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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.  Ziehe die Wurzel ohne Verwendung des Taschenrechners.
a)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{-2\cdot (-18)}& \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{4\sqrt{81}}& \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{5a^2}& \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{5a^2}& \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{27}& \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{2^2}\cdot\sqrt{121}& \end{array}$
g)  $\begin{array}[t]{llll} 3\sqrt{121}\cdot\sqrt{25}& \end{array}$
h)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{0,25}\cdot\sqrt{0,04}& \end{array}$
i)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{25}}}{\sqrt{\dfrac{81}{9}}}& \end{array}$
j)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{\sqrt{256}}\cdot\sqrt{81}& \end{array}$
2. Überprüfe die folgenden Aussagen.
a)   Du musst dreimal die Wurzel aus 256 ziehen, um als Ergebnis 2 zu bekommen.
b)   Die Lösung der Wurzel $\sqrt{9 + 16}$ ist 7.
c)   Die Lösung der Wurzel $\sqrt{(2 + 5)\cdot 49}$ ist 5$\sqrt{7}$
d)   Die Lösung der Wurzel $\sqrt{121 a^2}$ ist 11a.
e)   Die Lösung von $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}$ ist 9.
3.  Vereinfache soweit wie möglich.
a)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab^2}} & \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{a\sqrt{a^2}}& \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{5a^2}& \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{llll} \sqrt{27}& \end{array}$
4. Die Gesamtoberfläche eines sechsseitigen Würfels beträgt 96 cm$^2$. Welchen Flächeninhalt hat eine Seite? Wie lang sind seine Kanten?
5. Löse die Wurzelgleichungen.
a)   $\sqrt{4x-4} = -4$
b)   $-5+\sqrt{x-6} = -2$
c)   $\sqrt{x^2 -16} = x-2$
d)   $5\sqrt{4x+4} = 20$
e)   $\sqrt{1+\sqrt{3x+9}} = 1$
6. Entscheide, ob folgende Wurzeln rational oder irrational sind.
a)   $\sqrt{0,0016} $
b)   $\sqrt{7} $
c)   $\sqrt{\dfrac{9}{2}}$
d)   $\sqrt{\sqrt{81}}$
e)   $\sqrt{\dfrac{16}{49}} $
7. Berechne mit dem Heron-Verfahren die Näherungswerte für $\sqrt{5}$. Der Startwert ist x0=1.
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Lösungen
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1. Ziehe die Wurzel.
a)   $\sqrt{-2\cdot (-18)} = \sqrt{36} = 6 \quad$ Merke: Minus mal Minus gibt Plus!
b)   $\sqrt{4\sqrt{81}} = 2\sqrt{9} = 2\cdot 3 = 6$
c)   $\sqrt{\dfrac{4}{9}}\cdot\sqrt{36} = \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}\cdot\sqrt{36} = \dfrac{2}{3}\cdot 6 = \dfrac{12}{3} = 4$
d)   $\dfrac{ \sqrt{1}}{\sqrt{25}} =\dfrac{1}{5} $
e)   $\sqrt{49\cdot (-15)} = \sqrt{49}\cdot\sqrt{-15}\quad \color{#87c800}{↯}$ Von negativen Zahlen kann keine Wurzel gezogen werden
f)   $\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{121} = 2\cdot 11 = 22$
g)   $3\sqrt{121}\cdot\sqrt{25} = 3\cdot 11\cdot5 =165$
h)   $\sqrt{0,25}\cdot\sqrt{0,04}= 0,5\cdot 0,2 = 0,1$
i)   $\dfrac{\sqrt{\dfrac{225}{25}}}{\sqrt{\dfrac{81}{9}}}= \dfrac{\dfrac{\sqrt{225}}{\sqrt{25}}}{\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}}= \dfrac{\dfrac{15}{5}}{\dfrac{9}{3}}= \dfrac{3}{3} = 1$
j)   $\sqrt{\sqrt{256}}\cdot\sqrt{81} =\sqrt{16}\cdot 9 = 4\cdot 9 = 36 $
2. Überprüfe die folgenden Aussagen.
a)  In dieser Aufgabe musst du zeigen, dass $\sqrt{\sqrt{\sqrt{256}}} = 2$ ist, ansonsten ist die Aussage falsch.
$\quad\sqrt{\sqrt{\sqrt{256}}} = \sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt{4} = 2 \quad$ Die Aussage ist somit richtig.
b)   In dieser Aufgabe musst du zeigen, dass $\sqrt{9 + 16}= 7$ ist, ansonsten ist die Aussage falsch.
$\quad\sqrt{9 + 16}= \sqrt{25}= 5 \quad$ Die Aussage ist somit falsch.
$\quad$ Merke: Hier darfst du die Wurzel nicht trennen, sondern musst gleich addieren und Wurzel ziehen.
c)   In dieser Aufgabe musst du zeigen, dass $\sqrt{(2 + 5)\cdot 49}=5\sqrt{7}$ ist, ansonsten ist die Aussage falsch.
$\sqrt{(2 + 5)\cdot 49}=\sqrt{7\cdot 49}= \sqrt{7}\cdot\sqrt{49}= 7\sqrt{7}\quad$ Die Aussage ist somit falsch.
d)   In dieser Aufgabe musst du zeigen, dass $\sqrt{121 a^2}= 11a$ ist, ansonsten ist die Aussage falsch.
$\sqrt{121 a^2}= \sqrt{121}\cdot\sqrt{a^2}= 11a\quad$ Die Aussage ist somit richtig.
e)   In dieser Aufgabe musst du zeigen, dass $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}= 9$ ist, ansonsten ist die Aussage falsch.
$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}= \sqrt{3\cdot 27} = \sqrt{81} = 9\quad$ Die Aussage ist somit richtig.
3. Vereinfache so weit wie möglich.
a)   $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab^2}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b^2}} = \dfrac{1}{1\cdot\sqrt{b^2}} = \dfrac{1}{b}$
b)   $\sqrt{a\sqrt{a^2}}= \sqrt{a\cdot a} = \sqrt{a^2} = a$
c)   $\sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$
d)   $\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = \sqrt{9}\cdot\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
4. Seitenfläche und Kantenlänge berechnen.
Ein Würfel besteht aus 6 Seiten, welche jeweils einen Flächeninhalt von ASeite= a$^2$ aufweisen.
In der Aufgabenstellung wurde ein Gesamtflächeninhalt von AGesamt= 96 cm$^2$ angegeben. Diesen müssen wir nun auf 6 Seiten aufteilen:
ASeite= a$^2$ = 96 cm$^2$ : 6 = 16 cm$^2$. Der Flächeninhalt einer Seite beträgt somit 16 cm$^2$.
Um nun die Kantenlänge a zu berechnen müssen wir das Wurzelziehen anwenden:
$\quad a^2 = 16 \text{ cm}^2$
$\sqrt{a^2} = \sqrt{16\;\text{cm}^2}$
$\quad a = 4 \text{ cm} \quad$
Die Kantenlänge beträgt somit 4 cm.
5. Löse die Wurzelgleichungen.
a) $\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4x-4} =&=& - 4 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 4x-4&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 4x&=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
b) $\begin{array}[t]{rll} -5+\sqrt{x-6} &=& - 2 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] \sqrt{x-6}&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] x-6&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; +6\\[5pt] x&=&15 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
c) $\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x^2 -16} &=& x- 2 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] x^2 -16&=& (x-2)^2 &\quad \scriptsize \text{2. binomische Formel} \\[5pt] x^2 -16&=& x^2 - 4x + 4 &\quad \scriptsize \mid\;-x^2 \quad\mid\;-4\\[5pt] -20&=&4x &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&-5 \end{array}$
d) $\begin{array}[t]{rll} 5\sqrt{4x+4} &=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] \sqrt{4x+4}&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; ^2 \\[5pt] 4x+4&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 4x&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&3\end{array}$
e) $\begin{array}[t]{rll} \sqrt{1+\sqrt{3x+9}} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 1+\sqrt{3x+9}&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; ^2 \\[5pt] 1+3x+9&=& 1 &\quad \scriptsize \text{zusammenfassen}\\[5pt] 10 + 3x&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; -10\\[5pt] 3x&=&-9&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x&=&-3\end{array}$
6. Entscheide, ob folgende Wurzeln rational oder irrational sind.
a)   $\sqrt{0,0016} = 0,04 = \dfrac{1}{25}\quad$ Da man 0,04 als Bruch darstellen kann, ist die Wurzel rational.
b)   $\sqrt{7} = 2,6457…\quad$ Da es sich bei 7 um eine Primzahl handelt, ist die Wurzel irrational.
c)   $\sqrt{\dfrac{9}{2}}= \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}} \quad$ Da sich $\sqrt{2}$ nicht als Bruch schreiben lässt, ist die Wurzel irrational.
d)   $\sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt{9}= 3=\dfrac{3}{1} \quad$ Da sich die Wurzel als Bruch darstellen lässt, ist diese rational.
e)   $\sqrt{\dfrac{16}{49}} =\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}= \dfrac{4}{7}\quad$ Da sich die Wurzel als Bruch darstellen lässt, ist dies eine rationale Wurzel.
7. Berechne mit dem Heron-Verfahren einen Näherungswert von $\sqrt{5}$.
  $x_0 = 1$
Gesucht ist eine Näherung für $\sqrt{5}$. Also ist $q=5$ und der Startwert $x_0 = 1$.
$x_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_0 + \dfrac{q}{x_0} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 1 + \dfrac{5}{1} \right) = \dfrac{6}{2} = 3$
$x_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_1 + \dfrac{q}{x_1} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( 3 + \dfrac{5}{3} \right) = \dfrac{7}{3} \approx 2,333$
$x_3 = \dfrac{1}{2} \cdot \left( x_2 + \dfrac{q}{x_2} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{7}{3} + \dfrac{5}{\frac{7}{3}} \right) = \dfrac{47}{21} \approx 2,2381…$
Nach $3$ Schritten wird schon eine Näherung für $\sqrt{5}$ erreicht, die auf 2 Nachkommastellen genau ist. Je weiter du die Näherung durchführst, desto genauer werden die Nachkommastellen.
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