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Konstruktion

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#zentrischestreckung
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte $A\,(1\mid1)$, $B\,(3\mid2)$ und $Z\,(0\mid0)$ ein. Das Koordinatensystem sollte von $x=-2$ bis $x=6$ und von $y=-4$ bis $y=4$ verlaufen. Eine Längeneinheit entspricht dabei $1\,\text{cm}$.
b)
Führe eine zentrische Streckung durch. Dabei ist $Z$ das Streckzentrum und der Streckfaktor $k=2$.
c)
Führe eine weitere zentrische Streckung durch. Dabei ist $Z$ das Streckzentrum und der Streckfaktor $k=-1$.

Aufgabe 1

Zeichne die angegebenen Figuren und führe eine Zentrische Streckung durch.
a)
Das Dreieck $ABC$ mit $A\,(2\mid2)$, $B\,(4\mid4)$ und $C\,(3\mid5)$ wird gestreckt. Streckzentrum ist $Z\,(0\mid0)$ und der Streckfaktor beträgt $k=1,5$
b)
Das Dreieck $ABC$ mit $A\,(0\mid0)$, $B\,(2\mid1)$ und $C\,(1\mid2)$ wird gestreckt. Streckzentrum ist $Z\,(3\mid3)$ und der Streckfaktor beträgt $k=-0,5$
c)
Das Viereck $ABCD$ mit $A\,(1,5\mid2)$, $B\,(4\mid4)$, $C\,(1\mid5)$ und $D\,(2\mid4)$ wird gestreckt. Streckzentrum ist $Z\,(1\mid1)$ und der Streckfaktor beträgt $k=3$
d)
Das Viereck $ABCD$ mit $A\,(0\mid0)$, $B\,(4\mid4)$, $C\,(4\mid0)$ und $D\,(0\mid4)$ wird gestreckt. Streckzentrum ist $Z\,(5\mid5)$ und der Streckfaktor beträgt $k=-2$

Aufgabe 2

Konstruiere die ursprüngliche Figur.
a)
Das Dreieck $ABC$ ist durch zentrische Streckung entstanden. Seine Koordinaten sind $A\,(3\mid3)$, $B\,(0\mid0)$ und $C\,(0\mid3)$. Gestreckt wurde es am Zentrum $Z\,(1,5\mid1,5)$ mit dem Streckfaktor $k=\frac{1}{2}$.
b)
Das Viereck $ABCD$ ist durch zentrische Streckung entstanden. Seine Koordinaten sind $A\,(1\mid2)$, $B\,(2\mid3)$, $C\,(-2\mid3)$ und $D\,(-1\mid4)$. Gestreckt wurde es am Zentrum $Z\,(0\mid0)$ mit dem Streckfaktor $k=-1$.

Aufgabe 3

Gib die Koordinaten des Streckzentrums $Z$ an.
a)
Das Viereck $ABCD$ mit $A\,(0\mid0)$, $B\,(0\mid3)$, $C\,(3\mid0)$ und $D\,(3\mid3)$ ist durch zentrische Streckung aus dem Viereck $A'B'C'D'$ mit $A'\,(8\mid8)$, $B'\,(5\mid8)$, $C'\,(8\mid5)$ und $D'\,(5\mid5)$ entstanden. Der Streckfaktor betrug dabei $k=-1$.
b)
Das Dreieck $ABC$ mit $A\,(0\mid0)$, $B\,(2\mid4)$ und $C\,(4\mid0)$ ist durch zentrische Streckung aus dem Dreieck $A'B'C'$ mit $A'\,(1\mid0)$, $B'\,(2\mid3)$ und $C'\,(3\mid0)$ entstanden. Der Streckfaktor betrug dabei $k=2$.

Aufgabe 4

Bestimme den Streckfaktor $k$.
a)
Das Dreieck $ABC$ mit $A\,(0\mid0)$, $B\,(0\mid3)$ und $C\,(3\mid0)$ ist durch zentrische Streckung aus dem Dreieck $A'B'C'$ mit $A'\,(0\mid-3)$, $B'\,(0\mid3)$ und $C'\,(6\mid-3)$ am Streckzentrum $Z\,(0\mid3)$ entstanden.
b)
Das Viereck $ABCD$ mit $A\,(0\mid0)$, $B\,(0\mid4)$, $C\,(4\mid0)$ und $D\,(4\mid4)$ ist durch zentrische Streckung aus dem Viereck $A'B'C'D'$ mit $A'\,(-2\mid-2)$, $B'\,(-2\mid6)$, $C'\,(6\mid-2)$ und $D'\,(6\mid6)$ am Streckzentrum $Z\,(2\mid2)$ entstanden.

Aufgabe 5

Zentrische Streckung: Konstruktion
Abb. 1: Egal ob auf dem Tablet, am PC oder auf dem Smartphone, du hast immer Zugriff auf dein digitales Schulbuch.
Zentrische Streckung: Konstruktion
Abb. 1: Egal ob auf dem Tablet, am PC oder auf dem Smartphone, du hast immer Zugriff auf dein digitales Schulbuch.
Der Bildschirm ist $21,5\,\text{cm}$ breit und $13,6\,\text{cm}$ hoch. Die Abbildung ist genauso groß wie breit und erstreckt sich nach dem heranzoomen über die komplette Höhe. Vorher war sie den Angaben aus der Einführungsaufgabe entsprechend groß. Der Abstand zwischen zwei Zahlen betrug $1\,\text{cm}$.
Um welchen Faktor hat Melanie die Abbildung der Lösung herangezoomt, wenn sie mit ihren Fingern in der Mitte der Abbildung angesetzt hat?
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne das geforderte Koordinatensystem und die angegebenen Punkte. Der erste Wert gibt dabei immmer die $x$-Koordinate und der zweite Wert die $y$ Koordinate an.
Dein Koordinatensystem sollte so aussehen:
b)
Führe die zentrische Streckung durch, indem du den Abstand von einem Punkt zum Streckzentrum misst. Anschließend multiplizierst du diese Länge mit $2$ und zeichnest eine Strecke mit dieser Länge vom Streckzentrum aus durch den ursprünglichen Punkt. Dort wo die Strecke endet liegt der gestreckte Punkt.
Die gestreckten Punkte sollten so aussehen:
c)
Nun sollst du eine weitere zentrische Streckung durchführen. Das Streckzentrum ist dabei das gleiche, nur der Streckfaktor verändert sich. Du kannst die zentrische Streckung in die gleiche Zeichnung wie die von Aufgabenteil b) zeichnen.
Der Streckfaktor beträgt dieses Mal $k=-1$. Wenn du nun gemessen hast, wie lange die Strecke von $Z$ nach $A$ ist, dann musst du diese Strecke vom Punkt $A$ weg zeichnen. Lege dein Lineal so an, dass die Punkte $A$ und $Z$ auf der Linie liegen. Miss nun die gewünschte Strecke von $Z$ aus so ab, dass du dich vom Punkt $A$ entfernst. Dort liegt der gestreckte Punkt.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
Zentrische Streckung: Konstruktion
Abb. 3: Text

Aufgabe 1

Zeichne ein Koordinatensystem und trage die angegebenen Punkte ein. Führe anschließend eine zentrische Streckung durch, indem du den Abstand eines Punktes zum Streckzentrum $Z$ misst und die Länge mit dem angegebenen Strekfaktor $k$ multiplizierst. Anschließend legst du dein Lineal so an, dass der zustreckende Punkt und $Z$ auf einer Linie liegen und zeichnest von $Z$ aus die berechnete Strecke ein. Wenn der Faktor positiv ist, dann zeichnest du in Richtung des Punktes, wenn er negativ ist, dann zeichnest du von ihm weg.
a)
b)
c)
d)

Aufgabe 2

Bei dieser Aufgabe gehst du ähnlich vor wie bei Aufgabe 1. Du kannst eine zentrische Streckung „rückgängig“ machen, wenn du die entstandene Figur erneut am gleichen Streckzentrum streckst. Der Streckfaktor beträgt dabei den Kehrbruch des ursprünglichen Streckfaktors. Du kannst ihn also einfach berechnen. Wenn der ursprüngliche Streckfaktor $2$ betrug, dann musst du bei der erneuten Streckung mit dem Faktor $\dfrac{1}{2}$ strecken.
Berechne den neuen benötigten Streckfaktor und führe die zentrische Streckung durch.
a)
Wenn du den Kehrbruch des Streckfaktors bestimmst, dann kommst du auf einen Streckfaktor von $2$. Führe damit die zentrische Streckung durch.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
b)
Wenn du den Kehrbruch des Streckfaktors bestimmst, dann kommst du auf einen Streckfaktor von $-1$. Führe damit die zentrische Streckung durch.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:

Aufgabe 3

Wenn du dir deine bisherigen zentrischen Streckungen ansiehst, dann wirst du merken, dass die Verbindungen zwischen einem Punkt und seinem gestreckten Äquivalent eine Linie bilden. Der Ort, an dem sich alle dieser Linien schneiden ist auch gleichzeitig das Streckzentrum $Z$.
Du kannst das Streckzentrum bestimmen, indem du die beiden Figuren in ein Koordinatensystem zeichnest und die zusammengehörenden Punkte verbindest. Lies anschließend die Koordinaten des Streckzentrums $Z$ ab.
a)
In der Abbildung erkennst du, dass der Punkt $Z$ die Koordinaten $(4\mid4)$ hat.
b)
In der Abbildung erkennst du, dass der Punkt $Z$ die Koordinaten $(2\mid0)$ hat.

Aufgabe 4

Bei dieser Aufgabe musst du die beiden angegebenen Figuren zeichnen und die Punkte mit ihren gestreckten Äquivalenten durch das Streckzentrum verbinden. Anschließend kannst du die Länge der Strecke von z.B. $A$ nach $Z$ und von $A'$ nach $Z$ messen. Wenn du das Verhältnis der beiden Streckenlängen bildest, dann kommst du auf den Streckfaktor $k$. Der Streckfaktor $k$ muss für alle Seitenverhältnisse der Punkte in der Zeichnung identisch sein.
Überlege dir auch, ob der Streckfaktor $k$ ein negatives Vorzeichen hat. Wenn die Punkte $A$ und $A'$ auf gegenüberliegenden Seiten von $Z$ liegen, dann ist der Streckfaktor negativ.
a)
Wenn du das Verhältnis der Längen der Strecken bildest, dann kommst du darauf, dass der Streckfaktor $k=2$ ist.
b)
Wenn du das Verhältnis der Längen der Strecken bildest, dann kommst du darauf, dass der Streckfaktor $k=2$ ist.

Aufgabe 5

Lies in der Aufgabenstellung der Einführungsaufgabe nach, wie lange und breit das Koordinatensystem sein sollte. Überlege dir anschließend, wie groß und breit die Abbildung nach dem heranzoomen ist. Eventuell hilft dir eine maßstabsgetreue Skizze.
Das Koordinatensystem ist jeweils $8$ Längeneinheiten lang und breit. Eine Längeneinheit beträgt $1\,\text{cm}$, weshalb die Abbildung $8\,\text{cm}$ lang und breit vor dem Heranzoomen war.
Nach dem Heranzoomen ist die Abbildung so groß wie die Höhe des Tabletbildschirms, also $13,6\,\text{cm}$. Sie ist demnach auch genauso breit. Wenn du dir vorstellst, dass das Streckzentrum in der Mitte der Abbildung liegt und du dir einen Punkt auf der selben $y$-Höhe denkst, der am Rande der Abbildung liegt, dann kannst du den Abstand vom Streckzentrum zum Rand der Abbildung einfach bestimmen. Er beträgt die Hälfte der Breite der Abbildung, also $4\,\text{cm}$.
Nach dem Heranzoomen bleibt dieser Punkt erhalten. Sein Abstand zum Streckzentrum hat sich jedoch vergrößert. Die neue Hälfte der Breite der Abbildung beträgt jetzt $\dfrac{13,6\,\text{cm}}{2}=6,8\,\text{cm}$. Wenn du jetzt das Verhältnis der beiden Streckenlängen bildest, dann erhältst du den Streckfaktor $k$.
$\dfrac{6,8\,\text{cm}}{4\,\text{cm}}=1,7$
Melanie hat um den Faktor $1,7$ herangezoomt.
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