Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 7
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Mach dich schlau mit SchulLV!
Mit dem digitalen Lernverzeichnis ersetzen wir Prüfungsvorbereitungsbücher sowie Schulbücher in ganz Deutschland. SchulLV bietet schnellen Zugriff auf über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen aus über 100 Abschlüssen in allen Bundesländern. Darüber hinaus besteht Zugriff auf 1.700 Themen im Digitalen Schulbuch für sämtliche Schularten von Klasse 5-13.
Neu: Zugänge deutlich ermäßigt über die Schule kaufen! Hier klicken

Winkel an geschnittenen Geraden

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann spricht man von einer einfachen Geradenkreuzung. Wenn zwei Geraden durch eine dritte Gerade geschnitten werden, dann spricht man von einer doppelten Geradenkreuzung. Durch den Schnitt entstehen Winkel, die man wie folgt bezeichnet:
  • Die gegenüberliegenden Winkel nennt man Scheitelwinkel zueinander. Sie sind gleich groß.
  • Die nebeneinanderliegenden Winkel nennt man Nebenwinkel zueinander. Sie ergeben in der Summe $180°$.
  • Die Winkel, die bei beiden Geradenkreuzen auf der selben Seite sind (z.B. $\alpha$ und $\delta$), nennt man Stufenwinkel. Sie sind gleich groß, wenn zwei Geraden parallel sind.
  • Die Winkel, die bei beiden Geradenkreuzen auf gegenüberliegenden Seiten sind (z.B. $\alpha$ und $\epsilon$), nennt man Wechselwinkel. Sie sind gleich groß, wenn zwei Geraden parallel sind.
Die Summe aller Winkel an einem Geradenkreuz ergibt $360°$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Zwei Geraden $g$ und $h$ schneiden sich. Dabei entstehen vier Winkel $\alpha,\; \beta,\;\gamma,\;\delta$. Bestimme die fehlenden Winkel, wenn gilt:
a)
$\alpha= 35°$
b)
$\beta= 125°$
c)
$\gamma= 55°$
d)
$\delta= 145°$
e)
Alle Winkel sind gleich groß.
f)
$\alpha$ ist doppelt so groß wie $\;\beta$.
2.
Gegeben sind zwei Geraden $g$ und $h$. Diese schneidet die Gerade $k$. Dabei entstehen acht Winkel. Treffe die Aussagen über die Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel, wenn:
a)
$g$ und $h$ nicht parallel sind.
b)
$g$ und $h$ parallel sind.
3.
Gegeben sind zwei Geraden $g$ und $h$. Diese werden durch die Gerade $k$ geschnitten. Entscheide, ob es sich um parallele Geraden handelt, wenn gilt:
a)
$\alpha= 35°, \beta=55°$
b)
$\gamma= 45°, \beta=45°$
c)
$ \alpha= 130°, \eta=50°$
d)
Alle Winkel sind gleich groß
f)
$\mu$ ist doppelt so groß wie $\;\alpha$ und $\eta$ ist doppelt so groß wie $\beta$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Fehlenden Winkel bestimmen
Gegeben ist eine einfache Geradenkreuzung
Angenommen, $\alpha$ ist der Winkel, der ganz links liegt. Bezeichne folgende Winkel:
  • als $\;\gamma$ den Winkel, der gegenüber $\alpha$ liegt.
  • als $\;\beta$ den Winkel, der rechts neben $\alpha$ liegt.
  • als $\;\delta$ den Winkel, der links neben $\alpha$ liegt.
Dann gilt:
  • Die Winkel $\delta$ und $\beta$ sind Scheitelwinkel zueinander
  • Die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sind Scheitelwinkel zueinander
  • Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind Nebenwinkel zueinander
  • Die Winkel $\beta$ und $\gamma$ sind Nebenwinkel zueinander
  • Die Winkel $\gamma$ und $\delta$ sind Nebenwinkel zueinander
  • Die Winkel $\delta$ und $\alpha$ sind Nebenwinkel zueinander
a)
Bekannt ist $\;\alpha= 35°$.
Dann gilt:
  • Da die Winkel $\alpha\;$ und $\gamma\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\gamma=\alpha=35°$
  • Da die Winkel $\alpha\;$ und $\beta\;$ Nebenwinkel zueinander sind, gilt:
    $\alpha+\beta=180°$, also gilt: $\beta=180°-35°=145°$
  • Da die Winkel $\delta\;$ und $\beta\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\delta=\beta=145°$
b)
Bekannt ist $\;\beta= 125°$.
Dann gilt:
  • Da die Winkel $\beta\;$ und $\delta\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\delta=\beta=125°$
  • Da die Winkel $\alpha\;$ und $\beta\;$ Nebenwinkel zueinander sind, gilt:
    $\alpha+\beta=180°$, also gilt: $\alpha=180°-125°=55°$
  • Da die Winkel $\gamma\;$ und $\alpha\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\gamma=\alpha=55°$
c)
Bekannt ist $\;\gamma= 55°$.
Dann gilt:
  • Da die Winkel $\gamma\;$ und $\alpha\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\gamma=\alpha=55°$
  • Da die Winkel $\gamma\;$ und $\delta\;$ Nebenwinkel zueinander sind, gilt:
    $\gamma+\delta=180°$, also gilt: $\delta=180°-55°=125°$
  • Da die Winkel $\delta\;$ und $\beta\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\beta=\delta=125°$
d)
Bekannt ist $\;\delta= 140°$.
Dann gilt:
  • Da die Winkel $\delta\;$ und $\beta\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\delta=\beta=140°$
  • Da die Winkel $\gamma\;$ und $\delta\;$ Nebenwinkel zueinander sind, gilt:
    $\gamma+\delta=180°$, also gilt: $\gamma=180°-140°=40°$
  • Da die Winkel $\alpha\;$ und $\gamma\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\alpha=\gamma=40°$
e)
Bekannt ist, dass alle Winkel gleich groß sind. Also gilt:
$\alpha=\beta=\gamma=\delta$.
Dann gilt:
  • Da die Winkel $\alpha\;$ und $\beta\;$ Nebenwinkel zueinander sind, gilt:
    $\alpha=\beta=\frac{180°}{2}=90°$.
  • Da alle Winkel gleich sind, gilt: $\alpha=\beta=\gamma=\delta=90°$
f)
Bekannt ist, dass $\alpha$ doppelt so groß wie $\beta$ ist.
Dann gilt:
  • Da die Winkel $\alpha\;$ und $\beta\;$ Nebenwinkel zueinander sind, gilt:
    $\alpha+\beta=180°$. Da $\alpha$ doppelt so groß wie $\beta$ ist, gilt:$\;\alpha=2\beta$
    also gilt:
    $\begin{array}[t]{rll} 2\beta+\beta&=&180 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3\beta&=&180&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] \beta&=&60&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Somit ist $\alpha=2\cdot 60°=120°$
  • Da die Winkel $\delta\;$ und $\beta\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\delta=\beta=60°$
  • Da die Winkel $\alpha\;$ und $\gamma\;$ Scheitelwinkel zueinander sind, gilt:
    $\alpha=\gamma=120°$
2.
Aussagen über Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel treffen
Bei dem Schnitt der Geraden $g$ und $h$ mit der Gerade $k$ entstehen acht folgende Winkel:
Benutze den Scheitelwinkelsatz, Stufenwinkelsatz und Wechselwinkelsatz, um über die Gleichheit der Stufenwinkel und der Wechselwinkel zu entscheiden.
a)
Da $g$ und $h$ nicht parallel sind, gilt:
  • Nach dem Scheitelwinkelsatz: Die Scheitelwinkel sind gleich groß. Also gilt:
    $\alpha=\gamma$, $\beta= \delta$, $\mu= \omega$, $\lambda = \eta$
  • Nach dem Stufenwinkelsatz: Die Stufenwinkel sind nicht gleich groß. Also gilt:
    $\alpha\neq\beta$, $\mu\neq \lambda$, $\gamma\neq \delta$, $\omega \neq \eta$
  • Nach dem Wechselwinkelsatz: Die Wechselwinkel sind nicht gleich groß. Also gilt:
    $\alpha\neq\delta$, $\omega\neq \lambda$, $\mu\neq \eta$, $\gamma \neq \beta$
b)
Da $g$ und $h$ parallel sind, gilt:
  • Nach dem Scheitelwinkelsatz: Die Scheitelwinkel sind gleich groß. Also gilt:
    $\alpha=\gamma$, $\beta= \delta$, $\mu= \omega$, $\lambda = \eta$
  • Nach dem Stufenwinkelsatz: Die Stufenwinkel sind gleich groß. Also gilt:
    $\alpha=\beta$, $\mu= \lambda$, $\gamma= \delta$, $\omega =\eta$
  • Nach dem Wechselwinkelsatz: Die Wechselwinkel sind gleich groß. Also gilt:
    $\alpha=\delta$, $\omega= \lambda$, $\mu= \eta$, $\gamma =\beta$
3.
Entscheide, ob es sich um zwei parallele Geraden handelt.
Gegeben sind zwei Geraden $g$ und $h$. Diese werden durch die Gerade $k$ geschnitten.
a)
Wenn die Geraden parallel sind, dann sind nach dem Stufenwinkelsatz die Stufenwinkel gleich groß. Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind Stufenwinkel zueinander. Da $\;\alpha=35°$ kleiner als $\;\beta=55°$ ist, können die Geraden nicht parallel sein.
b)
Wenn die Geraden parallel sind, sind nach dem Wechselwinkelsatz die Wechselwinkel gleich groß. Die Winkel $\gamma$ und $\beta$ sind Wechselwinkel zueinander. Da die Winkel $ \;\gamma= 45°$ und $ \beta=45°$ gleich sind, sind die Geraden parallel.
c)
Wenn die Geraden parallel sind, sind nach dem Stufenwinkelsatz die Stufenwinkel gleich groß. Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ sind Stufenwinkel zueinander. Berechnen wir zuerst $\beta$.
Die Winkel $\beta$ und $\eta$ sind Nebenwinkel zueinander, deshalb gilt nach dem Nebenwinkelsatz:
$\beta+\eta=180°$. Also ist der Winkel $\beta=180°-50°=130°$ gleich dem Winkel $\alpha$.
Dies bedeutet, dass die Geraden parallel sind.
d)
Wenn alle Winkel gleich groß sind, sind die Scheitelwinkel und Wechselwinkel gleich groß. Da auch die Nebenwinkel gleich sind, gilt: Jeder Winkel ist $\frac{180°}{2}=90°$.
Somit sind die Geraden $g$ und $h$ parallel. Die Gerade $k$ schneidet die beiden Geraden orthogonal.
e)
Da $\mu$ doppelt so groß wie $\;\alpha$ ist, gilt: $\mu=2\alpha$. $\alpha$ und $\mu$ sind Nebenwinkel, also muss deren Summe $180°$ betragen. Also gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha+\mu&=&180 &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha+2\alpha&=&180 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3\alpha&=&180&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] \alpha&=&60&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das Gleiche gilt auch für $\eta$ und $\beta$, wobei $\eta=2\beta$:
$\begin{array}[t]{rll} \beta+\eta&=&180 &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta+2\beta&=&180 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3\beta&=&180&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] \beta&=&60&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Da die beiden Winkel Stufenwinkel zueinander sind, die auch gleich groß sind, müssen die Geraden nach dem Stufenwinkelsatz parallel sein.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App