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1.1
Gegeben ist für alle $t\geq0$ die Funktion $f_t$ mit $f_t(x)=-\frac{1}{4}x^4+x^3- \frac{t}{4}x^2$ mit $x \in \mathbb{R}$.
Das Schaubild von $f_t$ ist $K_t$
1.1.1
Berechne von $K_0$ den Extrempunkt und die Wendepunkte.
Zeichne $K_0$.
(9P)
#graph#wendepunkt#extrempunkt
1.1.2
Das Schaubild $K_0$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche ein.
Die Gerade mit der Gleichung $x=a$ halbiert den Inhalt dieser Fläche.
Bestimme den Wert von $a$.
(4P)
1.1.3
Die Punkte $A\;(0\;|\;0)$, $B\;(u\;|\;0)$ und $C\;(u\;|\;f_0(u))$ mit $0<u<4$ sind Eckpunkte des Dreiecks $ABC$. Durch Rotation dieses Dreiecks um die $x$-Achse entsteht ein Körper.
Für welchen Wert von $u$ ist das Volumen dieses Körpers maximal? Gib das maximale Volumen an.
(6P)
1.1.4
Zeige rechnerisch, dass nur eine Tangente an das Schaubild $K_0$ durch den Punkt $P(0|1)$ verläuft. Gib die Gleichung dieser Tangente an.
(4P)
#tangente
1.1.5
Gib zwei gemeinsame Eigenschaften aller Schaubilder $K_t$ an.
(2P)
1.1.6
Zeige, dass für alle $t\geq6$ das Schaubild $K_t$ keine Wendepunkte besitzt.
(5P)
#wendepunkt
1.2
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=-x \cdot \sin(x)$;$x\in \mathbb{R}$.
$C$ ist das Schaubild von $g$.
1.2.1
Untersuche das Schaubild C auf Symmetrie. Zeichne $C$ für $0 \leq x \leq 2\pi$.
(4P)
#symmetrie
1.2.2
Das Schaubild $C$ schließt mit der $x$-Achse im Bereich $0 \leq x \leq 2\pi$ zwei Flächen ein.
Berechne jeweils deren Inhalt.
Für jedes $k \in \mathbb{N}$ gilt die Gleichung:
$\,\bigg \vert \, \displaystyle\int_{(k+1)\cdot \pi}^{(k+2)\cdot \pi}\;\mathrm g(x) dx\,\bigg \vert \,=\,\bigg \vert \,\displaystyle\int_{k \pi}^{(k+1)\cdot \pi}\;\mathrm g(x) dx\,\bigg \vert \, +2\pi$
Interpretiere diese Gleichung graphisch.
(5P)
#integral
1.3
Die folgende Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion $h$.
Prüfe folgende Aussagen.
    (1) $\;$ Das Schaubild jeder Stammfunktion von $h$ hat auf der $y$-Achse einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
    (2) $\;$ Das Schaubild der Ableitungsfunktion $h'$ hat im Intervall $[-1;0]$ einen Tiefpunkt.
    (3) $\;$ Die Funktion $h$ besitzt im Intervall $[0;2]$ eine Umkehrfunktion.
(6P)

(45P)
#wendepunkt#ableitung#stammfunktion
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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