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Anwendungsorientierte Aufgaben 2

Aufgaben
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2
Im Einkommenssteuerbescheid wird unter anderem der Durchschnittssteuersatz angegeben. Eine Geldeinheit ($\text{GE}$) entspricht im Folgenden $1.000\,€$.
2.1
Ein Vorschlag für den Verlauf des Durchschnittssteuersatzes wird durch die folgende Tabelle beschrieben. In dieser befinden sich einige berechnete Durchschnittssteuersätze (in Prozent) für unterschiedliche Jahreseinkommen.
Jahreseinkommen in $\text{GE}$$10$$15$$30$$50$$60$$80$
Durchschnittssteuersatz in %$0,00$$5,00$$17,08$$24,25$$26,67$$30,00$
Modelliere die obigen Daten durch eine Polynomfunktion 3. Grades.
Berechne damit das Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz $28\;\%$.
Ist dein Modell für eine Steuererhebung geeignet? Begründe.
(5P)
#polynomfunktion
2.2
Das Schaubild zeigt den Vorschlag für den Grenzsteuersatz, aus dem sich der Durchschnittssteuersatz exakt ergibt.
Beispiel: Bei einem Jahreseinkommen von $15.000\,€$ ($15\,\text{GE}$) sind die ersten $10.000\,€$ $(10\,\text{GE})$ steuerfrei. Die restlichen $5.000\,€$ $(5\,\text{GE})$ werden zwischen $10\,\%$ und $20\,\%$ besteuert, also im Mittel mit $15\,\%$. Die Steuer beträgt demnach 750$\;$€, und der Durchschnittssteuersatz ist $750$ geteilt durch $15.000$, also $5\;\%$.
Im Folgenden sollen die Informationen für Einkommen bis zu $85\,\text{(GE)}$ aus dem Schaubild benutzt werden.
2.2.1
Zeige, dass bei einem Jahreseinkommen von $40.000\,€$ Steuern in Höhe von $8.500\,€$ anfallen. Bestimme den zugehörigen Durchschnittssteuersatz.
(3P)
#prozentrechnen
2.2.2
Kann der Durchschnittssteuersatz für ein Einkommen $40\;\%$ sein? Begründe.
(2P)
2.2.3
Für $60 < x < 85$ kann der Durchschnittssteuersatz $S$ (in %) in Abhängigkeit des Jahreseinkommens $x$ (in $\text{GE}$) folgendermaßen ermittelt werden:
$S(x)= \dfrac {1.600+40 \cdot(x-60)}{x}$
Berechne, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz $S$ $28\,\%$ ist.
Erläutere mit Hilfe des obigen Schaubilds, wie sich der Term von $S$ ergibt.
(5P)

(15P)
#prozentrechnen
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2.1
$\blacktriangleright$  Kubische Regression
In diesem Aufgabenteil sollst du den in der Tabelle angegebenen Durchschnittssteuersatz als Funktion $3$.Grades modellieren. Dazu gibst du die Werte in deinen GTR ein und führst eine Cubic Regression (3. Grades) durch.
$\blacktriangleright$  Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz von $28$ % bestimmen
Um das Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen plottest du den Graphen der Funktion. Außerdem plottest du eine Gerade $g(x)=28$. Dann suchst du nach dem Schnittpunkt.
$\blacktriangleright$  Ist das Modell geeignet?
Du sollst begründen, ob das Modell für eine Steuererhebung geeignet ist.
Du erkennst zwei Kritikpunkte an dem Modell, wenn du es mit dem Schaubild aus Aufgabe $2.2$ vergleichst:
1. Bei Einkommen unter $10$ GE würde ein negativer Einkommenssteuersatz erhoben werden.
2. Der Steuersatz geht für große Gehälter gegen Unendlich, müsste aber bei ca. $40$% sein maximum erreichen.
2.2.1
$\blacktriangleright$  Steuern bestimmen
Du sollst zeigen, dass bei einem Jahresinkommen von $40$ GE Steuern in Höhe von $8.500$ Euro anfallen. Dazu gehst du analog zum Beispiel in Aufgabe $2.2$ vor.
2.2.2
$\blacktriangleright$  Kann der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein ?
Du sollst begründen, ob der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein kann.
Der Durchschnittssteuersatz ist der Durschschnitt über alle Steuersätze.
2.2.3
$\blacktriangleright$  Einkommen für Durchschnittssteuersatz von $28$% bestimmen
Du sollst mithilfe der Formel bestimmen, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz $28$ % beträgt. Dazu setzt du $S(x)$ = $28$.
$\blacktriangleright$  Term mit Hilfe des Schaubildes erläutern
Du sollst mit Hilfe des Schaubildes erläutern, wie sich der Term $S(x)$ ergibt. Der Durschnittssteuersatz ergibt sich mit folgender Formel:
$\begin{array}[t]{rll} S(x) &=& \frac{\text{Steuern in GE}\cdot 100}{\text{Jahreeinkommen in GE}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
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2.1
$\blacktriangleright$  Kubische Regression
In diesem Aufgabenteil sollst du den in der Tabelle angegebenen Durchschnittssteuersatz als Funktion $3$.Grades modellieren. Dazu gibst du die Werte in deinen GTR ein und führst eine Cubic Regression (3. Grades) durch.
On $\rightarrow$ Lists an Spreadsheads
On $\rightarrow$ Lists an Spreadsheads
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Abb. 1 Cubic Reg
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Abb. 1 Cubic Reg
menü $\rightarrow$ Statistik $\rightarrow$ Statistische Berechnungen $\rightarrow$ Kubische Reg.
menü $\rightarrow$ Statistik $\rightarrow$ Statistische Berechnungen $\rightarrow$ Kubische Reg.
Als Werte erhältst du folgendes
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1,1 \cdot 10^{-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& -0,021 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 1,57 &\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& -13,76 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion für den Durchschnittssteuersatz lautet somit:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 1,1 \cdot 10^{-4}\cdot x^3 -0,021 x^2 + 1,57 x -13,76 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz von $28$ % bestimmen
Um das Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen plottest du den Graphen der Funktion.
menü $\rightarrow$ Tabelle $\rightarrow$ Tabelle mit geteiltem Bildschirm
menü $\rightarrow$ Tabelle $\rightarrow$ Tabelle mit geteiltem Bildschirm
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Abb. 2 Durchschnittssteuersatz $28$%
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Abb. 2 Durchschnittssteuersatz $28$%
$\blacktriangleright$  Ist das Modell geeignet?
Du sollst begründen, ob das Modell für eine Steuererhebung geeignet ist.
Du erkennst zwei Kritikpunkte an dem Modell, wenn du es mit dem Schaubild aus Aufgabe $2.2$ vergleichst:
1. Bei Einkommen unter $10$ GE würde ein negativer Einkommenssteuersatz erhoben werden.
2. Der Steuersatz geht für große Gehälter gegen Unendlich, müsste aber bei ca. $40$% sein maximum erreichen.
Aufgrund dieser Fehler ist das Modell nicht für die Steuererhebeung geeignet.
#ganzrationalefunktion
2.2.1
$\blacktriangleright$  Steuern bestimmen
Du sollst zeigen, dass bei einem Jahresinkommen von $40$ GE Steuern in Höhe von $8.500$ Euro anfallen. Dazu gehst du analog zum Beispiel in Aufgabe $2.2$ vor.
Für die ersten $10$ GE fallen steuern in Höhe von $0$ Euro an.
Für die $10$ GE zwischen $10$ GE und $20$ GE fallen Steuern von $20$ % an. Das sind $2.000$ Euro.
Für die $20$ GE zwischen $20$ GE und $40$ GE fallen Steuern in höhe von $32,5$% an. Das sind $6.500$ Euro.
Insgesamt fallen also Steuern in Höhe von $2.000$ + $6.500$ = $8.500$ Euro an.
Um den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen, teilst du die anfallenden Steuern durch das zu versteuernde Einkommen.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{8.500}{40.000}&=& 21,25 \text{%} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Durchschnittssteuersatz bei einem Jährlichen Einkommen von $40$ GE liegt bei $21,25$ %.
#prozentrechnen
2.2.2
$\blacktriangleright$  Kann der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein ?
Du sollst begründen, ob der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein kann.
Da der Durchschnittssteuersatz der Durchschnitt über alle Steuersätze ist und diese vor einem Einkommen von $60$ GE unter $40$ % liegen und danach bei genau $40$ % kann der Durschnittssteuersatz nie $\geq $ $40$ % sein.
#prozentrechnen
2.2.3
$\blacktriangleright$  Einkommen für Durchschnittssteuersatz von $28$% bestimmen
Du sollst mithilfe der Formel bestimmen, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz $28$ % beträgt. Dazu setzt du $S(x)$ = $28$.
$\begin{array}[t]{rll} 28 &=& \frac{1.600+40(x-60)}{x} &\quad \scriptsize \\[5pt] 28 x &=& 1.600+40(x-60) &\quad \scriptsize \\[5pt] 28 x &=& 1.600+40x-2.400 &\quad \scriptsize \\[5pt] -12 x &=& -800 &\quad \scriptsize \\[5pt] 12 x &=& 800 &\quad \scriptsize \\[5pt] x &=& 66,67 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Bei einem Einkommen von $66,7$ GE liegt der Durchchschnittssteuersatz bei $28$ %.
$\blacktriangleright$  Term mit Hilfe des Schaubildes erläutern
Du sollst mit Hilfe des Schaubildes erläutern, wie sich der Term $S(x)$ ergibt. Der Durschnittssteuersatz ergibt sich mit folgender Formel:
$\begin{array}[t]{rll} S(x) &=& \frac{\text{Steuern in GE}\cdot 100}{\text{Jahreeinkommen in GE}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Nenner: $x$ steht schon für das Jahreseinkommen in GE.
Der Zähler: $(1.600+40(x-60))$ muss also die insgesamt bezahlten Steuern multipliziert mit $100$ darstellen.
Du untersuchst nun den Zähler. Dazu bestimmst du eine Gleichung für die zu bezahlenden Steuern in Abhängigkeit vom Jahreseinkommen.
Für ein Jahreseinkommen zwischen $60$ und $85$ GE kannst du die Steuern bestimmen, indem du die für die ersten $60$ GE bezahlten Steuern bestimmst. Diese sind für alle Jahreseinkommen über $60$ GE gleich. Die restlichen Steuern bestimmst du, indem du $60$ GE vom Jahreseinkommen abziehst und diesen Betrag dann mit einem Steuersatz von $40$ % gewichtest. Zuerst bestimmst du die Steuern für die ersten $60$ GE:
Für die ersten $10$ GE fallen steuern in Höhe von $0$ Euro an.
Für die $10$ GE zwischen $10$ GE und $20$ GE fallen Steuern von $20$ % an. Das sind $2.000$ Euro.
Für die $40$ GE zwischen $20$ GE und $60$ GE fallen Steuern in höhe von $35$% an. Das sind $14.000$ Euro.
Insgesamt fallen also Steuern in Höhe von $2.000$ + $14.000$ = $16.000$ Euro an.
Die Steuern für das Einkommen über $60$ GE bestimmst du folgendermaßen:
Zu versteuerndes Einkommen über $60$ GE = $x - 60$ GE
Steuern = zu versteuerndes Einkommen mal $0,4$
Steuern = $(x-60)\cdot 0,4$
Die Gleichung für die Steuern lautet also: $16$ GE + $(x-60 GE)*0,4$
Diese multiplizierst du noch mit 100 (siehe Gleichung $S(x)$ oben ) und du erhältst die Gleichung aus der Aufgabenstellung.
$1.600$ GE + $(x-60 GE)*40$
#prozentrechnen
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2.1
$\blacktriangleright$  Kubische Regression
In diesem Aufgabenteil sollst du den in der Tabelle angegebenen Durchschnittssteuersatz als Funktion $3$.Grades modellieren. Dazu gibst du die Werte in deinen GTR ein und führst eine Cubic Regression (3. Grades) durch.
statistik
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Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Abb. 1 Cubic Reg
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Abb. 1 Cubic Reg
Calc $\rightarrow$ Regressionen $\rightarrow$ Kubische Reg.
Calc $\rightarrow$ Regressionen $\rightarrow$ Kubische Reg.
Als Werte erhältst du folgendes
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1,1 \cdot 10^{-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& -0,021 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 1,57 &\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& -13,76 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion für den Durchschnittssteuersatz lautet somit:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 1,1 \cdot 10^{-4}\cdot x^3 -0,021 x^2 + 1,57 x -13,76 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz von $28$ % bestimmen
Um das Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen plottest du den Graphen der Funktion. Dann suchst du nach der $x$-Koordinate mit dem Funktionswert $28$.
Analyse $\rightarrow$ Grafische Lösung $\rightarrow$ x/y Bereich $\rightarrow$ x Berechnen
Analyse $\rightarrow$ Grafische Lösung $\rightarrow$ x/y Bereich $\rightarrow$ x Berechnen
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Abb. 2 Durchschnittssteuersatz $28$%
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Abb. 2 Durchschnittssteuersatz $28$%
$\blacktriangleright$  Ist das Modell geeignet?
Du sollst begründen, ob das Modell für eine Steuererhebung geeignet ist.
Du erkennst zwei Kritikpunkte an dem Modell, wenn du es mit dem Schaubild aus Aufgabe $2.2$ vergleichst:
1. Bei Einkommen unter $10$ GE würde ein negativer Einkommenssteuersatz erhoben werden.
2. Der Steuersatz geht für große Gehälter gegen Unendlich, müsste aber bei ca. $40$% sein maximum erreichen.
Aufgrund dieser Fehler ist das Modell nicht für die Steuererhebeung geeignet.
#ganzrationalefunktion
2.2.1
$\blacktriangleright$  Steuern bestimmen
Du sollst zeigen, dass bei einem Jahresinkommen von $40$ GE Steuern in Höhe von $8.500$ Euro anfallen. Dazu gehst du analog zum Beispiel in Aufgabe $2.2$ vor.
Für die ersten $10$ GE fallen steuern in Höhe von $0$ Euro an.
Für die $10$ GE zwischen $10$ GE und $20$ GE fallen Steuern von $20$ % an. Das sind $2.000$ Euro.
Für die $20$ GE zwischen $20$ GE und $40$ GE fallen Steuern in höhe von $32,5$% an. Das sind $6.500$ Euro.
Insgesamt fallen also Steuern in Höhe von $2.000$ + $6.500$ = $8.500$ Euro an.
Um den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen, teilst du die anfallenden Steuern durch das zu versteuernde Einkommen.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{8.500}{40.000}&=& 21,25 \text{%} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Durchschnittssteuersatz bei einem Jährlichen Einkommen von $40$ GE liegt bei $21,25$ %.
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2.2.2
$\blacktriangleright$  Kann der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein ?
Du sollst begründen, ob der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein kann.
Da der Durchschnittssteuersatz der Durchschnitt über alle Steuersätze ist und diese vor einem Einkommen von $60$ GE unter $40$ % liegen und danach bei genau $40$ % kann der Durschnittssteuersatz nie $\geq $ $40$ % sein.
#prozentrechnen
2.2.3
$\blacktriangleright$  Einkommen für Durchschnittssteuersatz von $28$% bestimmen
Du sollst mithilfe der Formel bestimmen, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz $28$ % beträgt. Dazu setzt du $S(x)$ = $28$.
$\begin{array}[t]{rll} 28 &=& \frac{1.600+40(x-60)}{x} &\quad \scriptsize \\[5pt] 28 x &=& 1.600+40(x-60) &\quad \scriptsize \\[5pt] 28 x &=& 1.600+40x-2.400 &\quad \scriptsize \\[5pt] -12 x &=& -800 &\quad \scriptsize \\[5pt] 12 x &=& 800 &\quad \scriptsize \\[5pt] x &=& 66,67 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Bei einem Einkommen von $66,7$ GE liegt der Durchchschnittssteuersatz bei $28$ %.
$\blacktriangleright$  Term mit Hilfe des Schaubildes erläutern
Du sollst mit Hilfe des Schaubildes erläutern, wie sich der Term $S(x)$ ergibt. Der Durschnittssteuersatz ergibt sich mit folgender Formel:
$\begin{array}[t]{rll} S(x) &=& \frac{\text{Steuern in GE}\cdot 100}{\text{Jahreeinkommen in GE}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Nenner: $x$ steht schon für das Jahreseinkommen in GE.
Der Zähler: $(1.600+40(x-60))$ muss also die insgesamt bezahlten Steuern multipliziert mit $100$ darstellen.
Du untersuchst nun den Zähler. Dazu bestimmst du eine Gleichung für die zu bezahlenden Steuern in Abhängigkeit vom Jahreseinkommen.
Für ein Jahreseinkommen zwischen $60$ und $85$ GE kannst du die Steuern bestimmen, indem du die für die ersten $60$ GE bezahlten Steuern bestimmst. Diese sind für alle Jahreseinkommen über $60$ GE gleich. Die restlichen Steuern bestimmst du, indem du $60$ GE vom Jahreseinkommen abziehst und diesen Betrag dann mit einem Steuersatz von $40$ % gewichtest. Zuerst bestimmst du die Steuern für die ersten $60$ GE:
Für die ersten $10$ GE fallen steuern in Höhe von $0$ Euro an.
Für die $10$ GE zwischen $10$ GE und $20$ GE fallen Steuern von $20$ % an. Das sind $2.000$ Euro.
Für die $40$ GE zwischen $20$ GE und $60$ GE fallen Steuern in höhe von $35$% an. Das sind $14.000$ Euro.
Insgesamt fallen also Steuern in Höhe von $2.000$ + $14.000$ = $16.000$ Euro an.
Die Steuern für das Einkommen über $60$ GE bestimmst du folgendermaßen:
Zu versteuerndes Einkommen über $60$ GE = $x - 60$ GE
Steuern = zu versteuerndes Einkommen mal $0,4$
Steuern = $(x-60)\cdot 0,4$
Die Gleichung für die Steuern lautet also: $16$ GE + $(x-60 GE)*0,4$
Diese multiplizierst du noch mit 100 (siehe Gleichung $S(x)$ oben ) und du erhältst die Gleichung aus der Aufgabenstellung.
$1.600$ GE + $(x-60 GE)*40$
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