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Wurzelgleichungen

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Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte, also meist das $x$, unter einer Wurzel steht. Zusätzlich kann die Unbekannte dabei aber auch außerhalb der Wurzel auftreten.
Um solch eine Gleichung zu lösen, können dir folgende Rechenregeln für Wurzeln und Potenzen helfen:
  • Quadrieren
  • Die Binomischen Formeln
  • Teilweises Wurzelziehen
  • Multiplizieren von Wurzeln
  • Dividieren von Wurzeln
Hilfreich kann es oft sein, zu Beginn erst einmal zu versuchen, die Wurzel über dem $x$ durch Quadrieren wegzubekommen. Achte dabei darauf, dass du gegebenenfalls die binomischen Formeln benutzen musst.
Das Quadrieren ist allerdings keine Äquivalenzumformung, denn durch das Quadrieren wird alles positiv. Du bekommst also gegebenenfalls Lösungen dazu, die die ursprüngliche Gleichung nicht hatte. Verloren gehen allerdings keine Lösungen. Beachte, dass du am Ende immer die Einsetzprobe machst, deine Lösung(en) also in die ursprüngliche Gleichung einsetzt, denn so findest du heraus, welche Lösung(en) stimmen und welche durch das Quadrieren ungewollt dazugekommen sind.

Beispiel

$\sqrt{4x+1} = 3$ ist eine Wurzelgleichung. Du kannst sie lösen, indem du sie zunächst quadrierst:
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4x+1}&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 4x+1&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 4x&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
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