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Analysis

Aufgaben
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1.1
Gegeben ist für alle $t\geq0$ die Funktion $f_t$ mit $f_t(x)=-\frac{1}{4}x^4+x^3- \frac{t}{4}x^2$ mit $x \in \mathbb{R}$.
Das Schaubild von $f_t$ ist $K_t$
1.1.1
Berechne von $K_0$ den Extrempunkt und die Wendepunkte.
Zeichne $K_0$.
(9P)
#wendepunkt#schaubild#extrempunkt
1.1.2
Das Schaubild $K_0$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche ein.
Die Gerade mit der Gleichung $x=a$ halbiert den Inhalt dieser Fläche.
Bestimme den Wert von $a$.
(4P)
1.1.3
Die Punkte $A\;(0\;|\;0)$, $B\;(u\;|\;0)$ und $C\;(u\;|\;f_0(u))$ mit $0<u<4$ sind Eckpunkte des Dreiecks $ABC$. Durch Rotation dieses Dreiecks um die $x$-Achse entsteht ein Körper.
Für welchen Wert von $u$ ist das Volumen dieses Körpers maximal? Gib das maximale Volumen an.
(6P)
#rotationsvolumen
1.1.4
Zeige rechnerisch, dass nur eine Tangente an das Schaubild $K_0$ durch den Punkt $P(0|1)$ verläuft. Gib die Gleichung dieser Tangente an.
(4P)
#tangente
1.1.5
Gib zwei gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder $K_t$ an.
(2P)
1.1.6
Zeige, dass für alle $t\geq6$ das Schaubild $K_t$ keine Wendepunkte besitzt.
(5P)
#wendepunkt
1.2
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=-x \cdot \sin(x)$;$x\in \mathbb{R}$.
$C$ ist das Schaubild von $g$.
1.2.1
Untersuche das Schaubild $C$ auf Symmetrie. Zeichne $C$ für $0 \leq x \leq 2\pi$.
(4P)
#symmetrie#sinusfunktion
1.2.2
Das Schaubild $C$ schließt mit der $x$-Achse im Bereich $0 \leq x \leq 2\pi$ zwei Flächen ein.
Berechne jeweils deren Inhalt.
Für jedes $k \in \mathbb{N}$ gilt die Gleichung:
$\,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{(k+1)\cdot \pi}^{(k+2)\cdot \pi}\;\mathrm g(x) dx\,\bigg \vert \,=\,\bigg \vert \,\displaystyle\int_{k \pi}^{(k+1)\cdot \pi}\;\mathrm g(x) dx\,\bigg \vert \, +2\pi$
Interpretiere diese Gleichung graphisch.
(5P)
#integral
1.3
Die folgende Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion $h$.
Prüfe folgende Aussagen.
    (1) $\;$ Das Schaubild jeder Stammfunktion von $h$ hat auf der $y$-Achse einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
    (2) $\;$ Das Schaubild der Ableitungsfunktion $h'$ hat im Intervall $[-1;0]$ einen Tiefpunkt.
    (3) $\;$ Die Funktion $h$ besitzt im Intervall $[0;2]$ eine Umkehrfunktion.
(6P)

(45P)
#umkehrfunktion#wendepunkt#extrempunkt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Extrempunkt berechnen
Du hast die Funktion $f_0$ gegeben und sollst deren Graph $K_0$ auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_0'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_0''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_0''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_0'$ und $f_0''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_0'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_0''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f_0$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$  Wendepunkte bestimmen
Du hast die Funktion $F_0$ gegeben und sollst deren Graph $K_0$ auf Wendepunkte untersuchen. Für einen Wendepunkt $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_0''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_0'''(x_W)\neq; 0$, handelt es sich um einen Wendepunkt
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die dritte Ableitungsfunktion $f_0'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_0''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_0'''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art des Wendepunktes, also ob die Wendetangente fällt oder steigt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $g$ am Wendepunkt.
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Um $K_0$ zu zeichnen kannst du es in deinem CAS zeichnen und dann eine Wertetabelle anlegen. Gehe dazu wie folgt an deinem CAS vor:
Menü $\rightarrow$ Grafik und Tabelle
Menü $\rightarrow$ Grafik und Tabelle
1.1.2
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Du sollst den Parameter $a$ so bestimmen, dass die Gerade $x = a$ die Fläche, welche $K_0$ mit der $x$-Achse einschliest halbiert. Dazu gibst du die Funktion $f_0$ in deinen CAS ein. Dann kannst du das Integral über $f(x)$ zwischen den beiden Nullstellen bestimmen. Teilst du dieses durch zwei, so weißt du die Größe der Fläche, welche von $x=0$ und $x=a$ begrenzt wird. Dein CAS kann diese Schritte mithilfe des Solve-Befehls lösen. Du musst das Integral über $f_0(x)$ von $x = 0$ bis $4$ halbieren und mit dem Integral von $x = 0$ bis $a$ gleichsetzen.
1.1.3
$\blacktriangleright$  Maximales Volumen bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du den Parameter $u$ so bestimmen, dass das Rotationsvolumen des Körpers maximal wird. Dein CAS kann diesen Schritt vollständig durchführen.
  1. Zuerst bestimmst du das Rotationsvolumen in Abhängigkeit von $u$.
    Der entstehende Körper ist ein Kegel mit der Höhe $h = u$ und dem radius $r = f(u)$. Das Volumen eines Kegels bestimmst du mit folgender Formel:
    $\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Die Funktion für das Volumen lautet also: $\begin{array}[t]{rll} V(u)&=&\frac{1}{3}\pi \cdot u\cdot (f(u))^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
  2. Die Funktion des Volumens in Abhängigkeit von $u$ ableiten.
  3. Du suchst die Nullstelle der Ableitung, da sich hier der Hochpunkt der Volumenfunktion befindet
$\blacktriangleright$  Maximales Volumen bestimmen
Zur Bestimmung des maximalen Volumen setzt du die Lösung für $u$ in die Volumenfunktion ein.
1.1.4
$\blacktriangleright$  Zeige das nur eine Tangente durch den Punkt P läuft
In diesem Aufgabenteil sollst du zeigen, dass nur eine Tangente an dem Graphen $K_0$ durch den Punkt $P(0 \mid 1)$ verläuft.
Um eine Tangente an dem Graphen der Funktion $f_t$ durch den Punkt $P(0\mid 1)$ zu bestimmen, kannst du die gewöhnliche Form einer Geradengleichung verwenden.
$f(x)$ = $f'(x_1)\cdot x+y_1$
$f(x)$ = $f'(x_1)\cdot x+y_1$
Hierbei musst du $f_0(x)$ einmal ableiten und $f_0(x)$ und $f_0'(x)$ in die allgemeine Form einer Geradengleichung einsetzen.
1.1.5
$\blacktriangleright$  Gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder finden.
In dieser Aufgabe sollst du zwei gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder $K_t$ angeben. Um zwei gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder $K_t$ zu finden, kannst du mehrere Schaubilder $K_t$ plotten und diese auf gleiche Eigenschaften überprüfen.
Du kannst aber auch schon am Term von $f_t$ erkennen, welche Gemeinsamkeiten alle Schaubilder $K_t$ haben. Unteruche dazu auch die Ableitung $f_t'$.
1.1.6
$\blacktriangleright$  Wendepunkt untersuchen
Du sollst zeigen, dass $K_t$ für $t\geq 6$ keine Wendepunkte besitzt. Dazu kannst du die Notwendige Bedingung für Wendepunkte $f_t''(x) =0$ benutzen. Du leitest $f_t(x)$ zweimal ab und überprüfst, ob beim Gleichsetzen mit $0$ für $t\geq 6$ ein Widerspruch auftritt.
1.2.1
$\blacktriangleright$  Schaubild auf Symmetrie untersuchen
Du sollst das Schaubild $g(x)$ auf Symmetrie untersuchen. Dazu kannst du die Funktion in deinem CAS plotten und dir verdeutlichen welche Symmetrie das Schaubild besitzt.
Um zu zeigen, dass der Graph von $g(x)$ punkktsyymetrisch ist muss $f(-x)=-f(x)$ gelten.
Für Achsensymmetrie muss $f(-x)=f(x)$ gelten.
1.2.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt der zwei Flächen, welche das Schaubild $C$ mit der $x$-Achse im Bereich $0\leq x\leq 2\pi$ einschließt, bestimmen. Dazu musst du zuerst die Nullstelle der Funktion bestimmen. Anschließend bestimmst du mit deinem CAS den gesuchten Flächeninhalt.
$\blacktriangleright$  Gleichung graphisch interpretieren
In dieser Teilaufgabe sollst du die gegebene Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{(k+1)\cdot \pi}^{(k+2)\cdot \pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, &=& \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{k \cdot \pi}^{(k+1) \cdot \pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, + 2\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
graphisch interpretieren. Um herauszufinden was die Gleichung ausdrückt kannst du beispielsweise $k = 1$ in die Gleichung einsetzen und dir verdeutlichen welchen Größen du damit berechnest.
1.3
$\blacktriangleright$  Aussage 1
Du sollst prüfen, ob der Graph jeder Stammfunktion von $h$ auf der $y$-Achse einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt. Einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Sattelpunkt.
Bezeichne die Stammfunktion von der Funktion $h$ hierbei mit $f$. Somit besitzt der Graph der Funktion $f$ einen Sattelpunkt, wenn $f''(x) = 0$ und $f'(x) = 0$ gilt.
Da du die Stammfunktionen von $h$ untersuchen sollst, kannst du den Graphen der Funktion $h$ als erste Ableitung interpretieren.
$\blacktriangleright$  Aussage 2
Du sollst überprüfen, ob das Schaubild $h'$ der Ableitungfunktion im Intervall $[-1;0]$ einen Tiefpunkt besitzt.
Die Bedingung für einen Extrempunkt der Ableitung ist ein Wendepunkt der Funktion.
$\blacktriangleright$  Aussage 3
Du sollst prüfen, ob die Funktion $h$ im Intervall $[0;2]$ eine Umkehrfunktion besitzt. Voraussetzung für eine Umkehrfunktion ist, dass die Funktion streng monoton im gesamten Intervall ist.
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Lösungen TI
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Extrempunkt berechnen
Du hast die Funktion $f_0$ gegeben und sollst deren Graph $K_0$ auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_0'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_0''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_0''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_0'$ und $f_0''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_0'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_0''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f_0$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_0(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3&\quad \scriptsize \\[10pt] f_0'(x)&=& -x^3+3x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f''(x)&=& -3x^2 +6x&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f_0'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_0'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -x^3+3x^2&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2 \cdot (-x+3)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1 &=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_0''(3) &=& -3 \cdot 3^2 +6 \cdot 3&\quad \scriptsize \\[5pt] f_0''(3)&=& -9&\quad \scriptsize \\[5pt] f_0''(3)&<& 0&\quad \scriptsize \mid\; \text{Maximalstelle} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_0''(0) &=& -3 \cdot 0^2 +6 \cdot 0&\quad \scriptsize \\[5pt] f_0''(0)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \text{keine Extremstelle} \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_0(3)&=& -\frac{1}{4} \cdot 3^4+3^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(3)&=& 6,75 \end{array}$
Der Hochpunkt liegt an der Stelle $H(3 \mid 6,75)$.
$\blacktriangleright$  Wendepunkte bestimmen
Du hast die Funktion $F_0$ gegeben und sollst deren Graph $K_0$ auf Wendepunkte untersuchen. Für einen Wendepunkt $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_0''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_0'''(x_W)\neq; 0$, handelt es sich um einen Wendepunkt
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die dritte Ableitungsfunktion $f_0'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_0''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_0'''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art des Wendepunktes, also ob die Wendetangente fällt oder steigt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $g$ am Wendepunkt.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_0(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3&\quad \scriptsize \\[10pt] f''(x)&=& -3x^2 +6x&\quad \scriptsize \\[5pt] f'''(x)&=& -6x +6&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f_0''(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendepunkte:
$\begin{array}[t]{rll} f_0''(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -3x^2 +6x &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x(-3x+6) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid \text{Satz d. NP}\; \\[5pt] x_1 &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -3x_2 &=& -6 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2 &=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x)&=& -6x +6&\quad \scriptsize \\[5pt] f'''(0)&=& 6&\scriptsize \mid x = 0\; \\[5pt] f'''(2)&=& -6& \end{array}$
4. Schritt: Funktionswert berechnen
Du setzt nun $x = 1$ in $g(x)$ ein um die Koordinaten des Wendepunktes zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f_0(2)&=& -\frac{1}{4} \cdot 2^4+2^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(2)&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(0)&=& -\frac{1}{4} \cdot 0^4+0^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(0)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der erste Wendepunkt lautet damit $W_1(2\mid 4)$ und der zweite Wendepunkte besitzt die Koordinaten $W_2(0 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Um $K_0$ zu zeichnen kannst du es in deinem CAS plotten und dann eine Wertetabelle anlegen.
Menü $\rightarrow$ Tabelle $\rightarrow$ Tabelle mit geteiltem Bildschirm
Menü $\rightarrow$ Tabelle $\rightarrow$ Tabelle mit geteiltem Bildschirm
Analysis
Abb. 1 $K_0$
Analysis
Abb. 1 $K_0$
#extrempunkt#wendepunkt
1.1.2
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Du sollst den Parameter $a$ so bestimmen, dass die Gerade $x = a$ die Fläche, welche $K_0$ mit der $x$-Achse einschliest halbiert. Dazu gibst du die Funktion $f_0$ in deinen CAS ein. Dann kannst du das Integral über $f(x)$ zwischen den beiden Nullstellen bestimmen. Teilst du dieses durch zwei, so weißt du die Größe der Fläche, welche von $x=0$ und $x=a$ begrenzt wird. Dein CAS kann diese Schritte mithilfe des Solve-Befehls lösen. Du musst das Integral über $f_0(x)$ von $x = 0$ bis $4$ halbieren und mit dem Integral von $x = 0$ bis $a$ gleichsetzen. Dann bestimmst du $a$.
Analysis
Abb. 2 Parameter bestimmen
Analysis
Abb. 2 Parameter bestimmen
Du bekommst $3$ mögliche Lösungen für $a$ und musst entscheiden, welche davon plausibel ist.
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 2,74 &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& -2,06 &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& 4,75 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Lösung $a = -2,06$ kann nicht die gesuchte Lösung sein, da die Fläche rechts von der $y$-Achse liegt. $a=4,75$ ist ebenfalls nicht möglich, da die Fläche bei $x = 4$ endet.
Somit ist das gesuchte $a$, welches die Fläche halbiert $a = 2,74$.
#integral
1.1.3
$\blacktriangleright$  Maximales Volumen bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du den Parameter $u$ so bestimmen, dass das Rotationsvolumen des Körpers maximal wird. Dein CAS kann diesen Schritt vollständig durchführen.
  1. Zuerst bestimmst du das Rotationsvolumen in Abhängigkeit von $u$.
    Der entstehende Körper ist ein Kegel mit der Höhe $h = u$ und dem radius $r = f(u)$. Das Volumen eines Kegels bestimmst du mit folgender Formel:
    $\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Die Funktion für das Volumen lautet also: $\begin{array}[t]{rll} V(u)&=&\frac{1}{3}\pi \cdot u\cdot (f(u))^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
  2. Die Funktion des Volumens in Abhängigkeit von $u$ ableiten.
  3. Du suchst die Nullstelle der Ableitung, da sich hier der Hochpunkt der Volumenfunktion befindet
Analysis
Abb. 3 Maximum des Rotationsvolumen
Analysis
Abb. 3 Maximum des Rotationsvolumen
Dein CAS liefert die drei mögliche Lösungen für $u$, wobei nur die Lösung $u = \frac{28}{9}$ im geforderten Intervall zwischen $0$ und $4$ liegt.
Das Volumen des Körpers wird somit für $u \approx 3,11$ maximal.
$\blacktriangleright$  Maximales Volumen bestimmen
Zur Bestimmung des maximalen Volumen setzt du $u = \frac{28}{9}$ in die Volumenfunktion ein.
Analysis
Abb. 4 Maximales Volumen
Analysis
Abb. 4 Maximales Volumen
Das maximale Volumen beträgt $145,89 \text{ VE}$.
#rotationsvolumen
1.1.4
$\blacktriangleright$  Zeige das nur eine Tangente durch den Punkt P läuft
In diesem Aufgabenteil sollst du zeigen, dass nur eine Tangente an dem Graphen $K_0$ durch den Punkt $P(0 \mid 1)$ verläuft.
Um eine Tangente an dem Graphen der Funktion $f_t$ durch den Punkt $P(0\mid 1)$ zu bestimmen, kannst du die gewöhnliche Form einer Geradengleichung verwenden.
$f(x)$ = $f'(x_1)\cdot x+y_1$
$f(x)$ = $f'(x_1)\cdot x+y_1$
Hierbei musst du $f_0(x)$ einmal ableiten und $f_0(x)$ und $f_0'(x)$ in die allgemeine Form einer Geradengleichung einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_0(x)&=& -\frac{1}{4} x^4+x^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0'(x)&=& -x^3+3x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jetzt setzt du den Funktionsterm und dessen Ableitung, sowie den $y$-Achsenabschnitt in die Geradenform ein.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& f_0'(x_1)\cdot x+y_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] -\frac{1}{4} x_1^4+x_1^3&=& (-x_1^3+3x_1^2) \cdot x_1+y_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] -\frac{1}{4} x_1^4+x_1^3&=& -x_1^4+3x_1^3) \cdot x_1+y_1 &\quad \scriptsize \mid \, +x^4-3x^3 \\[5pt] \frac{3}{4} x_1^4-2x_1^3&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen. Du erhältst zwei mögliche Lösungen für $x$, an denen du eine Tangente an dem Graphen von $f_0(x)$ anlegen kannst.
$x_1 = \sqrt{3}+1$
$x_2 = -\sqrt{3}+1$
Diese setzt du jetzt in die Geradengleichung für eine Tangente ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(\sqrt{3}+1)^3+3(\sqrt{3}+1)^2\cdot x + \frac{3}{4} (\sqrt{3}+1)^4-2(\sqrt{3}+1)^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -(-\sqrt{3}+1)^3+3(-\sqrt{3}+1)^2\cdot x + \frac{3}{4} (-\sqrt{3}+1)^4-2(-\sqrt{3}+1)^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 2x+1&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für beide Berührpunkte erhältst du dieselbe Tangente, welche durch den Punkt $P$ geht. Du hast damit gezeigt, dass nur eine Tangente an dem Graphen $K_0$ durch den Punkt $P$ verläuft.
#tangente
1.1.5
$\blacktriangleright$  Gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder finden.
In dieser Aufgabe sollst du zwei gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder $K_t$ angeben. Um zwei gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder $K_t$ zu finden, kannst du mehrere Schaubilder $K_t$ plotten und diese auf gleiche Eigenschaften überprüfen.
Du kannst aber auch schon am Term von $f_t$ erkennen, dass $f_t(0) = 0$ für alle $f_t$ gelten muss, unabhängig von $t$.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3-\frac{t}{4}x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t(0)&= 0& \end{array}$
Die erste gleiche Eigenschaft aller Schaubilder $K_t$ ist somit die Nullstelle bei $x=0$.
Um eine weitere gleiche Eigenschaft zu finden kannst du $f_t$ ableiten.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3-\frac{t}{4}x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t'(x)&=& -x^3+3x^2-\frac{t}{2}x \end{array}$
Auch hier erkennst du das $f_t'(0)=0$ für alle $t$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} f_t'(x)&=& -x^3+3x^2-\frac{t}{2}x &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t'(0)&=& 0 \end{array}$
Dies lässt den Schluss zu, dass alle $K_t$ an der Stelle $x=0$ eine waagerechte Tangente besitzen.
1.1.6
$\blacktriangleright$  Wendepunkt untersuchen
Du sollst zeigen, dass $K_t$ für $t\geq 6$ keine Wendepunkte besitzt. Dazu kannst du die Notwendige Bedingung für Wendepunkte $f_t''(x) =0$ benutzen. Du leitest $f_t(x)$ zweimal ab und überprüfst, ob beim Gleichsetzen mit $0$ für $t\geq 6$ ein Widerspruch auftritt.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3-\frac{t}{4}x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t'(x)&=& -x^3+3x^2-\frac{t}{2}x &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t''(x)&=& -3x^2+6x-\frac{t}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Setze die zweite Ableitung $f_t''(x) =0$ und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} f_t''(x)&=& -3x^2+6x-\frac{t}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& -3x^2+6x-\frac{t}{2}&\quad \scriptsize \mid \, :(-3) \\[5pt] 0&=& x^2-2x+\frac{t}{6}&\quad \scriptsize \mid \, \text{pq-Formel} \\[5pt] x_1&=& 1 + \sqrt{1-\frac{t}{6}}\\[5pt] x_2&=& 1 - \sqrt{1-\frac{t}{6}}\\[5pt] \end{array}$
Der Ausdruck unter der Wurzel wird somit für $t > 6$ negativ und der Graph von $f_t$ besitzt somit keine Nullstellen für $t > 6$. Du musst noch untersuchen, was für den Fall $t=6$ passiert.
Für $t=6$ besitzt der Graph von $f_6''(x)$ eine doppelte Nullstelle bei $x=1$. Somit gilt $f_6'''(1)=0$ und damit besitzt der Graph von $f_6$ keinen Wendepunkt und du hast gezeigt, dass der Graph von $f_t$ für $t\geq 6$ keine Wendepunkte besitzt.
#wendepunkt#pq-formel
1.2.1
$\blacktriangleright$  Schaubild auf Symmetrie untersuchen
Du sollst das Schaubild $g(x)$ auf Symmetrie untersuchen. Dazu kannst du die Funktion in deinem CAS plotten.
Analysis
Abb. 5 Symmetrie
Analysis
Abb. 5 Symmetrie
Du kannst erkennen das das Schaubild $C$ symmetrisch zur $y$-Achse ist. Dies musst du noch beweisen.
Du weist, dass der Sinus punktsymmetrisch ist, also $\sin(x) = -\sin(-x)$ gilt. Außerdem kennst du die Bedingung für $y$-Achsensymmetrie, sie lautet: $f(x) = f(-x)$.
Um zu beweisen, dass $g(x)$ punktsymmetrisch ist, musst du mithilfe der Eigenschaft des Sinus die $y$-Achsensymmetrie zeigen.
$\begin{array}[t]{rll} g(-x)&=& -(-x) \cdot \sin(-x) &\quad \scriptsize \\[5pt] g(-x)&=& -x \cdot -\sin(-x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{Eigenschaft des Sinus einsetzen} \\[5pt] g(-x)&=& -x \cdot \sin(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] g(-x)&=& g(x) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Bedingung für Achsensymmetrie} \\[5pt] \end{array}$
Du hast $g(x)=g(-x)$ gezeigt. Damit ist $g(x)$ Achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
#symmetrie
1.2.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt der zwei Flächen, welche das Schaubild $C$ mit der $x$-Achse im Bereich $0\leq x\leq 2\pi$ einschließt, bestimmen. Dazu musst du zuerst die Nullstelle der Funktion bestimmen. Sie befindet sich an der Stelle $x= \pi$. Anschließend bestimmst du mit deinem CAS den gesuchten Flächeninhalt.
Analysis
Abb. 6 Flächeninhalt
Analysis
Abb. 6 Flächeninhalt
Somit gilt für den Flächeninhalt $A_1$ der Fläche, welche das Schaubild $C$ mit der $x$-Achse im Bereich $0\leq x\leq \pi$ einschließt: $A_1 \approx 3,14$
Entsprechend gilt für den Flächeninhalt $A_2$ der Fläche, welche das Schaubild $C$ mit der $x$-Achse im Bereich $ \pi \leq x\leq 2 \cdot\pi$ einschließt: $A_2 \approx 9,42$
$\blacktriangleright$  Gleichung graphisch interpretieren
In dieser Teilaufgabe sollst du die gegebene Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{(k+1)\cdot \pi}^{(k+2)\cdot \pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, &=& \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{k \cdot \pi}^{(k+1) \cdot \pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, + 2\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
graphisch interpretieren. Um herauszufinden was die Gleichung ausdrückt kannst du beispielsweise $k = 1$ in die Gleichung einsetzen. Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{2\pi}^{3\pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, &=& \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, + 2\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Interpretation dieser Gleichung kannst du damit folgendermaßen ausdrücken: Das Integral von $2 \pi$ bis $3\pi $ über g(x) ist um $2\pi$ größer als das Integral von $\pi$ bis $2 \pi$
Das bedeutet für die Interpretation der gegebenen Gleichung, dass jedes Flächenstück, welches von dem Graphen $C$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird um $2\cdot \pi$ größer ist, als das vorherige. Hierbei werden die Flächenstücke $A_1$ im Intervall $0\leq x \leq \pi$, $A_2$ im Intervall $\pi \leq x \leq 2\cdot \pi$ und folgende betrachtet.
#integral
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Lösungen Casio
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1.1.1
$\blacktriangleright$  Extrempunkt berechnen
Du hast die Funktion $f_0$ gegeben und sollst deren Graph $K_0$ auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_0'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_0''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_0''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_0'$ und $f_0''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_0'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_0''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f_0$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_0(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3&\quad \scriptsize \\[10pt] f_0'(x)&=& -x^3+3x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f''(x)&=& -3x^2 +6x&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f_0'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_0'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -x^3+3x^2&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2 \cdot (-x+3)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1 &=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_0''(3) &=& -3 \cdot 3^2 +6 \cdot 3&\quad \scriptsize \\[5pt] f_0''(3)&=& -9&\quad \scriptsize \\[5pt] f_0''(3)&<& 0&\quad \scriptsize \mid\; \text{Maximalstelle} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_0''(0) &=& -3 \cdot 0^2 +6 \cdot 0&\quad \scriptsize \\[5pt] f_0''(0)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \text{keine Extremstelle} \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_0(3)&=& -\frac{1}{4} \cdot 3^4+3^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(3)&=& 6,75 \end{array}$
Der Hochpunkt liegt an der Stelle $H(3 \mid 6,75)$.
$\blacktriangleright$  Wendepunkte bestimmen
Du hast die Funktion $F_0$ gegeben und sollst deren Graph $K_0$ auf Wendepunkte untersuchen. Für einen Wendepunkt $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_0''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f_0'''(x_W)\neq; 0$, handelt es sich um einen Wendepunkt
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die dritte Ableitungsfunktion $f_0'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_0''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_0'''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art des Wendepunktes, also ob die Wendetangente fällt oder steigt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $g$ am Wendepunkt.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_0(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3&\quad \scriptsize \\[10pt] f''(x)&=& -3x^2 +6x&\quad \scriptsize \\[5pt] f'''(x)&=& -6x +6&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f_0''(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendepunkte:
$\begin{array}[t]{rll} f_0''(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -3x^2 +6x &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x(-3x+6) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid \text{Satz d. NP}\; \\[5pt] x_1 &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] -3x_2 &=& -6 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2 &=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x)&=& -6x +6&\quad \scriptsize \\[5pt] f'''(0)&=& 6&\scriptsize \mid x = 0\; \\[5pt] f'''(2)&=& -6& \end{array}$
4. Schritt: Funktionswert berechnen
Du setzt nun $x = 1$ in $g(x)$ ein um die Koordinaten des Wendepunktes zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f_0(2)&=& -\frac{1}{4} \cdot 2^4+2^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(2)&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(0)&=& -\frac{1}{4} \cdot 0^4+0^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0(0)&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der erste Wendepunkt lautet damit $W_1(2\mid 4)$ und der zweite Wendepunkte besitzt die Koordinaten $W_2(0 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Um $K_0$ zu zeichnen kannst du es in deinem CAS plotten und dann eine Wertetabelle anlegen.
Menü $\rightarrow$ Grafik und Tabelle
Menü $\rightarrow$ Grafik und Tabelle
Analysis
Abb. 1 $K_0$
Analysis
Abb. 1 $K_0$
#wendepunkt#extrempunkt
1.1.2
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Du sollst den Parameter $a$ so bestimmen, dass die Gerade $x = a$ die Fläche, welche $K_0$ mit der $x$-Achse einschliest halbiert. Dazu gibst du die Funktion $f_0$ in deinen CAS ein. Dann kannst du das Integral über $f(x)$ zwischen den beiden Nullstellen bestimmen. Teilst du dieses durch zwei, so weißt du die Größe der Fläche, welche von $x=0$ und $x=a$ begrenzt wird. Dein CAS kann diese Schritte mithilfe des Solve-Befehls lösen. Du musst das Integral über $f_0(x)$ von $x = 0$ bis $4$ halbieren und mit dem Integral von $x = 0$ bis $a$ gleichsetzen. Dann bestimmst du $a$.
Analysis
Abb. 2 Parameter bestimmen
Analysis
Abb. 2 Parameter bestimmen
Du bekommst $3$ mögliche Lösungen für $a$ und musst entscheiden, welche davon plausibel ist.
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 2,74 &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& -2,06 &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=& 4,75 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Lösung $a = -2,06$ kann nicht die gesuchte Lösung sein, da die Fläche rechts von der $y$-Achse liegt. $a=4,75$ ist ebenfalls nicht möglich, da die Fläche bei $x = 4$ endet.
Somit ist das gesuchte $a$, welches die Fläche halbiert $a = 2,74$.
#integral
1.1.3
$\blacktriangleright$  Maximales Volumen bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du den Parameter $u$ so bestimmen, dass das Rotationsvolumen des Körpers maximal wird. Dein CAS kann diesen Schritt vollständig durchführen.
  1. Zuerst bestimmst du das Rotationsvolumen in Abhängigkeit von $u$.
    Der entstehende Körper ist ein Kegel mit der Höhe $h = u$ und dem radius $r = f(u)$. Das Volumen eines Kegels bestimmst du mit folgender Formel:
    $\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
    Die Funktion für das Volumen lautet also: $\begin{array}[t]{rll} V(u)&=&\frac{1}{3}\pi \cdot u\cdot (f(u))^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
  2. Die Funktion des Volumens in Abhängigkeit von $u$ ableiten.
  3. Du suchst die Nullstelle der Ableitung, da sich hier der Hochpunkt der Volumenfunktion befindet
Analysis
Abb. 3 Maximum des Rotationsvolumen
Analysis
Abb. 3 Maximum des Rotationsvolumen
Dein CAS liefert die drei mögliche Lösungen für $u$, wobei nur die Lösung $u = \frac{28}{9}$ im geforderten Intervall zwischen $0$ und $4$ liegt.
Das Volumen des Körpers wird somit für $u \approx 3,11$ maximal.
$\blacktriangleright$  Maximales Volumen bestimmen
Zur Bestimmung des maximalen Volumen setzt du $u = \frac{28}{9}$ in die Volumenfunktion ein.
Analysis
Abb. 4 Maximales Volumen
Analysis
Abb. 4 Maximales Volumen
Das maximale Volumen beträgt $145,89 \text{ VE}$.
#rotationsvolumen
1.1.4
$\blacktriangleright$  Zeige das nur eine Tangente durch den Punkt P läuft
In diesem Aufgabenteil sollst du zeigen, dass nur eine Tangente an dem Graphen $K_0$ durch den Punkt $P(0 \mid 1)$ verläuft.
Um eine Tangente an dem Graphen der Funktion $f_t$ durch den Punkt $P(0\mid 1)$ zu bestimmen, kannst du die gewöhnliche Form einer Geradengleichung verwenden.
$f(x)$ = $f'(x_1)\cdot x+y_1$
$f(x)$ = $f'(x_1)\cdot x+y_1$
Hierbei musst du $f_0(x)$ einmal ableiten und $f_0(x)$ und $f_0'(x)$ in die allgemeine Form einer Geradengleichung einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f_0(x)&=& -\frac{1}{4} x^4+x^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_0'(x)&=& -x^3+3x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Jetzt setzt du den Funktionsterm und dessen Ableitung, sowie den $y$-Achsenabschnitt in die Geradenform ein.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& f_0'(x_1)\cdot x+y_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] -\frac{1}{4} x_1^4+x_1^3&=& (-x_1^3+3x_1^2) \cdot x_1+y_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] -\frac{1}{4} x_1^4+x_1^3&=& -x_1^4+3x_1^3) \cdot x_1+y_1 &\quad \scriptsize \mid \, +x^4-3x^3 \\[5pt] \frac{3}{4} x_1^4-2x_1^3&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit dem CAS lösen. Du erhältst zwei mögliche Lösungen für $x$, an denen du eine Tangente an dem Graphen von $f_0(x)$ anlegen kannst.
$x_1 = \sqrt{3}+1$
$x_2 = -\sqrt{3}+1$
Diese setzt du jetzt in die Geradengleichung für eine Tangente ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(\sqrt{3}+1)^3+3(\sqrt{3}+1)^2\cdot x + \frac{3}{4} (\sqrt{3}+1)^4-2(\sqrt{3}+1)^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -(-\sqrt{3}+1)^3+3(-\sqrt{3}+1)^2\cdot x + \frac{3}{4} (-\sqrt{3}+1)^4-2(-\sqrt{3}+1)^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 2x+1&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für beide Berührpunkte erhältst du dieselbe Tangente, welche durch den Punkt $P$ geht. Du hast damit gezeigt, dass nur eine Tangente an dem Graphen $K_0$ durch den Punkt $P$ verläuft.
#tangente
1.1.5
$\blacktriangleright$  Gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder finden.
In dieser Aufgabe sollst du zwei gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder $K_t$ angeben. Um zwei gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder $K_t$ zu finden, kannst du mehrere Schaubilder $K_t$ plotten und diese auf gleiche Eigenschaften überprüfen.
Du kannst aber auch schon am Term von $f_t$ erkennen, dass $f_t(0) = 0$ für alle $f_t$ gelten muss, unabhängig von $t$.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3-\frac{t}{4}x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t(0)&= 0& \end{array}$
Die erste gleiche Eigenschaft aller Schaubilder $K_t$ ist somit die Nullstelle bei $x=0$.
Um eine weitere gleiche Eigenschaft zu finden kannst du $f_t$ ableiten.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3-\frac{t}{4}x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t'(x)&=& -x^3+3x^2-\frac{t}{2}x \end{array}$
Auch hier erkennst du das $f_t'(0)=0$ für alle $t$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} f_t'(x)&=& -x^3+3x^2-\frac{t}{2}x &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t'(0)&=& 0 \end{array}$
Dies lässt den Schluss zu, dass alle $K_t$ an der Stelle $x=0$ eine waagerechte Tangente besitzen.
1.1.6
$\blacktriangleright$  Wendepunkt untersuchen
Du sollst zeigen, dass $K_t$ für $t\geq 6$ keine Wendepunkte besitzt. Dazu kannst du die Notwendige Bedingung für Wendepunkte $f_t''(x) =0$ benutzen. Du leitest $f_t(x)$ zweimal ab und überprüfst, ob beim Gleichsetzen mit $0$ für $t\geq 6$ ein Widerspruch auftritt.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+x^3-\frac{t}{4}x^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t'(x)&=& -x^3+3x^2-\frac{t}{2}x &\quad \scriptsize \\[5pt] f_t''(x)&=& -3x^2+6x-\frac{t}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Setze die zweite Ableitung $f_t''(x) =0$ und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} f_t''(x)&=& -3x^2+6x-\frac{t}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& -3x^2+6x-\frac{t}{2}&\quad \scriptsize \mid \, :(-3) \\[5pt] 0&=& x^2-2x+\frac{t}{6}&\quad \scriptsize \mid \, \text{pq-Formel} \\[5pt] x_1&=& 1 + \sqrt{1-\frac{t}{6}}\\[5pt] x_2&=& 1 - \sqrt{1-\frac{t}{6}}\\[5pt] \end{array}$
Der Ausdruck unter der Wurzel wird somit für $t > 6$ negativ und der Graph von $f_t$ besitzt somit keine Nullstellen für $t > 6$. Du musst noch untersuchen, was für den Fall $t=6$ passiert.
Für $t=6$ besitzt der Graph von $f_6''(x)$ eine doppelte Nullstelle bei $x=1$. Somit gilt $f_6'''(1)=0$ und damit besitzt der Graph von $f_6$ keinen Wendepunkt und du hast gezeigt, dass der Graph von $f_t$ für $t\geq 6$ keine Wendepunkte besitzt.
#wendepunkt#pq-formel
1.2.1
$\blacktriangleright$  Schaubild auf Symmetrie untersuchen
Du sollst das Schaubild $g(x)$ auf Symmetrie untersuchen. Dazu kannst du die Funktion in deinem CAS plotten.
Analysis
Abb. 5 Symmetrie
Analysis
Abb. 5 Symmetrie
Du kannst erkennen das das Schaubild $C$ symmetrisch zur $y$-Achse ist. Dies musst du noch beweisen.
Du weist, dass der Sinus punktsymmetrisch ist, also $\sin(x) = -\sin(-x)$ gilt. Außerdem kennst du die Bedingung für $y$-Achsensymmetrie, sie lautet: $f(x) = f(-x)$.
Um zu beweisen, dass $g(x)$ punktsymmetrisch ist, musst du mithilfe der Eigenschaft des Sinus die $y$-Achsensymmetrie zeigen.
$\begin{array}[t]{rll} g(-x)&=& -(-x) \cdot \sin(-x) &\quad \scriptsize \\[5pt] g(-x)&=& -x \cdot -\sin(-x) &\quad \scriptsize \mid\;\text{Eigenschaft des Sinus einsetzen} \\[5pt] g(-x)&=& -x \cdot \sin(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] g(-x)&=& g(x) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Bedingung für Achsensymmetrie} \\[5pt] \end{array}$
Du hast $g(x)=g(-x)$ gezeigt. Damit ist $g(x)$ Achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
#symmetrie
1.2.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt der zwei Flächen, welche das Schaubild $C$ mit der $x$-Achse im Bereich $0\leq x\leq 2\pi$ einschließt, bestimmen. Dazu musst du zuerst die Nullstelle der Funktion bestimmen. Sie befindet sich an der Stelle $x= \pi$. Anschließend bestimmst du mit deinem CAS den gesuchten Flächeninhalt.
Analysis
Abb. 7 Flächeninhalt
Analysis
Abb. 7 Flächeninhalt
Somit gilt für den Flächeninhalt $A_1$ der Fläche, welche das Schaubild $C$ mit der $x$-Achse im Bereich $0\leq x\leq \pi$ einschließt: $A_1 \approx 3,14$
Entsprechend gilt für den Flächeninhalt $A_2$ der Fläche, welche das Schaubild $C$ mit der $x$-Achse im Bereich $ \pi \leq x\leq 2 \cdot\pi$ einschließt: $A_2 \approx 9,42$
$\blacktriangleright$  Gleichung graphisch interpretieren
In dieser Teilaufgabe sollst du die gegebene Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{(k+1)\cdot \pi}^{(k+2)\cdot \pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, &=& \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{k \cdot \pi}^{(k+1) \cdot \pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, + 2\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
graphisch interpretieren. Um herauszufinden was die Gleichung ausdrückt kannst du beispielsweise $k = 1$ in die Gleichung einsetzen. Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{2\pi}^{3\pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, &=& \,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}g(x)\;\mathrm dx \,\bigg \vert \, + 2\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Interpretation dieser Gleichung kannst du damit folgendermaßen ausdrücken: Das Integral von $2 \pi$ bis $3\pi $ über g(x) ist um $2\pi$ größer als das Integral von $\pi$ bis $2 \pi$
Das bedeutet für die Interpretation der gegebenen Gleichung, dass jedes Flächenstück, welches von dem Graphen $C$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird um $2\cdot \pi$ größer ist, als das vorherige. Hierbei werden die Flächenstücke $A_1$ im Intervall $0\leq x \leq \pi$, $A_2$ im Intervall $\pi \leq x \leq 2\cdot \pi$ und folgende betrachtet.
#integral
1.3
$\blacktriangleright$  Aussage 1
Du sollst prüfen, ob der Graph jeder Stammfunktion von $h$ auf der $y$-Achse einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt. Einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Sattelpunkt.
Bezeichne die Stammfunktion von der Funktion $h$ hierbei mit $f$. Somit besitzt der Graph der Funktion $f$ einen Sattelpunkt, wenn $f''(x) = 0$ und $f'(x) = 0$ gilt.
Da du die Stammfunktionen von $h$ untersuchen sollst, kannst du den Graphen der Funktion $h$ als erste Ableitung interpretieren.
Das Schaubild der Funktion $h$ hat an der Stelle $x=0$ eine Nullstelle. Die erste Bedingung ist also erfüllt. Es gilt: $h(0)= f'(0) = 0$
Die erste Ableitung von $h$, $h'$ besitzt an der Stelle $x=0$ eine Nullstelle, da der Graph von $h$ bei $x=0$ einen Tiefpunkt besitzt. Somit gilt: $h'(0)= f''(0) = 0$
Die Aussage ist somit korrekt, das Schaubild jeder Stammfunktion von $h$ hat auf der $y$-Achse einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
$\blacktriangleright$  Aussage 2
Du sollst überprüfen, ob das Schaubild $h'$ der Ableitungfunktion im Intervall $[-1;0]$ einen Tiefpunkt besitzt.
Die Bedingung für einen Extrempunkt der Ableitung ist ein Wendepunkt der Funktion. Du kannst erkennen, dass der Graph der Funktion $h$ im Intervall $[-1;0]$ einen Wendepunkt besitzt, also hat $h'$ einen Extrempunkt. Noch ist unklar, ob es sich um einen Hochpunkt oder um einen Tiefpunkt handelt.
Die Funktion fällt im gesamten Intervall, die Ableitungsfunktion muss also kleiner Null sein. Da sie an der Wendestelle am stärksten fällt hat die Ableitung hier einen Tiefpunkt.
Die Aussage stimmt. Das Schaubild der Ableitungfunktion besitzt im Intervall $[-1;0]$ einen Tiefpunkt.
$\blacktriangleright$  Aussage 3
Du sollst prüfen, ob die Funktion $h$ im Intervall $[0;2]$ eine Umkehrfunktion besitzt. Voraussetzung für eine Umkehrfunktion ist, dass die Funktion streng monoton im gesamten Intervall ist.
Die Funktion $h$ hat im Intervall $[0;2]$ einen Hochpunkt und ist damit nicht streng monoton.
Die Aussage ist falsch, die Funktion $h$ besitzt im Intervall $[0;2]$ keine Umkehrfunktion.
#umkehrfunktion#extrempunkt#wendepunkt
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