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Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

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Zwei Dreiecke heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Das bedeutet, dass du sie durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung ineinander überführen kannst. Wenn du die Dreiecke also ausschneiden würdest und dann deckungsgleich aufeinander legen kannst, sind sie kongruent. Mathematisch kann man Kongruenz von Dreiecken mit den vier Ähnlichkeitssätzen sss, wsw, Ssw und sws zeigen.
Ähnlichkeitssatz sss
Wenn zwei Dreiecke paarweise in den Längen von drei Seiten übereinstimmen, sind sie kongruent. Die Abkürzung sss steht für Seite - Seite - Seite. Wenn du also drei Seiten eines Dreiecks kennst, ist es eindeutig konstruierbar.
Ähnlichkeitssatz wsw
Wenn zwei Dreiecke paarweise in der Länge von einer Seite und den Größen der zwei anliegenden Winkel übereinstimmen, sind sie kongruent. Die Abkürzung wsw steht für Winkel - Seite - Winkel. Wenn du eine Seite und die beiden anliegenden Winkel eines Dreiecks kennst, ist es eindeutig konstruierbar.
Ähnlichkeitssatz Ssw
Wenn zwei Dreiecke paarweise in der Länge von zwei Seiten und der Größe des Winkels, welcher der längeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen, sind sie kongruent. Die Abkürzung Ssw steht für Seite - Seite - Winkel. Das erste „S“ ist groß geschrieben, da es für die längere Seite steht. Wenn du zwei Seiten und den der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel eines Dreiecks kennst, ist es eindeutig konstruierbar.
Ähnlichkeitssatz sws
Wenn zwei Dreiecke paarweise in den Längen von zwei Seiten und der Größe des von den beiden Seiten eingeschlossenen Winkels übereinstimmen, sind sie kongruent. Die Abkürzung sws steht für Seite - Winkel - Seite. Wenn du also zwei Seiten und den davon eingeschlossenen Winkel eines Dreiecks kennst, ist es eindeutig konstruierbar.
#zentrischestreckung#ähnlichkeitssatz
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne die Dreiecke $ABC$, $DEF$ und $GHI$ mit den folgenden Angaben in ein geeignetes Koordinatensystem.
  • $A\,(0\mid0),\, B\,(2\mid0),\,C\,(2\mid1)$
  • $D\,(3\mid0),\, E\,(5\mid0),\,F\,(3\mid1)$
  • $G\,(6\mid0),\, H\,(10\mid0),\,I\,(10\mid2)$
b)
Führe eine zentrische Streckung am Dreieck $GHI$ durch. Das Streckzentrum soll der Punkt $G$ sein. Der Streckfaktor beträgt $k=\dfrac{1}{2}$. Spiegle das Dreieck $DEF$ an der Spiegelachse, die parallel zur $y$-Achse ist und durch den Punkt $P\,(4\mid0)$ verläuft.
c)
Betrachte nun das Dreieck $ABC$, das gespiegelte Dreieck $D'E'F'$ und das gestreckte Dreieck $G'H'I'$. Was fällt dir auf?
#ähnlichkeitssatz#ähnlichkeit

Aufgabe 1

Betrachte die Angaben der folgenden Dreiecke. Welche der Dreiecke sind sich ähnlich? Gib jeweils den passenden Ähnlichkeitssatz an.
  • $D_1:\,a=3\,\text{cm},\,b=6\,\text{cm},\,c=8\,\text{cm}$
  • $D_2:\,a=6\,\text{cm},\,b=5\,\text{cm},\,\gamma=60°$
  • $D_3:\,a=1,5\,\text{cm},\,b=3\,\text{cm},\,c=4\,\text{cm}$
  • $D_4:\,b=7,5\,\text{cm},\,c=7\,\text{cm},\,\beta=30°$
  • $D_5:\,a=4\,\text{cm},\,b=2\,\text{cm},\,\gamma=60°$
  • $D_6:\,a=5\,\text{cm},\,b=10\,\text{cm},\,c=13,3\,\text{cm}$
  • $D_7:\,a=5\,\text{cm},\,b=5\,\text{cm},\,\beta=30°$
  • $D_8:\,a=4\,\text{cm},\,b=3,3\,\text{cm},\,\gamma=60°$
  • $D_{9}:\,\alpha=60°,\,\beta=105°,\,\gamma=15°$
  • $D_{10}:\,b=8\,\text{cm},\,c=8\,\text{cm},\,\gamma=30°$
  • $D_{11}:\,\alpha=15°,\,\beta=60°,\,\gamma=105°$
#ähnlichkeitssatz#ähnlichkeit

Aufgabe 2

Zeichne die Dreiecke mit den folgenden Angaben. Überprüfe, welche der Dreiecke ähnlich sind.
Tipp: Verlasse dich nicht auf die Angaben in der Aufgabenstellung. Miss zusätzlich noch andere Streckenlängen und Winkel.
  • $D_1:\,a=5\,\text{cm},\,b=6\,\text{cm},\,c=7\,\text{cm}$
  • $D_2:\,\alpha=50°,\,\beta=60°,\,\gamma=70°$
  • $D_3:\,b=10\,\text{cm},\,c=9,2\,\text{cm},\,\gamma=60°$
  • $D_4:\,c=6\,\text{cm},\,\alpha=57°,\,\beta=44°$
#ähnlichkeitssatz#ähnlichkeit

Aufgabe 3

Überprüfe, ob die folgenden Dreiecke ähnlich sind. Wenn nicht, dann ändere eine Angaben so, dass sie ähnlich werden.
a)
$D_1:\,a=5\,\text{cm},\,b=3\,\text{cm},\,\alpha=30°$ und $D_2:\,a=10\,\text{cm},\,c=6\,\text{cm},\,\gamma=30°$
b)
$D_3:\,a=7\,\text{cm},\,b=6\,\text{cm},\,c=9\,\text{cm}$ und $D_4:\,a=9\,\text{cm},\,b=13\,\text{cm},\,c=10,5\,\text{cm}$
c)
$D_5:\,a=6\,\text{cm},\,\beta=60°,\,\gamma=60°$ und $D_6:\,c=6\,\text{cm},\,\alpha=60°,\,\gamma=60°$
#ähnlichkeit#ähnlichkeitssatz

Aufgabe 4

Die Dreiecke in den Abbildungen sind jeweils ähnlich. Berechne die fehlenden Streckenlängen und Winkel der Dreiecke.
a)
b)
#ähnlichkeitssatz#ähnlichkeit

Aufgabe 5

Neben den Ähnlichkeitssätzen gibt es noch die Kongruenzsätze. Zwei Figuren sind kongruent, wenn du die eine Figur durch drehen, verschieben und spiegeln auf der anderen abbilden kannst. Damit ähnelt die Kongruenz der Ähnlichkeit sehr. Der Unterschied zwischen beiden ist, dass du bei der Ähnlichkeit die Figur auch zentrisch Strecken darfst, während du das bei der Kongruenz nicht darfst.
Du kennst die Ähnlichkeitssätze $sss$, $www$, $sws$ und $ssw$. Diese Sätze kannst du fast genauso für die Kongruenzsätze verwenden. Schauen wir uns z.B. den Ähnlichkeitssatz $sss$ an. Dieser lautet: „Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die Verhältnisse ihrer Seiten zueinander gleich sind.“ Der dazugehörige Kongruenzsatz $sss$ würde lauten: „Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen ihrer Seiten übereinstimmen.“
a)
Du kannst auf diese Weise alle bis auf einen Ähnlichkeitssatz in einen entsprechenden Kongruenzsatz umwandeln. Welchen Ähnlichkeitssatz kannst du nicht in einen Kongruenzsatz umwandeln?
Tipp: Versuche mit den jeweiligen Angaben der Sätze kongruente Dreiecke zu konstruieren. Kannst du mit den Angaben Dreiecke konstruieren, für die die Angaben zwar gelten, aber die eindeutig nicht kongruent sind?
b)
Wie kannst du unterscheiden, ob ähnliche Dreiecke auch kongruent sind oder nicht?
c)
Schau dir die Dreiecke aus der Einführungsaufgabe, sowie den Aufgaben 1-4 an. Welche Dreiecke sind kongruent?
#kongruenz#ähnlichkeitssatz#kongruenzsätze#ähnlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne die Dreiecke in ein Koordinatensystem. Wähle die Längeneinheit dabei so, dass du gut zeichnen kannst, deine Zeichnung aber nicht zu groß wird. Üblicherweise ist $1\,LE=1\,\text{cm}$ eine gute Wahl.
Deine fertige Zeichnung sollte so aussehen:
b)
Spiegel das Dreieck $DEF$, indem du zuerst die Spiegelachse einzeichnest. Sie verläuft parallel zur $y$-Achse, ist also ein vertikaler Strich durch den Punkt $P\,(4\mid0)$. Anschließend misst du den kürzesten Abstand von jedem Punkt zur Spiegelachse und misst noch einmal die selbe Strecke auf der anderen Seite der Spiegelachse ab. Dort liegt der gespiegelte Punkt.
Strecke das Dreieck $GHI$ am Punkt $G$ mit dem Streckfaktor $k=\dfrac{1}{2}$.
Deine Zeichnung sollte nun so aussehen:
c)
Betrachte nun nur das Dreieck $ABC$ und das gespiegelte und das gestreckte Dreieck.
Dir fällt auf, dass alle drei Dreiecke identisch sind. Wenn du sie übereinander schieben würdest, dann wären sie vollkommen Deckungsgleich. Du warst also in der Lage durch spiegeln oder zentrische Streckung aus zwei Dreiecken Dreicke zu konstruieren, die deckungsgleich sind. Du kannst sagen, dass das Dreieck $ABC$, das Dreieck $DEF$ und das Dreieck $GHI$ ähnlich sind.
Ähnlichkeit ist ein Begriff, den du in der Mathematik verwendest, den du aber wahrscheinlich aus dem Alltag kennst. Im Alltag würdest du wahrscheinlich zwei Hunde der selben Rasse als ähnlich bezeichnen, auch wenn ihr Fell z.B. eine leicht unterschiedliche Musterung hat. In der Mathematik bezeichnest du zwei Figuren als ähnlich, wenn du sie durch verschieben, spiegeln, drehen und zentrische Streckungen exakt übereinander legen kannst.
Speziell für Dreiecke gibt es in der Mathematik die Ähnlichkeitssätze. Wenn du drei bestimmte Angaben über jeweils zwei Dreiecke gegeben hast, dann kannst du sagen, ob diese ähnlich sind.
Es gibt z.B. den Ähnlichkeitssatz $sss$. Dieser besagt, dass wenn die Seitenverhältnisse aller Seiten zueinander in einem Dreieck identisch sind, die Dreiecke sich ähneln. Wenn du also z.B. ein Dreieck mit den Seitenlängen $2\,\text{cm}:3\,\text{cm}:2\,\text{cm}$ und ein Dreieck mit den Seitenlängen $4\,\text{cm}:6\,\text{cm}:4\,\text{cm}$ gegeben hast, dann kannst du erkennen, dass die Verhältnisse der Seiten zueinander identisch sind. Die Dreiecke sind also ähnlich.
#ähnlichkeit#ähnlichkeitssatz

Aufgabe 1

Betrachte die $11$ Dreiecke und unterscheide zuerst, welche Angaben du gegeben hast und suche Dreiecke, bei denen du die gleichen Angaben hast. Vergleiche diese Angaben und entscheide, ob sie ähnlich sind.
Vom Dreieck $D_1$ kennst du die drei Seitenlängen. Von den Dreiecken $D_3$ und $D_6$ kennst du ebenfalls alle drei Seitenlängen. Du kannst die Verhältnisse der Seiten zueinander bestimmen, indem du jede Seitenlänge durch die Länge der kürzesten Seite teilst.
$D_1=\dfrac{3\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}:\dfrac{6\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}:\dfrac{8\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}=1:2:2,67$
$D_3=\dfrac{1,5\,\text{cm}}{1,5\,\text{cm}}:\dfrac{3\,\text{cm}}{1,5\,\text{cm}}:\dfrac{4\,\text{cm}}{1,5\,\text{cm}}=1:2:2,67$
$D_6=\dfrac{5\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}:\dfrac{10\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}:\dfrac{13,3\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}=1:2:2,67$
$D_1=1:2:2,67$
$D_3=1:2:2,67$
$D_6=1:2:2,67$
Du siehst, dass alle Seitenverhältnisse identisch sind. Die Zuordnung der Seitenlängen spielt hier auch keine Rolle. Es ist also egal, ob bei einem Dreieck die Seite $a$ die kürzeste ist und bei einem anderen die Seite $b$. Die Dreiecke sind nach dem Ähnlichkeitssatz $sss$ alle ähnlich.
Vom Dreieck $D_2$ kennst du zwei Seitenlängen und den Winkel zwischen den beiden Seiten. Das gilt genauso für die Dreiecke $D_5$ und $D_8$. Du kannst die Verhältnisse der Seiten zueinander bestimmen, indem du die Länge der längere Seite durch die Länge der kürzeren Seite teilst. Außerdem solltest du die Größe des Winkels vergleichen. Die Dreiecke können nur ähnlich sein, wenn die Größe des Winkels identisch ist.
$D_2=\dfrac{6\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}=1,2$
$D_5=\dfrac{4\,\text{cm}}{2\,\text{cm}}=2$
$D_8=\dfrac{4\,\text{cm}}{3,3\,\text{cm}}=1,2$
Die Winkel bei allen drei Dreiecken sind identisch. Jedoch stimmt nur das Seitenverhältnis bei den Dreiecken $D_2$ und $D_8$ überein. Diese sind sich ähnlich. $D_5$ ist diesen Dreiecken nicht ähnlich. Diese Ähnlichkeit kannst du mit dem Ähnlichkeitssatz $sws$ begründen.
Vom Dreieck $D_4$ kennst du zwei Seitenlängen und einen Winkel der an einer der Seiten liegt. Das gilt genauso für die Dreiecke $D_7$ und $D_{10}$. Du kannst die Verhältnisse der Seiten zueinander bestimmen, indem du die Länge der längere Seite durch die Länge der kürzeren Seite teilst. Außerdem solltest du die Größe des Winkels vergleichen. Die Dreiecke können nur ähnlich sein, wenn die Größe des Winkels identisch ist.
$D_4=\dfrac{7,5\,\text{cm}}{7\,\text{cm}}=1,07$
$D_7=\dfrac{5\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}=1$
$D_{10}=\dfrac{8\,\text{cm}}{8\,\text{cm}}=1$
Die Winkel bei allen drei Dreiecken sind identisch. Jedoch stimmt nur das Seitenverhältnis bei den Dreiecken $D_7$ und $D_{10}$ überein. Diese sind sich ähnlich. $D_4$ ist diesen Dreiecken nicht ähnlich. Diese Ähnlichkeit kannst du mit dem Ähnlichkeitssatz $ssw$ begründen.
Vom Dreieck $D_9$ kennst du die Größe aller drei Winkel. Das gilt genauso für das Dreieck $D_{11}$. Vergleiche die Größe der Winkel. Wenn du für jeden Winkel in einem Dreieck einen Winkel im anderen Dreieck findest, der genauso groß ist, dann sind sich die Dreiecke nach dem Ähnlichkeitssatz $www$ ähnlich. Die Zuordnung der Winkel ist hier egal. Es ist also kein Problem, wenn in einem Dreieck der Winkel $\alpha$ die gleiche Größe hat wie der Winkel $\gamma$ in einem anderen Dreieck.
Du findest für jeden Winkel in einem Dreieck einen Winkel im anderen Dreieck, der genauso groß ist. Die Dreiecke $D_9$ und $D_{11}$ sind sich ähnlich.
#ähnlichkeit#ähnlichkeitssatz

Aufgabe 2

Zuerst musst du alle vier Dreiecke zeichnen. Für Dreieck $D_1$ beginnst du mit der Grundseite $c$. Ziehe anschließend um jedes Ende der Strecke einen Kreis mit dem Zirkel, der den selben Radius hat, wie die dort liegende Dreiecksseite lang sein soll. Dort wo sich die beiden Kreise treffen, liegt der Punkt $C$. Zeichne von der Seite $c$ aus nun die Seiten $a$ und $b$ zu diesem Punkt hin.
Für das Dreieck $D_2$ beginnst du mit einer beliebig langen Grundseite $c$. Von dort aus misst du die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ ab und zeichnest lange Hilfsgeraden ein. Dort wo sich die beiden Strecken treffen liegt der Punkt $C$.
Bei Dreieck $D_3$ zeichnest du zuerst die Seite $b$. Von dort aus zeichnest du eine lange Strecke im Winkel $\gamma$ ein. Um das andere Ende von $b$ ziehst du einen Kreis mit dem Radius $c$. Dort wo sich der Kreis und die Strecke treffen liegt ein Punkt des Dreiecks.
Zuletzt musst du für das Dreieck $D_4$ die Grundseite $c$ einzeichnen. An den Enden der Seite zeichnest du in den beiden gegebenen Winkeln lange Strecken ein. Dort wo sich die Strecken treffen liegt der Punkt $C$.
Die Dreiecke sehen so aus: Nun kannst du überprüfen, welche Dreiecke sich ähneln. Dazu solltest du dir ein Geodreieck nehmen und die Seitenlängen, sowie die Winkelgrößen der Dreiecke bestimmen. Anschließend kannst du die Seitenverhältnisse bestimmen, indem du jede Seitenlänge durch die Länge der kürzesten Seite teilst.
Wenn du die Angaben der Dreiecke nun miteinander vergleichst, dann wirst du feststellen, dass die Dreicke $D_1$ und $D_4$, sowie die Dreiecke $D_2$ und $D_3$ ähnlich sind.
#ähnlichkeit#ähnlichkeitssatz

Aufgabe 3

Mache dir klar, welche Angaben über die Dreiecke du jeweils gegeben hast und welchen Ähnlichkeitssatz du hier anwenden kannst. Anschließend überprüfe, ob die gegebenen Winkel zueinander passen bzw. die Seitenverhältnisse stimmen.
a)
Du hast hier jeweils die Länge von zwei Dreiecksseiten, sowie die Größe eines Winkels gegeben, der an einer der Seiten liegt. Damit benötigst du den Ähnlichkeitssatz $ssw$. Überprüfe zuerst, ob die gegebenen Winkel identisch sind. Das sind sie. Anschließend berechne die Seitenverhältnisse der beiden Dreiecke, indem du die Länge der längeren Seite durch die Länge der kürzeren Seite teilst.
$D_1:\,\dfrac{5\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}=1,67$
$D_2:\,\dfrac{10\,\text{cm}}{6\,\text{cm}}=1,67$
Die Seitenverhältnisse und die Winkel sind identisch. Die Dreiecke sind ähnlich.
b)
Du hast hier die Länge aller drei Dreiecksseiten gegeben. Berechne jeweils die Seitenverhältnisse, indem du die Länge aller Dreiecksseiten durch die Länge der kürzesten Dreiecksseite teilst. Vergleiche anschließend die Ergebnisse. Sind sie identisch, dann sind die Dreiecke nach dem Ähnlichkeitssatz $sss$ ähnlich.
$D_3=\dfrac{7\,\text{cm}}{6\,\text{cm}}:\dfrac{6\,\text{cm}}{6\,\text{cm}}:\dfrac{9\,\text{cm}}{6\,\text{cm}}=1,17:1:1,5$
$D_4=\dfrac{9\,\text{cm}}{9\,\text{cm}}:\dfrac{13\,\text{cm}}{9\,\text{cm}}:\dfrac{10,5\,\text{cm}}{9\,\text{cm}}=1:1,44:1,17$
$ D_3=1,17:1:1,5 $
$D_4=1:1,44:1,17$
Die Verhältnisse stimmen nicht ganz. Du musst entweder die Länge der $13\,\text{cm}$-langen Seite von $D_4$ oder der $9\,\text{cm}$-langen Seite von $D_3$ ändern, sodass sie dem Verhältnis des jeweils anderen Dreiecks entspricht.
Wenn du z.B. die $13\,\text{cm}$-lange Seite veränderst, dann muss die Seite $1,5$-mal so lang wie die kürzeste Seite des Dreiecks sein. Die kürzeste Seite ist $9\,\text{cm}$ lang. Demnach müsste diese Seite $9\,\text{cm}\cdot1,5=13,5\,\text{cm}$ lang sein, damit die Dreiecke ähnlich sind.
c)
Du hast hier die Länge einer Dreiecksseite und die Größe der Winkel, die an dieser Seite liegen, gegeben. Vergleiche die Größe beider Winkel und die Länge der Seite, ob diese identisch sind. Wenn diese identisch sind, dann sind die Dreicke nach dem Ähnlichkeitssatz $wsw$ ähnlich.
Die Größen der Winkel und die Länge der Seiten sind identisch. Demnach sind die Dreiecke ähnlich.
#ähnlichkeit#ähnlichkeitssatz

Aufgabe 4

Du weißt hier bereits, dass die Dreiecke ähnlich sind. Demnach kannst du Anhand der Längen der Seiten der Dreiecke berechnen, um welchen Faktor die Seiten eines Dreiecks größer sind als die eines anderen. Wenn z.B. die Grundseite eines Dreiecks $5\,\text{cm}$ lang ist und die Grundseite eines ähnlichen Dreiecks $2,5\,\text{cm}$, dann kannst du sagen, dass alle Seiten des ähnlichen Dreiecks um den Faktor $\dfrac{2,5\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}=\dfrac{1}{2}$ kürzer sind als die Seiten des anderen Dreiecks.
a)
Suche die Seiten der Dreiecke, von denen du bei beiden Dreiecken die Länge kennst und berechne anschließend den Faktor, um den die Seiten eines Dreiecks größer sind als die des anderen.
Von beiden Dreiecken kennst du die Länge der Seite $b$. Das ist die Seite, die von der Grundseite aus betrachtet links liegt. Sie ist im rechten Dreieck $6\,\text{cm}$ lang und im linken Dreiecke $3\,\text{cm}$. Der Faktor des Seitenverhältnisses ist demnach $\dfrac{6\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}=2$. Mit diesem Faktor kannst du nun die Längen der fehlenden Seiten berechnen. Achte dabei darauf, dass du den Faktor richtig verrechnest. Mache dir klar, welches das größere und welches das kleinere Dreieck ist.
Die Seite $x$ ist die Grundseite des kleineren Dreiecks. Demnach musst du die Länge der Grundseite des größeren Dreiecks durch den Faktor $2$ teilen, um die Länge von $x$ zu erhalten.
$x=\dfrac{10\,\text{cm}}{2}=5\,\text{m}$
Die Seite $x$ ist $5\,\text{cm}$ lang.
Die Seite $y$ ist eine Kathete des größeren Dreiecks. Deshalb musst du die Länge der entsprechenden Kathetet des kleineren Dreiecks mit dem Faktor $2$ multiplizieren.
$y=4\,\text{cm}\cdot2=8\,\text{cm}$
Die Seite $y$ ist $8\,\text{cm}$ lang.
b)
Gehe bei dieser Aufgabe ähnlich wie bei Aufgabenteil a) vor. Suche zuerst die Seiten der beiden Dreiecke, die du jeweils gegeben hast.
Du weißt, dass bei beiden Dreiecken die Katheten, die von der Grundseite aus rechts liegen, jeweils $5\,\text{cm}$ lang sind. Die Dreiecke sind also nicht nur ähnlich, sondern identisch. Eine Seite in einem Dreieck ist genauso lange, wie die entsprechende Seite des anderen Dreiecks. Demnach kannst du die Ergebnisse aus der Abbildung einfach ablesen.
Die Seite $x$ ist $6\,\text{cm}$ lang.
Die Seite $y$ ist $5\,\text{cm}$ lang.
Die Seite $z$ ist $4\,\text{cm}$ lang.
#ähnlichkeit#ähnlichkeitssatz

Aufgabe 5

a)
Versuche, mit den jeweiligen Angaben der Sätze, kongruente Dreiecke zu konstruieren. Kannst du mit den Angaben Dreiecke konstruieren, für die die Angaben zwar gelten, aber die eindeutig nicht kongruent sind?
Es gibt die Ähnlichkeitssätze $www$, $sss$, $sws$ und $ssw$.
Wenn du versuchst ein Dreieck nach den Kongruenzsätzen $sss$, $sws$ und $ssw$ zu konstruieren, dann kannst du damit immer nur ein einziges Dreieck konstruieren, wenn du die Angaben beibehältst. Es gibt also immer nur eine eindeutige Möglichkeit das Dreieck zu zeichnen. Wenn du jedoch versuchst ein Dreieck nur mit der Angabe der drei Winkel zu konstruieren, dann hast du ein Problem: Die Längen der Seiten sind variabel. Du hast keine eindeutige Angabe, wie lang eine Seite sein muss. Du kannst die erste Länge einer Seite also frei wählen. Die Länge der anderen Seiten wird dann durch die Winkel festgelegt.
Deshalb kannst du mit der Angabe von drei Winkeln viele verschieden große Dreiecke konstruieren. Sie sind zwar ähnlich, aber nicht kongruent. Der Kongruenzsatz $www$ existiert deshalb nicht.
b)
Überlege dir, wie du Dreiecke bei Kongruenz zur Deckung bringen darfst und wie du sie bei Ähnlichkeit zur Deckung bringen darfst. Wo liegt der Unterschied? Wie beeinflusst er die Dreiecke? Eventuell hilft es dir auch, wenn du auf den Wortlaut eines Ähnlichkeitssatzes und eines Kongruenzsatzes achtest.
Bei der Kongruenz darfst du die Dreiecke nicht durch zentrische Streckung zur Deckung bringen, d.h. du darfst die Dreiecke nicht vergrößern oder verkleinern. Demnach müssen für eine Kongruenz nicht die Seitenverhältnisse, sondern die Seitenlängen übereinstimmen.
Du kannst also unterscheiden, ob ähnliche Dreiecke auch Kongruent sind oder nicht, indem du überprüfst, ob die Seitenlängen identisch sind.
c)
Schaue dir die Dreiecke aus den bisherigen Aufgaben an und überprüfe mithilfe deiner Ergebnisse aus Aufgabenteil b), ob du kongruente Dreiecke findest.
Dreiecke sind nicht nur ähnlich sondern auch kongruent, wenn nicht nur die Seitenverhältnisse, sondern auch die Seitenlängen übereinstimmen.
Im Folgenden sind alle kongruenten Dreiecke aus den bisherigen Aufgaben aufgeführt:
  • Aus der Einführungsaufgabe sind das Dreieck $ABC$, das Dreieck $DEF$, das gespiegelte Dreieck $D'E'F'$ und das gestreckte Dreieck $G'H'I'$ kongruent.
  • Aus Aufgabe 3 sind die Dreiecke $D_5$ und $D_6$ aus Aufgabenteil c) kongruent.
  • Aus Aufgabe 4 sind die beiden Dreiecke aus Aufgabenteil b) kongruent.
#ähnlichkeitssatz#kongruenz#kongruenzsätze#ähnlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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