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1
Im Jahr 1986 gab es in Tschernobyl ein Reaktorunglück, bei dem die radioaktiven Isotope Cäsium-137 und Plutonium-241 freigesetzt wurden. Deren Radioaktivität ist noch immer messbar.
Im Folgenden entspricht der Zeitpunkt $t=0$ dem Jahr 1986, wobei $t$ in Jahren gemessen wird.
1.1
Die folgende Tabelle zeigt die geschätzten Werte für die nicht zerfallene Menge von Cäsium-137 (in Gramm), welche auf der Fläche Deutschlands insgesamt zu den angegeben Zeitpunkten vorhanden war.
Jahr1986199119962006
Cäsium-137$230,00$$204,91$$182,55$$144,89$
Der Zerfall des vorhandenen Cäsiums-137 soll durch eine Funktion $m$ mit $m(t)=a \cdot b^t \; ;\; t\geq0$ beschrieben werden.
Bestimme passende Werte für $a$ und $b$.
(2P)
#wachstum
1.2
Die zum Zeitpunkt $t$ vorhandene Menge Cäsium-137 in Gramm wird nun durch das Modell $m_c$ mit $m_c(t)=230 \cdot \mathrm{e}^{-0,023 \cdot t} ; t\geq 0$ beschrieben.
Wie viel Prozent des ursprünglich vorhandenen Cäsiums-137 sind im Jahr 2016 noch vorhanden?
In welchem Jahr wird nur noch 1$\;\%$ der ursprünglichen Menge an Cäsium-137 vorhanden sein?
(3P)
1.3
Plutonium-241 zerfällt zu Americium-241, welches selbst auch radioaktiv ist und daher weiter zerfällt.
Die zum Zeitpunkt $t$ vorhandene Menge Americium-241 in Milligramm wird durch das Modell $m_A$ mit $m_A(t)=200 \cdot (1-\mathrm{e}^{-0,048\cdot t}) \cdot \mathrm{e}^{-0,0016 \cdot t} \; ; \; t\geq 0 $ angenähert.
1.3.1
Zeichne das Schaubild der Funktion $m_A$ für $0 \leq t \leq200$.
Begründe mit Hilfe des Schaubildes von $m_A$$\;$, dass Plutonium-241 schneller zerfällt als Americium-241.
(4P)
#graph
1.3.2
In welchem Jahr ist die Menge des vorhandenen Americiums-241 am größten?
Wie groß ist diese maximale Menge?
(2P)
1.3.3
Bestimme, wie viele Jahre nach dem Reaktorunglück die Menge des Americiums-241 am stärksten abnimmt.
Jemand behauptet, dass ab diesem Zeitpunkt das Americium-241 weiter mit der maximalen Zerfallsgeschwindigkeit linear abnimmt.
In welchem Jahr wäre dann kein Americium-241 mehr vorhanden?
(4P)

(15P)
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