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Einkommen für Durchschnittssteuersatz von $28$% bestimmen
Du sollst mithilfe der Formel bestimmen, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz $28$ % beträgt. Dazu setzt du $S(x)$ = $28$.
$\begin{array}[t]{rll}
28 &=& \frac{1.600+40(x-60)}{x} &\quad \scriptsize \\[5pt]
28 x &=& 1.600+40(x-60) &\quad \scriptsize \\[5pt]
28 x &=& 1.600+40x-2.400 &\quad \scriptsize \\[5pt]
-12 x &=& -800 &\quad \scriptsize \\[5pt]
12 x &=& 800 &\quad \scriptsize \\[5pt]
x &=& 66,67 &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}$
Bei einem Einkommen von $66,7$ GE liegt der Durchchschnittssteuersatz bei $28$ %.
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Term mit Hilfe des Schaubildes erläutern
Du sollst mit Hilfe des Schaubildes erläutern, wie sich der Term $S(x)$ ergibt.
Der Durschnittssteuersatz ergibt sich mit folgender Formel:
$\begin{array}[t]{rll}
S(x) &=& \frac{\text{Steuern in GE}\cdot 100}{\text{Jahreeinkommen in GE}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}$
Der Nenner: $x$ steht schon für das Jahreseinkommen in GE.
Der Zähler: $(1.600+40(x-60))$ muss also die insgesamt bezahlten Steuern multipliziert mit $100$ darstellen.
Du untersuchst nun den Zähler. Dazu bestimmst du eine Gleichung für die zu bezahlenden Steuern in Abhängigkeit vom Jahreseinkommen.
Für ein Jahreseinkommen zwischen $60$ und $85$ GE kannst du die Steuern bestimmen, indem du die für die ersten $60$ GE bezahlten Steuern bestimmst. Diese sind für alle Jahreseinkommen über $60$ GE gleich. Die restlichen Steuern bestimmst du, indem du $60$ GE vom Jahreseinkommen abziehst und diesen Betrag dann mit einem Steuersatz von $40$ % gewichtest.
Zuerst bestimmst du die Steuern für die ersten $60$ GE:
Für die ersten $10$ GE fallen steuern in Höhe von $0$ Euro an.
Für die $10$ GE zwischen $10$ GE und $20$ GE fallen Steuern von $20$ % an. Das sind $2.000$ Euro.
Für die $40$ GE zwischen $20$ GE und $60$ GE fallen Steuern in höhe von $35$% an. Das sind $14.000$ Euro.
Insgesamt fallen also Steuern in Höhe von $2.000$ + $14.000$ = $16.000$ Euro an.
Die Steuern für das Einkommen über $60$ GE bestimmst du folgendermaßen:
Zu versteuerndes Einkommen über $60$ GE = $x - 60$ GE
Steuern = zu versteuerndes Einkommen mal $0,4$
Steuern = $(x-60)\cdot 0,4$
Die Gleichung für die Steuern lautet also:
$16$ GE + $(x-60 GE)*0,4$
Diese multiplizierst du noch mit 100 (siehe Gleichung $S(x)$ oben ) und du erhältst die Gleichung aus der Aufgabenstellung.
$1.600$ GE + $(x-60 GE)*40$