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Wurzelgleichungen

Spickzettel
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Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte, also meist das $x$, unter einer Wurzel steht. Zusätzlich kann die Unbekannte dabei aber auch außerhalb der Wurzel auftreten.
Um solch eine Gleichung zu lösen, können dir folgende Rechenregeln für Wurzeln und Potenzen helfen:
  • Quadrieren
  • Die Binomischen Formeln
  • Teilweises Wurzelziehen
  • Multiplizieren von Wurzeln
  • Dividieren von Wurzeln
Hilfreich kann es oft sein, zu Beginn erst einmal zu versuchen, die Wurzel über dem $x$ durch Quadrieren wegzubekommen. Achte dabei darauf, dass du gegebenenfalls die binomischen Formeln benutzen musst.
Das Quadrieren ist allerdings keine Äquivalenzumformung, denn durch das Quadrieren wird alles positiv. Du bekommst also gegebenenfalls Lösungen dazu, die die ursprüngliche Gleichung nicht hatte. Verloren gehen allerdings keine Lösungen. Beachte, dass du am Ende immer die Einsetzprobe machst, deine Lösung(en) also in die ursprüngliche Gleichung einsetzt, denn so findest du heraus, welche Lösung(en) stimmen und welche durch das Quadrieren ungewollt dazugekommen sind.

Beispiel

$\sqrt{4x+1} = 3$ ist eine Wurzelgleichung. Du kannst sie lösen, indem du sie zunächst quadrierst:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4x+1}&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 4x+1&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 4x&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
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1. Gleichungen lösen
a)   $\sqrt{x} = 3\quad$
b)   $\sqrt{4x} =2 $
c)   $\sqrt{x}\sqrt{4x} = 4\quad$
d)   $\dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{x}} = 2 $
2. Gleichungen lösen
a)   $\sqrt{x^2+2x+1} = 16$
b)   $x\sqrt{4x} =2 $
c)   $\sqrt{x}+\sqrt{9x} = 4\quad$
d)   $\sqrt{x+1} = 5$
3. Gleichungen lösen
a)   $ \dfrac{\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x-2}}= 5\quad$
b)   $\sqrt{4x^4 +8x^3+4x^2}= 5$
c)   $\dfrac{4}{\sqrt{16x^2 - 64x + 64 }}= 2\quad$
d)   $ \dfrac{\sqrt{x-3}}{6x}= \dfrac{1}{\sqrt{x-3}} $
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1.
Gleichungen lösen
Denke an die Werkzeuge aus dem Spickzettel:
  • Quadrieren
  • Die Binomischen Formeln
  • Teilweises Wurzelziehen
  • Multiplizieren von Wurzeln
  • Dividieren von Wurzeln
  • Probe
a)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] x&=&9&\quad \scriptsize \end{array}$
Um zu überprüfen, ob die Lösung auch tatsächlich die Gleichung erfüllt, setze sie ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}&=& 3 \\[5pt] \sqrt{9}&=&3 \\[5pt] 3&=&3 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $ \mathbb{L} = \{9\}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4x}&=& 2&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 4x&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um zu überprüfen, ob die Lösung auch tatsächlich die Gleichung erfüllt, setze sie ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4x}&=& 2&\quad \scriptsize \mid\; x =1 \\[5pt] \sqrt{4\cdot 1}&=& 2 \\[5pt] 2x&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $ \mathbb{L} = \{1\}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}\sqrt{4x} &=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{x\cdot 4x}&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{4x^2}&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2}&=& 4&\quad \scriptsize \\[5pt] 2\cdot (\pm x)&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \pm x&=&2 \end{array}$
Es gibt also zwei mögliche Lösungen. Um zu überprüfen, ob beide die Gleichung wirklich erfüllen, setze sie jeweils ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}\sqrt{4x} &=& 4 \\[5pt] \sqrt{-2}\sqrt{4\cdot (-2)}&=& 4 \\[5pt] \end{array}$
Aus negativen Zahlen kannst du keine Wurzel ziehen, also ist $x=-2$ keine Lösung der ursprünglichen Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}\sqrt{4x} &=& 4 \\[5pt] \sqrt{2}\sqrt{4\cdot 2} &=& 4 \\[5pt] 4&=&4 \end{array}$
Diese Gleichung stimmt, also ist die Lösungsmenge der Gleichung $\mathbb{L} = \{2\}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{x}}&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{\dfrac{4x}{x}}&=&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{4}&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist für alle Zahlen erfüllt, allerdings darfst du weder durch Null teilen, noch die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen. Daher sind alle negativen Zahlen ausgeschlossen und es ergibt sich als Lösungmenge die Menge der positiven reellen Zahlen: $ \mathbb{L} = \mathbb{R}_{>0} = \{\mathbb{R} \mid x>0\}$.
2.
Gleichungen lösen
a)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x^2+2x+1}&=& 16&\quad \scriptsize \text{1. Binomische Formel}\\[5pt] \sqrt{(x+1)^2}&=& 16&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] (x+1)^2&=& 16^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] x+1 &=&\pm \sqrt{16^2} \\[5pt] x+1&=&\pm 16 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x&=& \pm 16 -1 \\[5pt] x_1 &=& 15 \\[5pt] x_2 &=& -17 \\[5pt] \end{array}$
Setze nun die beiden berechneten Werte in die Gleichung ein, um sie zu überprüfen:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x^2+2x+1}&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; x_1=15 \\[5pt] \sqrt{15^2+2\cdot 15+1}&=&16 \\[5pt] \sqrt{256}&=&16 \\[5pt] 16&=& 16 \end{array}$
Also ist $x_1= 15$ tatsächlich eine Lösung der Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x^2+2x+1}&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; x_1=-17\\[5pt] \sqrt{(-17)^2+2\cdot (-17)+1}&=&16\\[5pt] \sqrt{256}&=&16 \\[5pt] 16&=& 16 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist also $\mathbb{L} = \{-17,15\}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} x\sqrt{4x} &=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{x^2}\cdot \sqrt{4x}&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{4x^3}&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{4}\cdot \sqrt{x^3}&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] 2\sqrt{x^3}&=& 2&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \sqrt{x^3}&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; ^2 \\[5pt] x^3&=& 1&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\;} \\[5pt] x&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $x=1$ zur Probe in die Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} x\sqrt{4x} &=& 2&\quad \scriptsize \mid\; x=1 \\[5pt] 1\cdot \sqrt{4\cdot 1}&=& 2 \\[5pt] \sqrt{4}&=& 2 \\[5pt] 2&=& 2 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $ \mathbb{L} = \{1\}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}+\sqrt{9x} &=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{x}+3\sqrt{x}&=& 4&\quad \scriptsize \\[5pt] 4\sqrt{x}&=& 4&\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] \sqrt{x}&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] x&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Überprüfe die Lösung nun durch Einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}+\sqrt{9x} &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;x=1 \\[5pt] \sqrt{1}+\sqrt{9\cdot 1} &=&4 \\[5pt] 1+3&=&4 \\[5pt] 4&=&4 \\[5pt] \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $ \mathbb{L} = \{1\}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x+1} &=& 5&\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] x+1&=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] x&=& 24 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Durch Einsetzen kannst du die Lösung überprüfen:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x+1} &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; x=24\\[5pt] \sqrt{24+1} &=& 5 \\[5pt] \sqrt{25}&=&5 \\[5pt] 5&=& 5 \\[5pt] \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L} = \{24\}$.
3.
Gleichungen lösen
a)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x-2}}&=& 5 &\quad \scriptsize \text{3. Binomische Formel} \\[5pt] \dfrac{\sqrt{(x-2)\cdot (x+2)}}{\sqrt{x-2}}&=& 5&\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}}&=& 5&\quad \scriptsize\\[5pt] \sqrt{x+2}&=&5 &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] x+2&=& 25&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x &=& 23 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Überprüfe die Lösung durch Einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x-2}}&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; x=23\\[5pt] \dfrac{\sqrt{23^2-4}}{\sqrt{23-2}}&=& 5 \\[5pt] \dfrac{\sqrt{525}}{\sqrt{21}}&=& 5 \\[5pt] \dfrac{5\sqrt{21}}{\sqrt{21}}&=& 5 \\[5pt] 5&=&5 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $ \mathbb{L} = \{23\}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4x^4 +8x^3+4x^2}&=& 5 &\quad \scriptsize \mid \;^2 \\[5pt] 4x^4 +8x^3+4x^2&=&25 \\[5pt] 4x^2\cdot(x^2+2x+1)&=& 25 \\[5pt] (2x)^2\cdot(x+1)^2&=& 25 \\[5pt] (2x\cdot (x+1))^2&=& 25 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 2x\cdot (x+1)&=& \pm 5 \\[5pt] 2x^2+2x\pm 5&=& 0 &\quad \scriptsize \text{a-b-c-Formel} \\[5pt] x_{1,2,3,4}&=& \dfrac{-2\pm \sqrt{2^2\pm 4\cdot 2\cdot 5}}{2\cdot 2} \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{-2\pm \sqrt{-36}}{4} \\[5pt] x_{3,4}&=&\dfrac{-2\pm \sqrt{44}}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{-1\pm \sqrt{11}}{2} \\[5pt] x_3&=&\dfrac{-1+ \sqrt{11}}{2} \\[5pt] x_4&=&\dfrac{-1- \sqrt{11}}{2} \\[5pt] \end{array}$
Da du keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kannst, fallen $x_1$ und $x_2$ nicht in die Lösungsmenge. Überprüfe nun noch $x_3$ und $x_4$ durch Einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4x^4 +8x^3+4x^2}&=& 5 \\[5pt] \sqrt{4\cdot \left(\dfrac{-1+ \sqrt{11}}{2} \right)^4 +8\cdot \left(\dfrac{-1+ \sqrt{11}}{2} \right)^3+4\cdot \left(\dfrac{-1+ \sqrt{11}}{2}\right)^2}&=& 5 \\[5pt] \sqrt{4\left(\dfrac{-1+ \sqrt{11}}{2}\right)^2\left(\left( \dfrac{-1+ \sqrt{11}}{2}\right)^2 +2\cdot \left(\dfrac{-1+ \sqrt{11}}{2}\right)+1\right)}&=&5 \\[5pt] \left(-1+\sqrt{11}\right)\cdot \sqrt{\left(\dfrac{-1+ \sqrt{11}}{2} +1\right)^2}&=&5 \\[5pt] -1+\sqrt{11}-\dfrac{-1+\sqrt{11}}{2}+\sqrt{11}\cdot \dfrac{-1+\sqrt{11}}{2}&=&5 \\[5pt] -1+\sqrt{11}+\dfrac{1-\sqrt{11}-\sqrt{11}+\sqrt{11}\cdot\sqrt{11}}{2}&=&5 \\[5pt] -1+\sqrt{11}+\dfrac{1-2\cdot\sqrt{11}+11}{2}&=&5 \\[5pt] -1+\sqrt{11}+6-\sqrt{11}&=&5 \\[5pt] 5&=&5 \\[5pt] \end{array}$
Für die zweite Lösung verläuft die Rechnung analog. Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L} = \left\{\dfrac{-1\pm \sqrt{11}}{2}\right\}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{\sqrt{16x^2 - 64x + 64 }}&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{4}{\sqrt{16(x^2 - 4x + 4 )}}&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{4}{4\sqrt{x^2 - 4x + 4 }}&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 4 }}&=& 2&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{x^2 - 4x + 4 }\\[5pt] 1&=& 2\sqrt{x^2 - 4x + 4 }&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \frac{1}{2}&=&\sqrt{x^2 - 4x + 4 }&\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{2}&=&\sqrt{(x-2)^2} &\quad \scriptsize \mid\; ^2 \\[5pt] \frac{1}{4}&=& (x-2)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \pm\dfrac{1}{2}&=&x-2 &\quad \scriptsize\mid +2 \\[5pt] \pm\dfrac{1}{2}+2&=&x \\[5pt] x&=& \pm\dfrac{1}{2}+2 \\[5pt] x_1&=& \dfrac{1}{2}+2 \\[5pt] &=& \dfrac{5}{2} \\[5pt] x&=& -\dfrac{1}{2}+2 \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2} \end{array}$
Überprüfe die Lösungen nun durch Einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{\sqrt{16x^2 - 64x + 64 }}&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;x_1=\dfrac{5}{2} \\[5pt] \dfrac{4}{\sqrt{16\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 - 64\cdot \dfrac{5}{2} + 64 }}&=& 2 \\[5pt] \dfrac{4}{\sqrt{100 - 160 + 64 }}&=& 2 \\[5pt] \dfrac{4}{\sqrt{4 }}&=& 2 \\[5pt] 2&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{\sqrt{16x^2 - 64x + 64 }}&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;x_1=\dfrac{5}{2} \\[5pt] \dfrac{4}{\sqrt{16\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 - 64\cdot \dfrac{3}{2} + 64 }}&=& 2 \\[5pt] \dfrac{4}{\sqrt{36 - 96 + 64 }}&=& 2 \\[5pt] \dfrac{4}{\sqrt{4 }}&=& 2 \\[5pt] 2&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $ \mathbb{L} = \left\{\dfrac{3}{2},\frac{5}{2}\right\}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sqrt{x-3}}{6x} &=&\dfrac{1}{\sqrt{x-3}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{x-3}\cdot 6x \\[5pt] \sqrt{x-3}^2&=& 6x &\quad \scriptsize \\[5pt] x-3&=& 6x&\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] -3&=& 5x &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] \frac{-3}{5}&=&x &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Überprüfe deine Lösung durch Einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sqrt{x-3}}{6x} &=&\dfrac{1}{\sqrt{x-3}} &\quad \scriptsize \mid\;x=\frac{-3}{5} \\[5pt] \dfrac{\sqrt{\frac{-3}{5}-3}}{6\cdot \left(\frac{-3}{5}\right)} &=&\dfrac{1}{\sqrt{\frac{-3}{5}-3}} \\[5pt] \dfrac{\sqrt{\frac{-18}{5}}}{6\cdot \left(\frac{-3}{5}\right)} &=&\dfrac{1}{\sqrt{\frac{-18}{5}}} \\[5pt] \end{array}$
Da du keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kannst, ist diese Lösung nicht gültig. Die Gleichung hat also keine Lösung und die Lösungsmenge ist damit die leere Menge.
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