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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
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Lineare Optimierung
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Analysis
Stochastik 1
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Analysis 1
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Abi 2011
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
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Abi 2010
Analysis 1
Analysis 2
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Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...

Stochastik 1

Aufgaben
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1
Ein Jahrmarktbudenbesitzer bietet das Spiel „Entenangeln“ an. Bei diesem Spiel angelt man drei Gummienten ohne Zurücklegen aus der Wanne mit 100 Gummienten. Die Enten unterscheiden sich nur durch eine farbige Markierung auf ihrer Unterseite, die der Spieler beim Angeln nicht erkennen kann. Laut Veranstalter ist die Markierung der Enten wie in folgender Tabelle:
MarkierungRotBlauGrünGelbGolden
Anzahl50301541
1.1
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse für ein Spiel.
    A: $\;$ Es wird keine Ente mit roter Markierung gezogen.
    B: $\;$ Es werden drei gleich markierte Enten gezogen.
    C: $\;$ Jede der Farben rot, blau und grün kommt einmal vor.
(5P)
#ereignis
1.2
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, die golden markierte Ente zu angeln, im ersten Zug genauso groß wie im zweiten bzw. im dritten Zug ist.
(3P)
1.3
Je nach Farbe der Markierung erhält der Spieler Punkte, die anschließend addiert und gegen Preise eingetauscht werden können. Für jede rot markierte Ente erhält der Spieler 10 Punkte, für jede blaue 20 Punkte, grün 50 Punkte, gelb 100 Punkte und für die golden markierte Ente gibt es 500 Punkte.
Wie viele Punkte kann ein Spieler beim Angeln der ersten Ente im Mittel erwarten?
(3P)
#arithmetischesmittel
1.4
Fanni hat viele Spiele beobachtet, in denen sich unter den jeweils drei gezogenen Enten niemals die golden markierte Ente befand.
Sie sagt: „ Ich bin mir ziemlich sicher, dass die golden markierte Ente nicht in der Wanne ist, denn ich habe so viele Spiele beobachtet, dass diese Ente mit mehr als $80\,\%$ Wahrscheinlichkeit in mindestens einem Spiel hätte gezogen werden müssen.“
Wie viele Spiele hat Fanni mindestens beobachtet?
(4P)

(15P)
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeiten für drei verschiedene Fälle bestimmen. Im ersten Fall soll keine rote gezogen werden, Im zweiten drei gleichfarbige und im dritten eine rote, eine grüne sowie eine blaue Ente.
A: Keine rote Ente ziehen
Du sollst berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit keine rote Ente gezogen wird. Dazu multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten eine andere als die rote Ente zu ziehen. Du musst allerdings beachten, dass nach jedem Zug eine Ente fehlt ( Aufgabenstellung: "ohne Zurücklegen" ), die Anzahl der roten Enten allerdings gleich bleibt.
B: Drei gleich markierte Enten ziehen.
Wahrscheinlichkeit für drei gleich markierte Enten berechnen. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeiten für jeweils drei rote, drei blaue, drei grüne sowie drei gelbe Enten in Serie auf. Die goldene Ente kannst du weglassen da es ja nur eine gibt und du somit nicht drei Stück ziehen kannst. Du musst beachten, dass nach jedem Zug eine Ente der zu ziehenden Farbe fehlt.
C: Je eine rote, blaue und grüne Ente in beliebiger Reihenfolge ziehen.
Wahrscheinlichkeit mit der eine rote, grüne sowie eine blaue Ente in beliebiger Reihenfolge gezogen wird bestimmen. Dazu berechnest du die Wahrscheinlichkeit, mit der zuerst eine rote, dann eine blaue und dann eine grüne Ente gezogen wird. Du kannst auch jede andere Reihenfolge wählen. Du musst beachten, dass nach jedem Zug eine Ente fehlt. Das ganze multiplizierst du mit sechs, da es sechs verschiedene mögliche Reihenfolgen gibt.
1.2
$\blacktriangleright$  gleiche Wahrscheinlichkeit zeigen
In diesem Aufgabenteil sollst du zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente zu angeln im ersten Zug genauso groß wie im zweiten bzw. im dritten Zug ist. Dazu bestimmst du die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente im ersten, im zweiten und im dritten Zug zu ziehen und vergleichst diese.
Goldene Ente im ersten Zug ziehen.
Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten eine goldene Ente im ersten Zug zu ziehen mit der einer andersfarbigen im zweiten sowie im dritten Zug. Den zweiten und dritten Zug kannst du auch weglassen, da es hier keine goldene Ente mehr gibt.
Goldene Ente im zweiten Zug ziehen.
Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten eine nichtgoldene Ente im ersten Zug zu ziehen mit der einer goldenen im zweiten. Den dritten Zug kannst du weglassen, da es hier keine goldene Ente mehr gibt.
Goldene Ente im dritten Zug ziehen.
Hier gehst du vor wie bei den beiden vorhergehenden.
1.3
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Erwartungswert für den ersten Zug bestimmen, wenn du folgende Punkte für die jwewilige Farbe erhältst. Dazu multiplizierst du die Wahrscheinlichkeit eine bestimmten Farbe zu ziehen mit deren Punkte. Dann addierst du alle Produkte.
$Farbe$$Punkte$
Rot10
Blau20
Grün50
Gelb100
Gold500
1.4
$\blacktriangleright$  Anzahl der Spiele berechnen
Fanni behauptet, so viele Spiele beobachtet zu haben, dass die goldene Ente mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $80\,\%$ mindestens einmal hätte gezogen werden müssen. Betrachte also die Zufallsvariabel $X$, die von $n$ Spielen die Anzahl der Spiele beschreibt, in denen die goldene Ente geangelt wurde. Gesucht ist dann die Mindestanzahl $n$ der beobachteten Spiele, für die $P(X\geq 1) > 80\,\%$ ist. Bestimme eine Verteilung von $X$ und forme die Ungleichung damit so um, dass du nach $n$ lösen kannst.
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeiten für drei verschiedene Fälle bestimmen. Im ersten Fall soll keine rote gezogen werden, Im zweiten drei gleichfarbige und im dritten eine rote, eine grüne sowie eine blaue Ente.
A: Keine rote Ente ziehen
Du sollst berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit keine rote Ente gezogen wird. Dazu multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten eine andere als die rote Ente zu ziehen. Du musst allerdings beachten, dass nach jedem Zug eine Ente fehlt ( Aufgabenstellung: "ohne Zurücklegen" ), die Anzahl der roten Enten allerdings gleich bleibt.
$\begin{array}[t]{rll} p_A&=&\frac{50}{100}\cdot\frac{49}{99}\cdot\frac{48}{98}\quad \scriptsize \\[5pt] p_A&=&\frac{4}{33} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit keine rote Ente zu ziehen liegt bei $\frac{4}{33}$.
B: Drei gleich markierte Enten ziehen.
Wahrscheinlichkeit für drei gleich markierte Enten berechnen. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeiten für jeweils drei rote, drei blaue, drei grüne sowie drei gelbe Enten in Serie auf. Die goldene Ente kannst du weglassen da es ja nur eine gibt und du somit nicht drei Stück ziehen kannst. Du musst beachten, dass nach jedem Zug eine Ente der zu ziehenden Farbe fehlt.
$\begin{array}[t]{rll} p(Rot)&=& \frac{50}{100}\cdot\frac{49}{99}\cdot\frac{48}{98}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Rot)&=& \frac{4}{33}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Blau)&=&\frac{30}{100}\cdot\frac{29}{99}\cdot\frac{28}{98}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Blau)&=&\frac{29}{1155}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Grün)&=& \frac{15}{100}\cdot\frac{14}{99}\cdot\frac{13}{98}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Grün)&=&\frac{16}{4620}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Gelb)&=&\frac{4}{100}\cdot\frac{3}{99}\cdot\frac{2}{98}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Gelb)&=&\frac{1}{40425}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p_B&=& p(Rot)+p(Blau)+p(Grün)+p(Gelb)&\quad \scriptsize \\[5pt] p_B&=&\frac{4}{33}+\frac{29}{1155}+\frac{16}{4620}+\frac{1}{40425}&\quad \scriptsize \\[5pt] p_B&\approx& 0,1499 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ p_B\approx 0,1499$
Die Wahrscheinlichkeit drei gleiche Enten zu ziehen liegt bei ca. 0,1499.
C: Je eine rote, blaue und grüne Ente in beliebiger Reihenfolge ziehen.
Wahrscheinlichkeit mit der eine rote, grüne sowie eine blaue Ente in beliebiger Reihenfolge gezogen wird bestimmen. Dazu berechnest du die Wahrscheinlichkeit, mit der zuerst eine rote, dann eine blaue und dann eine grüne Ente gezogen wird. Du kannst auch jede andere Reihenfolge wählen. Du musst beachten, dass nach jedem Zug eine Ente fehlt. Das ganze multiplizierst du mit sechs, da es sechs verschiedene mögliche Reihenfolgen gibt.
$\begin{array}[t]{rll} p_C&=& \frac{50}{100}\cdot\frac{30}{99}\cdot\frac{15}{98}\cdot 6 &\quad \scriptsize \\[5pt] p_C&=& \frac{75}{539} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit das eine rote, eine grüne und eine blaue Ente in beliebiger Reihenfolge gezogen werden liegt bei $\frac{75}{539}.$
1.2
$\blacktriangleright$  gleiche Wahrscheinlichkeit zeigen
In diesem Aufgabenteil sollst du zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente zu angeln im ersten Zug genauso groß wie im zweiten bzw. im dritten Zug ist. Dazu bestimmst du die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente im ersten, im zweiten und im dritten Zug zu ziehen und vergleichst diese.
Goldene Ente im ersten Zug ziehen.
Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten eine goldene Ente im ersten Zug zu ziehen mit der einer andersfarbigen im zweiten sowie im dritten Zug. Den zweiten und dritten Zug kannst du auch weglassen, da es hier keine goldene Ente mehr gibt.
$\begin{array}[t]{rll} p_1&=& \frac{1}{100}\cdot\frac{99}{99}\cdot\frac{98}{98} &\quad \scriptsize \\[5pt] p_1&=&\frac{1}{100} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente im ersten Zug zu ziehen liegt bei $\frac{1}{100}$.
Goldene Ente im zweiten Zug ziehen.
Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten eine nichtgoldene Ente im ersten Zug zu ziehen mit der einer goldenen im zweiten. Den dritten Zug kannst du weglassen, da es hier keine goldene Ente mehr gibt.
$\begin{array}[t]{rll} p_2&=& \frac{99}{100}\cdot\frac{1}{99}\cdot\frac{98}{98} &\quad \scriptsize \\[5pt] p_2&=& \frac{1}{100} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente im zweiten Zug zu ziehen liegt bei $\frac{1}{100}$.
Goldene Ente im dritten Zug ziehen.
$\begin{array}[t]{rll} p_3&=& \frac{99}{100}\cdot\frac{98}{99}\cdot\frac{1}{98} &\quad \scriptsize \\[5pt] p_3&=& \frac{1}{100} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente im dritten Zug zu ziehen liegt bei $\frac{1}{100}$.
Du hast gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit immer $\frac{1}{100}$ ist, es also gleich Wahrscheinlich ist, dass die goldene Ente im ersten, zweiten oder im dritten Zug gezogen wird.
1.3
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Erwartungswert für den ersten Zug bestimmen, wenn du folgende Punkte für die jwewilige Farbe erhältst. Dazu multiplizierst du die Wahrscheinlichkeit eine bestimmten Farbe zu ziehen mit deren Punkte. Dann addierst du alle Produkte.
$Farbe$$Punkte$
Rot10
Blau20
Grün50
Gelb100
Gold500
$\begin{array}[t]{rll} E&=&\frac{50}{100}\cdot10+\frac{30}{100}\cdot20+\frac{15}{100}\cdot 50+\frac{4}{100}\cdot 100 +\frac{1}{100}\cdot 500 &\quad \scriptsize \\[5pt] E&=& 27,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ E=27,5 $
Fanni kann im Mittel also 27,5 Punkte erwarten.
#erwartungswert
1.4
$\blacktriangleright$  Anzahl der Spiele berechnen
Fanni behauptet, so viele Spiele beobachtet zu haben, dass die goldene Ente mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $80\,\%$ mindestens einmal hätte gezogen werden müssen. Betrachte also die Zufallsvariabel $X$, die von $n$ Spielen die Anzahl der Spiele beschreibt, in denen die goldene Ente geangelt wurde. Gesucht ist dann die Mindestanzahl $n$ der beobachteten Spiele, für die $P(X\geq 1) > 80\,\%$ ist. Bestimme eine Verteilung von $X$ und forme die Ungleichung damit so um, dass du nach $n$ lösen kannst.
$X$ kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ angenommen werden, da in jedem Spiel die Wahrscheinlichkeit für die goldene Ente gleich bleibt. Der Parameter $p$ ist die Wahrscheinlichkeit für eine goldene Ente in einem Spiel. Die Wahrscheinlichkeit, die Ente im ersten, zweiten oder dritten Zug zu ziehen beträgt jeweils $1\,\%$, insgesamt kann damit die goldene Ente in einem Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von $3\,\%$ gezogen werden. Es gilt also $p=0,03$.
Forme nun die Ungleichung mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung um:
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 1)& > & 0,8 \\[5pt] 1-P(X =0)&> & 0,8 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P(X=0)& > & -0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P(X=0)&< & 0,2 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,03^0\cdot 0,97^n& < & 0,2 \\[5pt] 0,97^n& < & 0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] n\cdot \ln(0,97)&< & \ln(0,2) &\quad \scriptsize \mid\; : \ln(0,97)< 0\\[5pt] n&> & \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,97)}\\[5pt] n& > & 52,84 \end{array}$
Fanni muss also mindestens 53 Spiele beobachtet haben.
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Wahrscheinlichkeiten für drei verschiedene Fälle bestimmen. Im ersten Fall soll keine rote gezogen werden, Im zweiten drei gleichfarbige und im dritten eine rote, eine grüne sowie eine blaue Ente.
A: Keine rote Ente ziehen
Du sollst berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit keine rote Ente gezogen wird. Dazu multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten eine andere als die rote Ente zu ziehen. Du musst allerdings beachten, dass nach jedem Zug eine Ente fehlt ( Aufgabenstellung: "ohne Zurücklegen" ), die Anzahl der roten Enten allerdings gleich bleibt.
$\begin{array}[t]{rll} p_A&=&\frac{50}{100}\cdot\frac{49}{99}\cdot\frac{48}{98}\quad \scriptsize \\[5pt] p_A&=&\frac{4}{33} \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit keine rote Ente zu ziehen liegt bei $\frac{4}{33}$.
B: Drei gleich markierte Enten ziehen.
Wahrscheinlichkeit für drei gleich markierte Enten berechnen. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeiten für jeweils drei rote, drei blaue, drei grüne sowie drei gelbe Enten in Serie auf. Die goldene Ente kannst du weglassen da es ja nur eine gibt und du somit nicht drei Stück ziehen kannst. Du musst beachten, dass nach jedem Zug eine Ente der zu ziehenden Farbe fehlt.
$\begin{array}[t]{rll} p(Rot)&=& \frac{50}{100}\cdot\frac{49}{99}\cdot\frac{48}{98}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Rot)&=& \frac{4}{33}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Blau)&=&\frac{30}{100}\cdot\frac{29}{99}\cdot\frac{28}{98}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Blau)&=&\frac{29}{1155}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Grün)&=& \frac{15}{100}\cdot\frac{14}{99}\cdot\frac{13}{98}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Grün)&=&\frac{16}{4620}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Gelb)&=&\frac{4}{100}\cdot\frac{3}{99}\cdot\frac{2}{98}&\quad \scriptsize \\[5pt] p(Gelb)&=&\frac{1}{40425}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p_B&=& p(Rot)+p(Blau)+p(Grün)+p(Gelb)&\quad \scriptsize \\[5pt] p_B&=&\frac{4}{33}+\frac{29}{1155}+\frac{16}{4620}+\frac{1}{40425}&\quad \scriptsize \\[5pt] p_B&\approx& 0,1499 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ p_B\approx 0,1499$
Die Wahrscheinlichkeit drei gleiche Enten zu ziehen liegt bei ca. 0,1499.
C: Je eine rote, blaue und grüne Ente in beliebiger Reihenfolge ziehen.
Wahrscheinlichkeit mit der eine rote, grüne sowie eine blaue Ente in beliebiger Reihenfolge gezogen wird bestimmen. Dazu berechnest du die Wahrscheinlichkeit, mit der zuerst eine rote, dann eine blaue und dann eine grüne Ente gezogen wird. Du kannst auch jede andere Reihenfolge wählen. Du musst beachten, dass nach jedem Zug eine Ente fehlt. Das ganze multiplizierst du mit sechs, da es sechs verschiedene mögliche Reihenfolgen gibt.
$\begin{array}[t]{rll} p_C&=& \frac{50}{100}\cdot\frac{30}{99}\cdot\frac{15}{98}\cdot 6 &\quad \scriptsize \\[5pt] p_C&=& \frac{75}{539} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit das eine rote, eine grüne und eine blaue Ente in beliebiger Reihenfolge gezogen werden liegt bei $\frac{75}{539}.$
1.2
$\blacktriangleright$  gleiche Wahrscheinlichkeit zeigen
In diesem Aufgabenteil sollst du zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente zu angeln im ersten Zug genauso groß wie im zweiten bzw. im dritten Zug ist. Dazu bestimmst du die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente im ersten, im zweiten und im dritten Zug zu ziehen und vergleichst diese.
Goldene Ente im ersten Zug ziehen.
Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten eine goldene Ente im ersten Zug zu ziehen mit der einer andersfarbigen im zweiten sowie im dritten Zug. Den zweiten und dritten Zug kannst du auch weglassen, da es hier keine goldene Ente mehr gibt.
$\begin{array}[t]{rll} p_1&=& \frac{1}{100}\cdot\frac{99}{99}\cdot\frac{98}{98} &\quad \scriptsize \\[5pt] p_1&=&\frac{1}{100} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente im ersten Zug zu ziehen liegt bei $\frac{1}{100}$.
Goldene Ente im zweiten Zug ziehen.
Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten eine nichtgoldene Ente im ersten Zug zu ziehen mit der einer goldenen im zweiten. Den dritten Zug kannst du weglassen, da es hier keine goldene Ente mehr gibt.
$\begin{array}[t]{rll} p_2&=& \frac{99}{100}\cdot\frac{1}{99}\cdot\frac{98}{98} &\quad \scriptsize \\[5pt] p_2&=& \frac{1}{100} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente im zweiten Zug zu ziehen liegt bei $\frac{1}{100}$.
Goldene Ente im dritten Zug ziehen.
$\begin{array}[t]{rll} p_3&=& \frac{99}{100}\cdot\frac{98}{99}\cdot\frac{1}{98} &\quad \scriptsize \\[5pt] p_3&=& \frac{1}{100} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit eine goldene Ente im dritten Zug zu ziehen liegt bei $\frac{1}{100}$.
Du hast gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit immer $\frac{1}{100}$ ist, es also gleich Wahrscheinlich ist, dass die goldene Ente im ersten, zweiten oder im dritten Zug gezogen wird.
1.3
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du den Erwartungswert für den ersten Zug bestimmen, wenn du folgende Punkte für die jwewilige Farbe erhältst. Dazu multiplizierst du die Wahrscheinlichkeit eine bestimmten Farbe zu ziehen mit deren Punkte. Dann addierst du alle Produkte.
$Farbe$$Punkte$
Rot10
Blau20
Grün50
Gelb100
Gold500
$\begin{array}[t]{rll} E&=&\frac{50}{100}\cdot10+\frac{30}{100}\cdot20+\frac{15}{100}\cdot 50+\frac{4}{100}\cdot 100 +\frac{1}{100}\cdot 500 &\quad \scriptsize \\[5pt] E&=& 27,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ E=27,5 $
Fanni kann im Mittel also 27,5 Punkte erwarten.
#erwartungswert
1.4
$\blacktriangleright$  Anzahl der Spiele berechnen
Fanni behauptet, so viele Spiele beobachtet zu haben, dass die goldene Ente mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $80\,\%$ mindestens einmal hätte gezogen werden müssen. Betrachte also die Zufallsvariabel $X$, die von $n$ Spielen die Anzahl der Spiele beschreibt, in denen die goldene Ente geangelt wurde. Gesucht ist dann die Mindestanzahl $n$ der beobachteten Spiele, für die $P(X\geq 1) > 80\,\%$ ist. Bestimme eine Verteilung von $X$ und forme die Ungleichung damit so um, dass du nach $n$ lösen kannst.
$X$ kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ angenommen werden, da in jedem Spiel die Wahrscheinlichkeit für die goldene Ente gleich bleibt. Der Parameter $p$ ist die Wahrscheinlichkeit für eine goldene Ente in einem Spiel. Die Wahrscheinlichkeit, die Ente im ersten, zweiten oder dritten Zug zu ziehen beträgt jeweils $1\,\%$, insgesamt kann damit die goldene Ente in einem Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von $3\,\%$ gezogen werden. Es gilt also $p=0,03$.
Forme nun die Ungleichung mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung um:
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 1)& > & 0,8 \\[5pt] 1-P(X =0)&> & 0,8 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P(X=0)& > & -0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P(X=0)&< & 0,2 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,03^0\cdot 0,97^n& < & 0,2 \\[5pt] 0,97^n& < & 0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] n\cdot \ln(0,97)&< & \ln(0,2) &\quad \scriptsize \mid\; : \ln(0,97)< 0\\[5pt] n&> & \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,97)}\\[5pt] n& > & 52,84 \end{array}$
Fanni muss also mindestens 53 Spiele beobachtet haben.
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