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Eigenschaften

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Durch eine zentrische Streckung wird eine Figur um eine Streckfaktor $k$ vergrößert oder verkleinert. Die zentrische Streckung hat folgende Eigenschaften:
  • Jede Bildstrecke ist um den Faktor $k$ größer oder kleiner als die Originalstrecke.
  • Die Fläche der Figur des Bildes hat einen $m^{2}$-fachen Flächeninhalt im Vergleich zur Originalfigur.
  • Das Volumen des Körpers des Bildes hat ein $m^{3}$-faches Volumen im Vergleich zum Originalkörper.
  • Eine zentrische Streckung ist winkeltreu.
  • Das Zentrum der zentrischen Streckung bleibt bei der Streckung unverändert.
  • Zeichnest du eine Gerade durch das Streckzentrum und den Originalpunkt, so liegt jeder Bildpunkt auf dieser Geraden
  • Das Bild einer Gerade ist eine Parallele zu der Original-Geraden.
#zentrischestreckung
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne ein Koordinatensystem in einem $x$-Bereich von $0$ bis $4$ und einem $y$-Bereich von $0$ bis $6$. Eine Längeneinheit beträgt $1\,\text{cm}$. Zeichne dort das Rechteckt $ABCD$ mit $A\,(1\mid1)$, $B\,(2\mid1)$, $C\,(1\mid3)$ und $D\,(2\mid3)$ ein.
b)
Führe eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum $Z\,(0\mid0)$ und dem Streckfaktor $k=2$ durch.
c)
Bestimme das Verhältnis der langen zur kurzen Seite beim Rechteck und dem gestreckten Rechteck. Fällt dir etwas auf? In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der beiden Rechtecke zueinander? Kannst du die Vergrößerung des Flächeninhalts allgemein angeben?

Aufgabe 1

Zeichne die gegebenen Punkte, Figuren und Geraden in ein Koordinatensystem und führe eine zentrische Streckung durch. Überprüfe anschließend die angegebenen Aussagen.
a)
Eine Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\,(2\mid0)$ und $B\,(2\mid3)$. Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte, die du durch eine zentrische Streckung der Punkte $A$ und $B$ am Streckzentrum $Z\,(0\mid1,5)$ mit dem Streckfaktor $k=1,5$ erhältst.
Überprüfe, ob die beiden Geraden parallel sind.
b)
Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A\,(1\mid1)$ und $B\,(2\mid2)$. Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $C\,(1\mid2)$ und $D\,(2\mid1)$.
Überprüfe, ob sich an den Schnittwinkeln der Geraden etwas ändert, wenn du die Punkte am Streckzentrum $Z\,(0\mid0)$ mit dem Streckfaktor $k=2$ streckst.
c)
Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt $M\,(3\mid3)$, dem Radius $r=2\,LE$ und dem Kreisbahnpunkt $P\,(3\mid1)$. Zeichne einen zweiten Kreis um den Mittelpunkt $M'$ den du erhältst, wenn du den Punkt $M$ am Streckzentrum $Z\,(0\mid0)$ mit dem Streckfaktor $k=3$ streckst. Der Radius des Kreises ist der Abstand von $M'$ zum Punkt $P'$, den du durch eine zentrische Streckung unter den gleichen Bedingungen erhältst.
Überprüfe, in welchem Verhältnis die Längen der Radien der beiden Kreise zueinander stehen.

Aufgabe 2

a)
Du hast ein Rechteck mit einer Breite von $a=3\,\text{cm}$ und einer Höhe von $b=5\,\text{cm}$ gegeben. Berechne den Flächeninhalt, sowie die Seitenlängen eines Rechtecks, das durch zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $k=0,5$ aus dem ersten Rechteck entsteht.
b)
Du hast einen Kreis mit dem Radius $r=4\,\text{cm}$ gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Kreises. Wie groß ist der Flächeninhalt und der Radius eines Kreises, der durch zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $k=-1$ aus dem ersten Kreis entsteht?

Aufgabe 3

Du hast eine Strecke mit der Länge $7\,\text{cm}$ gegeben. Versuche durch eine zentrische Streckung den Punkt $T$ zu finden, der die Strecke im gewünschten Verhältnis teilt.
Tipp: Zeichne eine Hilfsstrecke, die du im gewünschten Verhältnis teilst.
a)
Der Punkt $T$ teilt die Strecke im Verhältnis $1:2$.
b)
Der Punkt $T$ teilt die Strecke im Verhältnis $5:6$.

Aufgabe 4

Zentrische Streckung: Eigenschaften
Abb. 1: Wenn du deine Hände richtig hältst, dann kannst du mit ihnen Schattenfiguren formen.
Zentrische Streckung: Eigenschaften
Abb. 1: Wenn du deine Hände richtig hältst, dann kannst du mit ihnen Schattenfiguren formen.
Der Schatten des Holzscheits ist $0,75\,\text{m}$ hoch. Der Schatten von Sandra ist $4,1\,\text{m}$ hoch.
Wie groß ist Sandra?

Aufgabe 5

Zentrische Streckung: Eigenschaften
Abb. 2: Mit solchen Geräten wurden Filme früher im Kino auf die Leinwand projeziert.
Zentrische Streckung: Eigenschaften
Abb. 2: Mit solchen Geräten wurden Filme früher im Kino auf die Leinwand projeziert.
Nach der Vorführung erzählt der Museumsmitarbeiter, dass die Leinwand $8,82\,\text{m}$ und $6,05\,\text{m}$ groß sei. Man würde $63.504$ einzelne Bilder von der Filmrolle benötigen, um die komplette Leinwand abzudecken.
a)
Bestimme die Länge und Breite eines einzelnen Bilds auf der Filmrolle.
Lukas ist erstaun, wie klein die Bilder der Filmrolle sind. Er schau auf sein Smartphone, das eine Bildschirmdiagonale von $5,1$ Zoll hat, und fragt sich, wieviel kleiner die Diagonale eines Filmrollenbilds ist.
b)
Um welchen Faktor ist die Diagonale eines Filmrollenbilds kleiner als die Bildschirmdiagonale von Lukas Smartphone. Ein Zoll entspricht $2,54\,\text{cm}$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/Oxford_-_Ultimate_Palace_Cinema_-_0094.jpg – Jorge Royan CC BY-SA 3.0.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne das geforderte Koordinatensystem und trage die Punkte ein. Der erste Wert gibt dabei immer die $x$-Koordinate an und der zweite Wert die $y$-Koordinate.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
b)
Trage zuerst das Streckzentrum $Z$ in deine Zeichnung ein und führe anschließend die zentrische Streckung durch, indem du den Abstand von $Z$ zu einem Punkt bestimmst, diese Länge mit dem Streckfaktor $k$ multiplizierst und diese Länge von $Z$ aus durch den Punkt abmisst. Dort wo die Strecke endet liegt der gestreckte Punkt.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
c)
Miss die Längen der Rechtecksseiten in deiner Zeichnung ab und bestimme das Verhältnis, indem du die Länge der langen Seite durch die Länge der kurzen Seite teilst. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du mit folgender Formel:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
Dabei sind $a$ und $b$ die Längen der Seiten des Rechtecks. Die kurze Seite des Rechtecks ist $1\,\text{cm}$ lang und die lange Seite ist $2\,\text{cm}$ lang. Dadurch gibt sich ein Seitenverhältnis von $\dfrac{2\,\text{cm}}{1\,\text{cm}}=2$.
Die kurze Seite des gestreckten Rechteckst ist $2\,\text{cm}$ lang und die lange Seite ist $4\,\text{cm}$ lang. Dadurch ergibt sich ein Seitenverhältnis von $\dfrac{4\,\text{cm}}{2\,\text{cm}}=2$.
Es fällt auf, dass die Seitenverhältnisse trotz der zentrischen Streckung gleich bleiben. Die Länge der Seiten des gestreckten Rechtecks sind um den Streckfaktor $k$ länger als die Seiten des Rechtecks. Du kannst die Länge einer Strecke vor bzw. nach einer zentrischen Streckung berechnen, wenn du den Streckfaktor $k$ kennst.
Berechne nun die Flächeninhalte der beiden Rechtecke.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_R&=&1\,\text{cm}\cdot 2\,\text{cm} \\[5pt] A_R&=&2\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{R'}&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_{R'}&=&2\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] A_{R'}&=&8\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von $2\,\text{cm}^2$, während das gestreckte Rechteck einen Flächeninhalt von $8\,\text{cm}^2$ hat. Für das Verhältnis der Flächeninhalte ergibt sich demanch $\dfrac{8\,\text{cm}^2}{2\,\text{cm}^2}=4$.
Der Flächeninhalt des gestreckten Rechtecks ist um den Faktor $4$ größer. Das entspricht $k^2$. Du kannst den Flächeninhalt einer Figur vor bzw. nach dem Strecken berechnen, wenn du den Streckfaktor $k$ kennst.

Aufgabe 1

Zeichne die geforderten Punkte, Geraden und Figuren und führe die zentrische Streckung durch. Überprüfe anschließend die angegebenen Aussagen, indem du die nötigen Strecken und Winkel abmisst.
a)
Wenn du die Gerade in deiner Zeichnung mit dem Geodreieck vergleichst, dann siehst du, dass sie parallel sind.
Wenn du die Punkte einer Geraden, die nicht durch $Z$ verläuft, mit einer zentrischen Streckung verschiebst, dann ist die neu entstehende Gerade durch diese Punkte zur ursprünglichen Geraden parallel.
b)
Wenn du die Winkel an den Schnittpunkten der Geraden mit deinem Geodreieck nachmisst, dann siehst du, dass die Winkel an beiden Geradenkreuzungen gleich groß sind.
Da Geraden, die du durch zentrische Streckung verschiebst, zur ursprünglichen Geraden parallel sind, bleiben die Schnittwinkel zwischen diesen Geraden gleich groß.
c)
Wenn du die Radien der beiden Kreise misst, dann erhältst du für den ursprünglichen Kreis einen Radius von $2\,\text{cm}$, wenn deine Längeneinheiten $1\,\text{cm}$ betragen. Der Radius des gestreckten Kreises beträgt $6\,\text{cm}$. Wenn du das Verhältnis der Radien bildest, dann kommst du auf $\dfrac{6\,\text{cm}}{2\,\text{cm}}=3$. Das entspricht dem Streckfaktor $k$.
Wenn du einen Kreis durch zentrische Streckung verschiebst, dann verlängert sich der Radius des Kreises um den Streckfaktor $k$.

Aufgabe 2

Wende in dieser Aufgabe das Wissen an, dass du dir in der Einführungsaufgabe und Aufgabe 1 erarbeitet hast. Überlege dir, wie du die benötigten Flächeninhalte und Streckenlängen bestimmen kannst.
a)
Wenn du ein Rechteck durch zentrische Streckung verschiebst, dann erhältst du die Seitenlängen des Rechtecks, wenn du den Streckfaktor mit den Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks multiplizierst. Das Rechteck ist demnach $3\,\text{cm}\cdot0,5=1,5\,\text{cm}$ breit und $5\,\text{cm}\cdot0,5=2,5\,\text{cm}$ hoch. Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks mit der folgenden Formel:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
Dabei sind $a$ und $b$ die Längen der Rechtecksseiten.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_R&=&1,5\,\text{cm}\cdot 2,5\,\text{cm} \\[5pt] A_R&=&3,75\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des gestreckten Rechtecks beträgt $3,75\,\text{cm}^2$.
b)
Den Flächeninhalt eines Kreises kannst du mit folgender Formel berechnen:
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] A_K&=&\pi\cdot (4\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_K&=&\pi\cdot 16\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_K&\approx&50,27\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhalt des ursprünglichen Kreises beträgt $50,27\,\text{cm}^2$. Überlege dir, wie sich der Radius des Kreises verändert, wenn du den Kreis mit dem Streckungsfaktor $-1$ streckst.
Die Lage des Kreises verändert sich durch die zentrische Streckung. Der Radius des Kreises bleibt jedoch gleich, da der neue Radius des Kreises $r'=k\cdot r$ entspricht. Durch den Streckungsfaktor kommt nur ein negatives Vorzeichen davor. Da negative Streckenlängen jedoch nicht sinnvoll sind, kannst du das Minus weglassen.
Der Radius und der Flächeninhalt des gestreckten Kreises sind identisch zum Radius und dem Flächeninhalt des ursprünglichen Kreises.

Aufgabe 3

Zeichne zuerst deine Strecke. Anschließend kannst du darunter eine Strecke zeichnen, die du einfach in das gewünschte Verhältnis teilen kannst. Wenn du die Strecke im Verhältnis $1:2$ teilen sollst, dann empfiehlt es sich z.B eine $3\,\text{cm}$ lange Strecke zu zeichnen, bei der du nach $1\,\text{cm}$ eine Markierung anbringst.
Anschließend kannst du zwei Geraden durch die Eckpunkte der beiden Strecken ziehen und so ein Streckzentrum $Z$ bestimmen. Anschließend kannst du eine dritte Gerade durch das Streckzentrum und die Markierung zur Teilung ziehen. Wo diese Gerade die $7\,\text{cm}$ lange Strecke schneidet, liegt der Punkt $T$.
a)
Wenn du deine Strecke im Verhältnis $1:2$ teilen sollst, dann empfiehlt sich z.B. eine Strecke der Länge $3\,\text{cm}$.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
b)
Wenn du deine Strecke im Verhältnis $5:6$ teilen sollst, dann empfiehlt sich z.B. eine Strecke der Länge $5,5\,\text{cm}$. Nach $2,5\,\text{cm}$ kannst du deine Markierung anbringen.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:

Aufgabe 4

Herr Krüger macht sich hier zu nutze, dass die Größe der Schatten und der Gegenstände im gleichen Verhältnis stehen. Die Schatten von Sandra und dem Holzscheit entstehen quasi durch zentrische Streckung aus den beiden. Der Lehrer muss demnach nur noch den Streckfaktor $k$ bestimmen.
Die Länge $a$ einer Strecke, die durch zentrische Streckung entstanden ist, kannst du so berechnen: $a=k\cdot b$. Dabei ist $b$ die Länge der Strecke vor der zentrischen Streckung und $k$ der Streckfaktor.
Herr Krüger hat die Länge des Holzscheits mit $0,3\,\text{m}$ bestimmt und die Länge des Schattens des Holzscheits mit $0,75\,\text{m}$. Somit hat die Längen $a$ und $b$ und kann nun den Streckfaktor $k$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} a&=&k\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 0,75\,\text{m}&=&k\cdot 0,3\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;:0,3\,\text{m} \\[5pt] 2,5&=&k\\[5pt] \end{array}$
Der Streckfaktor durch das Lagerfeuer beträgt demnach $2,5$. Nun musst du nur noch den Streckfaktor und die Länge von Sandras Schatten in die Formel einsetzen und du kannst die Größe von Sandra bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} a&=&k\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 4,1\,\text{m}&=&2,5\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;:2,5 \\[5pt] 1,64\,\text{m}&=&b\\[5pt] \end{array}$
Sandra ist $1,64\,\text{m}$ hoch.

Aufgabe 5

a)
Wenn du $63.504$ Filmbilder benötigst, um den Flächeninhalt der Kinoleinwand zu erhalten, dann ist der Flächeninhalt der Leinwand um diesen Faktor größer. Du kannst annehmen, dass das Bild auf der Leinwand aus einer zentrischen Streckung des Filmbilds entstanden ist.
Du weißt allgemein, dass der Flächeninhalt einer Figur und einer Figur, die aus einer zentrischen Streckung dieser entstanden ist, in folgendem Verhältnis stehen: $A'=k^2\cdot A$. Dabei ist $A'$ der Flächeninhalt der gestreckten Figur und $A$ der Flächeninhalt der ursprünglichen Figur.
Du weißt nun, dass der Flächeninhalt der Leinwand $63.504$-mal so groß ist wie der des Filmbilds. Dieser Faktor entspricht also $k^2$. Demnach kannst du berechnen, dass $k=252$ ist.
Mit dem Streckfaktor und den Längen der Leinwandseiten kannst du nun die Länge der Filmbildseiten bestimmen. Sie hängen folgendermaßen zusammen $a=k\cdot b$. Dabei ist $a$ die Länge der gestreckten Seite und $b$ die Länge der ursprünglichen Seite. Berechne die Länge und Breite der Bilder der Filmrolle.
$\begin{array}[t]{rll} a&=&k\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 8,82\,\text{m}&=&252\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;:252 \\[5pt] 0,035\,\text{m}&=& b \\[5pt] 35\,\text{mm}&=& b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a&=&k\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 6,05\,\text{m}&=&252\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;:252 \\[5pt] 0,024\,\text{m}&=& b \\[5pt] 24\,\text{mm}&=& b \\[5pt] \end{array}$
Ein Bild auf der Filmrolle ist $35\,\text{mm}$ breit und $24\,\text{mm}$ hoch.
b)
Wenn du wissen willst, um welchen Faktor die Diagonale eines Filmbilds kleiner ist als die Bildschirmdiagonale von Lukas Smartphone, dann musst du die Länge der beiden Diagonalen berechnen und das Verhältnis daraus berechnen.
Du weißt bereits, dass die Bildschirmdiagonale von Lukas Smartphone $5,1$ Zoll beträgt und dass ein Zoll $2,54\,\text{cm}$ lang ist. Demnach ergibt sich für die Diagonale von Lukas Smartphone eine Länge von $5,1\cdot2,54\,\text{cm}=12,95\,\text{cm}$. Nun musst du noch die Länge der Diagonale eines Filmbilds berechnen. Dazu benötigst du den Satz des Pythagoras. Dieser lautet:
$c^2=a^2+b^2$
$c^2=a^2+b^2$
Der Satz gilt für rechtwinklige Dreiecke. Dabei ist $c$ die Länge der Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, und $a$ und $b$ die Länge der beiden Seiten, die den rechten Winkel einfassen.
Wenn du dir nun das Bild auf einer Filmrolle anschaust, dann ist in jeder Ecke des rechteckigen Bilds ein rechter Winkel. Die Diagonale des Bildes liegt direkt gegenüber eines rechten Winkels. Die Länge und Breite des Films fassen den rechten Winkel ein. Berechne nun die Länge der Diagonale eines Filmbilds. Rechne zuerst die Angaben aus Aufgabenteil a) in $\text{cm}$ um, bevor du rechnest. So kannst du die Längen später einfacher vergleichen.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] c^2&=&(3,5\,\text{cm})^2+(2,4\,\text{cm})^2\\[5pt] c^2&=&12,25\,\text{cm}^2+5,76\,\text{cm}^2\\[5pt] c^2&=&18,01\,\text{cm}^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] c&=&4,24\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$c=4,24\,\text{cm}$
Die Länge der Diagonale eines Filmbilds beträgt $4,24\,\text{cm}$. Berechne nun das Verhältnis der beiden Diagonalen, indem du die Länge der Diagonale des Smartphones durch die des Filmbilds teilst.
$\dfrac{12,95\,\text{cm}}{4,24\,\text{cm}}=3,05$
Die Diagonale eines Filmbilds ist um den Faktor $3,05$ kleiner als die Diagonale von Lukas Smartphone.
Bildnachweise [nach oben]
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