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B2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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1.
Ein Baugrundstück in Hanglage besitzt die Eckpunkte $A(0\;|\;0\;|-1)$, $B(40\;|\;8\;|3)$, $C(35\;|\;32\;|5)$ und $D(-5\;|\;24\;|1)$. Modellhaft soll angenommen werden, dass das Grundstück in einer Ebene $L$ liegt.
(Alle Koordinaten sind in Metern angegeben.)


1.1
Gib eine Parameterform der Ebene $L$ an und bestimme eine Koordinatengleichung dieser Ebene.
(5P)


1.2
Zeige durch Rechnung, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist.
(3P)


1.3
In der Planungsskizze (Material) erscheint das Viereck $ABCD$ als Viereck $A_0B_0C_0D_0$, das durch eine senkrechte Projektion in die $x$-$y$-Ebene entsteht. Dadurch ändern sich u.a. die Seitenlängen des Vierecks. Bestätige dies rechnerisch beispielhaft an den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{A_0B_0}$.
(3P)
#ebenengleichung#geometrie
2.
Mithilfe eines Baggers wird eine Baugrube ausgehoben, sodass die rechteckige Grundfläche des Hauses, das auf dem Grundstück gebaut werden soll, freigelegt wird. Diese liegt in der $x$-$y$-Ebene und besitzt die Eckpunkte $E(20\;|\;5\;|0)$, $F$, $G(23\;|\;22\;|0)$ und $H(13\;|\;12\;|0)$ (Material).


2.1
Berechne die Koordinaten des Eckpunktes $F$.
(2P)


2.2
Berechne den spitzen Winkel, um welchen die Grundfläche des Hauses in der $x$-$y$-Ebene gedreht werden müsste, damit die längere Seite der Grundfläche in der Planungsskizze parallel zur Strecke $A_0B_0$ verläuft.
(3P)
#ebenengleichung#drehung
3.
Lineare Abbildungen in der Ebene wie z.B. Spiegelungen an den Koordinatenachsen oder Drehungen um den Koordinatenursprung lassen sich durch 2x2-Matrizen darstellen. Die Verkettung solcher Abbildungen entspricht dann dem Produkt der jeweiligen Matrizen. Lässt man z.B. einen Punkt $P(x\;|\;y)$ mit dem Drehwinkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung rotieren, so erhält man als Ergebnis den Bildpunkt $P'(x'\;|\;y')$ durch folgende Gleichung:

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=R_\alpha\cdot\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ mit der Rotationsmatrix $R_\alpha=\begin{pmatrix} \cos\,\alpha & -\sin\,\alpha\\ \sin\,\alpha& \cos\,\alpha \end{pmatrix}$


3.1
Der Punkt $P(10\;|\;5)$ wird mit dem Drehwinkel $\alpha=90^{\circ}$ um den Ursprung gedreht. Berechne die Koordinaten des Bildpunktes $P'$ mit Hilfe der Rotationsmatrix $R_{90^{\circ}}$ und bestätige durch Rechnung, dass eine Drehung von $P$ um $180^{\circ}$, also die Verkettung zweier $90^{\circ}$-Drehungen, durch das Produkt $R_{90^{\circ}}\cdot\;R_{90^{\circ}}$ beschrieben wird.
(3P)




Da die Verschiebung eines Punktes $P(x\;|\;y)$ in der $x$-$y$-Ebene nicht durch eine 2x2-Matrix darstellbar ist, lässt sich auch die Verkettung einer Verschiebung und einer linearen Abbildung in der Ebene nicht als Produkt von 2x2-Matrizen beschreiben. Die Darstellung einer solchen Verkettung als Matrizenprodukt wird jedoch dann möglich, wenn man statt der zweidimensionalen Vektoren und Matrizen die Darstellungsform der sogenannten „homogenen Koordinaten“ verwendet, bei der die zweidimensionalen Vektoren und Matrizen folgendermaßen um zusätzliche Koordinaten ergänzt werden:

Aus dem Vektor $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ wird der Vektor $\begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}$, aus $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ wird $\begin{pmatrix} x'\\y'\\1 \end{pmatrix}$

und die 2x2-Matrix $\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ einer linearen Abbildung wird zur 3x3-Matrix $\begin{pmatrix} a&b&0\\c&d&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$.

3.2
Wie in Aufgabe 3.1 wird der Punkt $P(10\;|\;5)$ mit dem Drehwinkel $\alpha=90^{\circ}$ um den Ursprung gedreht. Berechne nun die Koordinaten $x'$ und $y'$ des Bildpunktes $P'$ unter Verwendung homogener Koordinaten mit Hilfe der entsprechenden Rotationsmatrix.
(2P)


3.3
Zeige, dass unter Verwendung homogener Koordinaten die Matrix $T=\begin{pmatrix} 1&0&s\\0&1&t\\0&0&1 \end{pmatrix}$ die Verschiebung eines Punktes $P(x\;|\;y)$ zum Punkt $P'(x+s\;|\;y+t)$ in der Ebene beschreibt.
(4P)


3.4
Unter Verwendung der $x$- und der $y$-Koordinate des Punktes $G$ erhält man den Punkt $G^*(23\;|\;22)$. Aus dem Ortsvektor des Punktes $G^*$ wird bei Verwendung homogener Koordinaten der Vektor $\begin{pmatrix} 23\\22\\1 \end{pmatrix}$. Erläutere die geometrische Bedeutung folgender Gleichung und der darin enthaltenen Teilausdrücke:

$\begin{pmatrix} 13\\26,1421\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0&13\\0&1&12\\0&0&1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{2}\sqrt{2}&0\\\frac{1}{2}\sqrt{2}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1&0&-13\\0&1&-12\\0&0&1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 23\\22\\1 \end{pmatrix}$
(5P)
#matrix#rotation#vektoren#drehung

Material


Planungsskizze
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1
Hinweis:
Die positive $z$-Achse zeigt senkrecht zur $x$-$y$-Ebene in Richtung des Betrachters.
B2 - Analytische Geometrie
Abb. 1
Hinweis:
Die positive $z$-Achse zeigt senkrecht zur $x$-$y$-Ebene in Richtung des Betrachters.
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Parameterform aufstellen 
Du sollst in dieser Aufgabe die Ebene $L$ bestimmen, in welcher das Baugrundstück liegt. Hierfür sind die vier Eckpunkte $A(0\mid0\mid1)$, $B(40\mid8\mid3)$, $C(35\mid32\mid5$) und $D(35\mid32\mid5)$ des Grundstückes gegeben. Um eine Ebene in Parameterform aufstellen zu können, benötigt man einen Stützvektor und von diesem ausgehend zwei Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen.
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung angeben
Einen Normalenvektor für die Koordinatengleichung kannst du mithilfe des Kreuzprodukts der beiden Spannvektoren aus der Parametergleichung berechnen. Diesen kannst du dann zusammen mit den Koordinaten eines Punkts in die allgemeine Koordinatengleichung einsetzen:
1.2
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass es sich um ein Rechteck handelt
Bei dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist. Dafür zeigst du als erstes, dass zwei sich gegenüberliegende Vektoren gleich sind und anschließend überprüfst du mithilfe des Skalarprodukts, ob zwei Vektoren, die sich in einer Ecke des Rechtecks berühren, orthogonal zueinander liegen. Dafür muss das Skalarprodukt dieser zwei Vektoren gleich Null sein. Es reicht aus lediglich zwei gegenüberliegende Vektoren auf Gleichheit zu überprüfen, denn aufgrund der Orthogonalitätsbeziehung müssen die anderen sich gegenüberliegende Seiten dann auch gleich sein.
1.3
$\blacktriangleright$ Vektorlänge berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Länge der beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{A_0B_0}$ berechnen, also deren Betrag. Da es sich bei dem Vektor $\overrightarrow{A_0B_0}$ um eine Projektion des Vektors $\overrightarrow{AB}$ in die $x$-$y$-Ebene handelt, ergibt sich $\overrightarrow{A_0B_0}$ aus $\overrightarrow{AB}$ so, dass man die $z$-Koordinate des Vektors $\overrightarrow{AB}$ gleich Null setzt.
2.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Eckpunkts berechnen
Nun sollen die Koordinaten des fehlenden Eckpunkts $F$ der Grundfläche des Hauses berechnet werden. Hierfür berechnest du zuerst den Vektor $\overrightarrow{HG}$ und addierst diesen dann auf den Ortsvektor von $E$.
2.2
$\blacktriangleright$ Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Bei dieser Aufgabe muss der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{A_0B_0}$ und $\overrightarrow{EF}$ berechnet werden.
3.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten des neuen Punkts berechnen
Hier soll der Punkt $P(10\mid5)$ mit dem Winkel $\alpha=90^{\circ}$ um den Ursprung gedreht werden. Dies funktioniert mithilfe der Rotationsmatrix $R_\alpha$. Diese sieht wie folgt aus: $ R_\alpha= \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)\end{pmatrix} $ . Für verschiedene Winkel muss man nur das $\alpha$ anpassen. Danach soll rechnerisch bewiesen werden, dass eine Drehung um $180^{\circ}$ einer Verkettung zweier $90^{\circ}$-Drehungen entspricht. Hierfür kannst du wie oben vorgehen. Du stellst die Rotationsmatrix für $180^{\circ}$ auf und setzt sie dem Produkt zweier Rotationsmatrizen mit Drehwinkel $90^{\circ}$ gleich. Dies musst du solange umformen, bis du eine eindeutig wahre Aussage erhältst.
3.2
$\blacktriangleright$ Koordinaten des neuen Punkts berechnen mithilfe homogener Koordinaten
In dieser Aufgabe soll nun der Punkt $P$ wieder um $90^{\circ}$ gedreht werden, diesmal allerdings unter der Verwendung homogener Koordinaten. Das Vorgehen für die Umwandlung in homogene Koordinaten ist in der Aufgabenstellung erklärt. Für die Drehung nutzt du die Rotationsmatrix, welche du vorher anpassen musst.
3.3
$\blacktriangleright$ Koordinaten des neuen Punkts berechnen mithilfe homogener Koordinaten
Du sollst nun zeigen, dass die Multiplikation des Ortsvektors eines Punktes $P$ mit der Matrix $T$ eine Verschiebung um $s$ Einheiten in $x$-Richtung und $t$ Einheiten in $y$-Richtung bewirkt. Hierfür multplizierst du diese und vergleichst die ursprünglichen mit den neuen Koordinaten.
3.4
$\blacktriangleright$ Gleichung erläutern
Zum Schluss sollst du noch die geometrische Bedeutung der gegebenen Gleichung erläutern. Sieh dir dafür Abschnitt für Abschnitt der Gleichung an und versuche zu verstehen, was jeder Abschnitt bewirkt.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Parameterform aufstellen 
Du sollst in dieser Aufgabe die Ebene $L$ bestimmen, in welcher das Baugrundstück liegt. Hierfür sind die vier Eckpunkte $A(0\mid0\mid1)$, $B(40\mid8\mid3)$, $C(35\mid32\mid5$) und $D(35\mid32\mid5)$ des Grundstückes gegeben. Um eine Ebene in Parameterform aufstellen zu können, benötigt man einen Stützvektor und von diesem ausgehend zwei Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen. Bei dieser Aufgabe ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} L: \quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA} + r ⋅ \overrightarrow{AB} + s ⋅ \overrightarrow{AC} &\quad\\[5pt] &=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ -1} + r⋅\pmatrix{40-0 \\ 8-0 \\ 3-(-1)} + s⋅\pmatrix{35-0 \\ 32-0 \\ 5-(-1)} \\[5pt] &=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ -1} + r ⋅ \pmatrix{40 \\ 8 \\ 4} + s ⋅ \pmatrix{35 \\ 32 \\ 6} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} L: \quad \overrightarrow{x}&=&… \\[5pt] \end{array}$
Die Ebene $L$ kann durch folgende Gleichung in Parameterform beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} L: \quad \overrightarrow{x}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ -1} + r ⋅ \pmatrix{40 \\ 8 \\ 4} + s ⋅ \pmatrix{35 \\ 32 \\ 6} \\[5pt] \end{array}$
$ L: \quad \overrightarrow{x}=\quad … $
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung angeben
Einen Normalenvektor für die Koordinatengleichung kannst du mithilfe des Kreuzprodukts der beiden Spannvektoren aus der Parametergleichung berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{40\\8\\4}\times \pmatrix{35\\32\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\cdot 6-4\cdot 32\\4\cdot 35 -40\cdot 6 \\ 40\cdot 32-8\cdot 35} \\[5pt] &=& \pmatrix{-80\\-100\\1.000} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = \pmatrix{-80\\-100\\1.000} $
Diesen kannst du nun zusammen mit den Koordinaten eines Punkts in die allgemeine Koordinatengleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} L:\quad n_1x + n_2y +n_3z &=& d \\[5pt] -80\cdot 0 -100\cdot 0 + 1.000\cdot (-1)&=& d \\[5pt] -1.000&=&d \end{array}$
$ -1.000 = d $
Das liefert folgende Koordinatengleichung:
$L:\quad -80x -100y + 1.000z = -1.000$
1.2
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass es sich um ein Rechteck handelt
Bei dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist. Dafür zeigst du als erstes, dass zwei sich gegenüberliegende Vektoren gleich sind und anschließend überprüfst du mithilfe des Skalarprodukts, ob zwei Vektoren, die sich in einer Ecke des Rechtecks berühren, orthogonal zueinander liegen. Dafür muss das Skalarprodukt dieser zwei Vektoren gleich Null sein. Es reicht aus lediglich zwei gegenüberliegende Vektoren auf Gleichheit zu überprüfen, denn aufgrund der Orthogonalitätsbeziehung müssen die anderen sich gegenüberliegende Seiten dann auch gleich sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{DC} &\quad \\[5pt] \pmatrix{40-0 \\ 8-0 \\ 3-(-1)}&=&\pmatrix{35-(-5) \\ 32-24 \\ 5-1}\\[5pt] \pmatrix{40 \\ 8 \\ 4}&=&\pmatrix{40 \\ 8 \\ 4} \end{array}$
Als nächstes muss noch die Orthogonalität gezeigt werden. Dazu berechnest du das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{AD}=\pmatrix{(-5)-0 \\ 24-0 \\ 1-(-1)} = \pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}\\[5pt] \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\pmatrix{40 \\ 8 \\ 4}\cdot\pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}=40⋅(-5)+8⋅24+4⋅2=0$
$\overrightarrow{AD}=\pmatrix{(-5)-0 \\ 24-0 \\ 1-(-1)} = \pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}\\[5pt] \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\pmatrix{40 \\ 8 \\ 4}\cdot\pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}= \quad …$
Da das Skalarprodukt Null ist liegen die beiden Vektoren orthogonal zueinander und da auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, muss es sich bei dem Viereck $ABCD$ um ein Rechteck handeln.
1.3
$\blacktriangleright$ Vektorlänge berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Länge der beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{A_0B_0}$ berechnen. Da es sich bei dem Vektor $\overrightarrow{A_0B_0}$ um eine Projektion des Vektors $\overrightarrow{AB}$ in die $x$-$y$-Ebene handelt, ergibt sich $\overrightarrow{A_0B_0}$ aus $\overrightarrow{AB}$ so, dass man die $z$-Koordinate des Vektors $\overrightarrow{AB}$ gleich Null setzt.
$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{40^2+8^2+4^2}=\sqrt{1680}=4\sqrt{105}\\[5pt] |\overrightarrow{A_0B_0}| = \sqrt{40^2+8^2+0^2}=\sqrt{1664}=8\sqrt{26}\\[5pt] $
$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{40^2+8^2+4^2}=\quad…\\[5pt] |\overrightarrow{A_0B_0}| = \sqrt{40^2+8^2+0^2}=\quad…\\[5pt] $
Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ hat die Länge $4\sqrt{105}$ und der Vektor $\overrightarrow{A_0B_0}$ hat die Länge $8\sqrt{26}$, wodurch man sehen kann, dass sich durch die senkrechte Projektion die Seitenlängen ändern.
#skalarprodukt#rechteck#ebenengleichung
2.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Eckpunkts berechnen
Nun sollen die Koordinaten des fehlenden Eckpunkts $F$ der Grundfläche des Hauses berechnet werden. Hierfür berechnest du zuerst den Vektor $\overrightarrow{HG}$ und addierst diesen dann auf den Ortsvektor von $E$.
$\overrightarrow{HG}=\pmatrix{23-13 \\ 22-12 \\ 0-0}=\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=&\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{HG} \\ &=&\pmatrix{20 \\ 5 \\ 0}+\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}=\pmatrix{30 \\ 15 \\ 0} \end{array}$
Somit lauten die Koordinaten des Punktes $F(30 \mid 15\mid 0)$.
2.2
$\blacktriangleright$ Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Bei dieser Aufgabe muss der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{A_0B_0}$ und $\overrightarrow{EF}$ berechnet werden. Für die weiteren Berechnungen heißt der Winkel $\alpha$.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{EF} \circ \overrightarrow{A_0B_0}}{|\overrightarrow{EF}|\cdot|\overrightarrow{A_0B_0}|} \\[5pt] &=&\dfrac{\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}\circ\pmatrix{40 \\ 8 \\ 0}}{\left\vert\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{40 \\ 8 \\ 0}\right\vert} \\[5pt] &=&\dfrac{10\cdot40+10\cdot8+0\cdot0}{\sqrt{200}\cdot\sqrt{1664}}\\[5pt] &=&\dfrac{480}{\sqrt{200}\cdot\sqrt{1664}}\\[5pt] &=& 0,83\\[5pt] \alpha&=& \arccos(0,83) = 33,9^{\circ} \end{array}$
Das bedeutet, dass die Grundfläche des Hauses um $33,9^{\circ}$ gedreht werden muss.
#drehwinkel
3.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten des neuen Punkts berechnen
Hier soll der Punkt $P(10\mid5)$ mit dem Winkel $\alpha=90^{\circ}$ um den Ursprung gedreht werden. Dies funktioniert mithilfe der Rotationsmatrix $R_\alpha$. Diese sieht wie folgt aus: $ R_\alpha= \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)\end{pmatrix} $ . Für verschiedene Winkel muss man nur das $\alpha$ anpassen.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x' \\ y'}&=& R_\alpha \cdot \pmatrix{x \\ y} \\[5pt] &=& R_{90^{\circ}} \cdot \pmatrix{10 \\ 5}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ})\end{pmatrix} \cdot \pmatrix{ 10 \\ 5}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{10 \\ 5} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5 \\ 10} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x' \\ y'}&=& R_\alpha \cdot \pmatrix{x \\ y} \\[5pt] &=& R_{90^{\circ}} \cdot \pmatrix{10 \\ 5}\\[5pt] &=& \pmatrix{-5 \\ 10} \end{array}$
Somit lauten die Koordinaten des Punktes $P(-5\mid10)$ . Nun soll rechnerisch bewiesen werden, dass eine Drehung um $180^{\circ}$ einer Verkettung zweier $90^{\circ}$-Drehungen entspricht. Hierfür kannst du wie oben vorgehen. Du stellst die Rotationsmatrix für $180^{\circ}$ auf und setzt sie dem Produkt zweier Rotationsmatrizen mit Drehwinkel $90^{\circ}$ gleich. Dies musst du solange umformen, bis du eine eundeutig wahre Aussage erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} R_{180^{\circ}}&=& R_{90^{\circ}} \cdot R_{90^{\circ}} \\[5pt] \begin{pmatrix} \cos(180^{\circ}) & -\sin(180^{\circ}) \\ \sin(180^{\circ}) & \cos(180^{\circ})\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ})\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ})\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} R_{180^{\circ}}&=& R_{90^{\circ}} \cdot R_{90^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$
3.2
$\blacktriangleright$ Koordinaten des neuen Punkts berechnen mithilfe homogener Koordinaten
In dieser Aufgabe soll nun der Punkt $P$ wieder um $90^{\circ}$ gedreht werden, diesmal allerdings unter der Verwendung homogener Koordinaten. Das Vorgehen für die Umwandlung in homogene Koordinaten ist in der Aufgabenstellung erklärt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{ x' \\ y'\\ 1}&=& R_\alpha \cdot \pmatrix{x \\ y\\ 1} \\[5pt] &=& R_{90^{\circ}} \cdot \pmatrix{10 \\ 5\\ 1} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) & 0 \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ}) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \pmatrix{10 \\ 5\\ 1} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{10 \\ 5\\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5 \\ 10\\ 1} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{ x' \\ y'\\ 1}&=& R_\alpha \cdot \pmatrix{x \\ y\\ 1} \\[5pt] &=& R_{90^{\circ}} \cdot \pmatrix{10 \\ 5\\ 1} \\[5pt] \end{array}$
Wie du sehen kannst, erhältst du für den neuen Punkt $P'$ die gleichen Koordinaten wie in der Aufgabe zuvor.
3.3
$\blacktriangleright$ Koordinaten des neuen Punkts berechnen mithilfe homogener Koordinaten
Du sollst nun zeigen, dass die Multiplikation des Ortsvektors eines Punktes $P$ mit der Matrix $T$ eine Verschiebung um $s$ Einheiten in $x$-Richtung und $t$ Einheiten in $y$-Richtung bewirkt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x' \\ y' \\ 1}&=& T \cdot \pmatrix{x \\ y \\ 1} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & s \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{x \\ y \\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\cdot x+0\cdot y+s\cdot1 \\ 0\cdot x+1\cdot y+t\cdot1 \\ 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot1}\\[5pt] &=& \pmatrix{x+s \\ y+t \\ 1} \end{array}$
Nun kannst du sehen, dass die Matrix $T$ eine Verschiebung um $s$-Einheiten in $x$-Richtung und $t$ Einheiten in $y$-Richtung bewirkt.
3.4
$\blacktriangleright$ Gleichung erläutern
Zum Schluss sollst du noch die geometrische Bedeutung der gegebenen Gleichung erläutern. Hierfür wirfst du erstmal einen Blick auf die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{13 \\ 23,1421 \\ 1}&=& \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 13 \\ 0 & 1 & 12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_A \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_B \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & -13 \\ 0 & 1 & -12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_C \cdot \underbrace{\pmatrix{23 \\ 22 \\ 1}}_D \\[5pt] \end{array}$
$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 13 \\ 0 & 1 & 12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[5pt] B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[5pt] C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -13 \\ 0 & 1 & -12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[5pt] D = \pmatrix{23 \\ 22 \\ 1}$
Teil $A$ der Gleichung ähnelt sehr der Verschiebungsmatrix $T$. Wenn du einen genaueren Blick darauf wirfst, siehst du, dass es sich hierbei um eine Verschiebung um 13 Einheiten in $x$-Richtung und um 12 Einheiten in $y$-Richtungen handelt.
Wenn du dir nun Teil $B$ anschaust, erkennst du, dass die letzten Einträge der ersten und zweiten Zeile Null sind. Somit kann es sich um keine Verschiebung handeln, demnach muss es eine Drehung sein. Überlegst du dir nun, bei welchem Winkel Cosinus und Sinus den Wert $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ annehmen, stellst du fest, dass dies bei $45^{\circ}$ der Fall ist. Dies bedeutet, dass Teil $B$ eine Drehung mit dem Winkel $45^{\circ}$ um den Ursprung bewirkt.
Vergleichst du Teil $C$ mit Teil $A$, sieht man auf den ersten Blick, dass es sich um fast die identische Matrix handelt. Es sind lediglich die letzten Einträge der ersten und zweiten Zeile negativ. Somit bewirkt Teil $C$ eine Verschiebung um -13 Einheiten in $x$-Richtung und -12 Einheiten in $y$-Richtung.
Teil $D$ ist der Ortsvektor des Punktes $G^*$, auf welchen die Verschiebungen und Rotationen angewendet werden.
zusammenfassend wird der Punkt $G^*$ insgesamt um $45^{\circ}$ gegen den Uhrzeigersinn um den Rotationsmittelpunkt $H^*(13\mid12)$ gedreht.
#rotation#drehwinkel#matrix
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1.1
$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Parameterform aufstellen 
Du sollst in dieser Aufgabe die Ebene $L$ bestimmen, in welcher das Baugrundstück liegt. Hierfür sind die vier Eckpunkte $A(0\mid0\mid1)$, $B(40\mid8\mid3)$, $C(35\mid32\mid5$) und $D(35\mid32\mid5)$ des Grundstückes gegeben. Um eine Ebene in Parameterform aufstellen zu können, benötigt man einen Stützvektor und von diesem ausgehend zwei Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen. Bei dieser Aufgabe ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} L: \quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA} + r ⋅ \overrightarrow{AB} + s ⋅ \overrightarrow{AC} &\quad\\[5pt] &=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ -1} + r⋅\pmatrix{40-0 \\ 8-0 \\ 3-(-1)} + s⋅\pmatrix{35-0 \\ 32-0 \\ 5-(-1)} \\[5pt] &=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ -1} + r ⋅ \pmatrix{40 \\ 8 \\ 4} + s ⋅ \pmatrix{35 \\ 32 \\ 6} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} L: \quad \overrightarrow{x}&=&… \\[5pt] \end{array}$
Die Ebene $L$ kann durch folgende Gleichung in Parameterform beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} L: \quad \overrightarrow{x}&=&\pmatrix{0 \\ 0 \\ -1} + r ⋅ \pmatrix{40 \\ 8 \\ 4} + s ⋅ \pmatrix{35 \\ 32 \\ 6} \\[5pt] \end{array}$
$ L: \quad \overrightarrow{x}=\quad … $
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung angeben
Einen Normalenvektor für die Koordinatengleichung kannst du mithilfe des Kreuzprodukts der beiden Spannvektoren aus der Parametergleichung berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{40\\8\\4}\times \pmatrix{35\\32\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\cdot 6-4\cdot 32\\4\cdot 35 -40\cdot 6 \\ 40\cdot 32-8\cdot 35} \\[5pt] &=& \pmatrix{-80\\-100\\1.000} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = \pmatrix{-80\\-100\\1.000} $
Diesen kannst du nun zusammen mit den Koordinaten eines Punkts in die allgemeine Koordinatengleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} L:\quad n_1x + n_2y +n_3z &=& d \\[5pt] -80\cdot 0 -100\cdot 0 + 1.000\cdot (-1)&=& d \\[5pt] -1.000&=&d \end{array}$
$ -1.000 = d $
Das liefert folgende Koordinatengleichung:
$L:\quad -80x -100y + 1.000z = -1.000$
1.2
$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass es sich um ein Rechteck handelt
Bei dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist. Dafür zeigst du als erstes, dass zwei sich gegenüberliegende Vektoren gleich sind und anschließend überprüfst du mithilfe des Skalarprodukts, ob zwei Vektoren, die sich in einer Ecke des Rechtecks berühren, orthogonal zueinander liegen. Dafür muss das Skalarprodukt dieser zwei Vektoren gleich Null sein. Es reicht aus lediglich zwei gegenüberliegende Vektoren auf Gleichheit zu überprüfen, denn aufgrund der Orthogonalitätsbeziehung müssen die anderen sich gegenüberliegende Seiten dann auch gleich sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{DC} &\quad \\[5pt] \pmatrix{40-0 \\ 8-0 \\ 3-(-1)}&=&\pmatrix{35-(-5) \\ 32-24 \\ 5-1}\\[5pt] \pmatrix{40 \\ 8 \\ 4}&=&\pmatrix{40 \\ 8 \\ 4} \end{array}$
Als nächstes muss noch die Orthogonalität gezeigt werden. Dazu berechnest du das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{AD}=\pmatrix{(-5)-0 \\ 24-0 \\ 1-(-1)} = \pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}\\[5pt] \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\pmatrix{40 \\ 8 \\ 4}\cdot\pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}=40⋅(-5)+8⋅24+4⋅2=0$
$\overrightarrow{AD}=\pmatrix{(-5)-0 \\ 24-0 \\ 1-(-1)} = \pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}\\[5pt] \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\pmatrix{40 \\ 8 \\ 4}\cdot\pmatrix{-5 \\ 24 \\ 2}= \quad …$
Da das Skalarprodukt Null ist liegen die beiden Vektoren orthogonal zueinander und da auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, muss es sich bei dem Viereck $ABCD$ um ein Rechteck handeln.
1.3
$\blacktriangleright$ Vektorlänge berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Länge der beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{A_0B_0}$ berechnen. Da es sich bei dem Vektor $\overrightarrow{A_0B_0}$ um eine Projektion des Vektors $\overrightarrow{AB}$ in die $x$-$y$-Ebene handelt, ergibt sich $\overrightarrow{A_0B_0}$ aus $\overrightarrow{AB}$ so, dass man die $z$-Koordinate des Vektors $\overrightarrow{AB}$ gleich Null setzt.
$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{40^2+8^2+4^2}=\sqrt{1680}=4\sqrt{105}\\[5pt] |\overrightarrow{A_0B_0}| = \sqrt{40^2+8^2+0^2}=\sqrt{1664}=8\sqrt{26}\\[5pt] $
$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{40^2+8^2+4^2}=\quad…\\[5pt] |\overrightarrow{A_0B_0}| = \sqrt{40^2+8^2+0^2}=\quad…\\[5pt] $
Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ hat die Länge $4\sqrt{105}$ und der Vektor $\overrightarrow{A_0B_0}$ hat die Länge $8\sqrt{26}$, wodurch man sehen kann, dass sich durch die senkrechte Projektion die Seitenlängen ändern.
#rechteck#skalarprodukt#ebenengleichung
2.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten des Eckpunkts berechnen
Nun sollen die Koordinaten des fehlenden Eckpunkts $F$ der Grundfläche des Hauses berechnet werden. Hierfür berechnest du zuerst den Vektor $\overrightarrow{HG}$ und addierst diesen dann auf den Ortsvektor von $E$.
$\overrightarrow{HG}=\pmatrix{23-13 \\ 22-12 \\ 0-0}=\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=&\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{HG} \\ &=&\pmatrix{20 \\ 5 \\ 0}+\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}=\pmatrix{30 \\ 15 \\ 0} \end{array}$
Somit lauten die Koordinaten des Punktes $F(30 \mid 15\mid 0)$.
2.2
$\blacktriangleright$ Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Bei dieser Aufgabe muss der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{A_0B_0}$ und $\overrightarrow{EF}$ berechnet werden. Für die weiteren Berechnungen heißt der Winkel $\alpha$.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{EF} \circ \overrightarrow{A_0B_0}}{|\overrightarrow{EF}|\cdot|\overrightarrow{A_0B_0}|} \\[5pt] &=&\dfrac{\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}\circ\pmatrix{40 \\ 8 \\ 0}}{\left\vert\pmatrix{10 \\ 10 \\ 0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{40 \\ 8 \\ 0}\right\vert} \\[5pt] &=&\dfrac{10\cdot40+10\cdot8+0\cdot0}{\sqrt{200}\cdot\sqrt{1664}}\\[5pt] &=&\dfrac{480}{\sqrt{200}\cdot\sqrt{1664}}\\[5pt] &=& 0,83\\[5pt] \alpha&=& \arccos(0,83) = 33,9^{\circ} \end{array}$
Das bedeutet, dass die Grundfläche des Hauses um $33,9^{\circ}$ gedreht werden muss.
#drehwinkel
3.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten des neuen Punkts berechnen
Hier soll der Punkt $P(10\mid5)$ mit dem Winkel $\alpha=90^{\circ}$ um den Ursprung gedreht werden. Dies funktioniert mithilfe der Rotationsmatrix $R_\alpha$. Diese sieht wie folgt aus: $ R_\alpha= \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)\end{pmatrix} $ . Für verschiedene Winkel muss man nur das $\alpha$ anpassen.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x' \\ y'}&=& R_\alpha \cdot \pmatrix{x \\ y} \\[5pt] &=& R_{90^{\circ}} \cdot \pmatrix{10 \\ 5}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ})\end{pmatrix} \cdot \pmatrix{ 10 \\ 5}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{10 \\ 5} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5 \\ 10} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x' \\ y'}&=& R_\alpha \cdot \pmatrix{x \\ y} \\[5pt] &=& R_{90^{\circ}} \cdot \pmatrix{10 \\ 5}\\[5pt] &=& \pmatrix{-5 \\ 10} \end{array}$
Somit lauten die Koordinaten des Punktes $P(-5\mid10)$ . Nun soll rechnerisch bewiesen werden, dass eine Drehung um $180^{\circ}$ einer Verkettung zweier $90^{\circ}$-Drehungen entspricht. Hierfür kannst du wie oben vorgehen. Du stellst die Rotationsmatrix für $180^{\circ}$ auf und setzt sie dem Produkt zweier Rotationsmatrizen mit Drehwinkel $90^{\circ}$ gleich. Dies musst du solange umformen, bis du eine eundeutig wahre Aussage erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} R_{180^{\circ}}&=& R_{90^{\circ}} \cdot R_{90^{\circ}} \\[5pt] \begin{pmatrix} \cos(180^{\circ}) & -\sin(180^{\circ}) \\ \sin(180^{\circ}) & \cos(180^{\circ})\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ})\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ})\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} R_{180^{\circ}}&=& R_{90^{\circ}} \cdot R_{90^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$
3.2
$\blacktriangleright$ Koordinaten des neuen Punkts berechnen mithilfe homogener Koordinaten
In dieser Aufgabe soll nun der Punkt $P$ wieder um $90^{\circ}$ gedreht werden, diesmal allerdings unter der Verwendung homogener Koordinaten. Das Vorgehen für die Umwandlung in homogene Koordinaten ist in der Aufgabenstellung erklärt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{ x' \\ y'\\ 1}&=& R_\alpha \cdot \pmatrix{x \\ y\\ 1} \\[5pt] &=& R_{90^{\circ}} \cdot \pmatrix{10 \\ 5\\ 1} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix} \cos(90^{\circ}) & -\sin(90^{\circ}) & 0 \\ \sin(90^{\circ}) & \cos(90^{\circ}) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \pmatrix{10 \\ 5\\ 1} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{10 \\ 5\\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5 \\ 10\\ 1} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{ x' \\ y'\\ 1}&=& R_\alpha \cdot \pmatrix{x \\ y\\ 1} \\[5pt] &=& R_{90^{\circ}} \cdot \pmatrix{10 \\ 5\\ 1} \\[5pt] \end{array}$
Wie du sehen kannst, erhältst du für den neuen Punkt $P'$ die gleichen Koordinaten wie in der Aufgabe zuvor.
3.3
$\blacktriangleright$ Koordinaten des neuen Punkts berechnen mithilfe homogener Koordinaten
Du sollst nun zeigen, dass die Multiplikation des Ortsvektors eines Punktes $P$ mit der Matrix $T$ eine Verschiebung um $s$ Einheiten in $x$-Richtung und $t$ Einheiten in $y$-Richtung bewirkt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x' \\ y' \\ 1}&=& T \cdot \pmatrix{x \\ y \\ 1} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & s \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{x \\ y \\ 1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\cdot x+0\cdot y+s\cdot1 \\ 0\cdot x+1\cdot y+t\cdot1 \\ 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot1}\\[5pt] &=& \pmatrix{x+s \\ y+t \\ 1} \end{array}$
Nun kannst du sehen, dass die Matrix $T$ eine Verschiebung um $s$-Einheiten in $x$-Richtung und $t$ Einheiten in $y$-Richtung bewirkt.
3.4
$\blacktriangleright$ Gleichung erläutern
Zum Schluss sollst du noch die geometrische Bedeutung der gegebenen Gleichung erläutern. Hierfür wirfst du erstmal einen Blick auf die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{13 \\ 23,1421 \\ 1}&=& \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 13 \\ 0 & 1 & 12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_A \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_B \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 & -13 \\ 0 & 1 & -12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_C \cdot \underbrace{\pmatrix{23 \\ 22 \\ 1}}_D \\[5pt] \end{array}$
$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 13 \\ 0 & 1 & 12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[5pt] B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[5pt] C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -13 \\ 0 & 1 & -12 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[5pt] D = \pmatrix{23 \\ 22 \\ 1}$
Teil $A$ der Gleichung ähnelt sehr der Verschiebungsmatrix $T$. Wenn du einen genaueren Blick darauf wirfst, siehst du, dass es sich hierbei um eine Verschiebung um 13 Einheiten in $x$-Richtung und um 12 Einheiten in $y$-Richtungen handelt.
Wenn du dir nun Teil $B$ anschaust, erkennst du, dass die letzten Einträge der ersten und zweiten Zeile Null sind. Somit kann es sich um keine Verschiebung handeln, demnach muss es eine Drehung sein. Überlegst du dir nun, bei welchem Winkel Cosinus und Sinus den Wert $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ annehmen, stellst du fest, dass dies bei $45^{\circ}$ der Fall ist. Dies bedeutet, dass Teil $B$ eine Drehung mit dem Winkel $45^{\circ}$ um den Ursprung bewirkt.
Vergleichst du Teil $C$ mit Teil $A$, sieht man auf den ersten Blick, dass es sich um fast die identische Matrix handelt. Es sind lediglich die letzten Einträge der ersten und zweiten Zeile negativ. Somit bewirkt Teil $C$ eine Verschiebung um -13 Einheiten in $x$-Richtung und -12 Einheiten in $y$-Richtung.
Teil $D$ ist der Ortsvektor des Punktes $G^*$, auf welchen die Verschiebungen und Rotationen angewendet werden.
zusammenfassend wird der Punkt $G^*$ insgesamt um $45^{\circ}$ gegen den Uhrzeigersinn um den Rotationsmittelpunkt $H^*(13\mid12)$ gedreht.
#drehwinkel#matrix#rotation
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