Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Berufl. Gymnasium (EG)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 11
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Abitur bis 20...
Prüfung
wechseln
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (GTR)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2014
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2013
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2
Abi 2012
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2
Abi 2011
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2
Abi 2010
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2
Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2

Analysis

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
1.1
Die Funktion $g$ hat die Gleichung $g(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}$ mit $x \in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $g$ ist $K$.
1.1.1
Untersuche $K$ auf Symmetrie.
Berechne die exakten Koordinaten der Extrempunkte von $K$.
Zeichne $K$.
(8P)
#extrempunkt#symmetrie
1.1.2
Die beiden Wendetangenten begrenzen mit $K$ eine Fläche.
Berechne den Inhalt dieser Fläche mit einer Stammfunktion.
(7P)
#stammfunktion
1.1.3
Die Punkte $A(-u\;|\;0)$, $B(u\;|\;0)$, $C(u\;|\;g(u))$ und $D(-u\;|\;g(-u))$ sind für jeden Wert von $u$ mit $0,1\leq u\leq0,9$ die Eckpunkte eines Rechtecks $R$.
Bestimme den Wert von $u$, sodass der Flächeninhalt von $R$ maximal wird.
(6P)
1.1.4
Betrachte nun die Funktion $w$ mit $w(x)=-4x^2+4$ für $x \in \mathbb{R}$ .
Bestimme die gemeinsamen Punkte der Schaubilder von $g$ und $w$.
Das Flächenstück, das von den beiden Schaubildern eingeschlossen wird, rotiert um die $x$-Achse. Bestimme das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
(6P)
#schnittpunkt
1.2
Für jedes $t>0$ ist eine Funktion $f_t$ gegeben durch $f_t(x)=\sin\left(\frac{\pi}{t}\cdot x\right)$ $+t$ ; $x\in\mathbb{R}$ .
Das Schaubild von $f_t$ ist $C_t$.
#funktionenschar
1.2.1
Bestimme die Periode von $f_2$ .
Zeichne $C_2$ für $-2 \leq x \leq 6$ .
(5P)
1.2.2
Im Kurvenpunkt $W(t|t)$ wird die Tangente an $C_t$ angelegt.
Bestimme $t$, sodass diese Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung $y=-x$ ist.
(4P)
1.2.3
Für welche Werte von $t$ besitzen die Schaubilder der Stammfunktionen von $f_t$ Extrempunkte? Begründe deine Entscheidung.
(3P)
#extrempunkt
1.3
Die folgende Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion $h$.
Überprüfe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründe.
    (1) Die erste Ableitung von $h$ nimmt für $0<x<2$ nur positive Werte an.
    (2) $\,$ $3<\displaystyle\int_{0}^{2}\;\mathrm h(x)\;dx<6$
    (3) Die zweite Ableitung von $h$ wechselt im Bereich $-2<x<1$ das Vorzeichen von plus nach minus.
(6P)

(45P)
#ableitung#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
1.1.1
$\blacktriangleright$  $K$ auf Symmetrie untersuchen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild $K$ auf Symmetrie untersuchen. $K$ ist das Schaubild der Funktion $g$. \begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4} & \\[5pt] \end{array}
Der Graph einer Funktion ist Punktsymmetrisch wenn er nur ungerade Potenzen von $x$ enthält.
Der Graph einer Funktion ist symmetrisch zur $y$-Achse wenn er nur gerade Potenzen von $x$ enthält.
$\blacktriangleright$  Extempunkte von $K$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die exakten Koordinaten der Extrempunkte von $K$ bestimmen.
Du hast die Funktion $g$ gegeben und sollst deren Graph $K$ auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(x)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $g''(x)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $g''(x)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $g'$ und $g''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$  $K$ zeichnen
Um $K$ zu zeichnen kannst du eine Wertetabelle anlegen. Die berechneten Werte, sowie die Hoch-/Tiefpunkte, kannst du in ein Koordinatensystem einzeichnen. Da der Graph y-achsensymmetrisch ist musst du nur die Funktionswerte an den Stellen $x = -3$, $x = -2$ und $x = -1$ berechnen. Den Funktionswert an der Stelle $x = 0$ kennst du schon, da hier der berechnete Hochpunkt liegt.
1.1.2
$\blacktriangleright$  Fläche zwischen den Wendetangenten und $K$ bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt der Fläche bestimmen, den die beiden Wendetangenten von $K$ mit $K$ begrenzen.
Analysis
Abb. 1 Graph und Wendetangente
Analysis
Abb. 2 Graph und Wendetangente
Bevor du den Flächeninhalt bestimmen kannst, musst du die Geradengleichungen der beiden Wendetangenten bestimmen. Aus Aufgabenteil 1.1.2 weißt du bereits, dass die Funktion symmetrisch zur $y$-Achse ist. Deshalb berechnest du die Gleichung einer Wendetangente und später auch nur die Größe der Fläche auf einer Seite der $y$-Achse. Diese bestimmst du indem du die Differenzfunktion der Funktion $g$ und der Wendetangenten aufstellst und dann zwischen der Nullstelle und der $y$-Achse integrierst.
Die Wendetangente kannst du auf zwei Wegen bestimmen. Entweder mit, oder ohne GTR. Du bestimmst in beiden Fällen den Wendepunkt mithilfe der zweiten Ableitung. Diese hat an der Stelle des Wendepunktes eine Nullstelle. Die Tangentensteigung bestimmst du mithilfe der ersten Ableitung.
Am Ende setzt du den Wendepunkt und die Tangentensteigung in eine Geradengleichung ein. Dieser Schritt ist unabhängig davon, ob du mit oder ohne GTR arbeitest, der Gleiche.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Wendepunkt und Steigung bestimmen ohne GTR
Eine Wendetangente ist die Tangente an den Graphen $K$ der Funktion $g$, welche am Wendepunkt angelegt wird. Um deren Geradengleichung zu bestimmen musst du die Wendepunkte von $K$ suchen, um dann die Tangentensteigung an den Wendepunkten zu berechnen.
Du hast die Funktion $g$ gegeben und sollst deren Graph auf Wendepunkte untersuchen. Für einen Wendepunkt $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $g''(x_W)\neq; 0$, handelt es sich um einen Wendepunkt
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $g'$,$g''$ und $g'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f'''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art des Wendepunktes, also ob die Wendetangente fällt oder steigt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $g$ am Wendepunkt.
  5. Berechne die Tangentensteigung an der Wendestelle
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Wendepunkt und Steigung bestimmen mit GTR
Um die Wendetangente mit dem GTR zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:
  1. Du plottest die Funktion $g(x)$
  2. Du bestimmst deren Ableitung und plottest diese ebenfalls.
  3. Dann suchst du nach Hoch-/Tiefpunkten der Ableitung. Die $x$-Koordinaten der Hoch-/Tiefpunkte sind die $x$-Koordinaten der Wendepunkte, die $y$-Koordinate des Hoch-/Tiefpunktes ist die Steigung der Wendetangente.
  4. Nun setzt du die $x$-Koordinate des Hoch/Tiefpunktes in die Funktion $g(x)$ ein um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen.
  5. Im letzten Schritt bestimmst du die Gleichung der Wendetangenten.
$\blacktriangleright$  Geradengleichung der Wendetangente aufstellen
Im letzten Schritt kannst du nun die Geradengleichung der Wendetangenten $f(x)$ bestimmen.Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& ax+b &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Nun bestimmst du den Flächeninhalt der Fläche die zwischen $f(x)$ und $g(x)$ liegt. Dazu subtrahierst du $g(x)$ von $f(x)$ und Integrierst zwischen $0$ und $1$.
$0$, weil du an der $y$-Achse beginnend den Flächeninhalt bestimmen willst, und $1$, weil hier der Wendepunkt liegt. Später musst du den Flächeninhalt noch mit zwei multiplizieren, da du ja nur eine Seite der $y$-Achse betrachtet hast, du aber die Fläche, welche beide Wendetangenten mit der Funktion einschließen, bestimmen sollst.
1.1.3
$\blacktriangleright$  Maximalen Flächeninhalt bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du $u$ so bestimmen, dass der Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$ maximal wird.
$ 0,1\leq u \leq 0,9 $
Aus der Aufgabe $1.1.1$ weist du, dass der Graph von $g(x)$ symmetrisch zur $y$-Achse ist. Du bestimmen also nur die Fläche für $x\geq 0$. Zuerst stellst du die Funktion der Fläche auf. Dann suchst du das Maximum mit deinem GTR.
Die Fläche A ergibt sich aus der Breite $u$ multipliziert mit der Höhe $g(u)$.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& u\cdot g(u) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
1.1.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten der gemeinsamen Punkte bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du gemeinsame Punkte der beiden Schaubilder $g$ und $w$ bestimmen. Dazu plottest du beide mit dem GTR und bestimmst dann die Schnittpunkte.
$\blacktriangleright$  Volumen des Rotationskörpers bestimmen
Jetzt sollst du das Volumen des Rotationskörpers bestimmen, welcher entsteht wenn die Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f(x)$ und $w(x)$ eingeschlossen wird, um die $x$-Achse rotiert. Hier reicht es nicht, beide Funktionsterme voneinander zu subtrahieren und dann das entsprechende Rotationsvolumen zu bestimmen. Du musst von beiden Funktionen das Rotationsvolumen bestimmen, und dann die Differenz bilden.
  1. Du bestimmst zuerst das Volumen, welches entsteht, wenn die Funktion $f(x)$ um die $x$-Achse rotiert.
  2. dann das Volumen, welches entsteht, wenn die Funktion $w(x)$ um die $x$-Achse rotiert.
  3. Dann subtrahierst du das Rotationsvolumen von $w(x)$ vom Rotationvolumen von $f(x)$.
Die Formel zur bestimmung des Rotationvolumens lautet:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Als Grenzen $a$ und $b$ wählst du die Schnittstellen der beiden Graphen, welche gleichzeitig die Nullstellen der Funktionen $f(x)$ und $w(x)$ sind. Du kannst beide Funktionen quadrieren, sie mit dem GTR plotten und dann den Flächeninhalt unter der Kurve bestimmen.
1.2.1
$\blacktriangleright$  Periode bestimmen
In Aufgabe 1.2 ist die Funktion $f_t$ gegeben. Du sollst nun die Periode $p$ der Funktion bestimmen. Dazu ließt du $b$ aus der Gleichung ab und berechnest $p$.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& \sin{\left(\frac{\pi}{t}x\right)}+t&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$b$ ist der Faktor der mit $x$ multipliziert wird.
$p= \frac{2\pi}{b}$
$p= \frac{2\pi}{b}$
Mit der Formel kannst du jetzt die Periode $p$ bestimmen
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{f_2(x)}$ zeichnen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild $C_2$ von $f_2(x)$ zeichnen. $t$ = $2$. Der Bereich den du zeichnen sollst geht von $x=-2$ bis $x=6$. Du kannst die Funktion von deinem GTR plottten lassen und sie dann abzeichnen.
1.2.2
$\blacktriangleright$  t so bestimmen, das die Tangenten parallel sind
In diesem Aufgabenteil sollst du eine Tangente in den Punkt $W(t\mid t)$ an den Graphen $C_t$ anlegen. Die Tangente soll parallel zur Geraden mit der Gleichung $y$ = $-x$ sein.
Du leitest also $f_t(x)$ einmal ab und setzt es mit der Steigung der geraden $y$ = $-x$ gleich, da beide Graphen parallel sein sollen.
Für $x$ setzt du $t$ ein, da du die Tangente an den Punkt $W(t\mid t)$ anlegen sollst.
1.2.3
$\blacktriangleright$  Extrempunkte der Stammfunktionen bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Werte für $t$ ermitteln, für die die Schaubilder der Stammfunktionen von $f_t(x)$ Extrempunkte besitzen. Dazu kannst du mehrere Funktionen plotten.
Die Bedingung für einen Extrempunkt lautet $f'_t(x)=0$. Damit die Stammfunktion einen Extrempunkt hat, muss die Funktion also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzen. (Da hinreichende Bedingung:$f''_t(x)\neq 0$ )
Die Funktion $f_t(x)$lautet: $f_t(x)=\sin{\left(\frac{\pi}{t}x\right)}+t$
Sie wird also um $t$ nach oben oder unten verschoben. Der Wertebereich des Sinus ist $t\pm1$.
1.3
$\blacktriangleright$  Aussagen untersuchen
In diesem Aufgabenteil ist die Funktion $h$ gegeben. Du sollst untersuchen ob die drei Aussagen aus der Aufgabenstellung wahr oder falsch sind.
Analysis
Abb. 2 Schaubild der Funktion $h$
Analysis
Abb. 2 Schaubild der Funktion $h$
$\blacktriangleright$  1. Aussage untersuchen
Aussage: $h'>0$ für $0<x<2$
Du sollst die Ableitung der Funktion im Intervall $\left(0,2\right)$ untersuchen. Die Ableitung ist größer Null, wenn die Funktion steigt und kleiner Null, wenn die Funktion fällt. Laut Aussage müsste die Funktion im Intervall also monoton steigen.
$\blacktriangleright$  2. Aussage untersuchen
Du sollst die Aussage $3<\displaystyle\int_{0}^{2}h(x)\;\mathrm dx<6$ überprüfen.
Um die Aussage zu überprüfen musst du den Flächeninhalt unter der Kurve im Intervall $\left(0,2\right)$ abschätzen. Den Flächeninhalt unter der Kurve kannst du durch Kästchenzählen abschätzen.
$\blacktriangleright$  3. Aussage untersuchen
Du sollst untersuchen, ob die zweite Ableitung von $h$ im Intervall $-2<x<1$ das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt.
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmungsrichtung der Funktion. Wenn die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt, muss die Funktion also eine Wendestelle haben, da sich hier die Krümmungsrichtung ändert. Wechselt die zweite Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, so wechselt die Funktion von linksgekrümmund nach rechtsgekrümmung. Wechselt die zweite Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, so wechselt die Funktion von rechtskrümmung zu linkskrümmung.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
1.1.1
$\blacktriangleright$  $K$ auf Symmetrie untersuchen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild $K$ auf Symmetrie untersuchen. $K$ ist das Schaubild der Funktion $g$. \begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4} & \\[5pt] \end{array}
Der Graph einer Funktion ist Punktsymmetrisch wenn er nur ungerade Potenzen von $x$ enthält.
Der Graph einer Funktion ist symmetrisch zur $y$-Achse wenn er nur gerade Potenzen von $x$ enthält.
Du kannst erkennen, dass $g(x)$ nur gerade Potenzen von $x$ enthält, nämlich $x^4,x^2,x^0$. deshalb ist $K$ symmetrisch zur $y$-Achse.
$\blacktriangleright$  Extempunkte von $K$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die exakten Koordinaten der Extrempunkte von $K$ bestimmen.
Du hast die Funktion $g$ gegeben und sollst deren Graph $K$ auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(x)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $g''(x)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $g''(x)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $g'$ und $g''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}&\quad \scriptsize \ \\[10pt] g'(x)&=& x^3-3x &\quad \scriptsize \\[5pt] g''(x)&=&3 x^2-3 &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] x^3-3x &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x(x^2-3) &=& 0&\quad \scriptsize \mid \text{wende den Satz vom Nullprodukt an und du erhältst : }x_1 = 0\; \\[5pt] x^2-3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid +3 \; \\[5pt] x^2 &=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& \pm\sqrt{3} \end{array}$
$x= \pm\sqrt{3}$
Folgende $x$-Werte erfüllen also die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&\sqrt{3}\\ x_2&=&-\sqrt{3} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g''(0)&=& 3\cdot0^2-3 &\quad \scriptsize \\[5pt] g''(0)&=& -3 &\\ g''(0)&< & 0 \end{array}$
Also hat der Graph $K$ an der Stelle
$x=0$ einen Hochpunkt
$\begin{array}[t]{rll} g''\left(\pm\sqrt{3}\right)&=& 3\cdot \left(\pm\sqrt{3}\right)^2-3&\quad \scriptsize \\[5pt] g''\left(\pm\sqrt{3}\right)&= & 6 &\\ g''\left(\pm\sqrt{3}\right)&>& 0 & \end{array}$
$ g''\left(\pm\sqrt{3}\right) > 0 $
Also hat der Graph $K$ an den Stellen $x=\pm\sqrt{3}$ jeweils einen Tiefpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& \frac{1}{4}\cdot0^4-\frac{3}{2}\cdot0^2+\frac{5}{4}&\quad \scriptsize \\[5pt] g(0)&=&\frac {5}{4} \end{array}$
$ g(0)=\frac {5}{4} $
$\begin{array}[t]{rll} g\left(\pm\sqrt{3}\right)&=& \frac{1}{4}\left(\pm\sqrt{3}\right)^4-\frac{3}{2}\left(\pm\sqrt{3}\right)^2+\frac{5}{4}&\quad \scriptsize \\[5pt] g\left(\pm\sqrt{3}\right)&=& -1 \end{array}$
$ g\left(\pm\sqrt{3}\right) = -1 $
Die Koordinaten des Hochpunktes sind H $\left(0\mid \frac{5}{4}\right)$.
Die Koordinaten des ersten Tiefpunktes sind T $\left(\sqrt{3}\mid -1\right)$.
Die Koordinaten des zweiten Tiefpunktes sind T $\left(-\sqrt{3}\mid -1\right)$.
$\blacktriangleright$  $K$ zeichnen
Um $K$ zu zeichnen kannst du eine Wertetabelle anlegen. Die berechneten Werte, sowie die Hoch-/Tiefpunkte, kannst du in ein Koordinatensystem einzeichnen. Da der Graph y-achsensymmetrisch ist musst du nur die Funktionswerte an den Stellen $x = -3$, $x = -2$ und $x = -1$ berechnen. Den Funktionswert an der Stelle $x = 0$ kennst du schon, da hier der berechnete Hochpunkt liegt.
Analysis
Abb. 1 Skizze des Graphen
Analysis
Abb. 1 Skizze des Graphen
#graph#extrempunkt
1.1.2
$\blacktriangleright$  Fläche zwischen den Wendetangenten und $K$ bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt der Fläche bestimmen, den die beiden Wendetangenten von $K$ mit $K$ begrenzen.
Analysis
Abb. 2 Graph und Wendetangente
Analysis
Abb. 2 Graph und Wendetangente
Bevor du den Flächeninhalt bestimmen kannst, musst du die Geradengleichungen der beiden Wendetangenten bestimmen. Aus Aufgabenteil 1.1.2 weißt du bereits, dass die Funktion symmetrisch zur $y$-Achse ist. Deshalb berechnest du die Gleichung einer Wendetangente und später auch nur die Größe der Fläche auf einer Seite der $y$-Achse. Diese bestimmst du indem du die Differenzfunktion der Funktion $g$ und der Wendetangenten aufstellst und dann zwischen der Nullstelle und der $y$-Achse integrierst.
Die Wendetangente kannst du auf zwei Wegen bestimmen. Entweder mit, oder ohne GTR. Du bestimmst in beiden Fällen den Wendepunkt mithilfe der zweiten Ableitung. Diese hat an der Stelle des Wendepunktes eine Nullstelle. Die Tangentensteigung bestimmst du mithilfe der ersten Ableitung.
Am Ende setzt du den Wendepunkt und die Tangentensteigung in eine Geradengleichung ein. Dieser Schritt ist unabhängig davon, ob du mit oder ohne GTR arbeitest, der Gleiche.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Wendepunkt und Steigung bestimmen ohne GTR
Eine Wendetangente ist die Tangente an den Graphen $K$ der Funktion $g$, welche am Wendepunkt angelegt wird. Um deren Geradengleichung zu bestimmen musst du die Wendepunkte von $K$ suchen, um dann die Tangentensteigung an den Wendepunkten zu berechnen.
Du hast die Funktion $g$ gegeben und sollst deren Graph auf Wendepunkte untersuchen. Für einen Wendepunkt $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $g''(x_W)\neq; 0$, handelt es sich um einen Wendepunkt
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $g'$,$g''$ und $g'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f'''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art des Wendepunktes, also ob die Wendetangente fällt oder steigt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $g$ am Wendepunkt.
  5. Berechne die Tangentensteigung an der Wendestelle
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}&\quad \scriptsize \ \\[10pt] g'(x)&=& x^3-3x &\quad \scriptsize \\[5pt] g''(x)&=& 3 x^2-3 &\quad \scriptsize \ \\[5pt] g'''(x)&=& 6x &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $g''(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendepunkte:
$\begin{array}[t]{rll} g''(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3x^2-3 &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3x^2&=&3 &\quad \scriptsize \mid +3\; \\[5pt] x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid:3\; \\[5pt] x &=& \pm1&\quad \scriptsize \mid\sqrt{ \text{ }}\; \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g'''(x)&=& 6x &\quad \scriptsize \\[5pt] g'''(1)&=& 6& \end{array}$
4. Schritt: Funktionswert berechnen
Du setzt nun $x = 1$ in $g(x)$ ein um die Koordinaten des Wendepunktes zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] g(1)&=&\frac{1}{4}1^{4}-\frac{3}{2}1^2+\frac{5}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] g(1)&=& 0 \end{array}$
5. Schritt: Tangentensteigung bestimmen
Nun setzst du die $x$-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung ein um die Steigung im Wendepunkt zu bestimmen. $\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& x^3-3x&\quad \scriptsize \\[5pt] g'(1)&=& 1^3-3\cdot 1&\quad \scriptsize \\[5pt] g'(1)&=& -2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Wendepunkt und Steigung bestimmen mit GTR
Um die Wendetangente mit dem GTR zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:
  1. Du plottest die Funktion $g(x)$
  2. Du bestimmst deren Ableitung und plottest diese ebenfalls.
  3. Dann suchst du nach Hoch-/Tiefpunkten der Ableitung. Die $x$-Koordinaten der Hoch-/Tiefpunkte sind die $x$-Koordinaten der Wendepunkte, die $y$-Koordinate des Hoch-/Tiefpunktes ist die Steigung der Wendetangente.
  4. Nun setzt du die $x$-Koordinate des Hoch/Tiefpunktes in die Funktion $g(x)$ ein um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen.
  5. Im letzten Schritt bestimmst du die Gleichung der Wendetangenten.
Analysis
Abb. 3 Funktion und Ableitung
Analysis
Abb. 3 Funktion und Ableitung
Jetzt bestimmst du den Tiefpunkt der Ableitung. Dies kannst du mit folgendem Befehl machen.
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ minimum
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ minimum
Analysis
Abb. 4 Ableitung an der Stelle $x$ = $1$ ausgewertet
Analysis
Abb. 4Ableitung an der Stelle $x$ = $1$ ausgewertet
Um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen setzt du dessen $x$-Koordinate in die Funktion $g$ ein.
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ value
2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ value
Analysis
Abb. 5 Graph an der Stelle $x$ = $1$ ausgewertet
Analysis
Abb. 5 Graph an der Stelle $x$ = $1$ ausgewertet
$\blacktriangleright$  Geradengleichung der Wendetangente aufstellen
Im letzten Schritt kannst du nun die Geradengleichung der Wendetangenten $f(x)$ bestimmen.Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& ax+b &\quad \scriptsize \\[5pt] f(x)&=& -2x+b \end{array}$
Hier wurde die Steigung $a$ = $-2$ in die Geradengleichung eingesetzt. Die Steigung hast du ermittelt, indem du den Funktionswert der Ableitung an der Stelle $x$ = $1$ ermittelt hast. Nun setzt du die Koordinaten des Wendepunktes in die Geradengleichung ein, um $b$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -2x+b &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& -2\cdot1+b &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& 2 \end{array}$
Damit hast du die Gleichung der Wendetangente $f(x)$ bestimmt. Sie lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -2x+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Nun bestimmst du den Flächeninhalt der Fläche die zwischen $f(x)$ und $g(x)$ liegt. Dazu subtrahierst du $g(x)$ von $f(x)$ und Integrierst zwischen $0$ und $1$.
$0$, weil du an der $y$-Achse beginnend den Flächeninhalt bestimmen willst, und $1$, weil hier der Wendepunkt liegt. Später musst du den Flächeninhalt noch mit zwei multiplizieren, da du ja nur eine Seite der $y$-Achse betrachtet hast, du aber die Fläche, welche beide Wendetangenten mit der Funktion einschließen, bestimmen sollst.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& f(x)-g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] h(x)&=& -2x+2-\left(\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] h(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2-2x+\frac{3}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ h(x)= -\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2… $
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left(-\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2-2x+\frac{3}{4}\right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \text{Integrieren}\; \\[5pt] A_1 &=& \left[-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{5}x^5+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3} x^3-2\cdot\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x \right]^{1}_{0} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \left[-\frac{1}{20}x^5+\frac{3}{6} x^3-x^2+\frac{3}{4}x\right]^{1}_{0} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \left(-\frac{1}{20}1^5+\frac{3}{6} 1^3-1^2+\frac{3}{4}1\right) &\quad \scriptsize \text{Grenzen einsetzen}\; \\[5pt] &=& -\left(-\frac{1}{20}0^5+\frac{3}{6} 0^3-0^2+\frac{3}{4}0\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& -\frac{1}{20}+\frac{3}{6} -1+\frac{3}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& -\frac{1}{20}+\frac{10}{20} -\frac{20}{20}+\frac{15}{20} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \frac{4}{20} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \frac{1}{5}\, \text{ FE} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ A_1 = \frac{1}{5} $FE
Jetzt bestimmst du den Flächeninhalt der gesamten Fläche, die beide Wendetangenten mit $g(x)$ einschließen. Dazu multiplizierst du $A_1$ mit zwei.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2A_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=& \frac{2}{5}\, \text{ FE} \end{array}$
Der Gesuchte Flächeininhalt beträgt also $\frac{2}{5}\, \text{ FE}$.
#integral#geradengleichung
1.1.3
$\blacktriangleright$  Maximalen Flächeninhalt bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du $u$ so bestimmen, dass der Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$ maximal wird.
$ 0,1\leq u \leq 0,9 $
Aus der Aufgabe $1.1.1$ weist du, dass der Graph von $g(x)$ symmetrisch zur $y$-Achse ist. Du bestimmen also nur die Fläche für $x\geq 0$. Zuerst stellst du die Funktion der Fläche auf. Dann suchst du das Maximum mit deinem GTR.
Die Fläche A ergibt sich aus der Breite $u$ multipliziert mit der Höhe $g(u)$.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& u\cdot g(u) &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1&=& x\cdot\left(\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}\right) \end{array}$
$ A_1= … $
$\blacktriangleright$  Extrempunkt bestimmen mit GTR(TI)
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.
Analysis
Abb. 6 Hochpunkt von Graph $f$
Analysis
Abb. 6 Hochpunkt von Graph $f$
Du hast gezeigt das die Fläche $A_1$ an der Stelle $u= 0,551$ maximal ist.
Du kannst noch die Fläche A bestimmen, allerdings ist das in der Aufgabe nicht explizit gefordert. Dazu multiplizierst du den Funktionswert des Hochpunktes mit zwei, da du nur die Hälfte der Fläche betrachtet hast.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& 0,451 \cdot 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A &=& 0,92\, \text{FE} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
#extrempunkt
1.1.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten der gemeinsamen Punkte bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du gemeinsame Punkte der beiden Schaubilder $g$ und $w$ bestimmen. Dazu plottest du beide mit dem GTR und bestimmst dann die Schnittpunkte.
2ND $\rightarrow$ Trace $\rightarrow$ 5 (intersect)
2ND $\rightarrow$ Trace $\rightarrow$ 5 (intersect)
Analysis
Abb.7 Schnittpunkte der Graphen
Analysis
Abb. 7 Schnittpunkte der Graphen
Da beide Funktionen $y$-achsensymmetrisch sind erhältst du den zweiten Schnittpunkt durch Spiegelung an der $y$-Achse.
$S_1(1\mid 0)$
$S_2(-1\mid 0)$
$\blacktriangleright$  Volumen des Rotationskörpers bestimmen
Jetzt sollst du das Volumen des Rotationskörpers bestimmen, welcher entsteht wenn die Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f(x)$ und $w(x)$ eingeschlossen wird, um die $x$-Achse rotiert. Hier reicht es nicht, beide Funktionsterme voneinander zu subtrahieren und dann das entsprechende Rotationsvolumen zu bestimmen. Du musst von beiden Funktionen das Rotationsvolumen bestimmen, und dann die Differenz bilden.
  1. Du bestimmst zuerst das Volumen, welches entsteht, wenn die Funktion $f(x)$ um die $x$-Achse rotiert.
  2. dann das Volumen, welches entsteht, wenn die Funktion $w(x)$ um die $x$-Achse rotiert.
  3. Dann subtrahierst du das Rotationsvolumen von $w(x)$ vom Rotationvolumen von $f(x)$.
Die Formel zur bestimmung des Rotationvolumens lautet:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Als Grenzen $a$ und $b$ wählst du die Schnittstellen der beiden Graphen, welche gleichzeitig die Nullstellen der Funktionen $f(x)$ und $w(x)$ sind. Du kannst beide Funktionen quadrieren, sie mit dem GTR plotten und dann den Flächeninhalt unter der Kurve bestimmen.
2ND $\rightarrow$ Trace $\rightarrow$ 7
2ND $\rightarrow$ Trace $\rightarrow$ 7
Analysis
Abb. 9 Fläche unter Graph 2
Analysis
Abb. 9 Fläche unter Graph 2
Die Volumina der beiden Rotationskörper erhältst du nun, indem du beide Integrale mit $\pi$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} V_1&\approx& 1,57\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] V_1&\approx& 4,93 &\quad \scriptsize \\[5pt] V_2&\approx& 17,07\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] V_2&\approx& 53,63 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um nun das Volumen des Rotationskörpers zu bestimmen, welcher von beiden Graphen eingeschlossen wird, subtrahierst du $V_1$ von $V_2$.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_1-V_2 &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=& 53.63-17,07 &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=& 36.26\,\text{VE} \end{array}$
#integral#schnittpunkt
1.2.1
$\blacktriangleright$  Periode bestimmen
In Aufgabe 1.2 ist die Funktion $f_t$ gegeben. Du sollst nun die Periode $p$ der Funktion bestimmen. Dazu ließt du $b$ aus der Gleichung ab und berechnest $p$.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& \sin{\left(\frac{\pi}{t}x\right)}+t&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$b$ ist der Faktor der mit $x$ multipliziert wird und lautet in diesem Fall : $\frac{\pi}{t}$
$p= \frac{2\pi}{b}$
$p= \frac{2\pi}{b}$
Mit der Formel kannst du jetzt die Periode $p$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\frac{2\pi}{b} &\quad \scriptsize \\[5pt] p&=&\frac{2\pi}{\frac{\pi}{t}} &\quad \scriptsize \\[5pt] p&=& 2t \end{array}$
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{f_2(x)}$ zeichnen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild $C_2$ von $f_2(x)$ zeichnen. $t$ = $2$. Der Bereich den du zeichnen sollst geht von $x=-2$ bis $x=6$. Du kannst die Funktion von deinem GTR plottten lassen und sie dann abzeichnen.
$\begin{array}[t]{rll} f_2(x)&=&\sin{\left(\frac{\pi}{2}x\right)}+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Analysis
Abb. 10 Schaubild $C_2$
Analysis
Abb.10 Schaubild $C_2$
1.2.2
$\blacktriangleright$  t so bestimmen, das die Tangenten parallel sind
In diesem Aufgabenteil sollst du eine Tangente in den Punkt $W(t\mid t)$ an den Graphen $C_t$ anlegen. Die Tangente soll parallel zur Geraden mit der Gleichung $y$ = $-x$ sein.
Du leitest also $f_t(x)$ einmal ab und setzt es mit der Steigung der geraden $y$ = $-x$ gleich, da beide Graphen parallel sein sollen.
Für $x$ setzt du $t$ ein, da du die Tangente an den Punkt $W(t\mid t)$ anlegen sollst.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&\frac{\pi}{t}\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{t}x\right)} &\quad \scriptsize \\[5pt] g'(x)&=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=g'(t) &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\pi}{t}\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{t}t\right)} &=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\pi}{t}\cdot\cos{\pi} &=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\pi}{t}\cdot(-1) &=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\pi}{t} &=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \pi &=& t &\quad \scriptsize \\[5pt] t &=& \pi &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das gesuchte $t$ ist also $t = \pi$.
1.2.3
$\blacktriangleright$  Extrempunkte der Stammfunktionen bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Werte für $t$ ermitteln, für die die Schaubilder der Stammfunktionen von $f_t(x)$ Extrempunkte besitzen. Dazu kannst du mehrere Funktionen wie Beispielsweise $f_{-1}$(lila), $f_{0,5}$(schwarz), $f_1$(blau), $f_2$(rot), plotten.
Analysis
Abb. 11 Schaubilder verschiedener Funktionen
Analysis
Abb. 11 Schaubilder verschiedener Funktionen
Nun sollst du bestimmen, für welche $t$ die Graphen der Stammfunktionen von $f_t$ Extrempunkte besitzen.
Die Bedingung für einen Extrempunkt lautet $f'_t(x)=0$. Damit die Stammfunktion einen Extrempunkt hat, muss die Funktion also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzen.
Die Funktion $f_t(x)$lautet: $f_t(x)=\sin{\left(\frac{\pi}{t}x\right)}+t$
Sie wird also um $t$ nach oben oder unten verschoben. Der Wertebereich des Sinus ist $t\pm1$. $\begin{array}[t]{rll} t\pm 1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] t&=&\mp 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \mid t\mid&=1& \end{array}$
Für alle $\mid t\mid$ $<$ $1$ hat die Funktion $f_t$ Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
Die Stammfunktionen von $f_t$bestitzen für alle $\mid t\mid$ $<$ $1$ Extremstellen.
#stammfunktion
1.3
$\blacktriangleright$  Aussagen untersuchen
In diesem Aufgabenteil ist die Funktion $h$ gegeben. Du sollst untersuchen ob die drei Aussagen aus der Aufgabenstellung wahr oder falsch sind.
Analysis
Abb. 12 Schaubild der Funktion $h$
Analysis
Abb. 12 Schaubild der Funktion $h$
$\blacktriangleright$  1. Aussage untersuchen
Aussage: $h'>0$ für $0<x<2$
Du sollst die Ableitung der Funktion im Intervall $\left(0,2\right)$ untersuchen. Die Ableitung ist größer Null, wenn die Funktion steigt und kleiner Null, wenn die Funktion fällt. Laut Aussage müsste die Funktion im Intervall also monoton steigen.
Die Aussage ist falsch, da das Schaubild von $h$ im Intervall fällt und die Ableitung damit kleiner als Null ist.
$\blacktriangleright$  2. Aussage untersuchen
Du sollst die Aussage $3<\displaystyle\int_{0}^{2}h(x)\;\mathrm dx<6$ überprüfen.
Um die Aussage zu überprüfen musst du den Flächeninhalt unter der Kurve im Intervall $\left(0,2\right)$ abschätzen. Den Flächeninhalt unter der Kurve kannst du durch Kästchenzählen abschätzen. Du erhältst ca. : $4,5$ FE
Diese Aussage stimmt, da $3< 4,5<6$
$\blacktriangleright$  3. Aussage untersuchen
Du sollst untersuchen, ob die zweite Ableitung von $h$ im Intervall $-2<x<1$ das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt.
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmungsrichtung der Funktion. Wenn die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt, muss die Funktion also eine Wendestelle haben, da sich hier die Krümmungsrichtung ändert. Wechselt die zweite Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, so wechselt die Funktion von linksgekrümmund nach rechtsgekrümmung. Wechselt die zweite Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, so wechselt die Funktion von rechtskrümmung zu linkskrümmung.
Die Aussage stimmt, da die Funktion im Intervall eine Wendestelle mit Krümmungswechsel von Links-/ nach Rechtskrümmung besitzt.
#integral#ableitung#graph
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
© 2016 – SchulLV.
[6]
© 2016 – SchulLV.
[7]
© 2016 – SchulLV.
[8]
© 2016 – SchulLV.
[9]
© 2016 – SchulLV.
[10]
© 2016 – SchulLV.
[11]
© 2016 – SchulLV.
[12]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
1.1.1
$\blacktriangleright$  $K$ auf Symmetrie untersuchen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild $K$ auf Symmetrie untersuchen. $K$ ist das Schaubild der Funktion $g$. \begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4} & \\[5pt] \end{array}
Der Graph einer Funktion ist Punktsymmetrisch wenn er nur ungerade Potenzen von $x$ enthält.
Der Graph einer Funktion ist symmetrisch zur $y$-Achse wenn er nur gerade Potenzen von $x$ enthält.
Du kannst erkennen, dass $g(x)$ nur gerade Potenzen von $x$ enthält, nämlich $x^4,x^2,x^0$. deshalb ist $K$ symmetrisch zur $y$-Achse.
$\blacktriangleright$  Extempunkte von $K$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die exakten Koordinaten der Extrempunkte von $K$ bestimmen.
Du hast die Funktion $g$ gegeben und sollst deren Graph $K$ auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(x)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $g''(x)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $g''(x)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $g'$ und $g''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}&\quad \scriptsize \ \\[10pt] g'(x)&=& x^3-3x &\quad \scriptsize \\[5pt] g''(x)&=&3 x^2-3 &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] x^3-3x &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x(x^2-3) &=& 0&\quad \scriptsize \mid \text{wende den Satz vom Nullprodukt an und du erhältst : }x_1 = 0\; \\[5pt] x^2-3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid +3 \; \\[5pt] x^2 &=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& \pm\sqrt{3} \end{array}$
$x= \pm\sqrt{3}$
Folgende $x$-Werte erfüllen also die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&\sqrt{3}\\ x_2&=&-\sqrt{3} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g''(0)&=& 3\cdot0^2-3 &\quad \scriptsize \\[5pt] g''(0)&=& -3 &\\ g''(0)&< & 0 \end{array}$
Also hat der Graph $K$ an der Stelle
$x=0$ einen Hochpunkt
$\begin{array}[t]{rll} g''\left(\pm\sqrt{3}\right)&=& 3\cdot \left(\pm\sqrt{3}\right)^2-3&\quad \scriptsize \\[5pt] g''\left(\pm\sqrt{3}\right)&= & 6 &\\ g''\left(\pm\sqrt{3}\right)&>& 0 & \end{array}$
$ g''\left(\pm\sqrt{3}\right) > 0 $
Also hat der Graph $K$ an den Stellen $x=\pm\sqrt{3}$ jeweils einen Tiefpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& \frac{1}{4}\cdot0^4-\frac{3}{2}\cdot0^2+\frac{5}{4}&\quad \scriptsize \\[5pt] g(0)&=&\frac {5}{4} \end{array}$
$ g(0)=\frac {5}{4} $
$\begin{array}[t]{rll} g\left(\pm\sqrt{3}\right)&=& \frac{1}{4}\left(\pm\sqrt{3}\right)^4-\frac{3}{2}\left(\pm\sqrt{3}\right)^2+\frac{5}{4}&\quad \scriptsize \\[5pt] g\left(\pm\sqrt{3}\right)&=& -1 \end{array}$
$ g\left(\pm\sqrt{3}\right) = -1 $
Die Koordinaten des Hochpunktes sind H $\left(0\mid \frac{5}{4}\right)$.
Die Koordinaten des ersten Tiefpunktes sind T $\left(\sqrt{3}\mid -1\right)$.
Die Koordinaten des zweiten Tiefpunktes sind T $\left(-\sqrt{3}\mid -1\right)$.
$\blacktriangleright$  $K$ zeichnen
Um $K$ zu zeichnen kannst du eine Wertetabelle anlegen. Die berechneten Werte, sowie die Hoch-/Tiefpunkte, kannst du in ein Koordinatensystem einzeichnen. Da der Graph y-achsensymmetrisch ist musst du nur die Funktionswerte an den Stellen $x = -3$, $x = -2$ und $x = -1$ berechnen. Den Funktionswert an der Stelle $x = 0$ kennst du schon, da hier der berechnete Hochpunkt liegt.
Analysis
Abb. 1 Skizze des Graphen
Analysis
Abb. 1 Skizze des Graphen
#extrempunkt#graph
1.1.2
$\blacktriangleright$  Fläche zwischen den Wendetangenten und $K$ bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt der Fläche bestimmen, den die beiden Wendetangenten von $K$ mit $K$ begrenzen.
Analysis
Abb. 2 Graph und Wendetangente
Analysis
Abb. 2 Graph und Wendetangente
Bevor du den Flächeninhalt bestimmen kannst, musst du die Geradengleichungen der beiden Wendetangenten bestimmen. Aus Aufgabenteil 1.1.2 weißt du bereits, dass die Funktion symmetrisch zur $y$-Achse ist. Deshalb berechnest du die Gleichung einer Wendetangente und später auch nur die Größe der Fläche auf einer Seite der $y$-Achse. Diese bestimmst du indem du die Differenzfunktion der Funktion $g$ und der Wendetangenten aufstellst und dann zwischen der Nullstelle und der $y$-Achse integrierst.
Die Wendetangente kannst du auf zwei Wegen bestimmen. Entweder mit, oder ohne GTR. Du bestimmst in beiden Fällen den Wendepunkt mithilfe der zweiten Ableitung. Diese hat an der Stelle des Wendepunktes eine Nullstelle. Die Tangentensteigung bestimmst du mithilfe der ersten Ableitung.
Am Ende setzt du den Wendepunkt und die Tangentensteigung in eine Geradengleichung ein. Dieser Schritt ist unabhängig davon, ob du mit oder ohne GTR arbeitest, der Gleiche.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Wendepunkt und Steigung bestimmen ohne GTR
Eine Wendetangente ist die Tangente an den Graphen $K$ der Funktion $g$, welche am Wendepunkt angelegt wird. Um deren Geradengleichung zu bestimmen musst du die Wendepunkte von $K$ suchen, um dann die Tangentensteigung an den Wendepunkten zu berechnen.
Du hast die Funktion $g$ gegeben und sollst deren Graph auf Wendepunkte untersuchen. Für einen Wendepunkt $x_W$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $g''(x_W)\neq; 0$, handelt es sich um einen Wendepunkt
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten drei Ableitungsfunktionen $g'$,$g''$ und $g'''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g''(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f'''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art des Wendepunktes, also ob die Wendetangente fällt oder steigt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $g$ am Wendepunkt.
  5. Berechne die Tangentensteigung an der Wendestelle
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}&\quad \scriptsize \ \\[10pt] g'(x)&=& x^3-3x &\quad \scriptsize \\[5pt] g''(x)&=& 3 x^2-3 &\quad \scriptsize \ \\[5pt] g'''(x)&=& 6x &\quad \scriptsize \ \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $g''(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Wendepunkte:
$\begin{array}[t]{rll} g''(x)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3x^2-3 &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3x^2&=&3 &\quad \scriptsize \mid +3\; \\[5pt] x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid:3\; \\[5pt] x &=& \pm1&\quad \scriptsize \mid\sqrt{ \text{ }}\; \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g'''(x)&=& 6x &\quad \scriptsize \\[5pt] g'''(1)&=& 6& \end{array}$
4. Schritt: Funktionswert berechnen
Du setzt nun $x = 1$ in $g(x)$ ein um die Koordinaten des Wendepunktes zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4} &\quad \scriptsize \ \\[5pt] g(1)&=&\frac{1}{4}1^{4}-\frac{3}{2}1^2+\frac{5}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] g(1)&=& 0 \end{array}$
5. Schritt: Tangentensteigung bestimmen
Nun setzst du die $x$-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung ein um die Steigung im Wendepunkt zu bestimmen. $\begin{array}[t]{rll} g'(x)&=& x^3-3x&\quad \scriptsize \\[5pt] g'(1)&=& 1^3-3\cdot 1&\quad \scriptsize \\[5pt] g'(1)&=& -2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Wendepunkt und Steigung bestimmen mit GTR
Um die Wendetangente mit dem GTR zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:
  1. Du plottest die Funktion $g(x)$
  2. Du bestimmst deren Ableitung und plottest diese ebenfalls.
  3. Dann suchst du nach Hoch-/Tiefpunkten der Ableitung. Die $x$-Koordinaten der Hoch-/Tiefpunkte sind die $x$-Koordinaten der Wendepunkte, die $y$-Koordinate des Hoch-/Tiefpunktes ist die Steigung der Wendetangente.
  4. Nun setzt du die $x$-Koordinate des Hoch/Tiefpunktes in die Funktion $g(x)$ ein um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen.
  5. Im letzten Schritt bestimmst du die Gleichung der Wendetangenten.
Analysis
Abb. 3 Funktion und Ableitung
Analysis
Abb. 3 Funktion und Ableitung
Jetzt bestimmst du den Tiefpunkt der Ableitung. Dies kannst du mit folgendem Befehl machen.
F5 $\rightarrow$ F3
F5 $\rightarrow$ F3
Analysis
Abb. 4 Ableitung an der Stelle $x$ = $1$ ausgewertet
Analysis
Abb. 4Ableitung an der Stelle $x$ = $1$ ausgewertet
Um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen setzt du dessen $x$-Koordinate in die Funktion $g$ ein.
F5 $\rightarrow$ Y-Cal
F5 $\rightarrow$ Y-Cal
Analysis
Abb. 5 Graph an der Stelle $x$ = $1$ ausgewertet
Analysis
Abb. 5 Graph an der Stelle $x$ = $1$ ausgewertet
$\blacktriangleright$  Geradengleichung der Wendetangente aufstellen
Im letzten Schritt kannst du nun die Geradengleichung der Wendetangenten $f(x)$ bestimmen.Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& ax+b &\quad \scriptsize \\[5pt] f(x)&=& -2x+b \end{array}$
Hier wurde die Steigung $a$ = $-2$ in die Geradengleichung eingesetzt. Die Steigung hast du ermittelt, indem du den Funktionswert der Ableitung an der Stelle $x$ = $1$ ermittelt hast. Nun setzt du die Koordinaten des Wendepunktes in die Geradengleichung ein, um $b$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -2x+b &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& -2\cdot1+b &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& 2 \end{array}$
Damit hast du die Gleichung der Wendetangente $f(x)$ bestimmt. Sie lautet:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -2x+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Nun bestimmst du den Flächeninhalt der Fläche die zwischen $f(x)$ und $g(x)$ liegt. Dazu subtrahierst du $g(x)$ von $f(x)$ und Integrierst zwischen $0$ und $1$.
$0$, weil du an der $y$-Achse beginnend den Flächeninhalt bestimmen willst, und $1$, weil hier der Wendepunkt liegt. Später musst du den Flächeninhalt noch mit zwei multiplizieren, da du ja nur eine Seite der $y$-Achse betrachtet hast, du aber die Fläche, welche beide Wendetangenten mit der Funktion einschließen, bestimmen sollst.
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& f(x)-g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] h(x)&=& -2x+2-\left(\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] h(x)&=& -\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2-2x+\frac{3}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ h(x)= -\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2… $
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left(-\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2-2x+\frac{3}{4}\right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \text{Integrieren}\; \\[5pt] A_1 &=& \left[-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{5}x^5+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3} x^3-2\cdot\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x \right]^{1}_{0} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \left[-\frac{1}{20}x^5+\frac{3}{6} x^3-x^2+\frac{3}{4}x\right]^{1}_{0} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \left(-\frac{1}{20}1^5+\frac{3}{6} 1^3-1^2+\frac{3}{4}1\right) &\quad \scriptsize \text{Grenzen einsetzen}\; \\[5pt] &=& -\left(-\frac{1}{20}0^5+\frac{3}{6} 0^3-0^2+\frac{3}{4}0\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& -\frac{1}{20}+\frac{3}{6} -1+\frac{3}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& -\frac{1}{20}+\frac{10}{20} -\frac{20}{20}+\frac{15}{20} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \frac{4}{20} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1 &=& \frac{1}{5}\, \text{ FE} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ A_1 = \frac{1}{5} $FE
Jetzt bestimmst du den Flächeninhalt der gesamten Fläche, die beide Wendetangenten mit $g(x)$ einschließen. Dazu multiplizierst du $A_1$ mit zwei.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2A_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] A&=& \frac{2}{5}\, \text{ FE} \end{array}$
Der Gesuchte Flächeininhalt beträgt also $\frac{2}{5}\, \text{ FE}$.
#integral#geradengleichung
1.1.3
$\blacktriangleright$  Maximalen Flächeninhalt bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du $u$ so bestimmen, dass der Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$ maximal wird.
$ 0,1\leq u \leq 0,9 $
Aus der Aufgabe $1.1.1$ weist du, dass der Graph von $g(x)$ symmetrisch zur $y$-Achse ist. Du bestimmen also nur die Fläche für $x\geq 0$. Zuerst stellst du die Funktion der Fläche auf. Dann suchst du das Maximum mit deinem GTR.
Die Fläche A ergibt sich aus der Breite $u$ multipliziert mit der Höhe $g(u)$.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& u\cdot g(u) &\quad \scriptsize \\[5pt] A_1&=& x\cdot\left(\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{4}\right) \end{array}$
$ A_1= … $
$\blacktriangleright$  Extrempunkt bestimmen mit GTR(TI)
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem GTR tun.
Analysis
Abb. 6 Hochpunkt von Graph $f$
Analysis
Abb. 6 Hochpunkt von Graph $f$
Du hast gezeigt das die Fläche $A_1$ an der Stelle $u= 0,551$ maximal ist.
Du kannst noch die Fläche A bestimmen, allerdings ist das in der Aufgabe nicht explizit gefordert. Dazu multiplizierst du den Funktionswert des Hochpunktes mit zwei, da du nur die Hälfte der Fläche betrachtet hast.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& 0,451 \cdot 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] A &=& 0,92\, \text{FE} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
#extrempunkt
1.1.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten der gemeinsamen Punkte bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du gemeinsame Punkte der beiden Schaubilder $g$ und $w$ bestimmen. Dazu plottest du beide mit dem GTR und bestimmst dann die Schnittpunkte.
F5 $\rightarrow$ F5
F5 $\rightarrow$ F5
Analysis
Abb.7 Schnittpunkte der Graphen
Analysis
Abb. 7 Schnittpunkte der Graphen
Da beide Funktionen $y$-achsensymmetrisch sind erhältst du den zweiten Schnittpunkt durch Spiegelung an der $y$-Achse.
$S_1(1\mid 0)$
$S_2(-1\mid 0)$
$\blacktriangleright$  Volumen des Rotationskörpers bestimmen
Jetzt sollst du das Volumen des Rotationskörpers bestimmen, welcher entsteht wenn die Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f(x)$ und $w(x)$ eingeschlossen wird, um die $x$-Achse rotiert. Hier reicht es nicht, beide Funktionsterme voneinander zu subtrahieren und dann das entsprechende Rotationsvolumen zu bestimmen. Du musst von beiden Funktionen das Rotationsvolumen bestimmen, und dann die Differenz bilden.
  1. Du bestimmst zuerst das Volumen, welches entsteht, wenn die Funktion $f(x)$ um die $x$-Achse rotiert.
  2. dann das Volumen, welches entsteht, wenn die Funktion $w(x)$ um die $x$-Achse rotiert.
  3. Dann subtrahierst du das Rotationsvolumen von $w(x)$ vom Rotationvolumen von $f(x)$.
Die Formel zur bestimmung des Rotationvolumens lautet:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\pi\cdot\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\pi\cdot\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Als Grenzen $a$ und $b$ wählst du die Schnittstellen der beiden Graphen, welche gleichzeitig die Nullstellen der Funktionen $f(x)$ und $w(x)$ sind. Du kannst beide Funktionen quadrieren, sie mit dem GTR plotten und dann den Flächeninhalt unter der Kurve bestimmen.
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ F3
F5 $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ F3
Analysis
Abb. 9 Fläche unter Graph 2
Analysis
Abb. 9 Fläche unter Graph 2
Die Volumina der beiden Rotationskörper erhältst du nun, indem du beide Integrale mit $\pi$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} V_1&\approx& 1,57\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] V_1&\approx& 4,93 &\quad \scriptsize \\[5pt] V_2&\approx& 17,07\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] V_2&\approx& 53,63 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um nun das Volumen des Rotationskörpers zu bestimmen, welcher von beiden Graphen eingeschlossen wird, subtrahierst du $V_1$ von $V_2$.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_1-V_2 &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=& 53.63-17,07 &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=& 36.26\,\text{VE} \end{array}$
#integral#schnittpunkt
1.2.1
$\blacktriangleright$  Periode bestimmen
In Aufgabe 1.2 ist die Funktion $f_t$ gegeben. Du sollst nun die Periode $p$ der Funktion bestimmen. Dazu ließt du $b$ aus der Gleichung ab und berechnest $p$.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(x)&=& \sin{\left(\frac{\pi}{t}x\right)}+t&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$b$ ist der Faktor der mit $x$ multipliziert wird und lautet in diesem Fall : $\frac{\pi}{t}$
$p= \frac{2\pi}{b}$
$p= \frac{2\pi}{b}$
Mit der Formel kannst du jetzt die Periode $p$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\frac{2\pi}{b} &\quad \scriptsize \\[5pt] p&=&\frac{2\pi}{\frac{\pi}{t}} &\quad \scriptsize \\[5pt] p&=& 2t \end{array}$
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{f_2(x)}$ zeichnen
In diesem Aufgabenteil sollst du das Schaubild $C_2$ von $f_2(x)$ zeichnen. $t$ = $2$. Der Bereich den du zeichnen sollst geht von $x=-2$ bis $x=6$. Du kannst die Funktion von deinem GTR plottten lassen und sie dann abzeichnen.
$\begin{array}[t]{rll} f_2(x)&=&\sin{\left(\frac{\pi}{2}x\right)}+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Analysis
Abb. 10 Schaubild $C_2$
Analysis
Abb.10 Schaubild $C_2$
1.2.2
$\blacktriangleright$  t so bestimmen, das die Tangenten parallel sind
In diesem Aufgabenteil sollst du eine Tangente in den Punkt $W(t\mid t)$ an den Graphen $C_t$ anlegen. Die Tangente soll parallel zur Geraden mit der Gleichung $y$ = $-x$ sein.
Du leitest also $f_t(x)$ einmal ab und setzt es mit der Steigung der geraden $y$ = $-x$ gleich, da beide Graphen parallel sein sollen.
Für $x$ setzt du $t$ ein, da du die Tangente an den Punkt $W(t\mid t)$ anlegen sollst.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&\frac{\pi}{t}\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{t}x\right)} &\quad \scriptsize \\[5pt] g'(x)&=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=g'(t) &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\pi}{t}\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{t}t\right)} &=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\pi}{t}\cdot\cos{\pi} &=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\pi}{t}\cdot(-1) &=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{\pi}{t} &=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \pi &=& t &\quad \scriptsize \\[5pt] t &=& \pi &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das gesuchte $t$ ist also $t = \pi$.
1.2.3
$\blacktriangleright$  Extrempunkte der Stammfunktionen bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Werte für $t$ ermitteln, für die die Schaubilder der Stammfunktionen von $f_t(x)$ Extrempunkte besitzen. Dazu kannst du mehrere Funktionen wie Beispielsweise $f_{-1}$, $f_1$, $f_2$, plotten.
Analysis
Abb. 11 Schaubilder verschiedener Funktionen
Analysis
Abb. 11 Schaubilder verschiedener Funktionen
Nun sollst du bestimmen, für welche $t$ die Graphen der Stammfunktionen von $f_t$ Extrempunkte besitzen.
Die Bedingung für einen Extrempunkt lautet $f'_t(x)=0$. Damit die Stammfunktion einen Extrempunkt hat, muss die Funktion also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzen.
Die Funktion $f_t(x)$lautet: $f_t(x)=\sin{\left(\frac{\pi}{t}x\right)}+t$
Sie wird also um $t$ nach oben oder unten verschoben. Der Wertebereich des Sinus ist $t\pm1$. $\begin{array}[t]{rll} t\pm 1&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] t&=&\mp 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \mid t\mid&=1& \end{array}$
Für alle $\mid t\mid$ $<$ $1$ hat die Funktion $f_t$ Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
Die Stammfunktionen von $f_t$bestitzen für alle $\mid t\mid$ $<$ $1$ Extremstellen.
#stammfunktion
1.3
$\blacktriangleright$  Aussagen untersuchen
In diesem Aufgabenteil ist die Funktion $h$ gegeben. Du sollst untersuchen ob die drei Aussagen aus der Aufgabenstellung wahr oder falsch sind.
Analysis
Abb. 12 Schaubild der Funktion $h$
Analysis
Abb. 12 Schaubild der Funktion $h$
$\blacktriangleright$  1. Aussage untersuchen
Aussage: $h'>0$ für $0<x<2$
Du sollst die Ableitung der Funktion im Intervall $\left(0,2\right)$ untersuchen. Die Ableitung ist größer Null, wenn die Funktion steigt und kleiner Null, wenn die Funktion fällt. Laut Aussage müsste die Funktion im Intervall also monoton steigen.
Die Aussage ist falsch, da das Schaubild von $h$ im Intervall fällt und die Ableitung damit kleiner als Null ist.
$\blacktriangleright$  2. Aussage untersuchen
Du sollst die Aussage $3<\displaystyle\int_{0}^{2}h(x)\;\mathrm dx<6$ überprüfen.
Um die Aussage zu überprüfen musst du den Flächeninhalt unter der Kurve im Intervall $\left(0,2\right)$ abschätzen. Den Flächeninhalt unter der Kurve kannst du durch Kästchenzählen abschätzen. Du erhältst ca. : $4,5$ FE
Diese Aussage stimmt, da $3< 4,5<6$
$\blacktriangleright$  3. Aussage untersuchen
Du sollst untersuchen, ob die zweite Ableitung von $h$ im Intervall $-2<x<1$ das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt.
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmungsrichtung der Funktion. Wenn die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt, muss die Funktion also eine Wendestelle haben, da sich hier die Krümmungsrichtung ändert. Wechselt die zweite Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, so wechselt die Funktion von linksgekrümmund nach rechtsgekrümmung. Wechselt die zweite Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, so wechselt die Funktion von rechtskrümmung zu linkskrümmung.
Unsere Funktion hat im Intervall eine Wendestelle, an der die Krümmung von Links-/ nach Rechtskrümmung wechselt. Die zweite Ableitung wechselt das Vorzeichen also von Plus nach Minus.
Die Aussage stimmt, da die Funktion im Intervall eine Wendestelle mit Krümmungswechsel von Links-/ nach Rechtskrümmung besitzt.
#graph#ableitung#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
© 2016 – SchulLV.
[6]
© 2016 – SchulLV.
[7]
© 2016 – SchulLV.
[8]
© 2016 – SchulLV.
[9]
© 2016 – SchulLV.
[10]
© 2016 – SchulLV.
[11]
© 2016 – SchulLV.
[12]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App