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Mit Hilfe von Vektoren

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Zentrische Streckung: Mit Hilfe von Vektoren
Abb. 1: Zentrische Streckung
Zentrische Streckung: Mit Hilfe von Vektoren
Abb. 1: Zentrische Streckung
Daraus ergibt sich die folgenden Abbildungsgleichung in Vektorform:
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
$\pmatrix{x'\\y'}=k \cdot \pmatrix{x\\y}$
Bildnachweise [nach oben]
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#zentrischestreckung
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne ein Koordinatensystem im $x$-Bereich von $0$ bis $6$ und dem $y$-Bereich $0$ bis $6$. Eine Längeneinheit entspricht $1\,\text{cm}$. Zeichne in das Koordinatensystem die Punkte $A\,(2\mid1)$ und $B\,(1\mid3)$.
b)
Zeichne Repräsentanten der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$. Der Vektor $\overrightarrow{a}$ verläuft vom Ursprung zum Punkt $A$ und der Vektor $\overrightarrow{b}$ vom Ursprung zum Punkt $B$.
c)
Zeichne mithilfe von Repräsentanten der Vektoren $\overrightarrow{a'}$ und $\overrightarrow{b'}$ die Punkte $A'$ und $B'$ in das Koordinatensystem ein. Du erhältst die Vektoren, indem du die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ mit dem Skalar $k=2$ multiplizierst. Die Repräsentanten verlaufen vom Ursprung aus.

Aufgabe 1

Berechne die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{v}$, der zwischen den Punkten $A$ und $B$ verläuft. Berechne ebenfalls anschließend die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{v'}$, der aus dem Vektor $\overrightarrow{v}$ durch Multiplikation mit dem Skalar $k$ entsteht.
a)
$A\,(1\mid1)$, $B\,(3\mid3)$ und $k=1,5$
b)
$A\,(1\mid2)$, $B\,(1\mid3)$ und $k=3$
c)
$A\,(0\mid3)$, $B\,(3\mid0)$ und $k=-1$
d)
$A\,(2\mid4)$, $B\,(5\mid3)$ und $k=0,5$

Aufgabe 2

a)
Zeichne Repräsentanten der Vektoren $\overrightarrow{a}=\pmatrix{1 \\ 2}$, $\overrightarrow{b}=\pmatrix{-1 \\ -2}$, $\overrightarrow{c}=\pmatrix{3 \\ 1}$ und $\overrightarrow{d}=\pmatrix{9 \\ 3}$ in ein geeignetes Koordinatensystem und überprüfe mithilfe deines Geodreiecks, welche Repräsentanten der Vektoren zueinander parallel sind.
b)
Stelle mithilfe deiner Ergebnisse aus Aufgabe a) eine Regel auf, wie du anhand der Koordinaten von zwei Vektoren erkennen kannst, ob Repräsentanten der Vektoren zueinander parallel sind.
c)
Welche Eigenschaften besitzen ein Parallelogramm und ein Trapez im Bezug auf ihre Seiten? Wie könntest du ein Parallelogramm von einem Trapez oder einem allgemeinen Viereck unterscheiden, wenn du nur die Koordinaten der Eckpunkte bzw. der Vektoren des Vierecks gegeben hast?

Aufgabe 3

Entscheide rechnerisch anhand der Angaben, ob es sich bei dem Viereck $ABCD$ um ein Parallelogramm, ein Trapez oder ein allgemeines Viereck handelt.
Für diese Aufgabe sind deine Ergebnisse aus Aufgabe 2 wichtig.
a)
Die Seiten des Vierecks sind durch die folgenden Vektoren gegeben: $\overrightarrow{a}=\pmatrix{1 \\ 2}$, $\overrightarrow{b}=\pmatrix{1 \\ 2,5}$, $\overrightarrow{c}=\pmatrix{-2 \\ -1}$ und $\overrightarrow{d}=\pmatrix{0 \\ 3,5}$
b)
$A\,(0\mid0)$ und $D\,(0\mid4)$, außerdem $\overrightarrow{a}=\pmatrix{6 \\ 0}$, $\overrightarrow{b}=\pmatrix{-2 \\ 4}$ und $\overrightarrow{c}=\pmatrix{-4 \\ 0}$. Dabei verläuft der Vektor $\overrightarrow{a}$ zwischen $A$ und $B$, der Vektor $\overrightarrow{b}$ zwischen $B$ und $C$ und der Vektor $\overrightarrow{c}$ zwischen $C$ und $D$.
c)
$A\,(2\mid5)$, $B\,(3\mid2)$, $C\,(5\mid1)$ und $D\,(4\mid4)$

Aufgabe 4

Zentrische Streckung: Mit Hilfe von Vektoren
Abb. 1: Jedes Jahr zum Drachenfest am Kronsberg steigen hunderte Flugdrachen in die Lüfte.
Zentrische Streckung: Mit Hilfe von Vektoren
Abb. 1: Jedes Jahr zum Drachenfest am Kronsberg steigen hunderte Flugdrachen in die Lüfte.
Auf der Blaupause hat sie einige Punkte markiert und deren Koordinaten in einer Liste zusammengefasst. Anschließend will sie die Umrisse ihres Körpers über eine zentrische Streckung am Punkt $Z$ in Originalgröße auf den Stoff übertragen.
  • $A\,(0\mid8,25)$
  • $B\,(0,5\mid6,05)$
  • $C\,(1,8\mid5,05)$
  • $D\,(6\mid4,05)$
  • $E\,(6,5\mid3,05)$
  • $F\,(1,8\mid4,05)$
  • $G\,(1,8\mid-0,55)$
  • $H\,(3,2\mid-8,25)$
  • $I\,(2,2\mid-8,25)$
  • $J\,(0\mid-0,55)$
  • $K\,(-2,2\mid-8,25)$
  • $L\,(-3,2\mid-8,25)$
  • $M\,(-1,8\mid-0,5)$
  • $N\,(-1,8\mid4,05)$
  • $O\,(-6,5\mid3,05)$
  • $P\,(-6,5\mid4,05)$
  • $Q\,(-1,8\mid5,05)$
  • $R\,(-0,5\mid6,05)$
  • $Z\,(0\mid0)$
Als sie ihren Plan mit ihrer besten Freundin Michelle durchgeht, hat diese jedoch bedenken. Sie ist sich nicht ganz sicher, ob die Koordinaten der Punkte $D$, $I$ und $M$ stimmen.
a)
Überprüfe mithilfe der Skizze und der Liste, ob die Koordinaten der Punkte, die Michelle angesprochen hat, richtig sind oder nicht.
Überlege dir dazu, welche Vektoren in der Skizze parallel bzw. identisch wären. Geh davon aus, dass alle anderen Punkte korrekt aufgelistet sind.
b)
Die Punkte auf der Blaupause gehören in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $1\,\text{cm}$. Die Angabe neben der Skizze gibt an, wie groß die Zeichnung auf dem Stoff später sein soll.
Mit welchem Streckfaktor muss Julia die Skizze auf der Blaupause strecken, damit die Zeichnung auf dem Stoff in Originalgröße ist?
Tipp: Der Punkt $Z$ liegt im Körpermittelpunkt.
Bildnachweise [nach oben]
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Public Domain.
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne das geforderte Koordinatensystem und zeichne die beiden angegebenen Punkte ein. Der erste Wert gibt die $x$-Koordinate an, während der zweite Wert die $y$-Koordinate angibt.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
b)
Zeichne die Repräsentanten der Vektoren als Pfeile ein. Sie nehmen ihren Anfang im Ursprung also bei $(0\mid0)$ und führen zu einem der eingezeichneten Punkte hin.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
c)
Um die Vektoren $\overrightarrow{a'}$ und $\overrightarrow{b'}$ einzeichnen zu können, benötigst du zuerst die Koordinaten der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$. Diese kannst du so berechnen:
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{x_1-x_2 \\ y_1-y_2}$
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{x_1-x_2 \\ y_1-y_2}$
Dabei sind $x_2$ und $y_2$ die Koordinaten des Startpunkts des Vektors und $x_1$ und $y_1$ die Koordinaten des Endpunkts des Vektors.
Da die Startpunkte der beiden Vektoren der Ursprung ist, entsprechen die Koordinaten der Vektoren den Koordinaten der Endpunkte. Du erhältst demnach $\overrightarrow{a}=\pmatrix{2 \\ 1}$ und $\overrightarrow{b}=\pmatrix{1 \\3}$.
Nun kannst du die Koordinaten der anderen beiden Vektoren berechnen, indem du die Koordinaten der beiden bestimmten Vektoren mit dem Skalar $k=2$ multiplizierst. Dazu gehst du folgendermaßen vor:
$k\cdot\overrightarrow{v}=\pmatrix{k\cdot x \\k\cdot y}$
$k\cdot\overrightarrow{v}=\pmatrix{k\cdot x \\k\cdot y}$
Du multiplizierst also das Skalar mit jeder Koordinate des Vektors. Wenn du die Koordinaten der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ mit $2$ multiplizierst, dann erhältst du die Koordinaten der Vektoren $\overrightarrow{a'}$ und $\overrightarrow{b'}$.
$\overrightarrow{a'}=2\cdot\overrightarrow{a}=\pmatrix{2\cdot2=4 \\ 2\cdot 1=2}$
$\overrightarrow{b'}=2\cdot\overrightarrow{b}=\pmatrix{2\cdot1=2 \\ 2\cdot 3=6}$
Zeichne nun die beiden Vektoren in dein Koordinatensystem ein. Sie beginnen im Ursprung. An ihren Enden liegen die Punkte $A'$ und $B'$.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:

Aufgabe 1

Berechne die Koordinaten der Vektoren nach folgendem Schema:
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{x_1-x_2 \\ y_1-y_2}$
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{x_1-x_2 \\ y_1-y_2}$
Dabei sind $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ die Koordinaten der beiden Punkte, zwischen denen der Vektor liegt. Lege einen der Punkte willkürlich als Start fest. Wenn du Start- und Endpunkt des Vektors anders herum wählst, dann erhältst du das negative deines Vektors. Beide Angaben sind richtig.
Berechne anschließend die Koordinaten des zweiten Vektors nach folgendem Schema:
$k\cdot\overrightarrow{v}=\pmatrix{k\cdot x \\k\cdot y}$
$k\cdot\overrightarrow{v}=\pmatrix{k\cdot x \\k\cdot y}$
Dabei ist $k$ das Skalar, mit dem du die Koordinaten des Vektors multiplizieren musst.
a)
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{3-1 \\3-1}=\pmatrix{2\\2}$
$\overrightarrow{v'}=1,5\cdot\overrightarrow{v}=\pmatrix{1,5\cdot2=3 \\1,5\cdot 2=3}$
Die Koordinaten der Vektoren lauten: $\overrightarrow{v}=\pmatrix{2\\2}$ und $\overrightarrow{v'}=\pmatrix{3 \\3}$.
b)
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{1-1 \\3-2}=\pmatrix{0\\1}$
$\overrightarrow{v'}=3\cdot\overrightarrow{v}=\pmatrix{3\cdot0=0 \\3\cdot1=3}$
Die Koordinaten der Vektoren lauten: $\overrightarrow{v}=\pmatrix{0\\1}$ und $\overrightarrow{v'}=\pmatrix{0 \\3}$.
c)
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{3-0 \\0-3}=\pmatrix{3\\-3}$
$\overrightarrow{v'}=-1\cdot\overrightarrow{v}=\pmatrix{-1\cdot3=-3 \\-1\cdot-3=3}$
Die Koordinaten der Vektoren lauten: $\overrightarrow{v}=\pmatrix{3\\-3}$ und $\overrightarrow{v'}=\pmatrix{-3 \\3}$.
d)
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{5-2 \\3-4}=\pmatrix{3\\-1}$
$\overrightarrow{v'}=0,5\cdot\overrightarrow{v}=\pmatrix{0,5\cdot3=1,5 \\0,5\cdot-1=-0,5}$
Die Koordinaten der Vektoren lauten: $\overrightarrow{v}=\pmatrix{3\\-1}$ und $\overrightarrow{v'}=\pmatrix{1,5 \\-0,5}$.

Aufgabe 2

a)
Überlege dir zuerst, in welchem $x$- und $y$-Bereich sich die Vektoren bewegen und welche Längeneinheit du am besten wählst.
Zeichne anschließend die Vektoren in das Koordinatensystem ein und überprüfe mit deinem Geodreieck, welche Vektoren zueinander parallel sind.
Deine Zeichnung sollte so aussehen:
Wenn du nachmisst, dann erkennst du, dass die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ parallel sind genauso wie die Vektoren $\overrightarrow{c}$ und $\overrightarrow{d}$.
b)
Wenn du eine Regel aufstellen willst, dann schau dir zuerst die Vektoren aus Aufgabenteil a) an, von denen du weißt, dass sie zueinander parallel sind. Vergleiche ihre Koordinaten und überlege dir, wie diese Koordinaten zueinander passen könnten.
In Aufgabenteil a) waren die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ parallel genauso wie die Vektoren $\overrightarrow{c}$ und $\overrightarrow{d}$.
Die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{a}$ sind das negative der Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{b}$, ansonsten sind die Ziffern identisch. Die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{d}$ sind das dreifache der Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{c}$.
Die Repräsentanten zweier Vektoren sind zueinander parallel, wenn die Koordinaten des einen Vektors ein Vielfaches der Koordinaten des anderen Vektors sind. Es gibt immer ein Skalar $k$ mit dem du einen Vektor multiplizieren kannst, dass er die Koordinaten des anderen Vektors annimmst.
c)
Überlege dir, wie ein Trapez bzw. ein Parallelogramm aussieht. In der Aufgabenstellung wird gesagt, dass du dich auf die Eigenschaften der Seiten der beiden Figuren beschränken sollst. In Anlehnung an Aufgabenteil b) solltest du dir überlegen, welche Seiten in einem Prallelogramm und einem Trapez zueinander parallel sind.
Bei einem Parallelogramm sind jeweils zwei der vier Seiten zueinander parallel, während bei einem Trapez nur zwei der Seiten zueinander parallel sind. Die anderen beiden sind nicht parallel. In einem allgemeinen Viereck gelten keine besonderen Regeln zu Parallelität.
Überlege dir nun, wie du über Vektoren bestimmen kannst, welche der Seiten in einem gegebenen Viereck zueinander parallel sind.
Du kannst die Seiten eines Vierecks durch die Repräsentanten eines Vektors angeben. Wenn du dabei die Vektoren, die die Seiten beschreiben, nicht gegeben hast, dann kannst du anhand der Eckpunkte des Vierecks die Koordinaten dieser Vektoren berechnen, indem du die Koordinaten eines Punktes von denen eines anderen abziehst.
Anschließend kannst du mithilfe deiner Regel aus Aufgabenteil b) überprüfen, welche der Seiten parallel sind. Wenn die Koordinaten eines Vektors ein Vielfaches der Koordinaten eines anderen Vektors sind, dann sind die Repräsentanten der beiden Vektoren parallel und damit auch die Vierecksseiten.

Aufgabe 3

Bei dieser Aufgabe sind deine Ergebnisse aus Aufgabe 2 wichtig. Du hast bereits festgestellt, dass die Repräsentanten zweier Vektoren zueinander parallel sind, wenn die Koordinaten eines Vektors ein Vielfaches der Koordinaten eines anderen Vektors sind. Außerdem hast du festgestellt, dass du die Seiten eines Vierecks als Vektoren darstellen kannst, indem du die Koordinaten eines Punktes von denen eines anderen Punktes abziehst. Anschließend musst du diese Vektoren vergleichen und überprüfen, welche Seiten zueinander parallel sind.
Zum Schluss musst du entscheiden, um welche Art eines Vierecks es sich handelt. Bei einem Parallelogramm sind jeweils zwei Seiten parallel, bei einem Trapez sind nur zwei Seiten parallel, während bei einem allgemeinen Viereck keine Seiten zueinander parallel sind.
a)
Wenn du die Koordinaten der Vektoren vergleichst, dann siehst du, dass keine der vier Seiten parallel sind. Bei diesem Viereck handelt es sich um ein allgemeines Viereck.
b)
Du hast bereits drei Vektoren gegeben. Es fehlt noch der letzte Vektor, der die Seite beschreibt, die von Punkt $A$ zum Punkt $D$ verläuft. Berechne die Koordinaten des Vektors, indem du die Koordinaten eines der beiden Punkte vom anderen abziehst.
$\overrightarrow{d}=\pmatrix{0-0 \\ 4-0}=\pmatrix{0 \\ 4}$
Vergleiche nun die Vektoren miteinander. Du siehst, dass die Seiten, die durch die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$ beschrieben werden, zueinander parallel sind. Du kannst die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{a}$ durch multiplikation mit $-\frac{2}{3}$ in die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{c}$ überführen. Die anderen beiden Seiten sind nicht parallel.
Bei diesem Viereck sind zwei Seiten zueinander parallel. Es handelt sich demnach um ein Trapez.
c)
Du hast hier nur die Koordinaten der Eckpunkte des Vierecks gegeben. Berechne zuerst die Koordinaten der Vektoren, die die Seiten zwischen $A$ und $B$, $B$ und $C$, $C$ und $D$ und $D$ und $A$ beschreiben.
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{2-3 \\ 5-2}=\pmatrix{-1\\3}$
$\overrightarrow{b}=\pmatrix{3-5 \\ 2-1}=\pmatrix{-2\\1}$
$\overrightarrow{c}=\pmatrix{5-4 \\ 1-4}=\pmatrix{1\\-3}$
$\overrightarrow{d}=\pmatrix{4-2 \\ 4-5}=\pmatrix{2\\-1}$
Wenn du die Koordinaten der Vektoren vergleichst, dann siehst du, dass die Seiten, die durch die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}$, sowie die Seiten, die durch die Vektoren $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{d}$ beschrieben werden, zueinander parallel sind.
Jeweils zwei Seiten des Vierecks sind zueinander parallel, es handelt sich also um ein Parallelogramm.

Aufgabe 4

a)
Michelle vermutet einen Fehler bei den Koordinaten der Punkte $D\,(6\mid4,05)$, $I\,(2,2\mid-8,25)$ und $M\,(-1,8\mid-0,5)$. Schau dir in der Skizze die Punkte an und überlege dir, welche Strecken parallel sind. Versuche diese Strecken durch Vektoren auszudrücken und überprüfe so, ob die Koordinaten der Punkte richtig sind.
Punkt $D$
Wenn du den Weg von Punkt $O$ zu Punkt $P$ als einen Vektor ausdrückst, dann ist dieser Vektor identisch zu dem Vektor, der den Weg von Punkt $E$ zu Punkt $D$ beschreibt. Berechne diese beiden Vektoren.
$\overrightarrow{a}=\pmatrix{-6,5-(-6,5)\\4,05-3,05}=\pmatrix{0\\1}$
$\overrightarrow{b}=\pmatrix{6-6,5\\4,05-3,05}=\pmatrix{-0,5\\1}$
Du siehst, dass die Vektoren nicht identisch sind. Da du annehmen sollst, dass die anderen Punkte, also $P$, $O$ und $E$, richtig sind, kannst du nun die richtigen Koordinaten des Punktes $D$ berechnen, indem du von Punkt $E$ aus den Vektor $\overrightarrow{a}$, also den Vektor zwischen $O$ und $P$ gehst.
$D\,(6,5+0\mid3,05+1)=(6,5\mid4,05)$
Die richtigen Koordinaten des Punktes lauten $D\,(6,5\mid4,05)$.
Punkt $I$
Wenn du den Weg von Punkt $K$ zu Punkt $L$ als einen Vektor ausdrückst, dann ist dieser Vektor identisch zu dem Vektor, der den Weg von Punkt $H$ zu Punkt $I$ beschreibt. Berechne diese beiden Vektoren.
$\overrightarrow{c}=\pmatrix{-3,2-(-2,2)\\-8,25-(-8,25)}=\pmatrix{-1\\0}$
$\overrightarrow{d}=\pmatrix{2,2-3,2\\-8,25-(-8,25)}=\pmatrix{-1\\0}$
Du siehst, dass die Vektoren identisch sind. Michelle hat sich geirrt und die Koordinaten des Punktes $I$ sind korrekt.
Punkt $M$
Wenn du den Weg von Punkt $F$ zu Punkt $G$ als einen Vektor ausdrückst, dann ist dieser Vektor identisch zu dem Vektor, der den Weg von Punkt $N$ zu Punkt $M$ beschreibt. Berechne diese beiden Vektoren.
$\overrightarrow{e}=\pmatrix{1,8-1,8\\-0,55-4,05}=\pmatrix{0\\-4,6}$
$\overrightarrow{f}=\pmatrix{-1,8-(-1,8)\\-0,5-4,05}=\pmatrix{0\\-4,55}$
Du siehst, dass die Vektoren nicht identisch sind. Da du annehmen sollst, dass die anderen Punkte richtig sind, kannst du nun die richtigen Koordinaten des Punktes $M$ berechnen, indem du von Punkt $N$ aus den Vektor $\overrightarrow{e}$, also den Vektor zwischen $F$ und $G$ gehst.
$M\,(-1,8+0\mid4,05-4,6)=(-1,8\mid-0,55)$
$M\,(-1,8\mid-0,55)$
Die richtigen Koordinaten des Punktes lauten $M\,(-1,8\mid-0,55)$.
b)
Suche dir eine Strecke im Koordinatensystem, von der du weißt, wie lange sie ist und wie lange sie nach der zentrischen Streckung sein muss. Aus dem Verhältnis dieser Längen kannst du den Streckfaktor $k$ berechnen.
Die Strecke vom Mittelpunkt $Z$ zur Spitze des Kopfes $A$ hat keine $x$-Verschiebung und eine $y$-Länge von $8,25$. Die Strecke ist in der Zeichnung also $8,25\,\text{cm}$ lang. Diese Strecke ist auch die halbe Höhe der Zeichnung. Du weißt, dass die Zeichnung nach der zentrischen Streckung $1,65\,\text{m}$ hoch sein soll. Demnach ist diese Strecke nach der Streckung $1,65\,\text{m}\cdot0,5=82,5\,\text{cm}$ lang. Mit diesen beiden Längen kannst du nun den Streckfaktor $k$ berechnen, indem du das Verhältnis der Längen bildest.
$\dfrac{82,5\,\text{cm}}{8,25\,\text{cm}}=10$
Julia muss die Zeichnung auf der Blaupause mit dem Streckfaktor $10$ strecken, um die Zeichnung auf dem Stoff in Originalgröße zu bringen.
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