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Reelle Zahlen

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Du kennst bereits
  • die natürlichen Zahlen $\mathbb{N} $$= \{1, 2, 3, 4, … \},$
  • die ganzen Zahlen $\mathbb{Z} = \{…, $$ -2, -1, 0, 1, 2, … \}$ und
  • die rationalen Zahlen
    $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} ~ \big \vert ~ p \in \mathbb{Z}, ~ q \in \mathbb{N} \right\} = \left\{ …, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{1}, \frac{-1}{2}, \frac{-1}{1}, 0, \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3},… \right\}.$
    $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} ~ \big \vert ~ p \in \mathbb{Z}, ~ q \in \mathbb{N} \right\} $
Die natürlichen Zahlen sind dabei eine Teilmenge der ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen, d.h. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}.$
Nun gibt es Zahlen wie $\sqrt{3}, -\sqrt{5}, \pi $ oder $\mathrm e$ die keine rationalen Zahlen - somit auch keine ganzen oder natürlichen Zahlen - sind. Die Vereinigung dieser Zahlen und der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ wird als reelle Zahlen $\mathbb{R}$ bezeichnet. Also ist jede Zahl, die du bist jetzt kennst, reell.
Wurzeln: Reelle Zahlen
Wurzeln: Reelle Zahlen
Beispiele
  • $-8$ ist eine ganze Zahl, somit auch automatisch eine rationale und reelle, aber keine natürliche Zahl.
  • $5$ ist eine natürliche Zahl, somit auch automatisch eine ganze, rationale und reelle Zahl.
  • $\sqrt{2}$ ist eine reelle Zahl, aber weder rational noch ganz oder natürlich.
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1.
Entscheide, ob folgende Zahlen jeweils natürlich, ganzzahlig, rational oder reell sind.
b)
$\sqrt{36}$
d)
$0$
f)
$\sqrt{\dfrac{72}{8}}$
2.
Entscheide, ob $y$ jeweils natürlich, ganzzahlig, rational oder reell ist.
b)
$y = 0.1 \cdot 7 - 11 - \dfrac{7}{10}$
d)
$y = \mathrm e^{\ln(8,3)} \cdot \mathrm e^{\ln(1,7)}$
f)
$y = \sqrt{3} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{12}$
3.
Gegeben sei $y = \dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{71} + a$. Begründe, dass $y$ nicht rational ist.
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Lösungen
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1. Entscheide, ob folgende Zahlen jeweils natürlich, ganzzahlig, rational oder reell sind.
a)  $\dfrac{1}{3}$ ist rational (somit auch reell), da im Zähler eine ganze Zahl steht und im Nenner eine natürliche. Da die Zahlen im Zähler und Nenner teilerfremd sind, d.h. die Zahl lässt sich nicht weiter vereinfachen, ist die Zahl nicht natürlich und ganzzahlig.
b)  $\sqrt{36} = 6,$ die Zahl $6$ ist natürlich, somit auch ganzzahlig, rational und reell.
c)  $- \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{-1}{\sqrt{9}} = \dfrac{-1}{3}$ ist rational (somit auch reell), aber nicht natürlich und ganzzahlig.
d)  $0$ ist eine ganze Zahl (somit auch rational und reell), aber nicht natürlich.
Achtung: Je nach Definition kann man $0$ auch zu den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ dazuzählen.
e)  $\sqrt{8} \pi$ ist eine reelle Zahl, aber weder rational, ganzzahlig noch natürlich, da das Produkt der beiden irrationalen Zahlen $\sqrt{8}$ und $\pi$ irrational ist.
Achtung: Das Produkt zweier irrationalen Zahlen ist nicht zwingend irrational, betrachte z.B. $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2.$
f)  $\sqrt{\dfrac{72}{8}} = \sqrt{9} = 3$ ist eine natürliche Zahl, also auch ganzzahlig, rational und reell.
2. Entscheide, ob $y$ jeweils natürlich, ganzzahlig, rational oder reell ist.
a)  $y = \dfrac{1}{3} \cdot (50 \cdot 6) - 4 = \dfrac{300}{3} - 4 = 96$ ist natürlich, ganzzahlig, rational und reell.
b)  $y = 0,1 \cdot 7 - 11 - \dfrac{7}{10} = 0,7 - 11 - 0,7 = -11$ ist ganzzahlig, rational und reell.
c)  $y = (\pi - 5)(\pi + 5) = \pi^2 - 25$ ist eine reelle Zahl, aber weder natürlich, ganzzahlig noch rational, da $\pi^2$ irrational ist. Eine irrationale Zahl minus eine rationale ergibt eine irrationale Zahl. Somit ist $y$ nur reell.
d)  $y = \mathrm e^{\ln(8,3)} \cdot \mathrm e^{\ln(1,7)} = 8,3 \cdot 1,7 = 14,11$ ist eine rationale Zahl (somit auch reell), aber weder ganzzahlig noch natürlich.
e)  $\mathrm e^{8,3}$ ist eine reelle Zahlen und weder rational, ganzzahlig noch natrülich, denn $\mathrm e^{8,3}$ ist irrational.
f) $\;y = \sqrt{3} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3 \cdot 4} $$ = \sqrt{3} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{4} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 9 = 27$ ist eine natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Zahl.
3. Gegeben sei $y = \dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{71} + a$. Begründe, dass $y$ nicht rational sein kann.
Um $y$ rational zu machen, muss der Bruch $\dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{71}$ rational gemacht werden. Wähle also $a = k \cdot \sqrt{3}$ mit $k \in \mathbb{Z}$ ($k$ ist ganzzahlig). Somit ist der Bruch $\dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{71} = \dfrac{k \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{71} = \dfrac{3 \cdot k}{71}$ nun rational. Betrachte nun das gesamte $y$: $y = \dfrac{3k}{71} + \sqrt{3} k$ ist irrational, denn der Bruch ist zwar rational, doch durch $+ \sqrt{3}k$ wird $y$ wieder irrational gemacht, denn eine rationale Zahl plus eine irrationale Zahl ergibt eine irrationale Zahl.
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