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Einbeschreibungsaufgaben

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Bei einer Einbeschreibungsaufgabe geht es darum, eine geometrische Figur in eine andere Figur einzuzeichnen. Dabei soll die einbeschriebene Figur häufig bestimmte Anforderungen erfüllen.
Mit folgender Vorgehensweise kannst du Figuren in andere Figuren einbeschreiben:
  1. Zeichne die Figur, in die eine andere Figur einbeschrieben werden soll.
  2. Zeichne eine Hilfsfigur, die möglichst viele der geforderten Bedingungen erfüllt, in die erste Figur ein.
  3. Bestimme den Streckfaktor, indem du einen Punkt der Hilfsfigur so streckst, dass er die fehlende Bedingung erfüllt.
  4. Strecke die restlichen Punkte der Hilfsfigur mit dem berechneten Streckfaktor.
#einsetzungsverfahren#zentrischestreckung
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne das Dreieck $ABC$ in ein geeignetes Koordinatensystem. Die Punkte des Dreiecks haben folgende Koordinaten:
  • $A\,(0\mid0)$
  • $B\,(4\mid0)$
  • $C\,(2\mid4)$
b)
Zeichne in dein Dreieck ein Rechteck $DEFG$. Das Rechteck soll eine Höhe von $1\,LE$ haben. Außerdem soll die Seite $\overline{DE}$ auf der Dreiecksseite $c$ liegen, während der Eckpunkt $G$ auf der Dreiecksseite $b$ liegt. Das Verhältnis der Seiten des Recheckts soll $\overline{DE}:\overline{DG}=1,5:1$ betragen.
c)
Führe eine zentrische Streckung durch. Das Streckzentrum ist $A$. Strecke das Rechteck $DEFG$ so, dass der Eckpunkt $F$ auf der Dreiecksseite $a$ liegt.
#rechteck#zentrischestreckung#einbeschreibungsaufgabe

Aufgabe 1

Zeichne das Dreieck $ABC$, sowie das Rechteck $DEFG$ mit dem geforderten Seitenverhältnis $\overline{DE}:\overline{DG}$. Dabei soll die Rechtecksseite $\overline{DE}$ auf der Dreiecksseite $c$ liegen, während die Eckpunkte $G$ bzw. $F$ auf den Dreiecksseiten $b$ bzw. $a$ liegen.
a)
$A\,(0\mid0)$, $B\,(5\mid0)$, $C\,(5\mid5)$ und das Seitenverhältnis soll $1:2$ sein.
b)
$A\,(0\mid0)$, $B\,(6\mid0)$, $C\,(2\mid4)$ und das Seitenverhältnis soll $2:1$ sein.
#einbeschreibungsaufgabe#rechteck#zentrischestreckung

Aufgabe 2

Zeichne einen Halbkreis mit dem Radius $r=5\,\text{cm}$. Zeichne die geforderte Figur in den Halbkreis, sodass alle Bedingungen erfüllt werden.
a)
Zeichne das gleichschenklige Dreieck $ABC$ ein. Die Dreiecksseite $c$ soll auf dem Durchmesser des Halbkreises liegen. Das Verhältnis von der Höhe zur Grundseite des Dreiecks soll $2:3$ sein. Der Eckpunkt $C$ soll auf der Kreisbahn über dem Mittelpunkt liegen. Das Dreieck soll so groß wie möglich sein.
b)
Zeichne das Rechteck $ABCD$ ein. Das Verhältnis von $\overline{AB}$ zu $\overline{AD}$ soll $3:1$ sein. Die Seite $\overline{AB}$ soll auf dem Durchmesser des Halbkreises liegen. Die Eckpunkte $C$ sollen auf der Kreisbahn liegen. Die Punkte $A$ und $D$ sollen über dem Mittelpunkt des Halbkreises liegen.
#einbeschreibungsaufgabe#zentrischestreckung#rechteck#gleichschenkligesdreieck

Aufgabe 3

Zeichne für jeden Aufgabenteil das Rechteck $ABCD$ mit $A\,(0\mid0)$, $B\,(6\mid0)$. $C\,(6\mid4)$ und $D\,(0\mid4)$. Zeichne dort die geforderte Figur ein. Konstruiere sie über zentrische Streckung aus einer Hilfsfigur. Bestimme den Streckfaktor, mit dem du die Hilfsfigur gestreckt hast.
a)
Zeichne in die Figur das Rechteck $EFGH$ ein. Das Verhältnis der Strecke $\overline{EF}$ zur Strecke $\overline{EH}$ soll $1:2$ sein. Die Strecke $\overline{EF}$ soll auf der Strecke $\overline{AB}$ liegen und die Strecke $\overline{EH}$ soll auf der Strecke $\overline{AD}$ liegen. Das Rechteck soll so groß wie möglich sein.
b)
Zeichne in die Figur das gleichseitige Dreicke $EFG$ ein. Die Strecke $\overline{EF}$ soll auf der Strecke $\overline{AB}$ liegen und der Eckpunkt $C$ soll auf der Strecke $\overline{CD}$ liegen.
#einbeschreibungsaufgabe#rechteck#gleichseitigesdreieck#zentrischestreckung

Aufgabe 4

Die Stadt Karlsruhe plant eine kleine Parkanlage mit ein paar Blumenbeeten zu verschönern. Der Park erstreckt sich über eine quadratische Fläche von $50\,\text{m} \times50\,\text{m}$. Diagonal durch den Park verläuft ein Weg. In der Mitte des Parks ist ein runder Platz mit einem Springbrunnen. Der Platz hat einen Durchmesser von $8\,\text{m}$.
a)
Zeichne die Parkanlage in ein geeignetes Koordinatensystem.
Die Stadt plant auf jeder Seite des Weges ein möglichst großes, quadratisches Blumenbeet anzulegen. Eine Ecke des Blumenbeets soll in einer Ecke des Parks liegen. Kein Beet darf sich mit dem Weg oder dem Platz mit dem Springbrunnen überschneiden.
b)
Zeichne die beiden Beete in deine Zeichnung aus Aufgabenteil a) ein.
Darüber hinaus sollen auf jeder Seite der beiden Beete noch ein weiteres, rechteckiges Blumenbeet gepflanzt werden. Die kürzere Seite des Beets soll dabei an einer Seite des quadratischen Beets liegen, während die längere Seite am Rande des Parks entlang läuft. Das Verhältnis von der kürzeren zur längeren Seite soll $1:3$ sein. Kein Beet darf sich mit dem Weg oder dem Platz mit dem Springbrunnen überschneiden.
c)
Zeichne die vier Beete in deine Zeichnung aus Aufgabenteil a) ein.
#zentrischestreckung#kreis#einbeschreibungsaufgabe#rechteck#quadrat

Aufgabe 5

Abb. 1: Das Sirpinski-Dreieck. Ein Muster, das sich fast unendlich wiederholt.
Abb. 1: Das Sirpinski-Dreieck. Ein Muster, das sich fast unendlich wiederholt.
Ähnlich wie das Dreieck kannst du auch einen Sierpinski-Teppich konstruieren. Du beginnst mit einem Quadrat. Der Mittelpunkt des Quadrates ist das Streckzentrum für eine zentrische Streckung. Durch Streckung mit dem Streckfaktor $k=\dfrac{1}{3}$ erhältst du ein kleineres Quadrat. Wenn du die Seiten des Quadrats verlängerst, sodass sie bis zu den Seiten des ursprünglichen Quadrats reichen, dann teilst du das Quadrat in $9$ gleich große Quadrate ein. Wiederhole die zentrische Streckung für die $8$ äußeren Quadrate und markiere alle äußeren Quadrate farblich. Die Quadrate, die du durch die zentrische Streckung erhalten hast, sollen frei bleiben.
Konstruiere nach der obrigen Vorschrift einen Sierpinski-Teppich. Das Ausgangsquadrat soll eine Seitenlänge von $9\,\text{cm}$ haben.
#zentrischestreckung#gleichseitigesdreieck#einbeschreibungsaufgabe#quadrat
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem. Wähle die Längeneinheit dabei so, dass du die Punkte gut eintragen kannst. Üblicherweise ist eine Längeneinheit von $1\,LE\mathrel{\widehat{=}}1\,\text{cm}$ eine gute Wahl.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
b)
Zeichne das geforderte Rechteck ein. Du weißt, dass die Höhe des Rechtecks $1\,LE$ betragen soll. Außerdem soll der Punkt $G$, also das obere Ende der Höhe, auf der Dreiecksseite $b$ liegen, also auf der Seite des Dreiecks, die dem Punkt $B$ gegenüber liegt. Das untere Ende der Höhe ist der Punkt $D$. Er soll auf der Dreiecksseite $c$, also auf der Seite des Dreiecks, die dem Punkt $C$ gegenüber liegt, liegen.
Nimm dein Lineal und suche die Stelle, an der eine direkte Verbindung der Dreiecksseiten $b$ und $c$ der Länge von einer Längeneinheit entspricht.
Das ist der Fall, wenn du die Punkt $(1\mid0)$ und $(1\mid1)$ verbindest. Nun hast du die Seite $\overline{DG}$ schon eingezeichnet. Du weißt über das Seitenverhältnis, dass die Seite $\overline{DE}$ $1,5$-mal so lange sein soll, wie die Höhe. Demnach ist sie $1,5\cdot 1\,LE=1,5\,LE$ lang. Zeichne diese Strecke nun auch ein und vervollständige das Rechteck.
Deine fertige Zeichnung sollte so aussehen:
c)
Nun musst du eine zentrische Streckung durchführen. Das Streckzentrum ist dabei der Punkt $A$. Den Streckfaktor kennst du nicht, du weißt jedoch, dass der Bildpunkt von $F$ nach der Streckung auf der Dreiecksseite $a$, also der Seite des Dreiecks, die dem Punkt $A$ gegenüber liegt, liegen muss.
Zeichne eine Linie von $A$ aus durch $F$, die bis zur Seite $a$ reicht. Dort liegt der Bildpunkt von $F$.
Bestimme nun den Streckfaktor $k$, indem du die Länge der Strecke von $A$ nach $F$ und von $A$ nach $F'$ misst. Wenn du nun die Länge der Strecke $\overline{AF'}$ durch die Länge der Strecke $\overline{AF}$ teilst, dann erhältst du den Streckfaktor.
Berechne den Streckfaktor und vollende die zentrische Streckung. Deine fertige Zeichnung sollte so aussehen: Mit dieser Vorgehensweise kannst du Figuren in andere Figuren einbeschreiben. Gehe dabei immer nach folgendem Schema vor:
  1. Zeichne die Figur, in die eine andere Figur einbeschrieben werden soll.
  2. Zeichne eine Hilfsfigur, die möglichst viele der geforderten Bedingungen erfüllt, in die erste Figur ein.
  3. Bestimme den Streckfaktor, indem du einen Punkt der Hilfsfigur so streckst, dass er die fehlende Bedingung erfüllt.
  4. Strecke die restlichen Punkte der Hilfsfigur mit dem berechneten Streckfaktor.
#einbeschreibungsaufgabe#zentrischestreckung

Aufgabe 1

Konstruiere die Figur so, wie du es in der Einführungsaufgabe gelernt hast.
Zeichne zuerst das Dreieck in ein geeignetes Koordinatensystem. Konstruiere anschließend eine Hilfsfigur, die möglichst viele der Bedingungen des Rechtecks erfüllt. Bestimme den Streckfaktor, indem du einen Eckpunkt des Rechtecks so streckst, dass die letzte Bedingung erfüllt wird und strecke anschließend die restlichen Eckpunkte mit dem berechneten Streckfaktor.
Den Streckfaktor berechnest du, indem du die Länge der Strecke vom Streckzentrum zum Bildpunkt durch die Länge der Strecke vom Streckzentrum zum Urpunkt teilst. Der Streckfaktor hängt hierbei davon ab, wie du deine Hilfsfigur gezeichnet hast. Es gibt also kein eindeutiges Ergebnis für den Streckfaktor.
a)
Wenn du nach dem Schema der Einführungsaufgabe vorgehst, dann sollte deine Zeichnung so aussehen. Beachte, dass deine Hilfsfigur eine andere Größe haben kann. Ihre Form sollte jedoch identisch sein.
b)
Wenn du nach dem Schema der Einführungsaufgabe vorgehst, dann sollte deine Zeichnung so aussehen. Beachte, dass deine Hilfsfigur eine andere Größe haben kann. Ihre Form sollte jedoch identisch sein.
#zentrischestreckung#einbeschreibungsaufgabe

Aufgabe 2

Konstruiere die Figuren nach dem selben Schema, das du schon in der Einführungsaufgabe und Aufgabe 1 verwendet hast. Zeichne zuerst den Halbkreis und anschließend die andere Figur hinein. Benutze als Streckzentrum den Mittelpunkt des Halbkreises.
a)
Deine Zeichnung sollte so aussehen. Beachte, dass deine Hilfsfigur eine andere Größe haben kann. Ihre Form sollte jedoch identisch sein. Beachte, dass der Punkt $C$ über dem Mittelpunkt liegen muss.
b)
Deine Zeichnung sollte so aussehen. Beachte, dass deine Hilfsfigur eine andere Größe haben kann. Ihre Form sollte jedoch identisch sein. Beachte, dass der Punkt $D$ über dem Mittelpunkt liegen muss.
#zentrischestreckung#einbeschreibungsaufgabe

Aufgabe 3

Gehe bei dieser Aufgabe wie bei den vorherigen Aufgaben vor.
Gib darüber hinaus in einer Rechnung an, wie du den Streckfaktor berechnet hast.
a)
Deine Zeichnung sollte so aussehen. Beachte, dass deine Hilfsfigur eine andere Größe haben kann. Ihre Form sollte jedoch identisch sein. In diesem Fall ist die Strecke vom Streckzentrum $A$ zum Punkt $G$ ca. $2,24\,\text{cm}$ lang. Die Strecke von $A$ zum Bildpunkt von $G$ ist ca. $6,71\,\text{cm}$ lang. Damit ergibt sich ein Streckfaktor von $k=\dfrac{6,71\,\text{cm}}{2,24\,\text{cm}}\approx3$.
Du kannst ein anderes Ergebnis haben, das von der Größe deiner Hilfsfigur abhängig ist. Versichere dich, dass du die Streckenlängen richtig abgemessen hast, die richtige Streckenlänge durch die andere geteilt hast und dabei auch richtig gerechnet hast.
b)
Deine Zeichnung sollte so aussehen. Beachte, dass deine Hilfsfigur eine andere Größe haben kann. Ihre Form sollte jedoch identisch sein. In diesem Fall ist die Strecke vom Streckzentrum $A$ zum Punkt $G$ ca. $1,17\,\text{cm}$ lang. Die Strecke von $A$ zum Bildpunkt von $G$ ist ca. $4,61\,\text{cm}$ lang. Damit ergibt sich ein Streckfaktor von $k=\dfrac{4,61\,\text{cm}}{1,14\,\text{cm}}\approx4$.
Du kannst ein anderes Ergebnis haben, das von der Größe deiner Hilfsfigur abhängig ist. Versichere dich, dass du die Streckenlängen richtig abgemessen hast, die richtige Streckenlänge durch die andere geteilt hast und dabei auch richtig gerechnet hast.
#zentrischestreckung#einbeschreibungsaufgabe

Aufgabe 4

a)
Beginne bei deiner Zeichnung mit dem Grundriss des Parks. Wähle dafür einen geeigneten Maßstab, sodass du genug Platz zum Zeichnen hast, aber nicht übermäßig viel Platz brauchst. Du kannst z.B. den Maßstab $1:500$ wählen. Damit würde jeder Zentimeter deiner Zeichnung $5\,\text{m}$ in der Wirklichkeit entsprechen. Demnach wäre dein Grundriss $10\,\text{cm}\times10\,\text{cm}$ groß. Du kannst den Maßstab auch anders wählen.
Zeichne anschließend den Weg ein. Er verläuft von einer Ecke des Quadrats zur gegenüberliegenden Ecke. Er ist also eine Diagonale. Es gibt nur einen Weg. Deshalb hast du die Wahl, welche der Diagonalen du einzeichnest.
Danach solltest du den Platz mit dem Springbrunnen zeichnen. Finde den Mittelpunkt deines Quadrats und zeichne einen maßstabsgetreuen Kreis darum herum.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
b)
Führe die Zeichnung aus Aufgabenteil a) fort.
Konstruiere zuerst ein Hilfsquadrat, bei dem zwei Seiten auf den Grenzen des Parks liegen. Durch zentrische Streckung kannst du eine Ecke des Quadrats so strecken, dass der Bildpunkt dieser Ecke auf der Grenze des Platzes liegt. Berechne den Streckfaktor und strecke auch die restlichen Ecken des Quadrats. Somit erhältst du eines der beiden Beete.
Konstruiere auf die gleiche Weise ein Quadrat auf der anderen Seite des Weges.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
c)
Führe die Zeichnung aus Aufgabenteil a) fort.
Konstruiere zuerst ein Hilfsrechteck mit dem geforderten Seitenverhältnis. Die kürzere Strecke liegt an einer Seite eines großen Beets aus Aufgabenteil b). Die längere Strecke liegt auf der Grenze des Parks. Über zentrische Streckung an dem Eckpunkt des Rechtecks, der sowohl auf dem großen Beet, als auch auf der Parkgrenze liegt, kannst du eine Ecke des Rechtecks so abbilden, dass sie den Weg berührt. Berechne den Streckfaktor und strecke mit diesem auch die anderen Ecken des Rechtecks. Damit hast du das erste von vier Rechtecken konstruiert.
Konstruiere auf die gleiche Weise die übrigen Recktecke.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
#einbeschreibungsaufgabe#zentrischestreckung

Aufgabe 5

Zeichne den Sirpinski-Teppich nach den Angaben in der Aufgabe. Lies dir die Anweisungen aufmerksam durch. Du kannst dir auch eine kurze Übersicht schreiben, wie du vorgehen sollst.
Du beginnst den Sirpinski-Teppich mit einem Quadrat, das $9\times9\,\text{cm}$ groß ist.
Anschließend führst du eine zentrische Streckung durch. Der Streckfaktor ist dabei $k=\dfrac{1}{3}$ und das Streckzentrum ist der Mittelpunkt des Quadrats.
Im nächsten Schritt sollst du nun die Seiten des erhaltenen Quadrats verlängern, sodass du das ursprüngliche Quadrat in $9$ gleich große Quadrate teilst.
Zuletzt sollst du nun den Schritt mit der zentrischen Streckung wiederholen. Führe die zentrische Streckung in jedem der äußeren, grünen Quadrate durch. Im inneren, blauen Quadrat musst du das nicht tun. Zuletzt sollst du die ganzen Quadrate farblich hervorheben. Dabei sollst du immer nur die äußeren Quadrate hervorheben. Die inneren Quadrate, die du durch eine zentrische Streckung erhalten hast, bleiben farblos. Der Sirpinski-Teppich sieht dann schlussendlich so aus: Du erkennst das Muster des Sirpinski-Teppichs. Wenn du wolltest, dann könntest du das Muster noch mehrmals wiederholen. Wenn du es öfters wiederholst, dann sieht es so aus:
Abb. 17: Ein Sirpinski-Quadrat. Das Muster, das du gezeichnet hast.
Abb. 17: Ein Sirpinski-Quadrat. Das Muster, das du gezeichnet hast.
#zentrischestreckung#einbeschreibungsaufgabe
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