gleichung (2):
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot46^n&=& 100&\quad \scriptsize \text{Einsetzen} \\[5pt] \dfrac{50}{20^n}\cdot 46^n&=& 100&\quad \scriptsize \mid\; :50 \\[5pt] \left(\dfrac{46}{20}\right)^n&=& 2&\quad \scriptsize \mid\; \log \\[5pt] n\cdot\log\left(\dfrac{46}{20}\right)&=& \log(2)&\quad \scriptsize \mid\; :\log\left(\dfrac{46}{20}\right)\\[5pt] n&=&\dfrac{\log(2)}{\log\left(\dfrac{46}{20}\right)}\\[5pt] n&\approx& 0,832 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n&=&\dfrac{\log(2)}{\log\left(\dfrac{46}{20}\right)}\\[5pt] n&\approx& 0,832 \end{array}$
Damit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} a&=&\dfrac{50}{20^n}\\[5pt] a&=&\dfrac{50}{20^{0,832}}\\[5pt] a&\approx& 4,135 \end{array}$
Die Potenzfunktion lautet: $s(t)=4,135\cdot t^{0,832}$
$\blacktriangleright$   Potenzfunktion überprüfen
Überprüfe nun, ob sich mit der Potenzfunktion $s(t)=4,135\cdot t^{0,832}$ auch die Werte für $200\,\text{m}$ und $400\,\text{m}$ näherungsweise berechnen lassen. Setze dafür die entsprechenden Zeiten in den Funktionsterm von $s$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} s(t)&=& 4,135\cdot t^{0,832} \\[5pt] s(105)&=& 4,135\cdot 105^{0,832} \\[5pt] s(105)&\approx& 198,7 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} s(t)&=& 4,135\cdot t^{0,832} \\[5pt] s(243)&=& 4,135\cdot 243^{0,832} \\[5pt] s(243)&\approx& 399,3 \end{array}$
Die Funktion $s$ kann näherungsweise mit einer Potenzfunktion beschrieben werden.
b)
$\blacktriangleright$   Zeit $\boldsymbol{t}$ berechnen
Um die Zeit $t$ zu berechnen, die für $800\,\text{m}$ gebraucht wurde, setzt du den Wert in den Funktionsterm von $s$ ein und löst nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} s(t)&=& 4,135\cdot t^{0,832} \\[5pt] 800&=& 4,135\cdot t^{0,832}&\quad \scriptsize \mid\; :4,135\\[5pt] \dfrac{800}{4,135}&=& t^{0,832}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \ln\left(\dfrac{800}{4,135}\right)&=& 0,832\cdot\ln(t)&\quad \scriptsize \mid\; :0,832\\[5pt] 6,328&\approx& \ln(t)&\quad \scriptsize \mid\; \mathrm e\\[5pt] \mathrm e^{6,328}&\approx& t\\[5pt] t&\approx& 560 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t&\approx& 560 \end{array}$
Für $800\,\text{m}$ liegt der Schulrekord etwa bei $560\,\text{s}$.
2.
Kreis
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt berechnen
Den Flächeninhalt $A$ eines Kreises berechnest du mit folgender Formel:
$A(r)=\pi\cdot r^2$
$A(r)=\pi\cdot r^2$
Verdoppelt sich der Radius des Kreises, so hat dieser den Radius $2r$. Verdreifacht sich der Radius, so ist der Radius dementsprechend $3r$ groß.
Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} A_1(r)&=&\pi\cdot (2r)^2 \\[5pt] &=&\pi\cdot 4r^2\\[5pt] &=& 4\pi\cdot r^2\\[5pt] &=& 4\cdot A(r) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_2(r)&=&\pi\cdot (3r)^2 \\[5pt] &=&\pi\cdot 9r^2\\[5pt] &=& 9\pi\cdot r^2\\[5pt] &=& 9\cdot A(r) \end{array}$
Verdoppelt sich der Radius, so vervierfacht sich der Flächeninhalt des Kreises. Bei einem dreifachen Radius, ist der Flächeninhalt 9-mal so groß.
3.
Würfel
$\blacktriangleright$   Größe der Oberfläche berechnen
Die Oberfläche $O$ eines Würfels berechnest du mit folgender Formel:
$O(x)=6x^2$
$O(x)=6x^2$
Halbiert sich die Seitenlänge $x$ des Würfels, so hat diese die Seitenlänge $\frac{1}{2}x$.
Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} O_1(x)&=&6\cdot\left(\frac{1}{2}x\right)^2 \\[5pt] &=&6\cdot\frac{1}{4}x^2\\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot O(x) \end{array}$
Halbiert sich die Seitenlänge eines Würfels, so beträgt die Größe der Oberfläche ein Viertel der ursprünglichen Fläche.
$\blacktriangleright$   Volumen berechnen
Das Volumen $V$ eines Würfels berechnest du mit folgender Formel:
$V(x)=x^3$
$V(x)=x^3$
Halbiert sich die Seitenlänge $x$ des Würfels, so hat diese die Seitenlänge $\frac{1}{2}x$.
Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} V_1(x)&=&\left(\frac{1}{2}x\right)^3 \\[5pt] &=&\frac{1}{8}x^3\\[5pt] &=& \frac{1}{8}\cdot V(x) \end{array}$
Halbiert sich die Seitenlänge eines Würfels, so beträgt das Volumen ein Achtel des ursprünglichen Volumens.
4.
Potenzfunktion
$\blacktriangleright$   Potenzfunktion aufstellen
Du sollst eine Potenzfunktion mit Hilfe der Tabelle aufstellen. Es gilt:
$f(x)=a\cdot x^n$
$f(x)=a\cdot x^n$
Berechne nun mit Hilfe der Tabelle aus der Aufgabenstellung die Parameter $a$ und $n$.
Setze die Werte $f(-2)=16$ und $f(-1)=2$ in die allgemeine Gleichung der Potenzfunktion ein, um die Parameter $a$ und $n$ zu bestimmen.
Du erhältst folgende Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=& 16 \\[5pt] a\cdot(-2)^n&=& 16&\quad \scriptsize (1) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& 2 \\[5pt] a\cdot(-1)^n&=& 2&\quad \scriptsize (2) \end{array}$
Löse Gleichung (1) nach $a$ auf und setze in Gleichung (2) ein.
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot(-2)^n&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)^n \\[5pt] a&=&\dfrac{16}{(-2)^n} \end{array}$
Einsetzen in Gleichung (2):
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot(-1)^n&=& 2&\quad \scriptsize \text{Einsetzen} \\[5pt] \dfrac{16}{(-2)^n}\cdot (-1)^n&=& 2&\quad \scriptsize \mid\; :16 \\[5pt] \left(\dfrac{-1}{-2}\right)^n&=& \dfrac{1}{8}&\quad \scriptsize \mid\; \log \\[5pt] n\cdot\log\left(\dfrac{1}{2}\right)&=& \log\left(\dfrac{1}{8}\right)&\quad \scriptsize \mid\; :\log\left(\dfrac{1}{2}\right)\\[5pt] n&=&\dfrac{\log\left(\dfrac{1}{8}\right)}{\log\left(\dfrac{1}{2}\right)}\\[5pt] n&=&3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n&=&3 \end{array}$
Damit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} a&=&\dfrac{16}{(-2)^n}\\[5pt] a&=&\dfrac{16}{(-2)^3}\\[5pt] a&=&\dfrac{16}{-8}\\[5pt] a&=& -2 \end{array}$
Die Potenzfunktion lautet: $f(x)=-2\cdot x^3$
$\blacktriangleright$   Wertetabelle vervollständigen
Um die restlichen Werte zu berechnen, setzt du $x=0$, $x=1$ und $x=2$ in die Funktiongleichung der Potenzfunktion $f$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -2\cdot x^3 \\[5pt] f(0)&=& -2\cdot 0^3 \\[5pt] f(0)&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& -2\cdot 1^3 \\[5pt] f(1)&=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=& -2\cdot 2^3 \\[5pt] f(2)&=& -2\cdot8\\[5pt] f(2)&=& -16 \end{array}$
Die vollständige Tabelle lautet:
$\boldsymbol{x}$-2-1012
$\boldsymbol{f(x)}$1620-2-16
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