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1.1
Die Funktion $g$ hat die Gleichung $g(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}$ mit $x \in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $g$ ist $K$.
1.1.1
Untersuche $K$ auf Symmetrie.
Berechne die exakten Koordinaten der Extrempunkte von $K$.
Zeichne $K$.
(8P)
#extrempunkt#symmetrie
1.1.2
Die beiden Wendetangenten begrenzen mit $K$ eine Fläche.
Berechne den Inhalt dieser Fläche mit einer Stammfunktion.
(7P)
#stammfunktion
1.1.3
Die Punkte $A(-u\;|\;0)$, $B(u\;|\;0)$, $C(u\;|\;g(u))$ und $D(-u\;|\;g(-u))$ sind für jeden Wert von $u$ mit $0,1\leq u\leq0,9$ die Eckpunkte eines Rechtecks $R$.
Bestimme den Wert von $u$, sodass der Flächeninhalt von $R$ maximal wird.
(6P)
1.1.4
Betrachte nun die Funktion $w$ mit $w(x)=-4x^2+4$ für $x \in \mathbb{R}$ .
Bestimme die gemeinsamen Punkte der Schaubilder von $g$ und $w$.
Das Flächenstück, das von den beiden Schaubildern eingeschlossen wird, rotiert um die $x$-Achse. Bestimme das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
(6P)
#schnittpunkt
1.2
Für jedes $t>0$ ist eine Funktion $f_t$ gegeben durch $f_t(x)=\sin\left(\frac{\pi}{t}\cdot x\right)$ $+t$ ; $x\in\mathbb{R}$ .
Das Schaubild von $f_t$ ist $C_t$.
#funktionenschar
1.2.1
Bestimme die Periode von $f_2$ .
Zeichne $C_2$ für $-2 \leq x \leq 6$ .
(5P)
1.2.2
Im Kurvenpunkt $W(t|t)$ wird die Tangente an $C_t$ angelegt.
Bestimme $t$, sodass diese Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung $y=-x$ ist.
(4P)
1.2.3
Für welche Werte von $t$ besitzen die Schaubilder der Stammfunktionen von $f_t$ Extrempunkte? Begründe deine Entscheidung.
(3P)
#extrempunkt
1.3
Die folgende Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion $h$.
Überprüfe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründe.
    (1) Die erste Ableitung von $h$ nimmt für $0<x<2$ nur positive Werte an.
    (2) $\,$ $3<\displaystyle\int_{0}^{2}\;\mathrm h(x)\;dx<6$
    (3) Die zweite Ableitung von $h$ wechselt im Bereich $-2<x<1$ das Vorzeichen von plus nach minus.
(6P)

(45P)
#ableitung#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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