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Aufgaben
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In der sogenannten PINTA-Studie zur Internetabhängigkeit aus dem Jahr 2011 wurden bundesweit $15.023$ Personen im Alter von $14$ - $64$ Jahren befragt, die als repräsentativ für die Gesamtbevölkerung in dieser Altersklasse angesehen werden können. In der folgenden Tabelle sind einige Ergebnisse der Studie dargestellt.
$1\,\%$ alle Befragten wird demnach als internetabhängig eingestuft; bei $4,6\,\%$ aller Befragten und $17,2\,\%$ der weiblichen Befragten der Altersgruppe $14$ - $16$ Jahren wird die Internetnutzung als problematisch eingestuft.
Die Internetnutzung einer Person kann nicht gleichzeitig als problematisch und als Internetabhängigkeit eingestuft werden.
AltersgruppeInternetabhängigkeit (in $\%$)problematische Internetnutzung (in $\%$)
gesamtweiblichmännlichgesamtweiblichmännlich
$14-64$$1,0$$0,8$$1,2$$4,6$$4,4$$4,9$
$14-24$$2,4$$2,4$$2,4$$13,6$$14,8$$12,4$
$14-16$$4,0$$4,9$$3,1$$15,4$$17,2$$13,7$
http://www.drogenbeauftragte.de/fileadmin/dateien-dba/Presse/Pressemitteilungen/Pressemitteilungen_2011/Handout_PK_PINTAStudie.pdf (abgerufen am 24.6.2014).


Im Folgenden werden die in der PINTA-Studie ermittelten relativen Häufigkeiten bundesweit für alle Personen im Alter von $14$-$64$ Jahren als Wahrscheinlichkeiten angesehen.
1.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
Eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14$-$24$ wird als internetabhängig eingestuft.
Unter $50$ zufällig ausgewählten $14$-$16$-jährigen Mädchen sind genau $10$, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird.
Unter $100$ zufällig gewählten $14$-$16$-jährigen Mädchen sind mehr als $20$, aber weniger als $30$, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird.
(7P)
#wahrscheinlichkeit
2.
Im Internet finden sich zahlreiche Online-Tests, bei denen ein ähnlicher Fragenkatalog wie bei der Durchführung der PINTA-Studie zum Einsatz kommt. Hier können sich die Nutzer selbst bezüglich Internetabhängigkeit testen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Online-Test einen tatsächlich internetabhängigen Nutzer auch als internetabhängig einstuft (Sensitivität), liegt bei $86\,\%$. Für die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Online-Test einen nicht internetabhängigen Nutzer auch als nicht internetabhängig einstuft (Spezifität), wird ein Wert von $75\,\%$ angegeben. Eine zufällig ausgewählte Person aus der Altersgruppe $14$-$24$ Jahre macht diesen Online-Test.
2.1
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $R$: „Wenn der Test die Person als internetabhängig einstuft, ist die Person auch tatsächlich internetabhängig.“
(6P)


2.2
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus der Altersgruppe $14$-$24$ Jahre tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft, beträgt ca. $99,5\,\%$.
Beurteile die Qualität des Online-Tests anhand dieser und der in Aufgabe 2.1 berechneten Wahrscheinlichkeit.
(2P)
#wahrscheinlichkeit
3.
Aus dem Abschlussbericht zur PINTA-Studie geht hervor, dass von den $15.023$ befragten Personen $45,9\,\%$ das Internet weniger als eine Stunde täglich privat nutzen. Dieser Personenkreis wird im Folgenden als „Wenignutzer“ bezeichnet.

Ein Mathematik-Leistungskurs an einer sehr großen Schule hat die Vermutung, dass der Anteil der Wenignutzer unter den Schülerinnen und Schülern der Schule niedriger ist als der in der PINTA-Studie ermittelte Wert. Der bevorstehende Tag der offenen Tür soll dazu genutzt werden, die Vermutung mit Hilfe eines Hypothesentests zu überprüfen. Hierzu sollen $100$ zufällig ausgewählte Schülerinnen und Schüler der Schule befragt werden.
3.1
Entwickle zu der oben genannten Vermutung einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ und gib die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang an.
(6P)


3.2
Beschreibe die Fehler 1. und 2. Art im Sachzusammenhang und berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülerinnen und Schülern der Schule tatsächlich $40\,\%$ beträgt.
(6P)


3.3
Die Graphen im Material zeigen für unterschiedliche Werte von $n$, wie sich bei einem gleich bleibenden Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ die Fehlerwahrscheinlichkeit $ß$ für den Fehler 2. Art in Abhängigkeit vom tatsächlichen Anteil $p$ der Wenignutzer verhält.
Beurteile anhand geeigneter Beispielwerte, ob sich eine Erhöhung des Stichprobenumfangs $n$ auf die Güte des Tests auswirkt.
(3P)
#hypothesentest#wahrscheinlichkeit

Material


Binomialsummenfunktion $F_{n;p}(k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}\cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$ für $n = 100$
ABCDEFGHIJ
1
2
3
nkp
4
0,2110,2210,3110,4000,4210,4590,480
5
10080,00040,00020,00000,00000,00000,00000,0000
6
90,00100,00050,00000,00000,00000,00000,0000
7
100,00270,00130,00000,00000,00000,00000,0000
8
110,00630,00320,00000,00000,00000,00000,0000
9
120,01350,00730,00000,00000,00000,00000,0000
10
130,02650,01510,00000,00000,00000,00000,0000
11
140,04800,02890,00010,00000,00000,00000,0000
12
150,08110,05130,00020,00000,00000,00000,0000
13
160,12810,08510,00040,00000,00000,00000,0000
14
170,19020,13240,00100,00000,00000,00000,0000
15
180,26670,19430,00230,00000,00000,00000,0000
16
190,35510,27010,00470,00000,00000,00000,0000
17
200,45080,35720,00900,00000,00000,00000,0000
18
210,54830,45130,01660,00000,00000,00000,0000
19
220,64200,54720,02880,00010,00000,00000,0000
20
230,72690,63950,04750,00030,00000,00000,0000
21
240,79980,72340,07460,00060,00010,00000,0000
22
250,85900,79590,11180,00120,00030,00000,0000
23
260,90470,85510,16020,00240,00060,00000,0000
24
270,93820,90120,22000,00460,00130,00010,0000
25
280,96150,93530,29050,00840,00250,00020,0000
26
290,97700,95930,36950,01480,00470,00040,0001
27
300,98680,97540,45380,02480,00860,00080,0002
28
310,99280,98570,53980,03980,01490,00170,0004
29
320,99620,99210,62350,06150,02470,00320,0009
30
330,99810,99580,70130,09130,03950,00600,0017
31
340,99910,99780,77050,13030,06070,01050,0032
32
350,99960,99890,82950,17950,08980,01780,0059
33
360,99980,99950,87750,23860,12800,02890,0103
34
370,99990,99980,91500,30680,17600,04520,0173
35
381,00000,99990,94300,38220,23380,06810,0281
36
391,00001,00000,96320,46210,30070,09910,0439
37
401,00001,00000,97700,54330,37490,13910,0662
38
411,00001,00000,98620,62250,45380,18880,0963
39
421,00001,00000,99200,69670,53440,24810,1354
40
431,00001,00000,99550,76350,61340,31590,1840
41
441,00001,00000,99760,82110,68790,39040,2421
42
451,00001,00000,99870,86890,75530,46910,3089
43
461,00001,00000,99940,90700,81380,54900,3826
44
471,00001,00000,99970,93620,86280,62680,4607
45
481,00001,00000,99990,95770,90210,69970,5404
46
491,00001,00000,99990,97290,93240,76530,6184
47
501,00001,00001,00000,98320,95490,82210,6918
Bildnachweise [nach oben]
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1.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse bestimmen:
$A$: Eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14-24$ wird als internetabhängig eingestuft.
$B$: Unter $50$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen sind genau $10$, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird.
$C$: Unter $100$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen sind mehr als $20$, aber weniger als $30$, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als internetabhängigkeit eingestuft wird.
In diesem Fall beschreibt $n$ die Anzahl der zufällig ausgewählten Personen, $X$ die Anzahl der Personen, deren Internetnutzung als problematisch oder als internetabhängig eingestuft wird und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus einer bestimmten Gruppe als internetabhängig oder deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Altersgruppen kann man hierbei aus der gegebenen Tabelle entnehmen.
Nun sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ gesucht.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$
Ereignis $A$ beschreibt, dass eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14-24$ als internetabhängig eingestuft wird. Diese Wahrscheinlichkeit hast du bereits in der Aufgabenstellung gegeben.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Ereignis $B$ beschreibt, dass unter $50$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen es genau $10$ gibt, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(X=10)$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$
Ereignis $C$ beschreibt, dass unter $100$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen mehr als $20$, aber weniger als $30$ sind, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als internetabhängigkeit eingestuft wird. Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(20 < X < 30)$. Hierbei gilt $n=100$ und für die Wahrscheinlichkeit muss man nun beachten, dass die Internetnutzung von den $14-16$-jährigen Mädchen entweder als internetabhängig oder als problematisch eingestuft wird. In der Aufgabenstellung ist außerdem gegeben, dass die Internetnutzung einer Person nicht gleichzeitig als internetabhängig und als problematisch eingestuft werden kann.
2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $R$ berechnen. Ereignis $R$ beschreibt, dass wenn der Test eine Person als internetabhängig einstuft, die Person auch tatsächlich internetabhängig ist.
Hierbei bezeichnen wir, dass eine Person tatsächlich internetabhängig ist mit Ereignis $A$ und, dass der Test die Person als internetabhängig einstuft mit Ereignis $B$.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ gesucht.
In der Aufgabenstellung hast du bereits die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben, dass der Test einen tatsächlich internetabhängigen Nutzer auch als internetabhängig einstuft und dass der Test einen nicht internetabhängigen Nutzer auch als nicht internetabhängig einstuft. Diese entsprechen der Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$. Diese sind mit $P_A(B)=0,86$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})=0,75$ gegeben. Mit dem Satz von Bayes kannst du nun die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ berechnen. Der Satz von Bayes lautet:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Nun brauchst du noch die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Person tatsächlich internetabhängig ist $P(A)$ und dass der Online-Test die Person als internetabhängig einstuft $P(B)$.
Erstelle hierzu beispielsweise eine Vierfeldertafel und trage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten ein:
$A$$\overline{A}$
$B$
$\overline{B}$
0,024$1$
Die Warscheinlichkeit dafür, dass die Person tatsächlich internetabhängig ist in der Aufgabenstellung bereits gegeben, da du aus der Tabelle entnehmen kannst, dass aus der Altersgruppe $14-24$ eine Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(A)=0,024$ tatsächlich internetabhängig ist und somit die Teilnehmer des Tests auch mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,024$ internetabhängig sind.
Die Wahrscheinlichkeiten $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ kannst du durch die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ bestimmen. Für eine bedingte Wahrscheinlichkeit gilt die Formel:
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
2.2
$\blacktriangleright$  Qualität des Tests beurteilen
In dieser Teilaufgabe hast du die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben, dass eine Person aus der Altersgruppe $14-24$ Jahre tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $99,5\,\%$. Nun sollst du die Qualität des Test anhand dieser Wahrscheinlichkeit und aufgrund der Wahrscheinlichkeit, welche du in Teilaufgabe 2.1 bestimmt hast, bewerten.
3.1
$\blacktriangleright$  Hypothesentest entwickeln und Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ durchführen und die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben. Hierbei handelt es sich um eine Stichprobe mit $100$ Schülern. Deshalb gilt $n=100$. Bezeichne hierbei die Anzahl der Schüler, die zur Gruppe der Wenignutzer gehören mit der Zufallsvariable $X$.
Die Nullhypothese kann man nun wie folgt formulieren:
$H_0: p \geq 0,459$ und
$H_1: p < 0,459$
In Worten lautet die Nullhypothese: Es sind mindestens $45,9\, \%$ der Schüler Wenignutzer.
3.2
$\blacktriangleright$  Fehler 1. und 2. Art beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Fehler 1. und 2. Art im Sachzusammenhang beschreiben und anschließend die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülern tatsächlich $40\,\%$ beträgt.
Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft.
Der Fehler 2. Art beschreibt, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl diese in Wahrheit nicht zutrifft.
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bestimmen, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülern tatsächlich $40\,\%$ beträgt. Das bedeutet, du berechnest die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ im Annahmebereich liegt, wenn in Wahrheit die Wahrscheinlichkeit $40\,\%$ gilt:
$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right) = P(X > 35)$.
3.3
$\blacktriangleright$  Güte des Tests beurteilen
In dieser Teilaufgabe sollst du anhand geeigneter Beispielwerte beurteilen, ob sich eine Erhöhung des Stichprobenumfangs $n$ auf die Güte des Tests auswirkt. Die Graphen im Material zeigen, wie sich bei einem gleich bleibendem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ die Fehlerwahrscheinlichkeit $\beta$ für den Fehler 2. Art in Abhängigkeit vom tatsächlichen Anteil $p$ der Wenignutzer verhält.
Somit kannst du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art für ein festes $p$ betrachten. Betrachte hierbei beispielsweise $\beta(0,4)$. Also die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei $p=0,4$. Nun kannst du diesen Wert für unterschiedlich große Stichprobenumfänge $n$ betrachten und die Werte miteinander vergleichen.
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1.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse bestimmen:
$A$: Eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14-24$ wird als internetabhängig eingestuft.
$B$: Unter $50$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen sind genau $10$, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird.
$C$: Unter $100$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen sind mehr als $20$, aber weniger als $30$, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird.
In diesem Fall beschreibt $n$ die Anzahl der zufällig ausgewählten Personen, $X$ die Anzahl der Personen, deren Internetnutzung als problematisch oder als internetabhängig eingestuft wird und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus einer bestimmten Gruppe als internetabhängig oder deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Altersgruppen kann man hierbei aus der gegebenen Tabelle entnehmen.
Nun sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ gesucht.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$
Ereignis $A$ beschreibt, dass eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14-24$ als internetabhängig eingestuft wird. Diese Wahrscheinlichkeit hast du bereits in der Aufgabenstellung gegeben.
In der Aufgabenstellung steht beschrieben, dass $2,4\,\%$ aller männlichen Personen aus der Altersgruppe $14-24$ internetabhängig sind, also folgt somit $P(A)=2,4\,\%$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Ereignis $B$ beschreibt, dass unter $50$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen es genau $10$ gibt, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(X=10)$. Hierbei gilt $n=50$ und für die Wahrscheinlichkeit folgt aus der Tabelle $p_B=0,172$.
$P(B)$ kannst du nun mit deinem GTR berechnen. Gehe hierzu wie folgt vor:
2nd $\to$ DISTR $\to$ binompdf
2nd $\to$ DISTR $\to$ binompdf
Abb. 2: Ergebnis
Abb. 2: Ergebnis
Somit tritt Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,25\,\%$ auf.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$
Ereignis $C$ beschreibt, dass unter $100$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen mehr als $20$, aber weniger als $30$ sind, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird. Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(20 < X < 30)$. Hierbei gilt $n=100$ und für die Wahrscheinlichkeit muss man nun beachten, dass die Internetnutzung von den $14-16$-jährigen Mädchen entweder als internetabhängig oder als problematisch eingestuft wird. In der Aufgabenstellung ist außerdem gegeben, dass die Internetnutzung einer Person nicht gleichzeitig als internetabhängig und als problematisch eingestuft werden kann.
Somit kann man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten wie folgt zusammenfassen:
$\begin{array}[t]{rll} p_C&=& p_{Abh} + p_{probl} \\[5pt] &=& 0,049 + 0,172\\[5pt] &=& 0,221 \end{array}$
Deshalb gilt $p_C=0,221$. $P(20 < X < 30)$ kannst du umschreiben in:
$P(20 < X < 30) $$= P(X\leq 29) - P(X\leq 20)$
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kannst du nun mit deinem GTR berechnen. Gehe hierzu wie folgt vor:
2nd $\to$ DISTR $\to$ binomcdf
2nd $\to$ DISTR $\to$ binomcdf
Abb. 4: Ergebnis
Abb. 4: Ergebnis
Somit tritt Ereignis $C$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $60,21\,\%$ auf.
#wahrscheinlichkeit
2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $R$ berechnen. Ereignis $R$ beschreibt, dass wenn der Test eine Person als internetabhängig einstuft, die Person auch tatsächlich internetabhängig ist.
Hierbei bezeichnen wir, dass eine Person tatsächlich internetabhängig ist mit Ereignis $A$ und dass der Test die Person als internetabhängig einstuft mit Ereignis $B$.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ gesucht.
In der Aufgabenstellung hast du bereits die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben, dass der Test einen tatsächlich internetabhängigen Nutzer auch als internetabhängig einstuft und dass der Test einen nicht internetabhängigen Nutzer auch als nicht internetabhängig einstuft. Diese entsprechen der Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$. Diese sind mit $P_A(B)=0,86$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})=0,75$ gegeben. Mit dem Satz von Bayes kannst du nun die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ berechnen. Der Satz von Bayes lautet:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Nun brauchst du noch die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Person tatsächlich internetabhängig ist $P(A)$ und dass der Online-Test die Person als internetabhängig einstuft $P(B)$.
Erstelle hierzu beispielsweise eine Vierfeldertafel und trage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten ein:
$A$$\overline{A}$
$B$
$\overline{B}$
0,024$1$
Die Warscheinlichkeit dafür, dass die Person tatsächlich internetabhängig ist in der Aufgabenstellung bereits gegeben, da du aus der Tabelle entnehmen kannst ,dass aus der Altersgruppe $14-24$ eine Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(A)=0,024$ tatsächlich internetabhängig ist und somit die Teilnehmer des Tests auch mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,024$ internetabhängig sind.
Dadurch kannst du $P(\overline{A})$ mit der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 1-P(A) \\[5pt] &=& 1- 0,024\\[5pt] &=& 0,976 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeiten $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ kannst du durch die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ bestimmen. Für eine bedingte Wahrscheinlichkeit gilt die Formel:
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Somit kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_A(B)&=& \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} & \quad \mid \cdot P(A) \\[5pt] P(A \cap B)&=& P_A(B) \cdot P(A) \\[5pt] &=& 0,86 \cdot 0,024 \\[5pt] &=& 0,02064 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_A(B)&=& \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\[5pt] P(A \cap B)&=& 0,02064 \end{array}$
Für $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A} \cap \overline{B})&=& P_{\overline{A}}(\overline{B}) \cdot P(\overline{A}) \\[5pt] &=& 0,75 \cdot 0,976 \\[5pt] &=& 0,7327 \end{array}$
Nun kannst du die Vierfeldertafel vervollständigen:
$A$$\overline{A}$
$B$$0,02064$$0,244$$0,26464$
$\overline{B}$$0,00336$$0,732$$0,73536$
$0,024$$0,976$$1$
Anschließend kannst du mit dem Satz von Bayes die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=& \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,86 \cdot 0,024}{0,26464} \\[5pt] &=& 0,078 \end{array}$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenn der Test die Person als als internetabhängig einstuft auch tatsächlich internetabhängig ist $7,8\,\%$.
2.2
$\blacktriangleright$  Qualität des Tests beurteilen
In dieser Teilaufgabe hast du die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben, dass eine Person aus der Altersgruppe $14-24$ Jahre tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $99,5\,\%$. Nun sollst du die Qualität des Test anhand dieser Wahrscheinlichkeit und aufgrund der Wahrscheinlichkeit, welche du in Teilaufgabe 2.1 bestimmt hast, bewerten.
In Teilaufgabe 2.1 hast du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass wenn der Test die Person als internetabhängig einstuft die Person auch tatsächlich internetabhängig ist. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt $7,8\,\%$. Sie ist deshalb sehr gering und somit kann man aufgrund eines positiven Testes keine Aussage darüber machen, ob man tatsächlich internetabhängig ist.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft beträgt ca. $99,6\,\%$. Diese Wahrscheinlichkeit ist sehr hoch und deswegen kann man ziemlich sicher sagen, wenn der Test negativ ausfällt, dass die Person nich internetabhängig ist.
Der Test ist somit bei positivem Ausgang sehr ungenau und du kannst dich somit nicht auf dessen Ergebnis verlassen. Bei negativem Ergebnis des Testes kann man ziemlich sicher sagen, dass die Person, die den Test durchgeführt hat nicht internetabhängig ist.
#vierfeldertafel#satzvonbayes#bedingtewahrscheinlichkeit
3.1
$\blacktriangleright$  Hypothesentest entwickeln und Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ durchführen und die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben. Hierbei handelt es sich um eine Stichprobe mit $100$ Schülern. Deshalb gilt $n=100$. Bezeichne hierbei die Anzahl der Schüler, die zur Gruppe der Wenignutzer gehören mit der Zufallsvariable $X$.
Die Nullhypothese kann man nun wie folgt formulieren:
$H_0: p \geq 0,459$ und
$H_1: p < 0,459$
In Worten lautet die Nullhypothese:Es sind mindestens $45,9\, \%$ der Schüler Wenignutzer.
Das heißt du führst einen linksseitigen Hypothesentest durch. Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ lautet:
$\overline{A}={0,\dotsc ,k}$
Deshalb muss gelten:
$P(X\leq k) \leq 2,5 \,\%$
Mit dem GTR folgt:
$P(X\leq 35)=0,0178$ und $P(X\leq 36)=0,0289$.
Somit folgt für den Ablehungsbereich:
$\overline{A}={0,\dotsc ,35}$
Das bedeutet, dass wenn $35$ oder weniger der befragten Nutzer zu der Gruppe der Wenignutzer gehören wird die Nullhypothese verworfen und somit wird die Vermutung des Mathematik-Leisungskurs als bestätigt betrachtet.
3.2
$\blacktriangleright$  Fehler 1. und 2. Art beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Fehler 1. und 2. Art im Sachzusammenhang beschreiben und anschließend die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülern tatsächlich $40\,\%$ beträgt.
Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass man aufgrund des Hypothesentests davon ausgeht, dass der Anteil der Wenignutzer geringer als $45,9\,\%$ ist, also dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl der Anteil in Wahrheit $45,9\,\%$ oder mehr beträgt.
Der Fehler 2. Art beschreibt, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl diese in Wahrheit nicht zutrifft. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass man aufgrund des Hypothesentests davon ausgeht, dass der Anteil der Wenignutzer gleich oder größer als $45,9\,\%$ ist, also dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl der Anteil in Wahrheit kleiner als $45,9\,\%$ ist.
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bestimmen, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülern tatsächlich $40\,\%$ beträgt. Das bedeutet, du berechnest die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ im Annahmebereich liegt, wenn in Wahrheit die Wahrscheinlichkeit $40\,\%$ gilt:
$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right) = P(X > 35)$.
Somit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{Fehler 2. Art}\right)&=& P(X >35)\\[5pt] &=& 1- P(X \leq 35) \end{array}$
Mit dem GTR folgt:
Abb. 5: Ergebnis
Abb. 5: Ergebnis
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art $82,05\,\%$.
3.3
$\blacktriangleright$  Güte des Tests beurteilen
In dieser Teilaufgabe sollst du anhand geeigneter Beispielwerte beurteilen, ob sich eine Erhöhung des Stichprobenumfangs $n$ auf die Güte des Tests auswirkt. Die Graphen im Material zeigen, wie sich bei einem gleich bleibendem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ die Fehlerwahrscheinlichkeit $\beta$ für den Fehler 2. Art in Abhängigkeit vom tatsächlichen Anteil $p$ der Wenignutzer verhält.
Somit kannst du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art für ein festes $p$ betrachten. Betrachte hierbei beispielsweise $\beta(0,4)$. Also die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei $p=0,4$. Nun kannst du diesen Wert für unterschiedlich große Stichprobenumfänge $n$ betrachten und die Werte miteinander vergleichen.
Für $n=100$ gilt: $\beta(0,4) \approx 0,82$
Für $n=350$ gilt: $\beta(0,4) \approx 0,43$
Für $n=10000$ gilt: $\beta(0,4) \approx 0,04$
Somit kann man sagen, dass je größer der Stichprobenumfang $n$ ist, desto kleiner die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist. Wenn man den Stichprobenumfang erhöht wird somit der Test besser, da die Wahrscheinlichkeit für ein Fehler 2. Art geringer wird.
#hypothesentest#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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1.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse bestimmen:
$A$: Eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14-24$ wird als internetabhängig eingestuft.
$B$: Unter $50$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen sind genau $10$, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird.
$C$: Unter $100$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen sind mehr als $20$, aber weniger als $30$, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird.
In diesem Fall beschreibt $n$ die Anzahl der zufällig ausgewählten Personen, $X$ die Anzahl der Personen, deren Internetnutzung als problematisch oder als internetabhängig eingestuft wird und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus einer bestimmten Gruppe als internetabhängig oder deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Altersgruppen kann man hierbei aus der gegebenen Tabelle entnehmen.
Nun sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ gesucht.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$
Ereignis $A$ beschreibt, dass eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14-24$ als internetabhängig eingestuft wird. Diese Wahrscheinlichkeit hast du bereits in der Aufgabenstellung gegeben.
In der Aufgabenstellung steht beschrieben, dass $2,4\,\%$ aller männlichen Personen aus der Altersgruppe $14-24$ internetabhängig sind, also folgt somit $P(A)=2,4\,\%$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Ereignis $B$ beschreibt, dass unter $50$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen es genau $10$ gibt, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(X=10)$. Hierbei gilt $n=50$ und für die Wahrscheinlichkeit folgt aus der Tabelle $p_B=0,172$.
$P(B)$ kannst du nun mit deinem GTR berechnen. Gehe hierzu wie folgt vor:
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bpd
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bpd
Abb. 1: Ergebnis
Abb. 1: Ergebnis
Somit tritt Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,25\,\%$ auf.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$
Ereignis $C$ beschreibt, dass unter $100$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen mehr als $20$, aber weniger als $30$ sind, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird. Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(20 < X < 30)$. Hierbei gilt $n=100$ und für die Wahrscheinlichkeit muss man nun beachten, dass die Internetnutzung von den $14-16$-jährigen Mädchen entweder als internetabhängig oder als problematisch eingestuft wird. In der Aufgabenstellung ist außerdem gegeben, dass die Internetnutzung einer Person nicht gleichzeitig als internetabhängig und als problematisch eingestuft werden kann.
Somit kann man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten wie folgt zusammenfassen:
$\begin{array}[t]{rll} p_C&=& p_{Abh} + p_{probl} \\[5pt] &=& 0,049 + 0,172\\[5pt] &=& 0,221 \end{array}$
Deshalb gilt $p_C=0,221$. $P(20 < X < 30)$ kannst du umschreiben in:
$P(20 < X < 30) $$= P(X\leq 29) - P(X\leq 20)$
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kannst du nun mit deinem GTR berechnen. Gehe hierzu wie folgt vor:
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bcd
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bcd
Abb. 2: Ergebnis
Abb. 2: Ergebnis
Somit tritt Ereignis $C$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $60,21\,\%$ auf.
2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $R$ berechnen. Ereignis $R$ beschreibt, dass wenn der Test eine Person als internetabhängig einstuft, die Person auch tatsächlich internetabhängig ist.
Hierbei bezeichnen wir, dass eine Person tatsächlich internetabhängig ist mit Ereignis $A$ und dass der Test die Person als internetabhängig einstuft mit Ereignis $B$.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ gesucht.
In der Aufgabenstellung hast du bereits die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben, dass der Test einen tatsächlich internetabhängigen Nutzer auch als internetabhängig einstuft und dass der Test einen nicht internetabhängigen Nutzer auch als nicht internetabhängig einstuft. Diese entsprechen der Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$. Diese sind mit $P_A(B)=0,86$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})=0,75$ gegeben. Mit dem Satz von Bayes kannst du nun die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ berechnen. Der Satz von Bayes lautet:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Nun brauchst du noch die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Person tatsächlich internetabhängig ist $P(A)$ und dass der Online-Test die Person als internetabhängig einstuft $P(B)$.
Erstelle hierzu beispielsweise eine Vierfeldertafel und trage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten ein:
$A$$\overline{A}$
$B$
$\overline{B}$
0,024$1$
Die Warscheinlichkeit dafür, dass die Person tatsächlich internetabhängig ist in der Aufgabenstellung bereits gegeben, da du aus der Tabelle entnehmen kannst ,dass aus der Altersgruppe $14-24$ eine Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(A)=0,024$ tatsächlich internetabhängig ist und somit die Teilnehmer des Tests auch mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,024$ internetabhängig sind.
Dadurch kannst du $P(\overline{A})$ mit der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 1-P(A) \\[5pt] &=& 1- 0,024\\[5pt] &=& 0,976 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeiten $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ kannst du durch die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ bestimmen. Für eine bedingte Wahrscheinlichkeit gilt die Formel:
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Somit kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_A(B)&=& \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} & \quad \mid \cdot P(A) \\[5pt] P(A \cap B)&=& P_A(B) \cdot P(A) \\[5pt] &=& 0,86 \cdot 0,024 \\[5pt] &=& 0,02064 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_A(B)&=& \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\[5pt] P(A \cap B)&=& P_A(B) \cdot P(A) \\[5pt] &=& 0,86 \cdot 0,024 \\[5pt] &=& 0,02064 \end{array}$
Für $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A} \cap \overline{B})&=& P_{\overline{A}}(\overline{B}) \cdot P(\overline{A}) \\[5pt] &=& 0,75 \cdot 0,976 \\[5pt] &=& 0,7327 \end{array}$
Nun kannst du die Vierfeldertafel vervollständigen:
$A$$\overline{A}$
$B$$0,02064$$0,244$$0,26464$
$\overline{B}$$0,00336$$0,732$$0,73536$
$0,024$$0,976$$1$
Anschließend kannst du mit dem Satz von Bayes die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=& \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,86 \cdot 0,024}{0,26464} \\[5pt] &=& 0,078 \end{array}$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenn der Test die Person als als internetabhängig einstuft auch tatsächlich internetabhängig ist $7,8\,\%$.
2.2
$\blacktriangleright$  Qualität des Tests beurteilen
In dieser Teilaufgabe hast du die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben, dass eine Person aus der Altersgruppe $14-24$ Jahre tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $99,5\,\%$. Nun sollst du die Qualität des Test anhand dieser Wahrscheinlichkeit und aufgrund der Wahrscheinlichkeit, welche du in Teilaufgabe 2.1 bestimmt hast, bewerten.
In Teilaufgabe 2.1 hast du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass wenn der Test die Person als internetabhängig einstuft die Person auch tatsächlich internetabhängig ist. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt $7,8\,\%$. Sie ist deshalb sehr gering und somit kann man aufgrund eines positiven Testes keine Aussage darüber machen, ob man tatsächlich internetabhängig ist.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft beträgt ca. $99,6\,\%$. Diese Wahrscheinlichkeit ist sehr hoch und deswegen kann man ziemlich sicher sagen, wenn der Test negativ ausfällt, dass die Person nich internetabhängig ist.
Der Test ist somit bei positivem Ausgang sehr ungenau und du kannst dich somit nicht auf dessen Ergebnis verlassen. Bei negativem Ergebnis des Testes kann man ziemlich sicher sagen, dass die Person, die den Test durchgeführt hat nicht internetabhängig ist.
3.1
$\blacktriangleright$  Hypothesentest entwickeln und Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ durchführen und die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben. Hierbei handelt es sich um eine Stichprobe mit $100$ Schülern. Deshalb gilt $n=100$. Bezeichne hierbei die Anzahl der Schüler, die zur Gruppe der Wenignutzer gehören mit der Zufallsvariable $X$.
Die Nullhypothese kann man nun wie folgt formulieren:
$H_0: p \geq 0,459$ und
$H_1: p < 0,459$
In Worten lautet die Nullhypothese:Es sind mindestens $45,9\, \%$ der Schüler Wenignutzer.
Das heißt du führst einen linksseitigen Hypothesentest durch. Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ lautet:
$\overline{A}={0,\dotsc ,k}$
Deshalb muss gelten:
$P(X\leq k) \leq 2,5 \,\%$
Mit dem GTR folgt:
$P(X\leq 35)=0,0178$ und $P(X\leq 36)=0,0289$.
Somit folgt für den Ablehungsbereich:
$\overline{A}={0,\dotsc ,35}$
Das bedeutet, dass wenn $35$ oder weniger der befragten Nutzer zu der Gruppe der Wenignutzer gehören wird die Nullhypothese verworfen und somit wird die Vermutung des Mathematik-Leisungskurs als bestätigt betrachtet.
3.2
$\blacktriangleright$  Fehler 1. und 2. Art beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Fehler 1. und 2. Art im Sachzusammenhang beschreiben und anschließend die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülern tatsächlich $40\,\%$ beträgt.
Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass man aufgrund des Hypothesentests davon ausgeht, dass der Anteil der Wenignutzer geringer als $45,9\,\%$ ist, also dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl der Anteil in Wahrheit $45,9\,\%$ oder mehr beträgt.
Der Fehler 2. Art beschreibt, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl diese in Wahrheit nicht zutrifft. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass man aufgrund des Hypothesentests davon ausgeht, dass der Anteil der Wenignutzer gleich oder größer als $45,9\,\%$ ist, also dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl der Anteil in Wahrheit kleiner als $45,9\,\%$ ist.
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bestimmen, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülern tatsächlich $40\,\%$ beträgt. Das bedeutet, du berechnest die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ im Annahmebereich liegt, wenn in Wahrheit die Wahrscheinlichkeit $40\,\%$ gilt:
$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right) = P(X > 35)$.
Somit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{Fehler 2. Art}\right)&=& P(X >35)\\[5pt] &=& 1- P(X \leq 35) \end{array}$
Mit dem GTR folgt:
Abb. 3: Ergebnis
Abb. 3: Ergebnis
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art $82,05\,\%$.
3.3
$\blacktriangleright$  Güte des Tests beurteilen
In dieser Teilaufgabe sollst du anhand geeigneter Beispielwerte beurteilen, ob sich eine Erhöhung des Stichprobenumfangs $n$ auf die Güte des Tests auswirkt. Die Graphen im Material zeigen, wie sich bei einem gleich bleibendem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ die Fehlerwahrscheinlichkeit $\beta$ für den Fehler 2. Art in Abhängigkeit vom tatsächlichen Anteil $p$ der Wenignutzer verhält.
Somit kannst du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art für ein festes $p$ betrachten. Betrachte hierbei beispielsweise $\beta(0,4)$. Also die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei $p=0,4$. Nun kannst du diesen Wert für unterschiedlich große Stichprobenumfänge $n$ betrachten und die Werte miteinander vergleichen.
Für $n=100$ gilt: $\beta(0,4) \approx 0,82$
Für $n=350$ gilt: $\beta(0,4) \approx 0,43$
Für $n=10000$ gilt: $\beta(0,4) \approx 0,04$
Somit kann man sagen, dass je größer der Stichprobenumfang $n$ ist, desto kleiner die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist. Wenn man den Stichprobenumfang erhöht wird somit der Test besser, da die Wahrscheinlichkeit für ein Fehler 2. Art geringer wird.
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1.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse bestimmen:
$A$: Eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14-24$ wird als internetabhängig eingestuft.
$B$: Unter $50$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen sind genau $10$, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird.
$C$: Unter $100$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen sind mehr als $20$, aber weniger als $30$, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird.
In diesem Fall beschreibt $n$ die Anzahl der zufällig ausgewählten Personen, $X$ die Anzahl der Personen, deren Internetnutzung als problematisch oder als internetabhängig eingestuft wird und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus einer bestimmten Gruppe als internetabhängig oder deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Altersgruppen kann man hierbei aus der gegebenen Tabelle entnehmen.
Nun sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ gesucht.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$
Ereignis $A$ beschreibt, dass eine zufällig ausgewählte männliche Person aus der Altersgruppe $14-24$ als internetabhängig eingestuft wird. Diese Wahrscheinlichkeit hast du bereits in der Aufgabenstellung gegeben.
In der Aufgabenstellung steht beschrieben, dass $2,4\,\%$ aller männlichen Personen aus der Altersgruppe $14-24$ internetabhängig sind, also folgt somit $P(A)=2,4\,\%$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Ereignis $B$ beschreibt, dass unter $50$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen es genau $10$ gibt, deren Internetnutzung als problematisch eingestuft wird. Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(X=10)$. Hierbei gilt $n=50$ und für die Wahrscheinlichkeit folgt aus der Tabelle $p_B=0,172$.
$P(B)$ kannst du nun mit deinem GTR berechnen. Gehe hierzu wie folgt vor:
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bpd
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bpd
Abb. 1: Ergebnis
Abb. 1: Ergebnis
Somit tritt Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,25\,\%$ auf.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$
Ereignis $C$ beschreibt, dass unter $100$ zufällig ausgewählten $14-16$-jährigen Mädchen mehr als $20$, aber weniger als $30$ sind, deren Internetnutzung als problematisch oder gar als Internetabhängigkeit eingestuft wird. Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(20 < X < 30)$. Hierbei gilt $n=100$ und für die Wahrscheinlichkeit muss man nun beachten, dass die Internetnutzung von den $14-16$-jährigen Mädchen entweder als internetabhängig oder als problematisch eingestuft wird. In der Aufgabenstellung ist außerdem gegeben, dass die Internetnutzung einer Person nicht gleichzeitig als internetabhängig und als problematisch eingestuft werden kann.
Somit kann man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten wie folgt zusammenfassen:
$\begin{array}[t]{rll} p_C&=& p_{Abh} + p_{probl} \\[5pt] &=& 0,049 + 0,172\\[5pt] &=& 0,221 \end{array}$
Deshalb gilt $p_C=0,221$. $P(20 < X < 30)$ kannst du umschreiben in:
$P(20 < X < 30) $$= P(X\leq 29) - P(X\leq 20)$
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kannst du nun mit deinem GTR berechnen. Gehe hierzu wie folgt vor:
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bcd
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ Binomial $\to$ Bcd
Abb. 2: Ergebnis
Abb. 2: Ergebnis
Somit tritt Ereignis $C$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $60,21\,\%$ auf.
#wahrscheinlichkeit
2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $R$ berechnen. Ereignis $R$ beschreibt, dass wenn der Test eine Person als internetabhängig einstuft, die Person auch tatsächlich internetabhängig ist.
Hierbei bezeichnen wir, dass eine Person tatsächlich internetabhängig ist mit Ereignis $A$ und dass der Test die Person als internetabhängig einstuft mit Ereignis $B$.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ gesucht.
In der Aufgabenstellung hast du bereits die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben, dass der Test einen tatsächlich internetabhängigen Nutzer auch als internetabhängig einstuft und dass der Test einen nicht internetabhängigen Nutzer auch als nicht internetabhängig einstuft. Diese entsprechen der Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$. Diese sind mit $P_A(B)=0,86$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})=0,75$ gegeben. Mit dem Satz von Bayes kannst du nun die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ berechnen. Der Satz von Bayes lautet:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Nun brauchst du noch die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Person tatsächlich internetabhängig ist $P(A)$ und dass der Online-Test die Person als internetabhängig einstuft $P(B)$.
Erstelle hierzu beispielsweise eine Vierfeldertafel und trage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten ein:
$A$$\overline{A}$
$B$
$\overline{B}$
0,024$1$
Die Warscheinlichkeit dafür, dass die Person tatsächlich internetabhängig ist in der Aufgabenstellung bereits gegeben, da du aus der Tabelle entnehmen kannst ,dass aus der Altersgruppe $14-24$ eine Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(A)=0,024$ tatsächlich internetabhängig ist und somit die Teilnehmer des Tests auch mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,024$ internetabhängig sind.
Dadurch kannst du $P(\overline{A})$ mit der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& 1-P(A) \\[5pt] &=& 1- 0,024\\[5pt] &=& 0,976 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeiten $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ kannst du durch die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ bestimmen. Für eine bedingte Wahrscheinlichkeit gilt die Formel:
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Somit kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten $P(A \cap B)$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_A(B)&=& \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} & \quad \mid \cdot P(A) \\[5pt] P(A \cap B)&=& P_A(B) \cdot P(A) \\[5pt] &=& 0,86 \cdot 0,024 \\[5pt] &=& 0,02064 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_A(B)&=& \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\[5pt] P(A \cap B)&=& P_A(B) \cdot P(A) \\[5pt] &=& 0,86 \cdot 0,024 \\[5pt] &=& 0,02064 \end{array}$
Für $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A} \cap \overline{B})&=& P_{\overline{A}}(\overline{B}) \cdot P(\overline{A}) \\[5pt] &=& 0,75 \cdot 0,976 \\[5pt] &=& 0,7327 \end{array}$
Nun kannst du die Vierfeldertafel vervollständigen:
$A$$\overline{A}$
$B$$0,02064$$0,244$$0,26464$
$\overline{B}$$0,00336$$0,732$$0,73536$
$0,024$$0,976$$1$
Anschließend kannst du mit dem Satz von Bayes die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=& \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,86 \cdot 0,024}{0,26464} \\[5pt] &=& 0,078 \end{array}$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenn der Test die Person als als internetabhängig einstuft auch tatsächlich internetabhängig ist $7,8\,\%$.
2.2
$\blacktriangleright$  Qualität des Tests beurteilen
In dieser Teilaufgabe hast du die Wahrscheinlichkeit dafür gegeben, dass eine Person aus der Altersgruppe $14-24$ Jahre tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $99,5\,\%$. Nun sollst du die Qualität des Test anhand dieser Wahrscheinlichkeit und aufgrund der Wahrscheinlichkeit, welche du in Teilaufgabe 2.1 bestimmt hast, bewerten.
In Teilaufgabe 2.1 hast du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass wenn der Test die Person als internetabhängig einstuft die Person auch tatsächlich internetabhängig ist. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt $7,8\,\%$. Sie ist deshalb sehr gering und somit kann man aufgrund eines positiven Testes keine Aussage darüber machen, ob man tatsächlich internetabhängig ist.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person tatsächlich nicht internetabhängig ist, wenn der Test sie als nicht internetabhängig einstuft beträgt ca. $99,6\,\%$. Diese Wahrscheinlichkeit ist sehr hoch und deswegen kann man ziemlich sicher sagen, wenn der Test negativ ausfällt, dass die Person nich internetabhängig ist.
Der Test ist somit bei positivem Ausgang sehr ungenau und du kannst dich somit nicht auf dessen Ergebnis verlassen. Bei negativem Ergebnis des Testes kann man ziemlich sicher sagen, dass die Person, die den Test durchgeführt hat nicht internetabhängig ist.
#bedingtewahrscheinlichkeit#satzvonbayes#vierfeldertafel
3.1
$\blacktriangleright$  Hypothesentest entwickeln und Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ durchführen und die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang angeben. Hierbei handelt es sich um eine Stichprobe mit $100$ Schülern. Deshalb gilt $n=100$. Bezeichne hierbei die Anzahl der Schüler, die zur Gruppe der Wenignutzer gehören mit der Zufallsvariable $X$.
Die Nullhypothese kann man nun wie folgt formulieren:
$H_0: p \geq 0,459$ und
$H_1: p < 0,459$
In Worten lautet die Nullhypothese:Es sind mindestens $45,9\, \%$ der Schüler Wenignutzer.
Das heißt du führst einen linksseitigen Hypothesentest durch. Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ lautet:
$\overline{A}={0,\dotsc ,k}$
Deshalb muss gelten:
$P(X\leq k) \leq 2,5 \,\%$
Mit dem GTR folgt:
$P(X\leq 35)=0,0178$ und $P(X\leq 36)=0,0289$.
Somit folgt für den Ablehungsbereich:
$\overline{A}={0,\dotsc ,35}$
Das bedeutet, dass wenn $35$ oder weniger der befragten Nutzer zu der Gruppe der Wenignutzer gehören wird die Nullhypothese verworfen und somit wird die Vermutung des Mathematik-Leisungskurs als bestätigt betrachtet.
3.2
$\blacktriangleright$  Fehler 1. und 2. Art beschreiben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Fehler 1. und 2. Art im Sachzusammenhang beschreiben und anschließend die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülern tatsächlich $40\,\%$ beträgt.
Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass man aufgrund des Hypothesentests davon ausgeht, dass der Anteil der Wenignutzer geringer als $45,9\,\%$ ist, also dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl der Anteil in Wahrheit $45,9\,\%$ oder mehr beträgt.
Der Fehler 2. Art beschreibt, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl diese in Wahrheit nicht zutrifft. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass man aufgrund des Hypothesentests davon ausgeht, dass der Anteil der Wenignutzer gleich oder größer als $45,9\,\%$ ist, also dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl der Anteil in Wahrheit kleiner als $45,9\,\%$ ist.
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bestimmen, wenn der Anteil der Wenignutzer unter den Schülern tatsächlich $40\,\%$ beträgt. Das bedeutet, du berechnest die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ im Annahmebereich liegt, wenn in Wahrheit die Wahrscheinlichkeit $40\,\%$ gilt:
$P\left(\text{Fehler 2. Art}\right) = P(X > 35)$.
Somit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(\text{Fehler 2. Art}\right)&=& P(X >35)\\[5pt] &=& 1- P(X \leq 35) \end{array}$
Mit dem GTR folgt:
Abb. 3: Ergebnis
Abb. 3: Ergebnis
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art $82,05\,\%$.
3.3
$\blacktriangleright$  Güte des Tests beurteilen
In dieser Teilaufgabe sollst du anhand geeigneter Beispielwerte beurteilen, ob sich eine Erhöhung des Stichprobenumfangs $n$ auf die Güte des Tests auswirkt. Die Graphen im Material zeigen, wie sich bei einem gleich bleibendem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ die Fehlerwahrscheinlichkeit $\beta$ für den Fehler 2. Art in Abhängigkeit vom tatsächlichen Anteil $p$ der Wenignutzer verhält.
Somit kannst du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art für ein festes $p$ betrachten. Betrachte hierbei beispielsweise $\beta(0,4)$. Also die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei $p=0,4$. Nun kannst du diesen Wert für unterschiedlich große Stichprobenumfänge $n$ betrachten und die Werte miteinander vergleichen.
Für $n=100$ gilt: $\beta(0,4) \approx 0,82$
Für $n=350$ gilt: $\beta(0,4) \approx 0,43$
Für $n=10000$ gilt: $\beta(0,4) \approx 0,04$
Somit kann man sagen, dass je größer der Stichprobenumfang $n$ ist, desto kleiner die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist. Wenn man den Stichprobenumfang erhöht wird somit der Test besser, da die Wahrscheinlichkeit für ein Fehler 2. Art geringer wird.
#wahrscheinlichkeit#hypothesentest
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