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Im Koordinatensystem

Spickzettel
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Wenn du das Gleichungssystem löst, erhältst du die Koordinaten eines gesuchten Bildpunktes.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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#koordinaten#zentrischestreckung
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Du hast den Punkt $A$ gegeben. Er soll über eine zentrische Streckung am Streckzentrum $Z$ mit dem Streckfaktor $k$ gestreckt werden.
Du kannst die Koordinaten des gestreckten Punktes $A'$ mit folgender Formel berechnen:
$\overrightarrow{ZA'}=k\cdot\overrightarrow{ZA}$
Halte die Koordinaten der Punkte und den Streckfaktor allgemein und setze diese in die Formel ein. Teile die Formel so auf, dass du eine Gleichung für den $x$-Wert und eine Gleichung für den $y$-Wert hast und ein lineares Gleichungssystem entsteht.
b)
Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $(2\mid3)$, das Streckzentrum liegt bei $Z\,(1\mid1)$ und der Streckfaktor $k$ beträgt $2$. Setze diese Angaben in dein lineares Gleichungssystem ein und berechne die Koordinaten des Punktes $A'$.
c)
Wie verändert sich dein lineares Gleichungssystem, wenn dein Streckzentrum im Ursprung liegt?

Aufgabe 1

Berechne die Koordinaten des gestreckten Punkts.
a)
Der Punkt $B$ ist durch zentrische Streckung aus dem Punkt $A\,(5\mid4)$ am Streckzentrum $Z\,(0\mid0)$ mit dem Streckfaktor $k=0,5$ entstanden.
b)
Der Punkt $D$ ist durch zentrische Streckung aus dem Punkt $C\,(3\mid6)$ am Streckzentrum $Z\,(2\mid4)$ mit dem Streckfaktor $k=1,75$ entstanden.
c)
Der Punkt $F$ ist durch zentrische Streckung aus dem Punkt $E\,(2\mid7)$ am Streckzentrum $Z\,(1\mid5)$ entstanden. Er liegt auf der $y$-Achse.

Aufgabe 2

Berechne die Koordinaten des Urpunkts.
a)
Der Punkt $B\,(4\mid5)$ ist durch zentrische Streckung aus dem Punkt $A$ am Streckzentrum $Z\,(0\mid0)$ mit dem Streckfaktor $-0,25$ entstanden.
b)
Der Punkt $D\,(6\mid3)$ ist durch zentrische Streckung aus dem Punkt $C$ am Streckzentrum $Z\,(9\mid2)$ mit dem Streckfaktor $3,25$ entstanden.
c)
Der Punkt $F\,(7\mid1)$ ist durch zentrische Streckung aus dem Punkt $E$ am Streckzentrum $Z\,(1\mid4)$ entstanden. Er liegt auf der $x$-Achse.

Aufgabe 3

Berechne die Koordinaten des Streckzentrums $Z$.
a)
Der Punkt $B\,(1,5\mid2,5)$ ist durch zentrische Streckung aus dem Punkt $A\,(0,75\mid3,75)$ mit dem Streckfaktor $2$ entstanden.
b)
Der Punkt $D\,(4,8\mid1,6)$ ist durch zentrische Streckung aus dem Punkt $C\,(7,2\mid3,8)$ mit dem Streckfaktor $-1$ entstanden.

Aufgabe 4

Zeichne die Figur in ein geeignetes Koordinatensystem und führe eine zentrische Streckung durch.
a)
Das Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A\,(2\mid1)$, $B\,(3\mid3)$ und $C\,(2,5\mid4)$ wird am Streckzentrum $Z\,(0\mid0)$ mit dem Streckfaktor $-0,75$ gestreckt.
b)
Das Dreieck $DEF$ mit den Punkten $D\,(3\mid-1)$, $E\,(-1\mid2)$ und $F\,(2\mid4)$ wird am Streckzentrum $Z\,(1\mid3)$ mit dem Streckfaktor $1,25$ gestreckt.

Aufgabe 5

Zentrische Streckung: Im Koordinatensystem
Abb. 1: Albert Schweitzer, nach dem die Stiftung benannt ist, war ein deutsch-französischer Arzt. Er erhielt 1952 den Friedensnobelpreis.
Zentrische Streckung: Im Koordinatensystem
Abb. 1: Albert Schweitzer, nach dem die Stiftung benannt ist, war ein deutsch-französischer Arzt. Er erhielt 1952 den Friedensnobelpreis.
Plakat 1
Das rechteckige Motiv wurde um den Faktor $7$ vom Mittelpunkt aus vergrößert. Der Vektor vom Zentrum zu einem Eckpunkt des vergrößerten Motivs lautet $\overrightarrow{a}=\pmatrix{60\\42}$. Der Vektor von der rechten oberen Ecke zur rechten unteren Ecke lautet vor dem vergrößern $\overrightarrow{b}=\pmatrix{0\\-12}$. Das Plakat ist $120\,\text{cm}$ breit. Lisa benötigt die Koordinaten aller Eckpunkte $A$, $B$, $C$ und $D$ des vergrößertem Motivs. Der Mittelpunkt des Motivs hat die Koordinaten $(0\mid0)$. Das Koordinatensystem, das Lisa benutzt, hat eine Längeneinheit von $1\,LE=1\,\text{cm}$.
Plakat 2
Das rechteckige Motiv wurde vom Mittelpunkt aus vergrößert. Die Koordinaten der rechten oberen Ecke lauteten vor der Vergrößerung $A\,(6,5\mid4,55)$ und nach der Vergrößerung $A'(60\mid42)$. Lisa benötigt die Koordinaten der Vektoren, die vom Mittelpunkt aus zu den Ecken des nicht-vergrößerten Motivs laufen. Der Mittelpunkt hat die Koordinaten $(0\mid0)$. Das vergrößerte Motiv ist $120\,\text{cm}$ breit und $84\,\text{cm}$ hoch. Das Koordinatensysmten, das Lisa verwendet, hat eine Längeneinheit von $1\,LE=1\,\text{cm}$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://de.wikipedia.org/wiki/Albert_Schweitzer# /media/File:Bundesarchiv_Bild_183-D0116-0041-019,_Albert_Schweitzer.jpg – Bundesarchiv CC BY-SA 3.0 DE.
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Einführungsaufgabe

a)
Du hast folgende Formel gegeben:
$\overrightarrow{ZA'}=k\cdot\overrightarrow{ZA}$
Wenn du die Angaben allgemein lässt, dann haben die drei Punkte die Koordinaten $A\,(x_A\mid y_A)$, $A'\,(x_{A'}\mid y_{A'})$ und $Z\,(x_Z\mid y_Z)$. Die Vektoren erhältst du, indem du die Koordinaten des Anfangspunkts von den Koordinaten des Endpunkts abziehst. Wenn du die Koordinaten einsetzt, dann erhältst du folgende Gleichung:
$\pmatrix{x_{A'}-x_Z\\y_{A'}-y_Z}=k\cdot\pmatrix{x_A-x_Z\\y_A-y_Z}$
Wenn du nun die Gleichung horizontal in der Mitte spaltest, dann erhältst du zwei Formeln. Die obere enthält nur Angaben zu den $x$-Koordinaten und die untere Gleichung nur Angaben zu den $y$-Koordinaten. Jede Gleichung enthält $k$. Dein lineares Gleichungssystem sieht so aus:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_{A'}-x_Z&=&k\cdot(x_A-x_Z)\\ \text{II}\quad&y_{A'}-y_Z&=&k\cdot(y_A-y_Z)\\ \end{array}$
b)
Nun hast du einige Angaben aus deinem linearen Gleichungssystem aus Aufgabenteil a) gegeben. Setze die bekannten Werte ein und rechne die unbekannten Werte aus.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_{A'}-x_Z&=&k\cdot(x_A-x_Z)&\quad\scriptsize\mid\,\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_{A'}-y_Z&=&k\cdot(y_A-y_Z)&\quad\scriptsize\mid\,\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&x_{A'}-1&=&2\cdot(2-1)\\ \text{II}\quad&y_{A'}-1&=&2\cdot(3-1)\\ \hline \text{I}\quad&x_{A'}-1&=&2\cdot1\\ \text{II}\quad&y_{A'}-1&=&2\cdot2\\ \hline \text{I}\quad&x_{A'}-1&=&2&\quad\scriptsize\mid\,+1\\ \text{II}\quad&y_{A'}-1&=&4&\quad\scriptsize\mid\,+1\\ \hline \text{I}\quad&x_{A'}&=&3\\ \text{II}\quad&y_{A'}&=&5\\ \end{array}$
$x_{A'}=3,\,y_{A'}=5$
Der Punkt $A'$ hat die Koordinaten $(3\mid5)$.
c)
Betrachte deine Formel aus Aufgabenteil a) und überlege dir, wie sich die Gleichung verändern würde, wenn das Streckzentrum im Ursprung liegt. Welche Koordinaten hat der Ursprung?
Der Ursprung hat die Koordinaten $U\,(0\mid0)$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_{A'}-x_Z&=&k\cdot(x_A-x_Z)\\ \text{II}\quad&y_{A'}-y_Z&=&k\cdot(y_A-y_Z)\\ \hline \text{I}\quad&x_{A'}-0&=&k\cdot(x_A-0)\\ \text{II}\quad&y_{A'}-0&=&k\cdot(y_A-0)\\ \hline \text{I}\quad&x_{A'}&=&k\cdot x_A\\ \text{II}\quad&y_{A'}&=&k\cdot y_A\\ \end{array}$
Wenn das Streckzentrum im Ursprung liegt, dann vereinfacht sich die Formel, weil alle Angaben, die die Koordinaten des Streckzentrums betreffen zu $0$ werden.

Aufgabe 1

Verwende das lineare Gleichungssystem, das du in der Einführungsaufgabe in Aufgabenteil a) aufgestellt hat, um die Koordinaten des gestreckten Punkts zu berechnen.
Eventuell reichen die dir gegebenen Angaben nicht, um eine bestimmte Koordinate zu berechnen. Überlege dir anhand der gegebenen Informationen, wie du genug Informationen erhalten kannst, um aus einer Gleichung die Angabe zu erhalten, die du brauchst, um die andere Gleichung lösen zu können.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_{B}-x_Z&=&k\cdot(x_A-x_Z)&\quad\scriptsize\mid\,\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_{B}-y_Z&=&k\cdot(y_A-y_Z)&\quad\scriptsize\mid\,\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&x_{B}-0&=&0,5\cdot(5-0)\\ \text{II}\quad&y_{B}-0&=&0,5\cdot(4-0)\\ \hline \text{I}\quad&x_{B}&=&2,5\\ \text{II}\quad&y_{B}&=&2\\ \end{array}$
$x_B=2,5,\,y_B=2$
Der gestreckte Punkt hat die Koordinaten $B\,(2,5\mid2)$.
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_{D}-x_Z&=&k\cdot(x_C-x_Z)&\quad\scriptsize\mid\,\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_{D}-y_Z&=&k\cdot(y_C-y_Z)&\quad\scriptsize\mid\,\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&x_{D}-2&=&1,75\cdot(3-2)\\ \text{II}\quad&y_{D}-4&=&1,75\cdot(6-4)\\ \hline \text{I}\quad&x_{D}-2&=&1,75\cdot1&\quad\scriptsize\mid\,+2\\ \text{II}\quad&y_{D}-4&=&1,75\cdot2&\quad\scriptsize\mid\,+4\\ \hline \text{I}\quad&x_{D}&=&3,75\\ \text{II}\quad&y_{D}&=&7,5\\ \end{array}$
$x_D=3,75,\,y_B=7,5$
Der gestreckte Punkt hat die Koordinaten $D\,(3,75\mid7)$.
c)
Hier kennst du den Streckfaktor $k$ nicht. Du weißt jedoch, dass der Punkt $F$ auf der $y$-Achse liegt. Demnach ist seine $x$-Koordinate $0$. Damit kannst du in der oberen Gleichung den Streckfaktor berechnen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_F-x_Z&=&k\cdot(x_E-x_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_F-y_Z&=&k\cdot(y_E-y_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&0-1&=&k\cdot(2-1)\\ \text{II}\quad&y_F-5&=&k\cdot(7-5)\\ \hline \text{I}\quad&-1&=&k\\ \text{II}\quad&y_F-5&=&k\cdot2&\quad \scriptsize\mid\;k=-1\\ \hline \text{I}\quad&-1&=&k\\ \text{II}\quad&y_F-5&=&-1\cdot2&\quad \scriptsize\mid\;+5\\ \hline \text{I}\quad&-1&=&k\\ \text{II}\quad&y_F&=&3\\ \end{array}$
$k=-1,\,y_F=3$
Der gestreckte Punkt hat die Koordinaten $F\,(0\mid3)$.

Aufgabe 2

Verwende das lineare Gleichungssystem, das du in der Einführungsaufgabe in Aufgabenteil a) aufgestellt hat, um die Koordinaten des Urpunkts zu berechnen.
Eventuell reichen die dir gegebenen Angaben nicht, um eine bestimmte Koordinate zu berechnen. Überlege dir anhand der gegebenen Informationen, wie du genug Informationen erhalten kannst, um aus einer Gleichung die Angabe zu erhalten, die du brauchst, um die andere Gleichung lösen zu können.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_B-x_Z&=&k\cdot(x_A-x_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_B-y_Z&=&k\cdot(y_A-y_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&4-0&=&-0,25\cdot(x_A-0)\\ \text{II}\quad&5-0&=&-0,25\cdot(y_A-0)\\ \hline \text{I}\quad&4&=&-0,25\cdot x_A&\quad \scriptsize\mid\;:-0,25\\ \text{II}\quad&5&=&-0,25\cdot y_A&\quad \scriptsize\mid\;:-0,25\\ \hline \text{I}\quad&-16&=&x_A\\ \text{II}\quad&-20&=&y_A\\ \hline \end{array}$
$x_A=-16,\,y_A=-20$
Der Urpunkt hat die Koordinaten $A\,(-16\mid-20)$.
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_D-x_Z&=&k\cdot(x_C-x_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_D-y_Z&=&k\cdot(y_C-y_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&6-9&=&3,25\cdot(x_C-9)\quad \scriptsize\mid\;:3,25\\ \text{II}\quad&3-2&=&3,25\cdot(y_C-2)\quad \scriptsize\mid\;:3,25\\ \hline \text{I}\quad&-0,92&=&x_C-9&\quad \scriptsize\mid\;+9\\ \text{II}\quad&0,29&=&y_C-2&\quad \scriptsize\mid\;+2\\ \hline \text{I}\quad&8,08&=&x_C\\ \text{II}\quad&2,29&=&y_C\\ \hline \end{array}$
$x_C=8,08,\,y_C=2,29$
Der Urpunkt hat die Koordinaten $C\,(8,08\mid2,29)$.
c)
Hier fehlt dir der Streckfaktor $k$. Du weißt jedoch, dass der Urpunkt auf der $x$-Achse liegt. Seine $y$-Koordinate muss demnach $0$ sein. Setze diese Angabe in die unter Gleichung ein und berechne den Streckfaktor.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_F-x_Z&=&k\cdot(x_E-x_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_F-y_Z&=&k\cdot(y_E-y_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&7-1&=&k\cdot(x_E-1)\\ \text{II}\quad&1-4&=&k\cdot(0-4)\\ \hline \text{I}\quad&6&=&k\cdot(x_E-1)\\ \text{II}\quad&-3&=&k\cdot-4&\quad \scriptsize\mid\;:-4\\ \hline \text{I}\quad&6&=&k\cdot(x_E-1)&\quad \scriptsize\mid\;k=\dfrac{3}{4}\\ \text{II}\quad&\dfrac{3}{4}&=&k\\ \hline \text{I}\quad&6&=&\dfrac{3}{4}\cdot(x_E-1)&\quad \scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{4}{3}\\ \text{II}\quad&\dfrac{3}{4}&=&k\\ \hline \text{I}\quad&8&=&x_E-1&\quad \scriptsize\mid\;+1\\ \text{II}\quad&\dfrac{3}{4}&=&k\\ \hline \text{I}\quad&9&=&x_E\\ \text{II}\quad&\dfrac{3}{4}&=&k\\ \end{array}$
$x_E=9,\,k=\dfrac{3}{4}$
Der Urpunkt hat die Koordinaten $E\,(9\mid0)$.

Aufgabe 3

Verwende das lineare Gleichungssystem, das du in der Einführungsaufgabe in Aufgabenteil a) aufgestellt hat, um die Koordinaten des Streckzentrums zu berechnen.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_B-x_Z&=&k\cdot(x_A-x_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_B-y_Z&=&k\cdot(y_A-y_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&1,5-x_Z&=&2\cdot(0,75-x_Z)\\ \text{II}\quad&2,5-y_Z&=&2\cdot(3,75-y_Z)\\ \hline \text{I}\quad&1,5-x_Z&=&1,5-2x_Z&\quad \scriptsize\mid\;+2x_Z;\;-1,5\\ \text{II}\quad&2,5-y_Z&=&7,5-2y_Z)&\quad \scriptsize\mid\;+2y_Z;\;-2,5\\ \hline \text{I}\quad&x_Z&=&0\\ \text{II}\quad&y_Z&=&5\\ \end{array}$
$x_Z=0,\,y_Z=5$
Die Koordinaten des Streckzentrums lauten $Z\,(0\mid5)$.
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_D-x_Z&=&k\cdot(x_C-x_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_D-y_Z&=&k\cdot(y_C-y_Z)&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&4,8-x_Z&=&-1\cdot(7,2-x_Z)\\ \text{II}\quad&1,6-y_Z&=&-1\cdot(3,8-y_Z)\\ \hline \text{I}\quad&4,8-x_Z&=&-7,2+x_Z&\quad \scriptsize\mid\;-x_Z;\;-4,8\\ \text{II}\quad&1,6-y_Z&=&-3,8+y_Z&\quad \scriptsize\mid\;-y_Z;\;-1,6\\ \hline \text{I}\quad&-2x_Z&=&-12\quad \scriptsize\mid\;:-2\\ \text{II}\quad&-2y_Z&=&-5,4\quad \scriptsize\mid\;:-2\\ \hline \text{I}\quad&x_Z&=&6\\ \text{II}\quad&y_Z&=&2,7\\ \end{array}$
$x_Z=6,\,y_Z=2,7$
Die Koordinaten des Streckzentrums lauten $Z\,(6\mid2,7)$.

Aufgabe 4

Zeichne zuerst ein geeignetes Koordinatensystem. Es muss mindestens den Bereich umfassen, in dem die Figur und das Streckzentrum liegt. Du kannst außerdem versuchen abzuschätzen, in welchem Bereich die gestreckte Figur liegen wird, anhand des Streckfaktors und der Lage des Streckzentrums.
Anschließend zeichnest du zuerst die Figur und das Streckzentrum ein. Anschließend berechnest du die Koordinaten der Vektoren vom Streckzentrum zu den Punkten des Dreiecks. Danach multiplizierst du sie jeweils mit dem Streckfaktor und zeichnest die berechneten Vektoren in dein Koordinatensystem ein. Ihr Anfang liegt am Streckzentrum und an ihren Enden liegen die gestreckten Punkte.
a)
Da das Streckzentrum im Ursprung liegt entsprechen die Koordinaten eines Vektor vom Streckzentrum zu einem Punkt den Koordinaten des Punkts.
Punkt $A$
$\overrightarrow{ZA}=\pmatrix{2\\1}$
$\overrightarrow{ZA'}=-0,75\cdot\pmatrix{2\\1}=\pmatrix{-1,5\\-0,75}$
Der gestreckte Punkt liegt bei $A'\,(-1,5\mid-0,75)$.
Punkt $B$
$\overrightarrow{ZB}=\pmatrix{3\\3}$
$\overrightarrow{ZB'}=-0,75\cdot\pmatrix{3\\3}=\pmatrix{-2,25\\-2,25}$
Der gestreckte Punkt liegt bei $B'\,(-2,25\mid-2,25)$.
Punkt $C$
$\overrightarrow{ZC}=\pmatrix{2,5\\4}$
$\overrightarrow{ZC'}=-0,75\cdot\pmatrix{2,5\\4}=\pmatrix{-1,825\\-3}$
Der gestreckte Punkt liegt bei $C'\,(-1,825\mid-3)$.
Wenn du alles in ein Koordinatensystem einzeichnest, dann sollte es so aussehen:
b)
Punkt $D$
$\overrightarrow{ZD}=\pmatrix{3-1\\-1-3}=\pmatrix{2\\-4}$
$\overrightarrow{ZD'}=1,25\cdot\pmatrix{2\\-4}=\pmatrix{2,5\\-5}$
$D'\,(1+2,5\mid3-5)=(3,5\mid-2)$
Der gestreckte Punkt liegt bei $D'\,(3,5\mid-2)$.
Punkt $E$
$\overrightarrow{ZE}=\pmatrix{-1-1\\2-3}=\pmatrix{-2\\-1}$
$\overrightarrow{ZE'}=1,25\cdot\pmatrix{-2\\-1}=\pmatrix{-2,5\\-1,25}$
$E'\,(1-2,5\mid3-1,25)=(-1,5\mid1,75)$
Der gestreckte Punkt liegt bei $E'\,(-1,5\mid1,75)$.
Punkt $F$
$\overrightarrow{ZF}=\pmatrix{2-1\\4-3}=\pmatrix{1\\1}$
$\overrightarrow{ZF'}=1,25\cdot\pmatrix{1\\1}=\pmatrix{1,25\\1,25}$
$F'\,(1+1,25\mid3+1,25)=(2,25\mid4,25)$
Der gestreckte Punkt liegt bei $F'\,(2,25\mid4,25)$.
Wenn du alles in ein Koordinatensystem einzeichnest, dann sollte es so aussehen:

Aufgabe 5

Plakat 1
Das Streckzentrum ist der Mittelpunkt bei $(0\mid0)$. Von dort läuft der Vektor $\overrightarrow{a}$ zum rechten, oberen Eckpunkt. Da das Streckzentrum im Ursprung liegt entsprechen die Koordinaten des Punkts den Koordinaten des Vektors. Der Eckpunkt $A$ liegt bei $A\,(60\mid42)$.
Der Vektor von der rechten, oberen zur rechten, unteren Ecke hat die Koordinaten $\overrightarrow{b}=\pmatrix{0\\12}$. Das gilt jedoch nur für den Vektor vor der Streckung. Du weißt, dass eine Strecke, die durch zentrische Streckung verschoben wird, ihre Länge um den Streckfaktor $k$ verändert. Das gilt auch für den Vektor. Der Vektor von der oberen, rechten Ecke zur unteren, rechten Ecke nach der Streckung muss also die Koordinaten $\overrightarrow{b'}=7\cdot\pmatrix{0\\-12}=\pmatrix{0\\-84}$ haben.
Wenn du von der oberen, rechten Ecke, die du bereits bestimmt hast, die Länge dieses Vektors gehst, dann kommst du zur unteren, rechten Ecke mit den Koordinaten $B\,(60+0\mid42-82)=(60\mid-42)$.
Wenn du in deine Skizze schaust, dann siehst du, dass das Plakat $120\,\text{cm}$ breit ist. Diese Strecke entspricht einem Vektor von $\pmatrix{-120\\0}$ im Koordinatensystem. Du verwendest hier ein Minus, weil du dich im Koordinatensystem nach links also in $-x$-Richtung bewegst. Die obere, linke Ecke liegt auf der selben $y$-Höhe wie die obere, rechte Ecke. Du kannst ihre Koordinaten also mit den Koordinaten der einen Ecke und der Breite des Plakats berechnen. Sie lauten $C\,(60-120\mid42-0)=(-60\mid42)$.
Für die Koordinaten des letzten Punkts kannst du unterschiedlich vorgehen. Entweder argumentierst du wie beim Punkt $C$ über die Breite des Plakats oder du sagst, dass gegenüberliegende Seiten des Plakats parallel sein müssen, weil es rechteckig ist. So kannst du sagen, dass die Seite von der linken, oberen zur linken, unteren Ecke genauso lange wie die Seite von der rechten, oberen zur rechten, unteren Ecke ist. Dies entspricht den Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{b'}$. So kannst du die Koordinaten des letzten Eckpunkts berechnen. Sie lauten $D\,(-60+0\mid42-84)=(-60\mid-42)$.
Die Koordinaten der Eckpunkte des vergrößerten Motivs lauten $A\,(60\mid42)$, $B\,(60\mid-42)$, $C\,(-60\mid42)$ und $D\,(-60\mid-42)$.
Plakat 2
Hier kennst du den Streckfaktor $k$ nicht. Du kennst jedoch die Koordinaten eines gestreckten Punkts und dessen Urpunkt. Da das Streckzentrum im Ursprung liegt, entsprechen die Koordinaten der Vektoren vom Zentrum zum Punkt den Koordinaten des Punkts. Du kannst mit dem Gleichungssystem aus der Einführungsaufgabe den Streckfaktor berechnen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x_{A'}&=&k\cdot x_A&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&y_{A'}&=&k\cdot y_A&\quad \scriptsize\mid\;\text{einsetzen}\\ \hline \text{I}\quad&60&=&k\cdot 6,5&\quad \scriptsize\mid\;:6,5\\ \text{II}\quad&42&=&k\cdot 4,55&\quad \scriptsize\mid\;:4,55\\ \hline \text{I}\quad&9,23&=&k\\ \text{II}\quad&9,23&=&k\\ \end{array}$
$ k=9,23 $
Der Streckfaktor bei der Vergrößerung beträgt $k=9,23$. Ähnlich wie bei Plakat 1 kannst du den Vektor für die Breite und die Höhe des vergrößerten Motivs anhand der Angaben und der Längeneinheiten im Koordinatensystem angeben. Die Koordinaten des Vektors für die Breite lauten $\overrightarrow{a}=\pmatrix{-120\\0}$ und die Koordinaten des Vektors für die Höhe lauten $\overrightarrow{b}=\pmatrix{0\\-84}$. Über das lineare Gleichungssystem und den Streckfaktor kannst du die Vektoren für die Breite ($\overrightarrow{c}$) und Höhe ($\overrightarrow{d}$) des nicht-vergrößerten Motivs berechnen.
$\overrightarrow{c}=\dfrac{\overrightarrow{a}}{k}=\dfrac{\pmatrix{-120\\0}}{9,23}=\pmatrix{-13\\0}$
$\overrightarrow{d}=\dfrac{\overrightarrow{b}}{k}=\dfrac{\pmatrix{0\\-84}}{9,23}=\pmatrix{0\\-9,1}$
Mit diesen beiden Vektoren kannst du nun die Koordinaten der übrigen Punkte vom Punkt $A$ aus berechnen.
Der Punkt $B$ liegt in der rechten, unteren Ecke. Du musst also von den Koordinaten des Punktes $A$ aus einmal den Vektor für die Höhe des Motivs gehen.
$B\,(6,5+0\mid4,55-9,1)=(6,5\mid-4,55)$
Die Koordinaten des Punktes $B$ lauten $(6,5\mid-4,55)$. Der Punkt $C$ liegt in der linken, oberen Ecke. Dazu musst du von Punkt $A$ einmal den Vektor für die Breite des Motivs gehen.
$C\,(6,5-13\mid4,55+0)=(-6,5\mid4,55)$
Die Koordinaten des Punktes $C$ lauten $(-6,5\mid4,55)$. Der Punkt $D$ liegt in der linken, unteren Ecke. Dazu musst du von Punkt $C$ einmal den Vektor für die Höhe des Motivs gehen.
$D\,(-6,5\mid4,55-9,1)=(-6,5\mid-4,55)$
Die Koordinaten des Punktes $D$ lauten $(-6,5\mid-4,55)$.
Da der Mittelpunkt im Ursprung liegt, entsprechen die Koordinaten der Vektoren vom Mittelpunkt zu den Eckpunkten jeweils den Koordinaten dieser Punkte.
Die Vektoren vom Mittelpunkt zu den Eckpunkten lauten $\overrightarrow{MA}=\pmatrix{6,5\\4,55}$, $\overrightarrow{MB}=\pmatrix{6,5\\-4,55}$, $\overrightarrow{MC}=\pmatrix{-6,5\\4,55}$ und $\overrightarrow{MD}=\pmatrix{-6,5\\-4,55}$.
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