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Vierstreckensätze

Spickzettel
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Wenn sich zwei Geraden in einem Punkt $S$ schneiden und diese von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, dann erhältst du eine Vierstreckenfigur. Wenn du die Länge von Strecken bzw. von Teilstrecken kennst, dann kannst du die Länge anderer Strecken, Teilstrecken und Längenverhältnisse berechnen. Dazu verwendest du die Vierstreckensätze auch Strahlensätze genannt.
Es gibt die drei folgenden Vierstreckensätze:
$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{C'B'}}$ und
$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{A'B'}}$ sowie $\dfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{C'B'}}{\overline{A'B'}}$
Bildnachweise [nach oben]
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© 2017 – SchulLV.
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#zentrischestreckung#vierstreckensatz
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Berechne folgende Längenverhältnisse anhand der Angaben in der Abbildung unten:
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}$, $\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$ und $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}$.
Was fällt dir auf?
b)
Berechne folgende Längenverhältnisse anhand der Angaben in der Abbildung unten:
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}$, $\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$ und $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}$.
Was fällt dir auf?
c)
Wenn sich zwei Geraden im Punkt $Z$ schneiden und von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, dann entsteht eine Vierstreckenfigur.
Versuche anhand deiner Beobachtungen aus Aufgabenteil a) und b) den ersten und zweiten Vierstreckensatz zu formulieren.
Der erste Vierstreckensatz bezieht sich auf die Längenverhältnisse der Strecken der sich schneidenden Geraden. Wie hängen diese mathematisch zusammen?
Der zweite Vierstreckensatz bezieht sich auf ein Längenverhältnis der Strecke einer der sich schneidenden Geraden und dem Längenverhältnis der Strecken der parallelen Geraden. Wie hängen diese mathematisch zusammen?
#vierstreckensatz

Aufgabe 1

Berechne die fehlenden Streckenlängen der Vierstreckenfiguren mithilfe des ersten und zweiten Vierstreckensatzes.
a)
b)
c)
d)
#vierstreckensatz

Aufgabe 2

Du kannst die Gesetze der Vierstreckensätze auch auf größere Figuren ausweiten. Wenn sich z.B. drei Geraden schneiden und diese von drei parallelen Geraden geschnitten werden, dann kannst du die Vierstreckensätze ebenfalls anwenden. Für den Fall, dass sich drei Geraden schneiden, gibt es sogar noch den dritten Vierstreckensatz. Er lautet:
$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}$
$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}$
Dabei beziehen sich die Streckenbezeichnungen auf die Abbildung weiter unten in dieser Aufgabe. Wende die Vierstreckensätze auf diese Figur an und berechne die fehlenden Streckenlängen. Wähle dafür gezielt einzelne Vierstreckenfiguren in der Abbildung aus und ignoriere die restlichen Geraden.
a)
Berechne alle fehlenden Streckenlängen, die du mit den folgenden Angaben berechnen kannst.
  • $\overline{AC}=3\,\text{cm}$
  • $\overline{BC}=4\,\text{cm}$
  • $\overline{A'C'}=6\,\text{cm}$
  • $\overline{ZB}=5\,\text{cm}$
  • $\overline{B''C''}=9\,\text{cm}$
  • $\overline{ZC}=2\,\text{cm}$
Gibt es Längen, die du mit diesen Angaben nicht berechnen kannst? Wenn ja, welche?
b)
Berechne die fehlenden Streckenlängen. Die Strecke $\overline{ZA}$ ist $4\,\text{cm}$ lang.
#vierstreckensatz

Aufgabe 3

Berechne die Länge der roten Strecke.
Tipp: Zeichne dir Skizzen der Vierstreckenfiguren, die du gerade zum rechnen verwendest, um den Überblick zu behalten.
#vierstreckensatz

Aufgabe 4

Zentrische Streckung: Vierstreckensätze
Abb. 9: Die höchste Achterbahn im Europapark: Die Silverstar.
Zentrische Streckung: Vierstreckensätze
Abb. 9: Die höchste Achterbahn im Europapark: Die Silverstar.
Sie wollen das vor Ort gleich überprüfen. Daniel stellt sich in einem Abstand von ca. $3,6\,\text{m}$ vom Zaun hin. Aus seiner Sicht überlagern sich die Spitze des $3\,\text{m}$ hohen Zaunes und die höchste Abfahrt der Achterbahn. Aus Sicherheitsgründen ist die Silverstar $200\,\text{m}$ vom Zaun entfernt gebaut worden. Daniel selbst ist $1,75\,\text{m}$ groß.
Fertige eine Skizze an, in der du die Situation darstellst. Beachte dabei, dass Daniel die Spitze des Zauns und der Achterbahn mit den Augen anpeilt. Berechne anschließend mithilfe der Vierstreckensätze die Höhe der Silverstar und sage, ob Daniel oder Andreas näher an der richtigen Antwort lag.
#vierstreckensatz

Aufgabe 5

Vielleicht kennst du die folgende optische Täuschung:
Zentrische Streckung: Vierstreckensätze
Abb. 10: Optische Täuschungen spielen mit unserer Wahrnehmung. Ist das rechte Männchen größer?
Zentrische Streckung: Vierstreckensätze
Abb. 10: Optische Täuschungen spielen mit unserer Wahrnehmung. Ist das rechte Männchen größer?
Zwar sieht es so aus als wäre das rechte Männchen größer, jedoch sind beide Männchen in der Abbildung gleich groß. Die Perspektive des Bildes lässt es aber so erscheinen, als wäre das eine größer als das andere. Du kennst das z.B. auch wenn du Bahnschienen entlang schaust. Je weiter entfernt die Bahnschienen liegen, desto geringer scheint ihr Abstand zu werden, jedoch sind sie immer gleich weit voneinander entfernt.
Die Abbildung ist $20\,\text{cm}$ breit. Die beiden Männchen sind jeweils $7\,\text{cm}$ hoch. Die Männchen sind jeweils ein viertel der Breite vom Bildrand entfernt.
a)
Wie hoch müsste das rechte Männchen sein, damit es im richtigen Verhältnis zum linken Männchen steht?
b)
Ein drittes Männchen soll auf der halben Breite des Bilds eingefügt werden. Es soll von der Perspektive her passend groß sein. Wie groß muss das dritte Männchen sein?
#vierstreckensatz
Bildnachweise [nach oben]
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https://goo.gl/KCJtGn – Europa-Park - Silver Star (31).JPG, Jérémy- Günther- Heinz Jähnick, CC BY-SA 3.0.
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Einführungsaufgabe

a)
Berechne die angegebenen Längenverhältnisse, indem du zuerst die Länge der gesuchten Strecken anhand der Abbildung bestimmst und anschließend das Verhältnis ausrechnest.
In der Abbildung siehst du, dass die Strecke $\overline{ZA}$ $3\,\text{cm}$ lang ist. Die Strecke zwischen $A$ und $A'$ ist noch einmal $3\,\text{cm}$ lang. Demnach ist die Strecke $\overline{ZA'}$ $3\,\text{cm}+3\,\text{cm}=6\,\text{cm}$ lang. Berechne das Verhältnis der Längen.
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}=\dfrac{3\,\text{cm}}{6\,\text{cm}}=\dfrac{1}{2}$
In der Abbildung siehst du, dass die Strecke $\overline{ZB}$ $2,5\,\text{cm}$ lang ist. Die Strecke zwischen $B$ und $B'$ ist noch einmal $2,5\,\text{cm}$ lang. Demnach ist die Strecke $\overline{ZB'}$ $2,5\,\text{cm}+2,5\,\text{cm}=5\,\text{cm}$ lang. Berechne das Verhältnis der Längen.
$\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}=\dfrac{2,5\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}=\dfrac{1}{2}$
In der Abbildung siehst du, dass die Strecke $\overline{AB}$ $1,5\,\text{cm}$ lang ist. Die Strecke zwischen $A'$ und $B'$ ist $3\,\text{cm}$ lang. Berechne das Verhältnis der Längen.
$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\dfrac{1,5\,\text{cm}}{3\,\text{cm}}=\dfrac{1}{2}$
Es fällt auf, dass die angegebenen Längenverhältnisse alle identisch sind.
b)
Berechne die angegebenen Längenverhältnisse, indem du zuerst die Länge der gesuchten Strecken anhand der Abbildung bestimmst und anschließend das Verhältnis ausrechnest.
In der Abbildung siehst du, dass die Strecke $\overline{ZA}$ $3\,\text{cm}$ lang ist. Die Strecke zwischen $Z$ und $A'$ ist $7,5\,\text{cm}$ lang. Berechne das Verhältnis der Längen.
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}=\dfrac{3\,\text{cm}}{7,5\,\text{cm}}=0,4$
In der Abbildung siehst du, dass die Strecke $\overline{ZB}$ $2,5\,\text{cm}$ lang ist. Die Strecke zwischen $Z$ und $B'$ ist $6,25\,\text{cm}$ lang. Berechne das Verhältnis der Längen.
$\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}=\dfrac{2,5\,\text{cm}}{6,25\,\text{cm}}=0,4$
In der Abbildung siehst du, dass die Strecke $\overline{AB}$ $4\,\text{cm}$ lang ist. Die Strecke zwischen $A'$ und $B'$ ist $10\,\text{cm}$ lang. Berechne das Verhältnis der Längen.
$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\dfrac{4\,\text{cm}}{10\,\text{cm}}=0,4$
Es fällt auf, dass die angegebenen Längenverhältnisse alle identisch sind.
c)
Formuliere die Vierstreckensätze, indem du eine Gleichung aufstellst. Auf jeder Seite der Gleichung schreibst du eines der geforderten Längenverhältnisse. Ergänze die Gleichung so, dass die Gleichung erfüllt ist, wenn du die berechneten Verhältnisse aus Aufgabenteil a) oder b) einsetzt.
$\boldsymbol{1.}$ Vierstreckensatz
Der erste Vierstreckensatz bezieht sich auf die Längenverhältnisse der Strecken der sich schneidenden Geraden. Du benötigst für diesen Satz also die Streckenverhältnisse $\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}$ und $\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$. Du hast in Aufgabenteil a) und b) festgestellt, dass diese Längenverhältnisse gleich sind. Demnach kannst du den ersten Vierstreckensatz so formulieren:
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}=\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$
$\boldsymbol{2.}$ Vierstreckensatz
Der zweite Vierstreckensatz bezieht sich auf die Längenverhältnisse der Strecken einer der sich schneidenden Geraden und den Strecken der parallelen Geraden. Du benötigst für diesen Satz also die Streckenverhältnisse $\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}$ und $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}$. Du hast in Aufgabenteil a) und b) festgestellt, dass diese Längenverhältnisse gleich sind. Demnach kannst du den zweiten Vierstreckensatz so formulieren:
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}$
Alternativ kannst du den zweiten Vierstreckensatz auch so formulieren:
$\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}$
Beide Formulierungen des Vierstreckensatzes sind richtig.
Wenn du nun einzelne Teilstreckenlängen einer solchen Figur kennst, dann kannst du über die Vierstreckensätze die Längen von Strecken oder Teilstrecken berechnen.
#vierstreckensatz

Aufgabe 1

Berechne die Längen der fehlenden Strecken mithilfe des ersten und zweiten Vierstreckensatzes. Der erste Vierstreckensatz lautet:
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}=\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}=\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$
Der zweite Vierstreckensatz lautet:
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$
$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$
Überprüfe anhand der Abbildung, welche Streckenlängen gesucht sind und welche du gegeben hast. Entscheide dich anschließend für einen der Vierstreckensätze, setze die bekannten Längen ein und forme so um, dass du die gesuchte Länge berechnen kannst.
a)
Gesucht wird die Länge der Strecke $\overline{AB}$ und der Strecke $\overline{ZA'}$. Berechne die Länge der Strecke $\overline{ZA'}$ mithilfe des ersten Vierstreckensatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}&=&\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{3\,\text{cm}}{x}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{6,5\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 3\,\text{cm}&=&0,615\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :0,615\\[5pt] 4,875\,\text{cm}&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZA'}$ ist $4,875\,\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}$ mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}&=&\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{y}{8,125\,\text{cm}}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{6,5\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 8,125\,\text{cm}\\[5pt] y&=&0,615\cdot 8,125\,\text{cm}\\[5pt] y&=&5\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ y=5\,\text{cm} $
Die Strecke $\overline{AB}$ ist $5\,\text{cm}$ lang.
b)
Gesucht wird die Länge der Strecke $\overline{ZA}$ und der Strecke $\overline{ZB'}$. Berechne die Länge der Strecke $\overline{ZA}$ mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{y}{12\,\text{cm}}&=&\dfrac{3\,\text{cm}}{9\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 12\,\text{cm}\\[5pt] y&=&\dfrac{1}{3}\cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] y&=&4\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZA}$ ist $4\,\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Strecke $\overline{ZB'}$ mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}&=&\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{3\,\text{cm}}{9\,\text{cm}}&=&\dfrac{5\,\text{cm}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] \dfrac{1}{3}\cdot x&=&5\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\\[5pt] x&=&15\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZB'}$ ist $15\,\text{cm}$ lang.
c)
Gesucht wird die Länge der Strecke $\overline{ZB}$ und der Strecke $\overline{AA'}$. Berechne die Länge der Strecke $\overline{ZB}$ mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{y}{7,5\,\text{cm}}&=&\dfrac{3\,\text{cm}}{4,5\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7,5\,\text{cm}\\[5pt] y&=&\dfrac{2}{3}\cdot 7,5\,\text{cm} \\[5pt] y&=&5\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZB}$ ist $5\,\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Strecke $\overline{ZA'}$ mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}&=&\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{3\,\text{cm}}{4,5\,\text{cm}}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] \dfrac{2}{3}\cdot x&=&4\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{3}{2}\\[5pt] x&=&6\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZA'}$ ist $6\,\text{cm}$ lang. Ziehe die Länge der Strecke $\overline{ZA}$ von dieser Länge ab, um die Länge der Strecke $\overline{AA'}$ zu erhalten. Die Länge der Strecke $\overline{AA'}$ beträgt $6\,\text{cm}-4\,\text{cm}=2\,\text{cm}$.
d)
Gesucht wird die Länge der Strecke $\overline{ZB}$ und der Strecke $\overline{A'B'}$. Berechne die Länge der Strecke $\overline{ZB}$ mithilfe des ersten Vierstreckensatzes. Die Strecke $\overline{ZA'}$ ist $4\,\text{cm}+4\,\text{cm}=8\,\text{cm}$ lang.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}&=&\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{y}{7\,\text{cm}}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{8\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7\,\text{cm}\\[5pt] y&=&\dfrac{1}{2}\cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] y&=&3,5\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZB}$ ist $3,5\,\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Strecke $\overline{A'B'}$ mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}&=&\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{2\,\text{cm}}{x}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{8\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 2\,\text{cm}&=&\dfrac{1}{2}\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] 4\,\text{cm}&=&x\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{A'B'}$ ist $4\,\text{cm}$ lang.
#vierstreckensatz

Aufgabe 2

a)
Berechne so viele der fehlenden Längenangaben wie möglich mithilfe der drei Vierstreckensätze. Überlege dir für jede fehlenden Strecke, wie du eine Vierstreckenfigur aus der Abbildung konstruieren kannst, um die Länge der Strecke zu berechnen. Stell dir dafür vor, dass alle überflüssigen Geraden verschwinden und überlege dir, welche Streckenverhältnisse identisch sind.
Es fehlen die folgenden Streckenlängen: $\overline{ZA}$, $\overline{AA'}$. $\overline{A'A''}$, $\overline{BB'}$, $\overline{B'B''}$, $\overline{B'C'}$. $\overline{A''C''}$, $\overline{CC'}$ und $\overline{C'C''}$.
$\boldsymbol{\overline{B'C'}}$
Betrachte als Vierstreckenfigur die Figur aus den drei sich schneidenden Geraden und den ersten beiden parallelen Geraden. Du kannst die Länge der Strecke mithilfe des dritten Vierstreckensatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{3\,\text{cm}}{6\,\text{cm}}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot x&=&4\,\text{cm}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] x&=&8\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{B'C'}$ ist $8\,\text{cm}$ lang.
$\boldsymbol{\overline{BB'}}$
Betrachte als Vierstreckenfigur die Figur aus den zwei linken sich schneidenden Geraden und den ersten beiden parallelen Geraden. Du kannst die Länge der Strecke mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{x}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{8\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 5\,\text{cm}&=&\dfrac{1}{2}\cdot x&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] 10\,\text{cm}&=&x\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{BB'}$ ist $10\,\text{cm}$ lang. Ziehe davon die Länge der Strecke $\overline{ZB}$ ab, um die Länge der Strecke $\overline{BB'}$ zu erhalten. Sie ist $10\,\text{cm}-5\,\text{cm}=5\,\text{cm}$ lang.
$\boldsymbol{\overline{B'B''}}$
Betrachte als Vierstreckenfigur die Figur aus den zwei linken sich schneidenden Geraden und den unteren beiden parallelen Geraden. Du kannst die Länge der Strecke mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB''}}&=&\dfrac{\overline{B'C'}}{\overline{B''C''}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{10\,\text{cm}}{x}&=&\dfrac{8\,\text{cm}}{9\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 10\,\text{cm}&=&\dfrac{8}{9}\cdot x&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{9}{8}\\[5pt] 11,25\,\text{cm}&=&x\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZB''}$ ist $11,25\,\text{cm}$ lang. Ziehe davon die Länge der Strecke $\overline{ZB'}$ ab, um die Länge der Strecke $\overline{B'B''}$ zu erhalten. Sie ist $11,25\,\text{cm}-10\,\text{cm}=1,25\,\text{cm}$ lang.
$\boldsymbol{\overline{A''C''}}$
Betrachte als Vierstreckenfigur die Figur aus den drei sich schneidenden Geraden und den unteren beiden parallelen Geraden. Du kannst die Länge der Strecke mithilfe des dritten Vierstreckensatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{A''C''}}&=&\dfrac{\overline{B'C'}}{\overline{B''C''}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{6\,\text{cm}}{x}&=&\dfrac{8\,\text{cm}}{9\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 6\,\text{cm}&=&\dfrac{8}{9}\cdot x&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{9}{8}\\[5pt] 6,75\,\text{cm}&=&x\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{A''C''}$ ist $6,75\,\text{cm}$ lang.
$\boldsymbol{\overline{CC'}}$
Betrachte als Vierstreckenfigur die Figur aus den zwei linken sich schneidenden Geraden und den ersten beiden parallelen Geraden. Du kannst die Länge der Strecke mithilfe des ersten Vierstreckensatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}&=&\dfrac{\overline{ZC}}{\overline{ZC'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{10\,\text{cm}}&=&\dfrac{2\,\text{cm}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot x&=&2\,\text{cm}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] x&=&4\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZC'}$ ist $4\,\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Strecke $\overline{CC'}$, indem du von der Länge die Länge der Strecke $\overline{ZC}$ abziehst. Die Strecke $\overline{CC'}$ ist $4\,\text{cm}-2\,\text{cm}=2\,\text{cm}$ lang.
$\boldsymbol{\overline{C'C''}}$
Betrachte als Vierstreckenfigur die Figur aus den zwei linken sich schneidenden Geraden und den unteren beiden parallelen Geraden. Du kannst die Länge der Strecke mithilfe des ersten Vierstreckensatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB''}}&=&\dfrac{\overline{ZC'}}{\overline{ZC''}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{10\,\text{cm}}{11,25\,\text{cm}}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 0,889\cdot x&=&4\,\text{cm}&\quad \scriptsize \mid\; :0,889\\[5pt] x&=&4,5\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZC''}$ ist $4,5\,\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Strecke $\overline{C'C''}$, indem du von der Länge die Länge der Strecke $\overline{ZC'}$ abziehst. Die Strecke $\overline{C'C''}$ ist $4,5\,\text{cm}-4\,\text{cm}=0,5\,\text{cm}$ lang.
Die Länge der restlichen drei Streckenteile kannst du nicht berechnen. Dir fehlt eine Angabe einer Teilstrecke von $\overline{ZA''}$. Wenn du versuchst diese Strecken mit einer Vierstreckenfigur zu berechnen, dann endest du immer bei einem Bruch mit zwei Unbekannten. Du benötigst also mehr Angaben, um alle der fehlenden Strecken zu berechnen.
b)
Nun hast du die fehlende Angabe. Berechne die restlichen Streckenlängen, wie du es schon in Aufgabenteil a) gemacht hast.
$\boldsymbol{\overline{AA'}}$
Betrachte als Vierstreckenfigur die Figur aus den zwei äußeren sich schneidenden Geraden und den ersten beiden parallelen Geraden. Du kannst die Länge der Strecke mithilfe des ersten Vierstreckensatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}&=&\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{5\,\text{cm}}{10\,\text{cm}}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot x&=&4\,\text{cm}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] x&=&8\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZA'}$ ist $8\,\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Strecke $\overline{AA'}$, indem du von der Länge die Länge der Strecke $\overline{ZA}$ abziehst. Die Strecke $\overline{AA'}$ ist $8\,\text{cm}-4\,\text{cm}=4\,\text{cm}$ lang.
$\boldsymbol{\overline{A'A''}}$
Betrachte als Vierstreckenfigur die Figur aus den zwei äußeren sich schneidenden Geraden und den unteren beiden parallelen Geraden. Du kannst die Länge der Strecke mithilfe des ersten Vierstreckensatzes berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB''}}&=&\dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA''}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{10\,\text{cm}}{11,25\,\text{cm}}&=&\dfrac{8\,\text{cm}}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 0,889\cdot x&=&8\,\text{cm}&\quad \scriptsize \mid\; :0,889\\[5pt] x&=&9\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{ZA''}$ ist $9\,\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Strecke $\overline{A'A''}$, indem du von der Länge die Länge der Strecke $\overline{ZA'}$ abziehst. Die Strecke $\overline{A'A''}$ ist $9\,\text{cm}-8\,\text{cm}=1\,\text{cm}$ lang.
#vierstreckensatz

Aufgabe 3

Überlege dir, wo in der Abbildung Vierstreckenfiguren sind, die du zum Berechnen der Länge der roten Strecke verwenden kannst. Fange dabei am besten mit einer Vierstreckenfigur an, mit der du die Länge der roten Strecke berechnen kannst. Überprüfe, welche Streckenlängen fehlen und über welche Vierstreckenfiguren du diese berechnen kannst. Mach das, bis du an einem Punkt ankommst, an dem du mit der Vierstreckenfigur losrechnen kannst.
Die grüne Strecke ist $18\,\text{cm}$ lang.
#vierstreckensatz

Aufgabe 4

Lies den Text aufmerksam durch und sammle alle Informationen, die dir gegeben werden. Zeichne anschließend eine Vierstreckenfigur mithilfe der Angaben. Überlege dir, welche Länge zu welchem Streckenteil gehört. Welchen Einfluss hat Daniels Größe?
Daniel peilt die Spitze des Zauns und der Achterbahn mit den Augen an. Deshalb liegt die Vierstreckenfigur $1,75\,\text{m}$ über dem Boden. Diese Höhe musst du für die Höhenbestimmung der Achterbahn berücksichtigen. Deine Skizze sollte ungefähr so aussehen:
Du erkennst die Vierstreckenfigur. Was du suchst ist die Strecke $\overline{A'B'}$. Du hast die Strecke $\overline{ZB}$ mit $3,6\,\text{m}$ gegeben. Das ist der Abstand von Daniel zum Zaun. Ebenfalls kennst du die Strecke $\overline{BB'}$. Sie ist $200\,\text{m}$ lang und ist der Abstand von der Achterbahn zum Zaun. Damit erhältst du für die Länge der Strecke $\overline{ZB'}$ eine Länge von $200\,\text{m}+3,6\,\text{m}=203,6\,\text{m}$.
Du kannst außerdem die Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen. Wenn der Zaun $3\,\text{m}$ hoch ist und Daniel $1,75\,\text{m}$ hoch, dann ist die Strecke $\overline{AB}$ $3\,\text{m}-1,75\,\text{m}=1,25\,\text{m}$ hoch. Damit hast du nun genug Angaben, um die gesuchte Strecke mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}&=&\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{1,25\,\text{m}}{x}&=&\dfrac{3,6\,\text{m}}{203,6\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 1,25\,\text{m}&=&0,0177\cdot x&\quad \scriptsize \mid\; :0,0177\\[5pt] 70,7\,\text{m}&\approx& x\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{A'B'}$ ist ungefähr $70,7\,\text{m}$ lang. Das ist nicht die komplette Höhe der Achterbahn. Wenn du in die Skizze siehst, dann fehlt noch ein kleiner Teil, der der Höhe von Daniel entspricht. Addiere deshalb noch die Höhe von Daniel dazu, um die Höhe der Silverstar zu erhalten. Überprüfe anschließend, ob Daniels oder Andreas Aussage näher an der tatsächlichen Höhe ist.
$70,7\,\text{m}+1,75\,\text{m}=72,45\,\text{m}$
Die Silverstar ist $72,45\,\text{m}$ hoch. Die Aussage von Daniel ist näher an der tatsächlichen Höhe gewesen.
#vierstreckensatz

Aufgabe 5

a)
Wenn du berechnen willst, wie groß das rechte Männchen sein muss, damit es vom Verhältnis her passt, dann benötigst du eine Vierstreckenfigur. Schau in die Abbildung und überlege dir, wo du eine Vierstreckenfigur einzeichnen könntest, von der du verschiedene Größen kennst.
Du kannst die Streckenteile vom Schnittpunkt $Z$ zu den oberen Enden des linken Männchens ($A'$) und zum oberen Ende des perspektivisch richtigen rechten Männchens ($A$) mithilfe der Infos aus der Aufgabenstellung berechnen.
Das Bild ist $20\,\text{m}$ breit. Die Länge der Strecke wird vom rechten Rand aus gemessen. Das rechte Männchen ist eine viertel Bildbreite davon entfernt also $\dfrac{20\,\text{cm}}{4}=5\,\text{cm}$. Das linke Männchen ist eine viertel Bildbreite vom linken Rand, also eine dreiviertel Bildbreite vom rechten Bildrand entfernt. Der Abstand beträgt $\dfrac{3}{4}\cdot20\,\text{cm}=15\,\text{cm}$. Das linke Männchen ist $7\,\text{cm}$ groß. Berechne nun die Höhe des perspektivisch richtigen rechten Männchens mithilfe des zweiten Vierstreckensatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}&=&\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{x}{7\,\text{cm}}&=&\dfrac{5\,\text{cm}}{15\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7\,\text{cm}\\[5pt] x&=&\dfrac{1}{3}\cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] x&=&2,33\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Perspektivisch richtig müsste das rechte Männchen $2,33\,\text{cm}$ groß sein.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}&=&\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{x}{7\,\text{cm}}&=&\dfrac{10\,\text{cm}}{15\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7\,\text{cm}\\[5pt] x&=&\dfrac{2}{3}\cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] x&=&4,67\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Das dritte Männchen muss $4,67\,\text{cm}$ hoch sein. Das Bild würde dann so aussehen:
#vierstreckensatz
Bildnachweise [nach oben]
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