Anwendungsorientierte Aufgaben 2

Im Einkommenssteuerbescheid wird unter anderem der Durchschnittssteuersatz angegeben. Eine Geldeinheit ($\text{GE}$) entspricht im Folgenden $1.000\,€$.

Ein Vorschlag für den Verlauf des Durchschnittssteuersatzes wird durch die folgende Tabelle beschrieben. In dieser befinden sich einige berechnete Durchschnittssteuersätze (in Prozent) für unterschiedliche Jahreseinkommen. Modelliere die obigen Daten durch eine Polynomfunktion 3. Grades.
Berechne damit das Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz $28\;\%$. Ist dein Modell für eine Steuererhebung geeignet? Begründe.

Das Schaubild zeigt den Vorschlag für den Grenzsteuersatz, aus dem sich der Durchschnittssteuersatz exakt ergibt. Beispiel: Bei einem Jahreseinkommen von $15.000\,€$ ($15\,\text{GE}$) sind die ersten $10.000\,€$ $(10\,\text{GE})$ steuerfrei. Die restlichen $5.000\,€$ $(5\,\text{GE})$ werden zwischen $10\,\%$ und $20\,\%$ besteuert, also im Mittel mit $15\,\%$. Die Steuer beträgt demnach 750$\;$€, und der Durchschnittssteuersatz ist $750$ geteilt durch $15.000$, also $5\;\%$. Im Folgenden sollen die Informationen für Einkommen bis zu $85\,\text{(GE)}$ aus dem Schaubild benutzt werden.

Zeige, dass bei einem Jahreseinkommen von $40.000\,€$ Steuern in Höhe von $8.500\,€$ anfallen. Bestimme den zugehörigen Durchschnittssteuersatz.

Kann der Durchschnittssteuersatz für ein Einkommen $40\;\%$ sein? Begründe.

Für $60 < x < 85$ kann der Durchschnittssteuersatz $S$ (in %) in Abhängigkeit des Jahreseinkommens $x$ (in $\text{GE}$) folgendermaßen ermittelt werden: $S(x)= \dfrac {1.600+40 \cdot(x-60)}{x}$ Berechne, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz $S$ $28\,\%$ ist. Erläutere mit Hilfe des obigen Schaubilds, wie sich der Term von $S$ ergibt.

$\blacktriangleright$  Kubische Regression In diesem Aufgabenteil sollst du den in der Tabelle angegebenen Durchschnittssteuersatz als Funktion $3$.Grades modellieren. Dazu gibst du die Werte in deinen GTR ein und führst eine Cubic Regression (3. Grades) durch. $\blacktriangleright$  Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz von $28$ % bestimmen Um das Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen plottest du den Graphen der Funktion. Außerdem plottest du eine Gerade $g(x)=28$. Dann suchst du nach dem Schnittpunkt. $\blacktriangleright$  Ist das Modell geeignet? Du sollst begründen, ob das Modell für eine Steuererhebung geeignet ist. Du erkennst zwei Kritikpunkte an dem Modell, wenn du es mit dem Schaubild aus Aufgabe $2.2$ vergleichst: 1. Bei Einkommen unter $10$ GE würde ein negativer Einkommenssteuersatz erhoben werden. 2. Der Steuersatz geht für große Gehälter gegen Unendlich, müsste aber bei ca. $40$% sein maximum erreichen.

$\blacktriangleright$  Steuern bestimmen Du sollst zeigen, dass bei einem Jahresinkommen von $40$ GE Steuern in Höhe von $8.500$ Euro anfallen. Dazu gehst du analog zum Beispiel in Aufgabe $2.2$ vor.

$\blacktriangleright$  Kann der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein ? Du sollst begründen, ob der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein kann. Der Durchschnittssteuersatz ist der Durschschnitt über alle Steuersätze.

$\blacktriangleright$  Einkommen für Durchschnittssteuersatz von $28$% bestimmen Du sollst mithilfe der Formel bestimmen, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz $28$ % beträgt. Dazu setzt du $S(x)$ = $28$. $\blacktriangleright$  Term mit Hilfe des Schaubildes erläutern Du sollst mit Hilfe des Schaubildes erläutern, wie sich der Term $S(x)$ ergibt. Der Durschnittssteuersatz ergibt sich mit folgender Formel: $\begin{array}[t]{rll} S(x) &=& \frac{\text{Steuern in GE}\cdot 100}{\text{Jahreeinkommen in GE}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$  Kubische Regression In diesem Aufgabenteil sollst du den in der Tabelle angegebenen Durchschnittssteuersatz als Funktion $3$.Grades modellieren. Dazu gibst du die Werte in deinen GTR ein und führst eine Cubic Regression (3. Grades) durch. Als Werte erhältst du folgendes $\begin{array}[t]{rll} a&=& 1,1 \cdot 10^{-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& -0,021 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 1,57 &\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& -13,76 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ Die Funktion für den Durchschnittssteuersatz lautet somit: $\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 1,1 \cdot 10^{-4}\cdot x^3 -0,021 x^2 + 1,57 x -13,76 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ $\blacktriangleright$  Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz von $28$ % bestimmen Um das Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen plottest du den Graphen der Funktion. $\blacktriangleright$  Ist das Modell geeignet? Du sollst begründen, ob das Modell für eine Steuererhebung geeignet ist. Du erkennst zwei Kritikpunkte an dem Modell, wenn du es mit dem Schaubild aus Aufgabe $2.2$ vergleichst: 1. Bei Einkommen unter $10$ GE würde ein negativer Einkommenssteuersatz erhoben werden. 2. Der Steuersatz geht für große Gehälter gegen Unendlich, müsste aber bei ca. $40$% sein maximum erreichen. Aufgrund dieser Fehler ist das Modell nicht für die Steuererhebeung geeignet.

$\blacktriangleright$  Steuern bestimmen Du sollst zeigen, dass bei einem Jahresinkommen von $40$ GE Steuern in Höhe von $8.500$ Euro anfallen. Dazu gehst du analog zum Beispiel in Aufgabe $2.2$ vor. Für die ersten $10$ GE fallen steuern in Höhe von $0$ Euro an. Für die $10$ GE zwischen $10$ GE und $20$ GE fallen Steuern von $20$ % an. Das sind $2.000$ Euro. Für die $20$ GE zwischen $20$ GE und $40$ GE fallen Steuern in höhe von $32,5$% an. Das sind $6.500$ Euro. Insgesamt fallen also Steuern in Höhe von $2.000$ + $6.500$ = $8.500$ Euro an. Um den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen, teilst du die anfallenden Steuern durch das zu versteuernde Einkommen. $\begin{array}[t]{rll} \frac{8.500}{40.000}&=& 21,25 \text{%} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ Der Durchschnittssteuersatz bei einem Jährlichen Einkommen von $40$ GE liegt bei $21,25$ %.

$\blacktriangleright$  Kann der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein ? Du sollst begründen, ob der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein kann. Da der Durchschnittssteuersatz der Durchschnitt über alle Steuersätze ist und diese vor einem Einkommen von $60$ GE unter $40$ % liegen und danach bei genau $40$ % kann der Durschnittssteuersatz nie $\geq $ $40$ % sein.

$\blacktriangleright$  Einkommen für Durchschnittssteuersatz von $28$% bestimmen Du sollst mithilfe der Formel bestimmen, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz $28$ % beträgt. Dazu setzt du $S(x)$ = $28$. $\begin{array}[t]{rll} 28 &=& \frac{1.600+40(x-60)}{x} &\quad \scriptsize \\[5pt] 28 x &=& 1.600+40(x-60) &\quad \scriptsize \\[5pt] 28 x &=& 1.600+40x-2.400 &\quad \scriptsize \\[5pt] -12 x &=& -800 &\quad \scriptsize \\[5pt] 12 x &=& 800 &\quad \scriptsize \\[5pt] x &=& 66,67 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ Bei einem Einkommen von $66,7$ GE liegt der Durchchschnittssteuersatz bei $28$ %. $\blacktriangleright$  Term mit Hilfe des Schaubildes erläutern Du sollst mit Hilfe des Schaubildes erläutern, wie sich der Term $S(x)$ ergibt. Der Durschnittssteuersatz ergibt sich mit folgender Formel: $\begin{array}[t]{rll} S(x) &=& \frac{\text{Steuern in GE}\cdot 100}{\text{Jahreeinkommen in GE}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ Der Nenner: $x$ steht schon für das Jahreseinkommen in GE. Der Zähler: $(1.600+40(x-60))$ muss also die insgesamt bezahlten Steuern multipliziert mit $100$ darstellen. Du untersuchst nun den Zähler. Dazu bestimmst du eine Gleichung für die zu bezahlenden Steuern in Abhängigkeit vom Jahreseinkommen. Für ein Jahreseinkommen zwischen $60$ und $85$ GE kannst du die Steuern bestimmen, indem du die für die ersten $60$ GE bezahlten Steuern bestimmst. Diese sind für alle Jahreseinkommen über $60$ GE gleich. Die restlichen Steuern bestimmst du, indem du $60$ GE vom Jahreseinkommen abziehst und diesen Betrag dann mit einem Steuersatz von $40$ % gewichtest. Zuerst bestimmst du die Steuern für die ersten $60$ GE: Für die ersten $10$ GE fallen steuern in Höhe von $0$ Euro an. Für die $10$ GE zwischen $10$ GE und $20$ GE fallen Steuern von $20$ % an. Das sind $2.000$ Euro. Für die $40$ GE zwischen $20$ GE und $60$ GE fallen Steuern in höhe von $35$% an. Das sind $14.000$ Euro. Insgesamt fallen also Steuern in Höhe von $2.000$ + $14.000$ = $16.000$ Euro an. Die Steuern für das Einkommen über $60$ GE bestimmst du folgendermaßen: Zu versteuerndes Einkommen über $60$ GE = $x - 60$ GE Steuern = zu versteuerndes Einkommen mal $0,4$ Steuern = $(x-60)\cdot 0,4$ Die Gleichung für die Steuern lautet also: $16$ GE + $(x-60 GE)*0,4$ Diese multiplizierst du noch mit 100 (siehe Gleichung $S(x)$ oben ) und du erhältst die Gleichung aus der Aufgabenstellung. $1.600$ GE + $(x-60 GE)*40$

$\blacktriangleright$  Kubische Regression In diesem Aufgabenteil sollst du den in der Tabelle angegebenen Durchschnittssteuersatz als Funktion $3$.Grades modellieren. Dazu gibst du die Werte in deinen GTR ein und führst eine Cubic Regression (3. Grades) durch. Als Werte erhältst du folgendes $\begin{array}[t]{rll} a&=& 1,1 \cdot 10^{-4} &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& -0,021 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 1,57 &\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& -13,76 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ Die Funktion für den Durchschnittssteuersatz lautet somit: $\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 1,1 \cdot 10^{-4}\cdot x^3 -0,021 x^2 + 1,57 x -13,76 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ $\blacktriangleright$  Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz von $28$ % bestimmen Um das Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen plottest du den Graphen der Funktion. Dann suchst du nach der $x$-Koordinate mit dem Funktionswert $28$. $\blacktriangleright$  Ist das Modell geeignet? Du sollst begründen, ob das Modell für eine Steuererhebung geeignet ist. Du erkennst zwei Kritikpunkte an dem Modell, wenn du es mit dem Schaubild aus Aufgabe $2.2$ vergleichst: 1. Bei Einkommen unter $10$ GE würde ein negativer Einkommenssteuersatz erhoben werden. 2. Der Steuersatz geht für große Gehälter gegen Unendlich, müsste aber bei ca. $40$% sein maximum erreichen. Aufgrund dieser Fehler ist das Modell nicht für die Steuererhebeung geeignet.

$\blacktriangleright$  Steuern bestimmen Du sollst zeigen, dass bei einem Jahresinkommen von $40$ GE Steuern in Höhe von $8.500$ Euro anfallen. Dazu gehst du analog zum Beispiel in Aufgabe $2.2$ vor. Für die ersten $10$ GE fallen steuern in Höhe von $0$ Euro an. Für die $10$ GE zwischen $10$ GE und $20$ GE fallen Steuern von $20$ % an. Das sind $2.000$ Euro. Für die $20$ GE zwischen $20$ GE und $40$ GE fallen Steuern in höhe von $32,5$% an. Das sind $6.500$ Euro. Insgesamt fallen also Steuern in Höhe von $2.000$ + $6.500$ = $8.500$ Euro an. Um den Durchschnittssteuersatz zu bestimmen, teilst du die anfallenden Steuern durch das zu versteuernde Einkommen. $\begin{array}[t]{rll} \frac{8.500}{40.000}&=& 21,25 \text{%} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ Der Durchschnittssteuersatz bei einem Jährlichen Einkommen von $40$ GE liegt bei $21,25$ %.

$\blacktriangleright$  Kann der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein ? Du sollst begründen, ob der Durchschnittssteuersatz $40$ % sein kann. Da der Durchschnittssteuersatz der Durchschnitt über alle Steuersätze ist und diese vor einem Einkommen von $60$ GE unter $40$ % liegen und danach bei genau $40$ % kann der Durschnittssteuersatz nie $\geq $ $40$ % sein.

$\blacktriangleright$  Einkommen für Durchschnittssteuersatz von $28$% bestimmen Du sollst mithilfe der Formel bestimmen, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz $28$ % beträgt. Dazu setzt du $S(x)$ = $28$. $\begin{array}[t]{rll} 28 &=& \frac{1.600+40(x-60)}{x} &\quad \scriptsize \\[5pt] 28 x &=& 1.600+40(x-60) &\quad \scriptsize \\[5pt] 28 x &=& 1.600+40x-2.400 &\quad \scriptsize \\[5pt] -12 x &=& -800 &\quad \scriptsize \\[5pt] 12 x &=& 800 &\quad \scriptsize \\[5pt] x &=& 66,67 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ Bei einem Einkommen von $66,7$ GE liegt der Durchchschnittssteuersatz bei $28$ %. $\blacktriangleright$  Term mit Hilfe des Schaubildes erläutern Du sollst mit Hilfe des Schaubildes erläutern, wie sich der Term $S(x)$ ergibt. Der Durschnittssteuersatz ergibt sich mit folgender Formel: $\begin{array}[t]{rll} S(x) &=& \frac{\text{Steuern in GE}\cdot 100}{\text{Jahreeinkommen in GE}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$ Der Nenner: $x$ steht schon für das Jahreseinkommen in GE. Der Zähler: $(1.600+40(x-60))$ muss also die insgesamt bezahlten Steuern multipliziert mit $100$ darstellen. Du untersuchst nun den Zähler. Dazu bestimmst du eine Gleichung für die zu bezahlenden Steuern in Abhängigkeit vom Jahreseinkommen. Für ein Jahreseinkommen zwischen $60$ und $85$ GE kannst du die Steuern bestimmen, indem du die für die ersten $60$ GE bezahlten Steuern bestimmst. Diese sind für alle Jahreseinkommen über $60$ GE gleich. Die restlichen Steuern bestimmst du, indem du $60$ GE vom Jahreseinkommen abziehst und diesen Betrag dann mit einem Steuersatz von $40$ % gewichtest. Zuerst bestimmst du die Steuern für die ersten $60$ GE: Für die ersten $10$ GE fallen steuern in Höhe von $0$ Euro an. Für die $10$ GE zwischen $10$ GE und $20$ GE fallen Steuern von $20$ % an. Das sind $2.000$ Euro. Für die $40$ GE zwischen $20$ GE und $60$ GE fallen Steuern in höhe von $35$% an. Das sind $14.000$ Euro. Insgesamt fallen also Steuern in Höhe von $2.000$ + $14.000$ = $16.000$ Euro an. Die Steuern für das Einkommen über $60$ GE bestimmst du folgendermaßen: Zu versteuerndes Einkommen über $60$ GE = $x - 60$ GE Steuern = zu versteuerndes Einkommen mal $0,4$ Steuern = $(x-60)\cdot 0,4$ Die Gleichung für die Steuern lautet also: $16$ GE + $(x-60 GE)*0,4$ Diese multiplizierst du noch mit 100 (siehe Gleichung $S(x)$ oben ) und du erhältst die Gleichung aus der Aufgabenstellung. $1.600$ GE + $(x-60 GE)*40$